河北省石家庄二中2017届高三八月模拟理数试题(附答案)

2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<，113xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂= ( )A ．∅B ．{}10x x -<<C ．{}01x x <<D ．{}11x x -<< 2. 已知命题()000:0,,ln 1p x x x ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为( ) A ．真；()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．真；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- C ．假；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．假；()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠- 3.设复数z 满足()12i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.在平面直角坐标系中，A ∠的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)Pa ，若660A ∠=︒，则a = ( )A ．3-B ．3 C.1- D ．15. 已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-= ( )A ．6B ．6- C. 32- D ．236.已知函数()1x xf x e x=++，则120x x +>是()()()()1212f x f x f x f x +>-+-的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=( )A ．79 B ．79- C. D ．8.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是 ( )A ．()2ln x f x x =B ．()ln x f x x = C. ()211f x x =- D ．()11f x x x=-9. 函数()()cos 02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，若方程()0f x a -=（a 为实数）在()00,x 上有两个不同的实数解12,x x ，则()()1122x f x x f x +的取值范围是()A ．{}0 B．⎛- ⎝⎭C. 53⎛- ⎝⎭ D．103⎛- ⎝⎭10. 在ABC ∆中，226,AB AC BA BC BA==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅= ( ) A ．9 B ．9- C.272 D ．272- 11. 已知函数()f x 满足对任意实数,m n ，都有()()()1f m n f m f n +=+-，设()()1xxa g x f x a =++ ()0,1a a >≠，若()ln 20172018g =，则1ln2017g ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．2017 B ．2018 C. 2016- D ．2015-12.对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()20x y x e y x ae ---=成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数()f x 的图象经过点14⎛ ⎝，则()81f = ．14.311dx x ⎛+= ⎝⎰ ．15.已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为 ．16.已知()22,2,x x a f x x x a⎧-≥=⎨+<⎩，若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3a =，点D 在AC 边上且,BD AC BD ⊥=c . 18. 结合命题:p 函数()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数；命题:q 函数()f x =[)0,+∞.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知()2sin sin cos 2sin cos44f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，所得图象恰与函数()g x 的图象关于直线6x π=，求函数()g x 的单调递增区间.20. 已知函数()()21x f x xe x =-+.（Ⅰ）当[]1,2x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值； （Ⅱ）讨论方程()1f x ax =-的实根的个数.21. 已知函数()()()12log 124,x x f x a bx a b R +=+++∈.（Ⅰ）若1a =，()f x 是偶函数，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 在(),1-∞-上有意义，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若4a =，且()()(){}11A x f x b x ==++=∅，求实数b 的取值范围. 22.已知函数()362ln 21x x f x x -=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()()22ln g x x t x at =-+-，若对任意()11,x ∈+∞，存在()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞，使得()()12f x g x ≥ 成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBBAD 6-10: CBBCB 11、12：DA 二、填空题 13.1314.ln 32π+ 15. 4- 16.[][)1,23,-⋃+∞三、解答题17. （Ⅰ）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理， 可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()sin sin B C A +=， 所以()sin 2cos 10A B +=，因为0,sin 0A A π<<≠，所以1cos 2B =-，因为()0,B π∈，所以23B π=.（Ⅱ）由23B π=得222239b a c ac c c =++=++， 又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B b BD ==⋅，把23,,3a B BD π===75b c =， 所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =.18. （Ⅰ）若p 为真命题，则()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数；因为(),0x ∈-∞且02ax a >-，所以02a a <-，故2axy a =-在(),0-∞上是减函数； 所以要使()3log 2a ax f x a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在(),0-∞上是减函数，应满足31a >，由3102a a a >⎧⎪⎨<⎪-⎩得123a <<，即实数a 的取值范围是1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若p 为真命题，则123a <<，若q 为真命题，则函数()f x [)0,+∞， 所以24200a -≥，解得45a ≤， 所以，若q 为真命题，则45a ≤. 