2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行学案北师大版选修2_1
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行3121数学
三、小结(xiǎojié)
利用向量解决平行与垂直问题 • 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 • 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来(qǐ lái)使用。
第十八页，共二十八页。
四 作业：
、 作
1.
如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB 900,
B1C1的中点为AM.
则CD• A1B0, CD•DM 0.
D C
CD A1B,CDDM.
B X
A1B, DM为平面BDM内的两条相交直线,
CD平面BDM.
第二十页，共二十八页。
B1
A1
C1
MY
作业(zuòyè)：2.课本p.116第2题。
• Bye－bye!
第二十一页，共二十八页。
lm
a
b
l//ma /b / a b
B
建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A'(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
第十二页，共二十八页。
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B'C ' D'中. D
E,F分别是CC ', BD的中点. A
求证：A' F 平面BDE.
C BE
A'F(1,1,2),
0 A'C• AB' (c a)•(b a)
2
c•b c•a a•b a
2
1
a c•b
2
B'• C A' B (cab)•(ba)
(c a 2 a b )•(b a )(2 a b )•(b a )
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行4121数学
求证
(qiúzhèng
):
O1
第七页，共十六页。
活利动用(向huó量dò证ng明)策(z划hèngmíng)垂直
第八页，共十六页。
小结(xiǎojié)
今天 你学了什么？ (jīntiān)
12/9/2021
9
第九页，共十六页。
线线平行(píngxíng)：
➢ 证两直线方向向量(xiàngliàng)共线即可
(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．
2021/12/9
第五页，共十六页。
垂直(chuízhí)关系的向量 表示
l m 线线垂直(chuízhí)
l 线面垂直(chuízhí)
面面垂直
12/9/2021
第六页，共十六页。
活利动用(向huó量dò(nxgià)n策gli划àng)证明垂直
z
求证
(q(1iúz)hEènFg//平面(píngmiàn)HMN
)(:2)平面EFG//平面HMN
y
平面EFG的法向量怎么求？
x
平面HMN的法向量？
第四页，共十六页。
活求动平(hu面ó d(òpníngg)m策ià划n)的法向量
若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定
系数法求解，一般步骤为：
➢ 证两直线方向(fāngxiàng)向量垂直即 可
线面垂直(chuízhí)：
➢ 证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量数量积均为0 ➢ 证直线的方向向量与平面的法向量平行
面面垂直：
➢ 证两平面的法向量垂直
第十一页，共十六页。
作业(zuòyè)
如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1(1)
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12345
1.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，
k)，若α⊥β，则k等于D( )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
解析答案
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2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2， 则m等于( D )
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论
不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。
若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。
[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。
将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。
于是有下面的证法二。
[证法二] DM ·1AA =(++211AB )·1AA =(++211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长)同样 DM ·AB =DC ·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM ⊂平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xyCDA1MAOB B1C 1设平面AB 1D 的法向量为n =（x,y,z ）由n ·AD =（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和n ·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为=（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。
【数学】2020版高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行二学案北师大版选修21
【关键字】数学4 用向量讨论垂直与平行（二）学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面笔直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的笔直关系.3.能用向量方法证明空间线面笔直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线笔直思考若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否笔直？用向量法判断两条直线笔直的一般方法是什么？梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______________⇔____________.知识点二向量法判断线面笔直思考若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔__________________.知识点三向量法判断面面笔直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β笔直的关系式是什么？梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔____________.类型一证明线线笔直例1 已知正三棱柱ABC—A1B1的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.反思与感悟证明两直线笔直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量笔直→得到两直线笔直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1. 