人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练48椭圆
高中数学椭圆练习题及答案
高中数学椭圆练习题及答案椭圆是数学的重要考点，考生要加以重视。
今天，店铺为大家整理了高中数学椭圆练习题及答案。
高中数学椭圆练习题一、选择题2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=13.(2013·安康模拟)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率是( )(A) (B) (C)或 (D)或4.已知椭圆:+=1(0b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)6.(能力挑战题)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是( )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1高中数学椭圆练习题二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x 轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是.9.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.高中数学椭圆练习题三、解答题10.(2013·西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P 到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程.(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.11.(2013·渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.高中数学椭圆练习题答案1.【解析】选B.由题意得2a=2b,即a=b.又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得离心率e=.2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e==,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为+=1.3.【解析】选C.因为m是2和8的等比中项，所以m2=16，所以m=±4.当m=4时，圆锥曲线为椭圆x2+=1，离心率为，当m=-4时，圆锥曲线为双曲线x2-=1，离心率为，综上选C.4.【解析】选D.由题意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因为|BF2|+|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时A(-c，)，B(-c，-)，代入椭圆方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，选D.5.【解析】选 B.由题意知点P的坐标为(-c,)或(-c,-),因为∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为.6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P,使得|PF1|+|PF2|最小时的椭圆方程.【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.取等号时离心率取最大值,此时椭圆方程为+=1.7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x<3,故舍去),又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16×()2+25y2=400,解得y=2,∴=|F1F2|·y=×6×2=6.答案:69.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c 间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上. 又点P在椭圆内部,所以有c20,∴k2>,………………②则x1+x2=,x1·x2=,代入①,得(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,∴k=2或k=-2,满足②式.所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2. 因为离心率e==,所以c=.故b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)直线l:y=kx+,由消去y可得(4k2+1)x2+8kx+4=0,因为直线l与椭圆C相交于P,Q,所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,解得|k|>.又x1+x2=,x1x2=,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),因为线段PQ的中点横坐标是-,所以x0===-,解得k=1或k=,因为|k|>,所以k=1,因此所求直线l:y=x+.12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2, 则短半轴b===1,椭圆方程为:+ y2=1.(2)设K(x0,y0),则+=1.∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),∴直线AQ的方程为y=(x+2).令x=2,得D(2,).又B(2,0),N为DB的中点,∴N(2,).∴=(x0,2y0),=(x0-2,).∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,∴⊥,∴直线QN与以AB为直径的圆O相切.。
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
高考数学总复习 课时作业48 椭 圆试题 文 新人教A版
课时作业(四十八) 椭 圆A 级1．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝12．设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B (如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )A.255 B.55C.32D.123．2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．43D ．125．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263 C.33D. 3 6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．7．已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63，则椭圆方程为________．8．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 10．已知椭圆的中心在原点且过点P (3,2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．11．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．B 级1．在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33 C.63D.242．底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．3．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 答案：课时作业(四十八)A 级1．C 由题意，c ＝1，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．A B (0,1)，F (－2,0)，故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5，e ＝c a ＝255.3．B 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞06－m ＞0m －2≠6－m，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．