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以,p q 一真一假. 若p 真q 假，则有12345a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以425a <<；若p 假q 真，则有12345a a ⎧≤≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或，所以13a ≤.故实数a 的取值范围为14,,235⎛⎤⎛⎫-∞⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.19. （Ⅰ）()2sin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1cos 2111sin 2sin 2sin 2cos 2cos 222222x x x x x xπ-⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭()111sin 2cos 222242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5521244x πππ≤+≤，所以()sin 21,04x f x π⎛⎫≤+≤≤≤ ⎪⎝⎭， 即()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦.（Ⅱ）函数()f x 的图象向右平移8π个单位后得到()h x 的图象， 则()1282h x f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点， 则点P 关于直线6x π=对称的点,3Q x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()h x 的图象上，所以()212332g x h x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 所以当()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时，()g x 单调递增，所以()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 20. （Ⅰ）因为()()21x f x xe x =-+，所以()()()()()12112x x f x x e x x e '=+-+=+-，令()0f x '=得121,ln 2x x =-=，()(),f x f x '的变化如下表：()f x 在[]1,2-上的最小值是()2ln 21--，因为2211290,0,29e e e e->-<->-，所以()f x 在[]1,2-上的最大值是229e -.（Ⅱ）()()()2122x x f x ax xe x a x x e x a -+=--+=---， 所以()10f x ax x =-⇔=或20x e x a ---=，设()2x g x e x a =----，则()1x g x e '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,+∞上是增函数，在(),0-∞上是减函数，()()01g x g a ≥=--， 且()(),,,x g x x g x →+∞→+∞→-∞→+∞，（ⅰ）当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根； （ⅱ）当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根；（ⅲ）当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根.综上可得，1a <-时，方程()1f x ax =-有1个实根；1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根.21. （Ⅰ）当1a =时，()()()122log 1242log 12x x x f x bx bx +=+++=++，若()f x 是偶函数，则()()0f x f x --=，即2122log 2012xxbx -++=+，即220x bx +=，所以1b =-.（Ⅱ）()f x 在(),1-∞-上有意义，则对任意(),1x ∈-∞-，11240x x a +++>恒成立， 即对任意(),1x ∈-∞-，11242xxa ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，设()11142xx g x -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由指数函数单调性易得()g x 在(),1-∞-上是增函数，所以()()18g x g <-=-，由()a g x >对任意(),1x ∈-∞-时恒成立得8a ≥-，即实数a 的取值范围是[)8,-+∞. （Ⅲ）当4a =时，()()()()11211log 1241x x f x b x x b ++=++⇔++-=+ 221log 2212x x b +⎛⎫⇔++=+ ⎪⎝⎭，由A =∅可得方程221log 2212x x b +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭无实根，因为2122262x x +++≥=，2221log 22log 62x x+⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭所以，当21log 6b +<，即2log 3b <时A =∅， 故实数b 的取值范围是()2,log 3-∞. 22. （Ⅰ）因为()362ln 21x x f x x -=-+，所以()()()()()()222221229252111x x x x f x x x x x x x ---+'=-==+++， 因为()f x 的定义域为()0,+∞，当122a <<时()0f x '<，102x <<或2x >时()0f x '>， 所以()f x 的单调递减区间是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间时()10,,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以当1x >时()()20f x f ≥=，又()()()22ln 0g x x t x at =-+-≥，所以对任意()11,x ∈+∞，存在()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞，使得()()12f x g x ≥成立，⇔ 存在()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞，使得()20g x ≤成立， ⇔ 存在()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞，使得()20g x =成立，因为()()22ln x t x at -+- 表示点(),ln x x 与点(),t at 之间距离的平方，所以存在()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞，使得()20g x =成立， ln y x ⇔=的图象与直线y ax =有交点，⇔方程ln xa x=在()0,+∞上有解， 设()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=， 当()0,x e ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当(),x e ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减， 又()()1,0,h e x h x e =→→-∞，所以()h x 的值域是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。