类型二证明线面笔直例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.反思与感悟用坐标法证明线面笔直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD—A1B1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.类型三证明面面笔直例3 在三棱柱ABC－A1B1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA.反思与感悟证明面面笔直的两种方法(1)常规法：利用面面笔直的判定定理转化为线面笔直、线线笔直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相笔直.跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.1.下列命题中，真命题的个数为( )①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔ n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不笔直，则这两个平面不笔直.A.1B.3 D.42.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线笔直的为( )A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则( )A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A.平行B.相交但不笔直C.笔直D.不能确定5.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是_____________________________.空间垂直关系的解决策略对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，mα，nα，m与n相交，则l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α对于直线l，m和平面α，β(1)若l⊥α，lβ，则α⊥β.(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.(3)若平面α与β相交所成的角为直角，则α⊥β答案精析问题导学 知识点一思考 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2.又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 知识点二思考 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α. 梳理 a ＝k μ(k ∈R ) 知识点三思考 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. 梳理 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 题型探究例1 证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.∵M 为BC中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0，∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1 证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.例2 证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0). 所以AB 1→＝(1,2，－3)，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0).因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0，AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0，所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .跟踪训练2 证明 如图建立空间直角坐标系，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，PA →＝(0,1，－1)，PB 1→＝(1,1,1).PB 1→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·PA →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PA →，即PB 1⊥PA .又PA ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面PAC .例3 证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0，令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .跟踪训练3 证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0,0，a )，则易得B (0,0，0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)， 故AB →＝(0,0，－a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1,0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1,1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC . 当堂训练1.C2.B3.B4.C5.α∥β此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2019-2020年高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修2_1
重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12； 解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； 解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
解析答案
课堂小 结 1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究 点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意 义来解释相关问题. 2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的 关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.
第二章 空间向量与立体几何
§4 用向量讨论垂直与平行(一)
学习 目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行 问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
栏目 索引
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自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 直线的方向向量和平面的法向量
解析答案
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4.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( D )