4．C 设椭圆的另一焦点为F ， 则由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23， 且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 5．B 方法一：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.方法二：由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan θ2＝c |y P |可得，|y P |＝13，代入椭圆方程得|x P |＝263.6．解析： 由题意，c ＝4，且椭圆焦点在x 轴上， ∵椭圆过点(5,0)．∴a ＝5，∴b ＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝1 7．解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a＝a 2－b 2a ＝63.∴a ＝23，故椭圆方程为x 212＋y 24＝1. 答案：x 212＋y 24＝1 8．解析： 由题意|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |①， 由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |，∴|AB |＝43.答案： 439．解析： 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 答案：x 216＋y 28＝1 10．解析： 由题设可知，椭圆的方程是标准方程．(1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3·2b ，9a 2＋4a2＝1，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5.此时所求的椭圆方程是x 245＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9b 2＋4a2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859.此时所求的椭圆方程为x 2859＋y 285＝1. 故所求的椭圆方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y 285＝1.11．解析： (1)依题意得，|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°，即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋1，x 24＋y 23＝1.并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.B 级1．C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，0.设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t (t ＞0)，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63，故选C. 2．解析：作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面， 易得2a ＝12cos 30°＝8 3 cm ，短轴长即为底面圆直径12 cm ，∴c ＝a 2－b 2＝2 3.∴e ＝c a ＝12.答案： 8 3 cm 12 cm 123．解析： (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4. 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.。
椭圆练习题附答案(人教版)
椭圆习题1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)3.椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是A.(0,－66)、(0,66)B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0)D.(-66,0)、(66,0)4.椭圆12222=+a y b x (a >b >0)的准线方程是A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222b a a y +±=5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是A.559554和B.5514559和C.5514554和D.55146.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x7.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y xB.1422=+y x 或1422=+y xC.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x8.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴9.点A (a ,1)在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是A.-2<a <2B.a <-2或a >2C.-2<a <2D.-1<a <110.设F 是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，P (x ,y )是椭圆上一点，则|FP |等于A.ex ＋aB.ex －aC.ax －eD.a －ex11.已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是A.14812922=+y xB.16410022=+y xC.1162522=+y xD.191622=+y x 12.椭圆145222++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0 D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,55 13.椭圆1)6(4)3(22=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23D.4114.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是A.20B.24C.32D.4015.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为A.32B.16C.18D.6416.已知（4，2）是直线L 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是A.x -2y =0B.x +2y -4=0C.2x +3y+4=0D.x +2y -8=017.若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为A.21B.32C.43D.4118.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A.1010B.1717C.13132D.373719.椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1－x 交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾角为30°，则b a的值为A.43B.33C.23D.320.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心的弦为PQ ，焦点为F 1，F 2，则△PQF 1的最大面积是A. a bB. b cC. c aD. a b c21.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上,其投影呈椭圆形,若此椭圆的离心率为21,则光线与地平面所成的角为A.3πB.6πC.arccos 31D.4π22.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为49,则椭圆的离心率为 A. 54 B. 43 C.32 D.