第0~3周高考数学易错题练习.pdf

, M 与 N 都是集合 I = [0, 1] 的子集. 定义 b − a 为集合 [a, b] 的“长
3
2
度”, 则集合 M ∩ N 的长度的最小值为
.
36. 对于正整数的一个有限集 A(A ̸= ∅), 将 A 中每个元素 k 都乘以 (−1)k 后再相加, 所得的和称为集合 A 的
“奇偶特征值”. 例如集合 {1, 3, 6} 的“奇偶特征值”为 (−1)1 × 1 + (−1)3 × 3 + (−1)6 × 6 = 2. 已知集合
7. 已知 m > 1, 解关于 x 的不等式: mx + 1 > x + m3. 解：移项得 (m − 1)x > m3 − 1. 依题意得 m − 1 > 0, 所以 x > m3 − 1 = m2 + m + 1. m−1 又由于 m > 1, 所以 m2 + m + 1 > 3, 所以原不等式的解集为 (3, +∞).
第0周
1. 设 m、n 都为正整数, 且 m > n, 集合 A = {1, 2, 3, · · · , m}, B = {1, 2, 3, · · · , n}, 集合 C 满足：x C ⊆ A; y
B ∩C ̸= ∅. 则这样的集合 C 一共有
个.
2. “a, b 是整数”是“关于 x 的方程 x2 + ax + b = 0 有整数解”的
()
A. ab B. ab C. ab D. ab
c + d, 且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 c + d, 且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 c + d, 且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 c + d, 且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一
A. a2 + b2 为定值 C. a < 0, b < 0 且 a + b 为定值
B. a > 0, b > 0 且 a + b 为定值 D. a > 0, b < 0 且 a + b 为定值
()
27. 演练一下“凑系数”的技巧：
(1)
函数
f (x) =
2 x
+
1
9 − 2x
,
x
∈
( 0,
1 2
)
a
b
方法完成你的证明.）
25 . （请分别用“分析法”和“综合法”两种 4
24. 已知 a > 0, a2 − 2ab + c2 = 0, bc > a2, 试比较 a, b, c 的大小.
√
25. 设 a > 0, 求证：a + 1 − a
a2
+
1 a2
√ 2 − 2.
26. 使乘积 ab 没有最大值的一个充分条件是
()
A. 若 A ⊆ B, 则 fA(x) fB(x) C. fA∩B(x) = fA(x) fB(x)
B. f X A(x) = 1 − fA(x) D. fA∪B(x) = fA(x) + fB(x)
38. 已知 x, y ∈ R,
(1) 若 −2 < x < y < 3, 则 y − x 的取值范围为
32. 已知集合 A = {1, 2}, B = {2, 3}, P = {x | x A}, Q = {x | x B}, 则 P ∩ Q=
.
33.
【复旦
2009】
设
Q
是有理数集,
集合
X
=
{x
|
x
=
√ a + 2b, a, b
∈
Q, x
̸=
0}.
则下列集合中和集合
X
相等
的集合是 x {2x | x ∈ X},
47. 设 a > b > c > 0, 则 2a2 + 1 + 1 − 10ac + 25c2 的最小值是 ab a(a − b) √
48. 若 a、b、c > 0 且 a(a + b + c) + bc = 4 − 2 3, 则 2a + b + c 的最小值为
. .
49. 已知 a > b > c, 且 a + b + c = 0, 则 c 的取值范围是
20. 已知 a, b 是两个正常数, x > 0, y > 0, 且 a + b = 1, 求 x + y 的最小值.
xy
解：因为 1 = a + b
√ 2 ab , 所以 xy
4ab. 从而就有 x + y
2√xy
√ 2 4ab
=
√ 4 ab.
即
x+
y
的最小值
为
√ 4 ab.
xy
xy
请问, 上Leabharlann 解法是否成立？为什么？a2 b2
21. 设 0 < x < 1, a, b 是常数, 则 +
的最小值为
.
x 1−x
22. 已知 a, b, c ∈ R+, 且 2c > a + b. 求证： (1) c2 > ab;
√
√
(2) c − c2 − ab < a < c + c2 − ab.
( )( )
23. 已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 求证: a + 1 b + 1
.
10.
(a + 1)2 关于 x 的不等式 x−
2
(a − 1)2 与 x2 − 3(a + 1)x + 2(3a + 1) 2
a ∈ R. 求使 A ⊆ B 的 a 的取值范围.
0 的解集依次记为 A, B, 其中
11. 设 a ∈ R, 关于 x 的不等式 x2 − (2a + 1)x + a2 + a − 2 > 0 和 x2 − (a2 + a)x + a3 < 0 的解集分别为 A 和 B.
.
30. 已知不等式 x2 + (t − 4)x + (4 − 2t) > 0 对满足 t ∈ (−1, 1) 的所有 t 都成立, 求 x 的取值范围.
31. 已知函数 f (x) = 2x + a · 2−x, 其中 a 为常数. 若存在 x ∈ [0, 1], 使得 f (2x) > [ f (x)]2 成立, 求实数 a 的取值 范围.
M = {x | 1 x 10, x ∈ N∗}, 则集合 M 的所有非空子集的“奇偶特征值”的总和为
.
37. 定义全集 X 的子集 A
1, X 的特征函数为 fA(x) = 0,
x∈A , 其中 X A 表示 A 在 X 中的补集, 那么对
x ∈ XA
集合 A, B X, x ∈ X, 下列命题中不正确的是
. （请分别用“根的分布”和
5.
已知三个不等式：
ab
>
0;

c −
>
−d;

bc
<
ad.
以其中两个为条件,
余下一个作为结论,
可以组
ab
成
个真命题, 并写出这些真命题.
6. 已知 xy ̸= 0, 比较 (x2 + y2)3 与 (x3 + y3)2 的大小. （这道题的解法有很多, 请至少用两种方法. ）
.
|x + 1| a 16. 已知 a > 0, 解关于 x 的不等式组: |x − 2| a . （请使用两种方法来解. ）
17. 若 2 |x − 1| + |x − a| 2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围为
.
18. 解下列不等式: (1) (x + 1)2(3x − 1)3(6x + 5) 0; (3) (x + 1)2(3x − 1)3(6x + 5) < 0;
其中 m ∈ R, 则实数 c 的值为
.
−x + 1, x < 0
43. 函数 f (x) = x − 1,
, 则不等式 x + (x + 1) f (x + 1) 1 的解集是 x0
.
44.
已知关于
x
的不等式
ax − 5 x2 − a
<
0
的解集为
M.
若
3
∈
M
且
5
∈/
M,
则实数
a
的取值范围为
.
·3·
(2) (3x − 1)3(6x + 5) 0; (4) (3x − 1)3(6x + 5) < 0.
19. 某厂产量第二年增长率为 a, 第三年增长率为 b(a ̸= b), 这两年的平均增长率为 x, 则
()
A. x a + b 2
B. x > a + b 2
C. x a + b 2
D. x < a + b 2
(1) 若 A ∩ B = ∅, 求 a 的取值范围. (2) 是否存在实数 a, 使 A ∪ B = R？如果存在, 求出 a 的值; 如果不存在, 说明理由.
12. 若关于 x 的不等式 (m − 1)x2 + (m − 1)x + 3 − m < 0 的解集为 ∅, 求实数 m 的取值范围. 13. 已知函数 f (x) = ax2 + bx + c 的图像经过点 (−1, 0), 是否存在实常数 a, b, c, 使不等式 x f (x) x2 + 1