A.l∥α
B.l α
C.l⊥α
D.l α或l∥α
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行1121数学
谢谢 指导 (xiè xie)
第十三页，共十六页。
同步练习（用坐标运算的方法）
如图，在正方体 ABCDA1B1C 中1D ，1 于点 O (xiāngjiāo) ，求证： AO A1B
Z
A1
D1
CD1和DC相1 交
B1
A B
x
C1
O
D y
C
第十四页，共十六页。
同步练习：（两平面(píngmiàn)垂直的性质定理）
不共线，那
存在有序实数组
e
l 4、直线 的方向向量是
平面 的法向量 与n 的 位置关系是
l
n
第二页，共十六页。
思考 ： (sīkǎo)
我们能不能用直线的方向(fāngxiàng) 向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系？
第三页，共十六页。
e , e l , l 设空间两条直线
的方向向量 为 1 2
第一页，共十六页。
复习(fùxí)回顾：
1、 a b的充要条件是
ab 0
a b a , b 2、设向量(xiàngliàng)
的夹角 为 ，则
a b cos
a , b 3、共面向量定理 如果两个向量(xiàngliàng)
么p
a,b
向x量, y
与向量
，使得：
共面的充要条件是
pxayb
最终都是应用向量的数量积为0来证 明 线线垂直。 (zhèngmíng)
第十一页，共十六页。
课堂 小结： (kètáng)
本节课主要研究了用向量的方法判
定空间线线、线面垂直(chuízhí)关系。
如果要判定两条直线 a 、 b垂直 ，
可以通过证明它们的方向向量 的数量积为0实现
高中数学第二章空间向量与立体几何 用向量讨论垂直与平行学案含解析北师大版选修2_1
§4用向量讨论垂直与平行知识点一线线垂直、线面垂直[填一填]1．用向量运算证明两直线垂直如果我们知道两条直线的方向向量,我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直,如图所示,设直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2,则有l1⊥l2⇔v1⊥v2.由上述条件,证明空间两条直线l1⊥l2,可转化为证明两条直线的方向向量垂直,即证明v1·v2＝0.2．线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．3．面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．[答一答]求证：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．提示：如图,b,c是平面π内的两条相交直线,直线a满足a⊥b,a⊥c,设p是平面π内任意一条直线,则只需证a⊥p.设直线a,b,c,p的方向向量分别是a,b,c,p,只需证a⊥p.因为直线b,c相交,所以b与c不共线．由于直线b,c,p在同一平面π内,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ,使得p＝λb＋μc.则a·p＝λ(a·b)＋μ(a·c)．因为a⊥b,a⊥c,所以a·b＝0,a·c＝0,从而a·p＝0,即a⊥p.所以直线a垂直于平面π.知识点二线面平行、面面垂直[填一填]1．用向量方法判断或证明直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2(如图所示),则由向量共线的条件,可得l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.这样在证明l1∥l2时,结合空间图形,分别在两直线上适当地选取方向向量v1,v2,证明l1∥l2即可转化为证明v1∥v2,即证明v1＝x v2.2．线面平行的判定定理(1)定理内容：如果平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线,则平面外的这条直线平行于这个平面．(2)用向量法证明线面平行：证明线线平行、线面平行的关键是转化为证向量共线和共面问题,但要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点．已知两个非零向量v1,v2与平面α共面(如图所示),一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得l∥α或在α内⇔v∥v1(或v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.这样在证明直线l∥平面α时,转化成证明直线l的一个方向向量v与平面α共面的两个向量v1,v2之一平行,即v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直．[答一答]求证：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．提示：如图,已知a与b是平面π1内两条相交的直线,且a∥π2,b∥π2.平面π1,π2的法向量分别是n1,n2,要证π1∥π2,只需证n1∥n2.又由于a∥π2,b∥π2,故向量a∥π2,b∥π2,所以n2⊥a,n2⊥b.由于a与b相交,故向量n2也是π1的法向量,从而有n1∥n2.知识点三三垂线定理[填一填]若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直．[答一答]如何证明三垂线定理？提示：已知：如图,b是平面π外的一条直线,直线c是b在平面π上的投影,直线c与平面内一直线a垂直．求证：a⊥b.证明：过直线b上任意一点作平面π的垂线n.设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n,只需证a⊥b.由于b,c,n共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得b＝λc＋μn.则a·b＝λ(a·c)＋μ(a·n)．又由于a⊥c,故a·c＝0；因为直线a在平面π内,n⊥π,故a⊥n,即a·n＝0.所以a·b＝0,即a⊥b.1．利用向量方法证明空间中的线线垂直和线面垂直总结如下：(1)线线垂直：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证明l 1⊥l 2,只要证a ⊥b ,即证明a ·b ＝0.(2)线面垂直：①设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量是u ,若要证l ⊥α,只需证a ∥u . ②根据线面垂直的判定定理,即要证一条直线垂直于一个平面,若用向量法,只需证明这条直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直,即其数量积分别为零即可．2．用向量法证明空间中的线线平行和线面平行总结如下：(1)线线平行：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证l 1∥l 2,只需证a ∥b ,即a ＝λb (b ≠0)． (2)线面平行：①设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,若要证l ∥α,只需证a ⊥u ,即a ·u ＝0. ②根据线面平行的判定定理．③根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3．(1)平面法向量的求法：若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下：①设出平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标,a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)．③根据法向量的定义,建立关于x ,y ,z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．如含x ＝±1或y ＝±1或z ＝±1等,便于求解．