-4323.线段A 1A 2、B 1B 2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F 2是椭圆的一个焦点（|A 1F 2|＞|A 2F 2|）,若该椭圆的离心率为215-，则∠A1B 1F 2A.30°B.45°C.120°D.90°24.已知椭圆1222=+y a x (a >1)的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60o ,则|PF 1|·|PF 2|的值为A.1B.31C.34D.3225.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222（k >0）具有A..相同的长短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点26.椭圆125922=+y x 的准线方程是 A.x =425±B.y =425±C.x =49±D.y =49±27.若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点的距离为3，则P 到右准线的距离是 A.43 B.23C.6D.1228.自椭圆12222=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是 14.A 2222=+b y a x 14.B 2222=+b y a x 14.C 2222=+b y a x 14.D 2222=+b y a x29.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是A.51B.43C.33D.2130.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为A.41B.22C.42D.2131.椭圆121322=++m y m x 的准线平行于x 轴,则m 的取值范围是A.m >0B.0<m <1C.m >1D.m >0且m ≠132.椭圆x 2+ 9y 2=36的右焦点到左准线的距离是A.2217 B.217 C.217 D.22933.到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是A.1121622=+y xB.1161222=+y x C.0568222=-++x y x D.0688222=+-+x y x 34.直线x -y -m =0与椭圆1922=+y x 且只有一个公共点,则m 的值是A.10B.±10C.±10D.1035.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)36.椭圆192522=+y x 上点P 到右准线等于4.5,则点P 到左准线的距离等于A.8B.12.5C.4.5D.2.2537.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于A.3B.23C.33D.4338.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x =4,则此椭圆的方程是A.131222=+y xB.1422=+y xC.1422=+y x D.112322=+y x39.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是A.21B.2333D.不能确定40.函数y ＝2sin(arccos x )的图象是A.椭圆B.半椭圆C.圆D.直线41.若F (c ,0)是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是 A.(c ,±a b 2) B.(－c ,±a b 2) C.(0,±b ) D.不存在42.已知点P (233,25)为椭圆92522y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│,那么Q 分F 1P 之比是A.43B.34C.52D.3543.若将离心率为43的椭圆)0( 12222>>=+b a b y a x 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是3y +14=0椭圆的另一条准线方程是A. 3y -14=0B. 3y -23=0C. 3y -32=0D. 3y -50=044.如图，直线l ：x -2 y +2=0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A.51B.52C.55D.55245.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1)46.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线47.以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为A.22B.23C.２－3D.3－１48.圆02122=-+++ab by ax y x 与椭圆)0(1)2()2(2222>>=+++b a b b y a a x 的公共点的个数为A.0B.2C.3D.449.P 是椭圆16410022=+y x 上的点，F 1，F 2是焦点，若321π=∠PF F ，则△F 1 P F 2的面积是 A.)32(64+ B.)32(64- C.64 D.336450.下列各点中,是曲线14)2(9)1(22=++-y x 的顶点的是A.(1,-2)B.(0,-2)C.(1,-4)D.(-2,-1)51.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1,F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF PF e =，则e 的值为A.22B.33C.21D.3252.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为A.5B.6C.4D.1053.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)54.已知椭圆的方程为18222=+m y x ,焦点在x 轴上,则其焦距为A.228m -B.2m -22C.282-mD.222-m55.若椭圆11622=+m y x 的离心率为31,则m 的值是A.9128B.9128或18C.18D.3128或656.已知椭圆13422=+y x 内有一点P (1,-1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M ,使|MP |+2|MF |取得最小值,则点M 的坐标为A.(362,-1)B.)23,1(),23,1(-C.)23,1(- D.)1,362(),1,362(---57.设F 1､F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段58.椭圆171622=+y x 的左右焦点为F 1､F 2,一直线过F 1交椭圆于A ､B 两点,则△ABF 2的周长为A.32B.16C.8D.459.设α∈(0,2π),方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则α∈ A.(0,4π] B.(4π,2π4π) D.[4π,2π60.P 为椭圆12222=+b y a x 上一点,F 1､F 2为焦点,如果∠PF 1F 2=75°,∠PF 2F 1=15°,则椭圆的离心率为A.22B.23C.32D.36二、填空题1.椭圆的焦点F 1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.2.椭圆14922=+y x 上的点到直线03332=+-y x 距离的最大的值是 .3.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是A.16B.12C.14D.84.若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2+9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是__________.5.直线y =1-x 交椭圆mx 2+ny 2=1于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，若K OP ==n m则,22_______________. 6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.7.已知椭圆的准线方程是y =±9,离心率为32，则此椭圆的标准方程是_______________.8.