(2)平面法向量的作用：设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则 ①α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2； ②α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.由①,证明两个平面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．由②,证明两个平面垂直可转化为证明两个平面的法向量垂直,即证明两个平面的法向量的数量积为零．(3)证明面面平行和面面垂直除了利用平面的法向量外,还可以直接利用它们的判定定理证明．4．关于三垂线定理及其逆定理的几个注意点：(1)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l 是平面α的一条斜线,l ′是l 在α内的投影,直线mα,则m ⊥l ′⇔m ⊥l .(2)处于非常规位置上的三垂线定理的应用问题,要抓住“一个面”、“四条线”,“一个面”就是要确定一个垂面,三条线共处于这个垂面之上,“四条线”就是垂线、斜线、投影以及平面内与投影垂直的第四条直线,这四条线中垂线是关键的一条,应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻第四条线．题型一 线面平行问题【例1】 如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB ＝BC ,点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,且OA ＝OP ,OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面P AB .【思路探究】 证明OD ∥平面P AB ,一种方法是只需证明OD →与平面P AB 的法向量垂直即可,另一种方法是用几何法证明在平面P AB 内存在直线与OD 平行．【证明】 证法一：因为AB ＝BC ,O 为AC 的中点,所以OB ⊥AC ,OA ＝OB ＝OC ,如图,建立空间直角坐标系,设OA ＝a ,则A (a,0,0),B (0,a,0),C (－a,0,0),P (0,0,a ),则D (－a 2,0,a2)．所以OD →＝(－a 2,0,a2)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ,y ,z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·AB →＝0.由于P A →＝(a,0,－a ),AB →＝(－a ,a,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1,得x ＝y ＝1,所以n ＝(1,1,1),所以OD →·n ＝－a 2＋a 2＝0,所以OD →⊥n ,因为OD 不在平面P AB 内,所以OD ∥平面P AB .证法二：因为O 、D 分别是AC 、PC 的中点,所以OD →＝CD →－CO →＝12CP →－12CA →＝12AP →,所以OD →∥AP →,即OD ∥AP ,又O D ⃘平面P AB ,P A 平面P AB ,所以OD ∥平面P AB .规律方法 解决线面平行问题一般有以上两种解法,但方法一须注意合理建系,正确求解法向量．如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1C ,B 1C 1的中点,求证：MN ∥平面A 1BD .证明：证法一：如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M (0,1,12),N (12,1,1),D (0,0,0),A 1(1,0,1),B (1,1,0),于是MN →＝(12,0,12),设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ,y ,z )．则n ·DA 1→＝0且n ·DB →＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1,得y ＝－1,z ＝－1. ∴n ＝(1,－1,－1)．又MN →·n ＝(12,0,12)·(1,－1,－1)＝0,∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .证法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→,∴MN →∥DA 1→,即MN ∥DA 1.又DA 1平面A 1BD ,M N ⃘平面A 1BD , ∴MN ∥平面A 1BD .证法三：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12D 1A 1→－12D 1D →＝12(DB →＋BA →)－12(D 1A 1→＋A 1D →)＝12DB →＋12BA →－12D 1A 1→－12A 1D →＝12DB →＋12DA 1→＋12(BA →－DA →)＝12DB →＋12DA 1→＋12BD →＝12DA 1→＋0·DB →. 即MN →可用DA 1→与DB →线性表示, ∴MN →与DA 1→,DB →是共面向量．∴MN →∥平面A 1BD ,即MN ∥平面A 1BD . 题型二 线面垂直问题【例2】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,求证：B 1O ⊥平面P AC .【思路探究】 欲证B 1O ⊥平面P AC ,只需证明B 1O →与平面P AC 内的两条相交直线都垂直,B 1O →与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．【证明】 如图,建立空间直角坐标系,不妨假设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),P (0,0,1),C (0,2,0),B 1(2,2,2),O (1,1,0)．于是OB 1→＝(1,1,2),AC →＝(－2,2,0),AP →＝(－2,0,1)．由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0,OB 1→·AP →＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ,OB 1⊥AP .又AC 平面P AC ,AP 平面P AC ,且AC ∩AP ＝A , 所以OB 1⊥平面P AC .规律方法 用向量法证明线面垂直时,可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明,也可利用基向量法进行处理．如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ,B 1C 1中点O 1,以O 为原点,OB →,OO 1→,OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (－1,1,0),A 1(0,2,3),A (0,0,3),B 1(1,2,0),∴AB 1→＝(1,2,－3),BD →＝(－2,1,0),BA 1→＝(－1,2,3)．∵AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0, AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0, ∴AB 1→⊥BD →,AB 1→⊥BA 1→. 即AB 1⊥BD ,AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ,∴AB 1⊥平面A 1BD . 题型三 面面平行问题【例3】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为4,M 、N 、E 、F 分别是棱A 1D 1、A 1B 1、D 1C 1、B 1C 1的中点,求证：平面AMN ∥平面EFBD .【思路探究】 思路分析一：通过建立空间直角坐标系,利用向量共线的条件先证线线平行,再证面面平行．思路分析二：先求这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行． 【证明】证法一：如图所示,建立空间直角坐标系,则A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),D (0,0,0),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ,BD 的中点Q ,则G (3,1,4),K (1,3,4),Q (2,2,0)．∵MN →＝(2,2,0),EF →＝(2,2,0), AG →＝(－1,1,4),QK →＝(－1,1,4)． 可见MN →＝EF →,AG →＝QK →, ∴MN ∥EF ,AG ∥QK .∴MN ∥平面EFBD ,AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G .∴平面AMN ∥平面EFBD .证法二：由证法一得AM →＝(－2,0,4),MN →＝(2,2,0),DE →＝(0,2,4),EF →＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝0，n 1·MN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1,则n 1＝(1,－1,12)．设平面EFBD 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1,则n 2＝(1,－1,12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面EFBD .规律方法 利用向量证明面面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H ,M ,N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG ∥平面HMN .证明：证法一：如图,以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ,不妨设正方体的棱长为2,则E (1,1,0),F (1,0,1),G (2,1,1),H (1,2,1),M (1,1,2),N (0,1,1)．∴EF →＝(0,－1,1),FG →＝(1,1,0),HM →＝(0,－1,1),NH →＝(1,1,0)． ∴EF →∥HM →,FG →∥NH →. ∴EF ∥HM ,FG ∥NH .∵HM 平面HMN ,NH 平面HMN . E F ⃘平面HMN ,F G ⃘平面HMN . ∴EF ∥平面HMN ,FG ∥平面HMN .又∵EF 平面EFG ,FG 平面EFG ,EF ∩FG ＝F , ∴平面EFG ∥平面HMN .证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图,设平面EFG 的法向量m ＝(x 1,y 1,z 1),则m ·EF →＝(x 1,y 1,z 1)·(0,－1,1)＝－y 1＋z 1＝0,m ·FG →＝(x 1,y 1,z 1)·(1,1,0)＝x 1＋y 1＝0,从而,得x 1＝－y 1＝－z 1. 设x 1＝－1,则m ＝(－1,1,1)． 设平面HMN 的法向量n ＝(x 2,y 2,z 2),则n ·HM →＝(x 2,y 2,z 2)·(0,－1,1)＝－y 2＋z 2＝0,n ·NH →＝(x 2,y 2,z 2)·(1,1,0)＝x 2＋y 2＝0,从而,得x 2＝－y 2＝－z 2, 设x 2＝－1,则n ＝(－1,1,1)． ∴m ∥n .∴平面EFG ∥平面HMN . 题型四 面面垂直问题【例4】 如图,底面ABCD 是正方形,AS ⊥平面ABCD ,且AS ＝AB ,E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【思路探究】 已知AS ⊥平面ABCD ,可将证明平面BDE ⊥平面ABCD 转化为寻找平面BDE 内一条直线与AS 平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直．【证明】 方法一：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．连接AC ,设AC 与BD 相交于点O ,连接OE ,则点O 的坐标为(12,12,0)．因为AS →＝(0,0,1),OE →＝(0,0,12),所以OE →＝12AS →,所以OE ∥AS .又AS ⊥平面ABCD , 所以OE ⊥平面ABCD . 又OE 平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABCD .方法二：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ,y ,z ), 因为BD →＝(－1,1,0),BE →＝(－12,12,12),所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1,可得平面BDE 的一个法向量n 1＝(1,1,0)．因为AS ⊥平面ABCD ,所以平面ABCD 的一个法向量n 2＝AS →＝(0,0,1),因为n 1·n 2＝0,所以平面BDE ⊥平面ABCD .规律方法 若在一个平面内找另一个平面的垂线较为直观,则可采用方法一,否则采用方法二．也可利用一个平面的法向量平行于另一个平面进行求解．已知：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2,则有D (0,0,0),D 1(0,0,2),A (2,0,0),A 1(2,0,2),F (0,1,0),E (2,2,1)．设n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面DEA ,平面A 1FD 1的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥DE →.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1,得n 1＝(0,－1,2)． 同理可得n 2＝(0,2,1)．∴n 1·n 2＝(0,－1,2)·(0,2,1)＝0,知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.——多维探究—— 利用向量知识解决立体几何中 的探索性问题、存在性问题对于存在性问题,就是探求平面上或直线上是否存在一点,使得该点与其他点构成的线段是否满足某种垂直或平行于平面的位置关系,常用的方法就是假定存在这样的点,然后在该条件下求该问题,若存在,则一定能求出结果；若不存在,则求解的过程就是要说明的理由．向量有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与形的结合,在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性．【例5】 如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中,∠ABC ＝60°,P A ＝AC ＝a ,PB ＝PD ＝2a ,点E 在PD 上,且PE ED ＝21.在棱PC 上是否存在一点F ,使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．【解】 存在．证明如下：以A 为坐标原点,直线AD ,AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(如图),则由题设条件知,相关各点的坐标分别为A (0,0,0),B (32a ,－12a,0),C (32a ,12a,0),D (0,a,0),P (0,0,a ),E (0,23a ,13a )． ∴AE →＝(0,23a ,13a ),AC →＝(32a ,12a,0), AP →＝(0,0,a ), PC →＝(32a ,12a ,－a ), BP →＝(－32a ,12a ,a )．设点F 是棱PC 上的点, PF →＝λPC →＝(32aλ,12aλ,－aλ), 其中0<λ<1, 则BF →＝BP →＋PF →＝(－32a ,12a ,a )＋(32aλ,12aλ,－aλ) ＝(32a (λ－1),12a (1＋λ),a (1－λ))． 