到定点（1，0）的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点P 的轨迹方程是 .9.已知椭圆x 2+2 y 2=2的两个焦点为F 1和F 2，B 为短轴的一个端点，则△BF 1F 2的外接圆方程是______________. 10.已知点A (0，1)是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________________.11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .12.P 是椭圆162722y x +=1上的点,则点P 到直线4x +3y -25=0的距离最小值为 . 13.如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是.14.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，A （-a ,0）,B (0,b )是两个项点，如果占F 到直线AB 的距离等于7b ，则椭圆的离心率为___________.15.椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.16.椭圆122222=+ay a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是 .17.设F 1(-c ,0)､F 2(c ,0)是椭圆2222b y a x +=1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为A.23B.36C.22D.3218.椭圆131222=+y x 焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的______________.19.已知椭圆192522=+y x ,左右焦点分别为F 1､F 2,B (2,2)是其内一点,M 为椭圆上动点,则|MF 1|+|MB |的最大值与最小值分别为______________.20.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是______.21.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______.三、解答题1.已知，椭圆在x 轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距离为510-，求椭圆的标准方程.2.点M （x,y ）与定点F （c ,0）的距离和它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数a c（a >c >0），求点M 的轨迹. 3.椭圆9x 2+25 y 2=225上有一点P ，若P 到左准线的距离是2.5，求P 到右焦点的距离.4.F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点，M 是椭圆上的动点，已知点A （－2，3），当MF AM 2+取最小值时，求点M 的坐标.5.已知：椭圆13610022=+y x 上一点P 到左焦点的距离为15，则P 点到此椭圆两准线的距离分别是多少？6.设AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，F 1为左焦点.求：△A B F 1的最大面积.7.AB 是过椭圆14522=+y x 的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长8.已知椭圆中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且此焦点与长轴较近的端点的距离为510-，求椭圆方程.9.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，并且椭圆与圆x 22y +-4x -2y +025=交于A,B 两点,若线段AB的长等于圆的直径。
2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练48椭圆 Word版含解析
姓名，年级：时间：课时规范练48 椭圆基础巩固组1.已知椭圆x 23+y 24=1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，|MF 1｜—｜MF 2｜=1,则△MF 1F 2是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形 C 。
锐角三角形 D.等边三角形 2.(2019山东临沂质检，6)点A ，B分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a 〉b 〉0)的左、右顶点,F为右焦点，C 为短轴上不同于原点O 的一点，D 为OC 的中点，直线AD 与BC 交于点M ，且MF ⊥AB ，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C 。
√23D.√323.（2019福建福州八县(市）联考，7）椭圆x 225+y216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2,过F 1的一条直线与椭圆交于A ,B 两点,若△ABF 2的内切圆面积为π，且A （x 1,y 1)，B （x 2，y 2)，则｜y 1—y 2｜=（ )A.√53B 。
103C.203D.534。
已知椭圆C ：x 29+y 25=1，若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则直线l 的方程为（ )A 。
y=±12x+1 B 。
y=±13x+1 C.y=±x+1D 。
y=±23x+15。
（2019河南八市重点高中联考,9）已知F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 24=1（a>2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为4√3,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ） A 。
(0,12) B.(12,1)C.(0,√32) D 。
(√32,1)6。
(2019河北衡水中学高三模拟二,15）如图所示，A ,B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点M ,且|OF|=√2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为 .7。
2020版高考数学人教版理科一轮复习第八章 平面解析几何课时作业48 (5)
1．椭圆方程中的 a，b，c
(1)a，b，c 关系：a2＝b2＋c2.
(2)e 与ba：因为 e＝ac＝
a2－b2＝ a
1－ba2，所以离心率 e 越大，
则ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．
2．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫 作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S， 则在椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)中：
E 的方程为
x2＋32y2＝1
.
解析：(1)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由－322m＋522n＝1， 3m＋5n＝1，
解得 m＝16，n＝110. ∴椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
(2)设点 B 的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋yb22＝1，∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)． ∵AF2⊥x 轴，设点 A 在 x 轴上方，∴A( 1－b2，b2)． ∵|AF1|＝3|F1B|，∴A→F1＝3F→1B，∴(－2 1－b2，－b2)＝3(x0 ＋ 1－b2，y0)． ∴x0＝－53 1－b2，y0＝－b32. ∴点 B 的坐标为－53 1－b2，－b32.
ac＝12， 得 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1.