令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →,得⎩⎪⎨⎪⎧32a (λ－1)＝32a λ1，12a (1＋λ)＝12a λ1＋23a λ2，a (1－λ)＝13a λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12,λ1＝－12,λ2＝32.即当λ＝12时,BF →＝－12AC →＋32AE →.即F 是PC 的中点时,BF →,AC →,AE →共面, 又B F ⃘平面AEC ,∴当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC .规律方法 是否存在一点或直线,满足某一限定条件,这样的问题,叫作存在性问题,解决方案一般是先假设存在,根据条件能求出具体的点或直线,就说明存在；若求不出,则说明不存在．用向量手段处理类似问题,要证明方向明确．设点的坐标时,一定要注意坐标的限制范围．如图,在棱长AB ＝AD ＝2,AA 1＝3的长方体AC 1中,点E 是平面BCC 1B 1上的一个动点,点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置,使D 1E ⊥平面AB 1F .解：以点A 为原点,AB →、AD →、AA 1→所在的射线分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),F (1,2,0),B 1(2,0,3),D 1(0,2,3),设E (2,y ,z ),则D 1E →＝(2,y －2,z －3),AF →＝(1,2,0),AB 1→＝(2,0,3),∵D 1E ⊥平面AB 1F ,∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝0，4＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.∴E (2,1,53)即为所求．1．直线l 1的方向向量为v 1＝(1,0,－1),直线l 2的方向向量为v 2＝(－2,0,2),则l 1与l 2的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定解析：直线l 1,l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0,－1),v 2＝(－2,0,2),则v 2＝－2v 1,∴v 1∥v 2,∴l 1∥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),则( A ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⃘αD ．l 与α斜交解析：∵直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),∴a ·u ＝0,∴l ∥α.3．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,使得l ∥α的是( D ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1)解析：要使l ∥α,只需l 的方向向量与平面α的法向量n 满足a ·n ＝0,而选项D 满足． 4．向量a 在平面α内,则平面α平行于平面β是向量a 平行于平面β的充分不必要条件． 解析：若α∥β,∵a 在α内,∴a ∥β,而若a ∥β,不能保证α∥β,故为充分不必要条件． 5．如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB ＝3,BC ＝5.证明：在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值． 证明：易知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3,BC ＝5,AC ＝4, 所以AB ⊥AC .如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD →＝λBC 1→.所以(x ,y －3,z )＝λ(4,－3,4)． 解得x ＝4λ,y ＝3－3λ,z ＝4λ.所以AD →＝(4λ,3－3λ,4λ)． 由AD →·A 1B →＝0, 即9－25λ＝0, 解得λ＝925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,BD BC 1＝λ＝925.。
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§4 用向量讨论垂直与平行学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点) 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点) 3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)1．空间中平行关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面平面α，β的法向量分别为n 1，n 2. (1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0． (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥n 1⇔a ＝k n 1(k ∈R )． (3)面面垂直：α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0．思考：用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？[提示] 需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系．1.判断正误(1)直线上任意两个不同的点A 、B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量． (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行． (3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．若a ＝(1，2，3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，1，2)B ．(3，6，9)C ．(－1，－2，3)D ．(3，6，8) B [∵(3，6，9)＝3(1，2，3)＝3a ，a ⊥α， ∴(3，6，9)可作平面的一个法向量．]3．若直线l 的方向向量是u ＝(1，3，0)，平面α的法向量是v ＝(－3，1，5)，则直线l 与平面α的位置关系为________．lα或l ∥α [∵u·v ＝1×(－3)＋3×1＋0×5＝0，∴u ⊥v ，∴lα或l ∥α.]4．若平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3，5)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1，95，则平面α，β的位置关系为________．垂直 [u·v ＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×95＝0.所以u ⊥v ，所以α⊥β，即平面α，β的位置关系为两平面相互垂直．]1111111E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F ，求平面A 1DE 、平面A 1B 1CD 的一个法向量．[解] ∵四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝AA 1＝1，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 为B 1D 1的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. 