2022新高考一轮复习人教版 48 椭圆 作业
课时作业48 椭圆[基础达标]一、选择题1．[2021·福建省三明市第一中学周测]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．[2021·河北衡水中学一模]椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或213．[2021·江西省名校高三教学质量检测]椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 25＋y 23＝1 C.x 25＋y 22＝1D.x 25＋y 2＝1 4．[2021·云南昆明诊断]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3 5．[2021·武汉市高中毕业生学习质量检测]已知点P 在椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD →＝34PQ →，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆Γ的离心率e ＝( )A.12B.22C.32D.33二、填空题6．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]设椭圆C ：x 2100＋y 248＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点Q 在椭圆C 上，且满足|QF 1|＝23|QF 2|，则△QF 1F 2的面积为________．7．[2019·全国卷Ⅲ]设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．8．[2021·唐山市高三年级模底考试]已知直线x －3y ＋3＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若F A →＝2FC →，则该椭圆的离心率是________．三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，离心率e ＝32.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．10.[2021·湖北武汉调研]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[能力挑战]11．[2021·广州市高三年级阶段训练题]某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为( )A.1＋e 1－e r ＋2e 1－e RB.1＋e 1－e r ＋e 1－e RC.1－e 1＋e r ＋2e 1＋e RD.1－e 1＋e r ＋e 1＋eR 12．[2021·惠州市高三调研考试]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2，3]C ．[2，4]D ．[1,4]13．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若|BD |＝|DF 1|，则椭圆C 的离心率为________．课时作业481．解析：连接PF 2，由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A. 答案：A 2．解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，得5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c 2＝k －5，由c a ＝45，得k －54＋k ＝1625，得k ＝21.综上可知，选C. 答案：C3．解析：由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△F 2AB 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝45，所以a ＝5，所以椭圆E ：x 25＋y 2b 2＝1.不妨令点C 是F 1A 的中点，点A 在第一象限，因为F 1(－c,0)，所以点A 的横坐标为c ，所以c 25＋y 2b 2＝1，得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 25，所以C ⎝⎛⎭⎫0，b 225，B ⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 225.把点B 的坐标代入椭圆E的方程，得4c 25＋b 420b 2＝1，即4c 25＋b 220＝1，化简得b 2＝20－16c 2.又b 2＝5－c 2，所以20－16c 2＝5－c 2，得c 2＝1，所以b 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，所以|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.答案：A5．解析：如图，设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意有A (－x 1，－y 1)，Q (x 1，－y 1)，D ⎝⎛⎭⎫x 1，－y 12，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y 22b2＝1 ②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以k PB ＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AD ＝k AB ，所以y 14x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2，所以k P A ＝y 1x 1＝4(y 1＋y 2)x 1＋x 2.因为P A ⊥PB ，所以k P A ·k PB ＝－1，所以－4b 2a2＝－1，因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a 2＝34，又e ＝c a ∈(0,1)，所以e ＝32，故选C. 答案：C6．解析：因为|QF 1|＝23|QF 2|，|QF 1|＋|QF 2|＝20，所以|QF 1|＝8，|QF 2|＝12.又|F 1F 2|2＝4×(100－48)＝208，所以|QF 1|2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△QF 1F 2是直角三角形，所以S △QF 1F 2＝12×|QF 1|×|QF 2|＝12×8×12＝48. 答案：487．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)8．解析：因为直线x －3y ＋3＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点F ，所以F (－3，0)，则右焦点F ′(3，0)，即c ＝3，直线x －3y ＋3＝0与y 轴交于点C (0,1)，由F A →＝2FC →，知C 为AF 的中点，故A (3，2)，因为点A 在椭圆上，所以由椭圆的定义得2a ＝|AF |＋|AF ′|＝6，即a ＝3，所以e ＝c a ＝33.答案：339．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ>0，得m 2<5.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m5，x 1x 2＝4(m 2－1)5，|PQ |＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8m 52－16(m 2－1)5＝2.解得m ＝±304，满足(*)，所以m ＝±304. 10．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立．设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，得k ＝±1.所以当△AMN 的面积为103时，k ＝±1. 11．解析：设该卫星远地点离地面的距离为r ′，则由题意分析可知{a －c ＝r ＋Ra ＋c ＝r ′＋R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝r ＋r ′＋2R 2c ＝r ′－r 2，所以离心率e ＝ca ＝r ′－r r ＋r ′＋2R，解得r ′＝1＋e 1－e r ＋2e1－eR ，故选A.答案：A12．解析：解法一 由已知得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b＝2－32，∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝4|PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|，又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．故选D.解法二 依题意得2b ＝2，b ＝1.由△F 1AB 的面积为2－32得12(a －c )b ＝2－32，a －c ＝2－ 3.又a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝ 3.设点P (x 0，y 0)，其中－2≤x 0≤2，则|PF 1|＝a ＋ex 0＝2＋32x 0，|PF 2|＝a －ex 0＝2－32x 0，1|PF 1|＋1|PF 2|＝12＋32x 0＋12－32x 0＝1616－3x 20∈[1,4]，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是[1,4]，选D.解法三 依题意得2b ＝2，b ＝1.由△F 1AB 的面积为2－32得12(a －c )b ＝2－32，a －c ＝2－ 3.又a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝b 2＝1∴a ＝2，c ＝ 3.设点P (x 0，y 0)，其中－2≤x 0≤2，则|PF 1|＝a ＋ex 0＝2＋32x 0，|PF 2|＝a －ex 0＝2－32x 0，|PF 1|·|PF 2|＝4－34x 20∈[1,4]，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝4|PF 1|·|PF 2|∈[1,4]，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是[1,4]，选D.答案：D13．解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )．由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ，∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝a 2×c a ＝c2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 又点D 在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，整理得3c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝33.答案：33。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
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课时规范练48 椭圆基础巩固组1.已知椭圆=1的两个焦点F1,F2,M 是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2019山东临沂质检,6)点A,B 分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,F 为右焦点,C 为短轴上不同于原点O 的一点,D 为OC 的中点,直线AD 与BC 交于点M,且MF⊥AB,则该椭圆的离心率为( ) A.12B.13C.√23D.√323.(2019福建福州八县(市)联考,7)椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的一条直线与椭圆交于A ,B 两点,若△ABF 2的内切圆面积为π,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|y 1-y 2|=( ) A.√53B.103C.203D.534.已知椭圆C :x 29+y 25=1,若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的方程为( )A.y=±12x+1 B .y=±13x+1C.y=±x+1 D .y=±23x+15.(2019河南八市重点高中联考,9)已知F1、F2为椭圆C:=1(a>2)的左、右焦点,若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF1F2的面积为4,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A.(0,12)B.(12,1)C.(0,√32)D.(√32,1)6.(2019河北衡水中学高三模仿二,15)如图所示,A,B 是椭圆的两个极点,C 是AB 的中点,F 为椭圆的右核心,OC 的延长线交椭圆于点M,且|OF|=,若MF⊥OA,则椭圆的方程为 .7.(2019北京顺义区模仿,9)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P 是C 上的恣意一点.则|PF1|·|PF2|的最大值为 ,若A(0,4),则|AP|-|PF2|的最小值为 .综合提升组8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为√3b,则椭圆的标准方程为()A.y28+x24=1 B.x28+y24=1C.y216+x212=1 D.x216+y212=19.