设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 又A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋12y 1＝0，y 1－z 1＝0，取z 1＝1，,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝1，z 1＝1，则n 1＝(－1，1，1)．设平面A 1B 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，而n 2⊥A 1B 1→，n 2⊥A 1D →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，令z 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝1，z 2＝1，∴n 2＝(0，1，1)．利用待定系数法求法向量的解题步骤1．已知平面α经过三点A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，所以AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2，1，0)．111111(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎝ ⎛x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1→＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1．利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．2．探索性、存在性问题：(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在．(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围．2．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.[解] 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)．设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0，2，－1)． ∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0.①∵AD →＝(0，2，0)是平面PAB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0，2，0)＝0， ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面PAB .1．你能给出用向量法坐标法证明线面垂直的步骤吗？ [提示] (1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．用向量法坐标法证明面面垂直时，除了用其法向量的数量积为0以外，还可以如何证明？[提示] 可以先用向量法坐标法证明线面垂直，再借助面面垂直的判定求解．【例3】 如图所示，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .[思路探究] 建立平面直角坐标系，证明AB 1⊥平面A 1BD . [证明] 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)．所以AB 1→＝(1，2，－3) BA 1→＝(－1，2，3) BD →＝(－2，1，0)．因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0，AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0，所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .1.(变条件)，则OC⊥EB，为原点建立空间直角坐标系O，3，0)，E(0，－3，1)，用向量法证明空间中垂直关系的方法(1)证明线线垂直，只需证两直线的方向向量垂直．设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即a·b＝0.(2)证明线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．(3)证明面面垂直：可证两平面的法向量相互垂直．1．若平面α，β的法向量分别为u ＝(1，2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直D ．以上均错A [∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1，2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，∴v ＝－3u ，∴u ∥v ，∴α∥β.]2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 不在平面α内，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)D [直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，要使l ∥α，则a ⊥n ，∴a·n ＝0.只有D 中有a·n ＝0.]3．已知平面α内两向量a ＝(1，1，1)，b ＝(0，2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4，1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A ．－1，2B ．1，－2C ．1，2D ．－1，－2A [c ＝m a ＋n b ＋(4，－4，1)＝(m ，m ，m )＋(0，2n ，－n )＋(4，－4，1) ＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)， 由c为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧c·a ＝0，c·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.] 4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t ，5，1)，则t 的值为__________________．5 [∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.]5．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，点M 为PA 的中点，点N 为BC 的中点．AF ⊥CD 于F ，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD 的一个法向量并证明MN ∥平面PCD .[解] 由题设知：在Rt △AFD 中， AF ＝FD ＝22， A (0，0，0)，B (1，0，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0， P (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝⎛⎭⎪⎫1－24，24，0， MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，－2， 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·PD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，令z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1·(0，4，2)＝0，又MN 平面PCD ，所以MN ∥平面PCD .。