(2019黑龙江哈尔滨三中期末,9)已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为( )A.32B.2 C.52D.310.(2019河北省衡水中学一调,15)如图,A1,A2分别是椭圆+y2=1的左、右顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q,则= .11.已知椭圆=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB 的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为.12.(2019山西晋城高三三模,19)已知△ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程;(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k≠0)与Γ交于E,F两点,若成等差数列,求λ的值.13.(2019河南洛阳高三统考,19)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>0,b>0)经过点A-,且点F(0,-1)为其一个核心.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于两点M,N,证明:直线MN颠末一个定点,且△FMN的周长为定值.14.已知动点M(x,y)满足:√(x+1)2+y2+√(x-1)2+y2=2√2, (1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请阐明来由.创新应用组15.(2019贵州遵义模仿,20)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,点P为椭圆上一点,∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点B为椭圆的上极点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若△BMC与△BMD的面积比为2∶1,求实数m的取值范畴.参考答案课时规范练48椭圆1.B由题意|MF1|+|MF2|=4,又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1|=,|MF2|=,又|F1F2|=2c=2=2,∵22+,∴MF2⊥F1F2,∴△MF1F2是直角三角形.故选B.2.B 由题意如图,MF⊥AB,且OC⊥AB,∴MF ∥OC ,同理MF ∥OD , ∴ODMF =OAAF =aa+c ,① MF OC =FB OB =a -ca ,②①×②得到OD MF ·MFOC =aa+c ·a -c a=a -ca+c =ODOC =12,∴2(a-c )=c+a ,∴a=3c ,∴e=ca =13.故选B . 3.B∵椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,△ABF 2的内切圆的面积为π,∴△ABF 2内切圆半径r=1,S △ABF 2=12×1×(AB+AF 2+BF 2)=2a=10. ∵S △ABF 2=12|y 1-y 2|×2c=12|y 1-y 2|×2×3=10,∴|y 1-y 2|=103.故选B .4.B 设直线l 的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线l 的方程为y=kx+1.因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2x 2=-3x 1,联立{y =kx +1,x 29+y 25=1,得(5+9k 2)x 2+18kx-36=0,则{x 1+x 2=-18k5+9k 2,x 1x 2=-365+9k2,2x 2=-3x 1,解得k=±13,即所求直线方程为y=±13x+1. 5.D 设P (x 0,y 0),S △PF 1F 2=1|F 1F 2|·|y 0|=c|y 0|=4√3,则|y 0|=4√3c =√3√2,若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2=4√3,则0<|y 0|<2,即0<√3√2<2,解得a>4,故e=√a 2-4a=√1-4a 2∈(√32,1).故选D .6.x 24+y 22=1设所求的椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则A (a ,0),B (0,b ),C (a 2,b2),F (√a 2-b 2,0).依题意得√a 2-b 2=√2.因为FM 的直线方程是x=√2, 所以M (√2,ba √a 2-2).由于O ,C ,M 三点共线,得b √a 2-2a√2=b2a 2,整理得a 2-2=2,所以a 2=4,b 2=2.因此所求方程是x 24+y 22=1. 7.9 4由x 29+y 25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 2|=6-|PF 1|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 1|(6-|PF 1|)=6|PF 1|-|PF 1|2.又a-c ≤|PF 1|≤a+c , 即1≤|PF 1|≤5.∴当|PF 1|=3时,|PF 1||PF 2|取最大值,最大值为18-9=9. |AP|-|PF 2|=|AP|-(2a-|PF 1|)=|AP|+|PF 1|-6.又|AP|+|PF 1|≥|AF 1|(当且仅当P 在线段AF 1上时取等号),∴(|AP|-|PF 2|)min =|AF 1|-6=√(0+2)2+(4√6-0)2-6=4.8.B 由左焦点为F 1(-2,0),可得c=2,即a 2-b 2=4,过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y=√33(x+2),圆心(0,0)到直线的距离d=√3√3+9=1,由直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3b ,可得2√b 2-1=√3b ,解得b=2,a=2√2,则椭圆方程为x 28+y 24=1,故选B .9.C椭圆y 2a 2+x 2=1(a>1)的离心率e=2√55,可得√a 2-1a=2√55,解得a=√5,则椭圆方程为y 25+x 2=1. 设P(cos θ,sin θ),则P 与定点B(-1,0)连线间隔为,当cos θ=14时,取得最大值52.故选C .10 连接PO,PA1,可得△POA1是边长为2的等边三角形,所以∠PA1O=∠POA1=60°,可得直线PA 1的斜率k 1=tan 60°=√3,直线PO 的斜率为k 2=tan 120°=-√3. 因此,直线PA 1的方程为y=√3(x+2),直线PO 的方程为y=-√3x.设P (m ,n ),由{y =√3(x +2),y =-√3x ,解得m=-1.因为圆A 1与直线PA 2相切于点P ,所以PA 2⊥PA 1,因此∠PA 2O=90°-∠PA 1O=30°,故直线PA 2的斜率k=tan 150°=-√33,因此直线PA 2的方程为y=-√33(x-2).代入椭圆方程x 24+y 2=1,消去y 得7x 2-16x+4=0,解得x=2或x=27.因为直线PA 2交椭圆于A 2(2,0)与Q 点,设Q (s ,t ),可得s=27.由此可得|PQ ||QA 2|=x Q -x Px A 2-x Q=s -m2-s=27+12-27=34.11.4√55b 或2√55a 不妨设A 点的坐标为(x 0,y 0),则B 点坐标为(-x 0,-y 0),则y 0-b x 0×-y 0-b -x 0=-14,由于x 02a 2+y 02b 2=1,则-b 2a 2=-14,则b a=12, 不妨设M (a ,0),直线QM 方程为bx-ay-ab=0, 则P 到直线QM 的距离为d=√a 2+b =√1+(b a) =√54=4√55b=2√55a.12.解 (1)依题意,B (-1,0),C (1,0),故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4>|BC|=2,故点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),故Γ的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2).(2)依题意,2·λk =1k DE+1k DF,故2λ=kkDE+kk DF.联立{y =k (x -1),3x 2+4y 2-12=0,整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k23+4k2,x 1x 2=4k 2-123+4k2.故kkDE+kkDF=k (x 1+2)y 1+k (x 2+2)y 2=k (x 1+2)k (x 1-1)+k (x 2+2)k (x 2-1)=2+3x 1-1+3x 2-1=2+3(x 1+x 2-2)(x 1-1)(x 2-1)=2+3(x 1+x 2-2)x 1x 2-(x 1+x 2)+1=2+3(8k 23+4k 2-2)4k 2-123+4k 2-8k23+4k2+1=2+3(8k 2-6-8k 2)4k 2-12-8k 2+3+4k2=2+2=4=2λ,则λ=2.13.(1)解 根据题意可得{32a 2+2b2=1,b 2-a 2=1,可解得{a =√3,b =2,∴椭圆E 的方程为y 24+x 23=1.(2)证明 不妨设A 1(0,2),A 2(0,-2).P (x 0,4)为直线y=4上一点(x 0≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 直线PA 1方程为y=2x 0x+2,直线PA 2方程为y=6x 0x-2.点M (x 1,y 1),A 1(0,2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =2x 0x +2,可得{x 1=-6x 03+x 02,y 1=2x 02-602.点N (x 2,y 2),A 2(0,-2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =6x 0x -2,可得{x 2=18x 027+x 02,y 2=-2x 02+5402.M -6x 03+x 02,2x 02-63+x 02,N18x 027+x 02,-2x 02+5427+x 02.直线MN 的方程为y-2x 02-63+x 02=-x 02-96x 0x+6x 03+x 02,即y=-x 02-96x 0x+1.故直线MN 恒过定点B (0,1).又∵F (0,-1),B (0,1)是椭圆E 的焦点,∴△FMN 周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.14.解 (1)x 22+y 2=1.(2)存在.理由如下,当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 方程为x=-12, 此时P (-√2,0),Q (√2,0),F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,不合题意;当直线AB 不垂直于x 轴时,设存在点N -12,m (m ≠0),直线AB 的斜率为k ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·y 1-y2x 12=0,则-1+4mk=0,故k=14m,此时,直线PQ 斜率为k 1=-4m ,直线PQ 的方程为y-m=-4m x+12,即y=-4mx-m.联立{y =-4mx -m ,x 22+y 2=1消去y ,整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0,设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4).所以x 3+x 4=-16m 232m 2+1,x 3·x 4=2m 2-232m 2+1.由题意F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4=x 3·x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m )=(1+16m 2)x 3·x 4+(4m 2-1)(x 3+x 4)+1+m2=(1+16m 2)(2m 2-2)32m 2+1+(4m 2-1)(-16m 2)32m 2+1+1+m 2=19m 2-132m 2+1=0, ∴m=±√1919,∵N 在椭圆内,∴m 2<78,∴m=±√1919符合条件; 综上所述,存在两点N 符合条件,坐标为N -12,±√1919. 15.解 (1)设|PF 1|=p ,|PF 2|=q ,由题意可得,pq=2,p2+q2=12,2a==4,所以a=2,b 2=a 2-c 2=4-3=1,所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知,直线l 的斜率必存在,设为k(k≠0),设直线l 的方程为y=kx+m ,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),因为△BMC 与△BMD 的面积比为2∶1,所以|CM|=2|DM|,则有x 1=-2x 2,联立{y =kx +m ,x 2+4y 2=4,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ>0得4k 2-m 2+1>0,x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,由x 1=-2x 2可求得{x 2=8km4k 2+1,-2x 22=4m 2-44k 2+1,∴-2·64k 2m 2(4k 2+1)2=4m 2-44k 2+1.整理得4k2=1-m 29m 2-1.由k 2>0,4k 2-m 2+1>0可得1-m 29m 2-1>0,19<m 2<1, 解得13<m<1或-1<m<-13.。