陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案
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九年级上册数学：21.2.4一元二次方程根与系数的关系
池河中学2020-2020度第一学期教学设计授课时间教学重点一元二次方程的根与系数的关系的推导。
一、复习引入1. 复习一元二次方程一般形式及求根公式。
2. 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？(出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题)二、探究新知1.思考：问题1：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？问题2：填表，观察、猜想（见课件）问题3：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；(学生自主完成表格，观察、讨论找规律，教师适时点拨，分析总结得到结论.)2.验证一元二次方程根与系数的关系一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根的和、积与系数之间有第上述关系吗？(出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论)3.例题示范：求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.○1x2-3x+1=0；○23x2-2x=2; ③2x2-3x=0(学生说，教师写，规范板书)三、课堂训练1.完成课本P16练习2.《学案》P15跟踪训练1(学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正)四、小结归纳回顾本节所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.我们是如何得到根与系数的关系的？(学生归纳，总结阐述，体会，反思.)五、当堂检测《学案》P16: 〈巩固训练〉1——5.六、课堂作业A：课本17页第7题、第10题创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
通过思考问题，让学生知道二次项系数为的一元二次方程的根与系数关系，续研究做铺垫。
B：课本17页第7题、第9题。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 人教版数学九年级上册
也可以把 x=2 代入方程，求得 q=8，再解 x2 － 6x+8=0，求得另一个根为4.
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
感悟新知
知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
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知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
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知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 说课稿
人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章是关于一元二次方程的内容，而21.2.4节主要介绍了一元二次方程的根与系数的关系。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的，目的是让学生能够运用根与系数的关系来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于解方程、求根等概念已经有了初步的理解。
但学生在学习这一部分内容时，可能会觉得比较抽象，难以理解根与系数之间的关系。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过实际例子来理解并掌握这一概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，能够运用这一关系来求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索并发现根与系数之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握根与系数之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对一元二次方程的根与系数之间关系的思考。
2.自主探索：学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索一元二次方程的根与系数之间的关系。
3.讲解与演示：教师通过多媒体课件、教学卡片等手段，对根与系数之间的关系进行讲解和演示。
4.实践练习：学生分组进行练习，运用根与系数的关系来求解一元二次方程。
5.总结与反思：学生对所学内容进行总结，教师进行点评和总结。
七. 说板书设计板书设计应突出一元二次方程的根与系数之间的关系，可以使用流程图、等形式进行设计。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习效果、学习态度、合作能力等方面进行评价。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系2
No x1,x2。1、给出下列几组一元二次方程的解，你能写出这个一元二次方程吗。例、已知方程x2-
(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,。求它的另一个根及k的值。（3）
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12/11/2021
第二十一页，共二十一页。
探究：求一个(yī ɡè)一元二次方程，使它的 两个根分别为
①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
①(x-2)(x-3)=0 ②(x+4)(x-7)=0
x2-5x+6=0 x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0
x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0
x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程(fāngchéng)的过程中你发现根
系
x1 x2
x1 • x2
b a
3 4 3
与系数 之间关
系 c
a
4
x25x60 2 3 5 6 5 6
2x23x10
1 2
1
3 2
1
3
2
2
1 2
猜想 ： (cāix如iǎng果) (rúguǒ)一元二次方程a2x b xc0(a0) 的两个根 分别是 x 1, x，2那么，你可以发现什么结论？
2021/12/11
第五页，共二十一页。
已知：如果(rúguǒ)一元二次方程a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 , 。x 2
x x 求证 ： (qiúzhèng) 12
b a
x1
•
x2
c a
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第六页，共二十一页。
推导 : (tuīdǎo)
(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,。求它的另一个根及k的值。（3）
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12/11/2021
第二十一页，共二十一页。
探究：求一个(yī ɡè)一元二次方程，使它的 两个根分别为
①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
①(x-2)(x-3)=0 ②(x+4)(x-7)=0
x2-5x+6=0 x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0
x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0
x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程(fāngchéng)的过程中你发现根
系
x1 x2
x1 • x2
b a
3 4 3
与系数 之间关
系 c
a
4
x25x60 2 3 5 6 5 6
2x23x10
1 2
1
3 2
1
3
2
2
1 2
猜想 ： (cāix如iǎng果) (rúguǒ)一元二次方程a2x b xc0(a0) 的两个根 分别是 x 1, x，2那么，你可以发现什么结论？
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第五页，共二十一页。
已知：如果(rúguǒ)一元二次方程a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 , 。x 2
x x 求证 ： (qiúzhèng) 12
b a
x1
•
x2
c a
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推导 : (tuīdǎo)
九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
No x2＋2x－5＝0的两个实数(shìshù)根，。则m2－mn＋3m＋n＝____．。∵2x1x2＋x1＋x2≥20，。＝4k2－8k＋8。
综上所述，无论k为何值，方程总有实数(shìshù)根．
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12/11/2021
第十五页，共十五页。
(1)求m的取值范围；
【解】 根据(gēnjù)题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，
解得m≤4.
(2)如果方程的两个(liǎnɡ ɡè)实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围． 【解】 根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
∵2x1x2＋x1＋x2≥20，
∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3， ∵m≤4， ∴m的取值范围为3≤m≤4.
【证明】 当k＝1时，原方程(fāngchéng)可化为2x＋2＝0， 解得x＝－1，此时该方程有实数根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2
＝4k2－8k＋8
＝4(k－1)2＋4＞0，
∴无论(wúlùn)k为何值，方程总有实数根， 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根．
＝－1.
2021/12/11
第十一页，共十五页。
12．设 x1，x2 是方程 x2－x－2 016＝0 的两个实数根，求 x13＋2 017x2－2 016 的值．
2021/12/11
第十二页，共十五页。
13．(鄂州)关于(guānyú)x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
【解】 ∵a是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的根，
∴a2＋a－2017＝0，
即a2＋a＝2017. ∵a，b是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的两个实数根，
综上所述，无论k为何值，方程总有实数(shìshù)根．
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第十五页，共十五页。
(1)求m的取值范围；
【解】 根据(gēnjù)题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，
解得m≤4.
(2)如果方程的两个(liǎnɡ ɡè)实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围． 【解】 根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
∵2x1x2＋x1＋x2≥20，
∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3， ∵m≤4， ∴m的取值范围为3≤m≤4.
【证明】 当k＝1时，原方程(fāngchéng)可化为2x＋2＝0， 解得x＝－1，此时该方程有实数根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2
＝4k2－8k＋8
＝4(k－1)2＋4＞0，
∴无论(wúlùn)k为何值，方程总有实数根， 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根．
＝－1.
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12．设 x1，x2 是方程 x2－x－2 016＝0 的两个实数根，求 x13＋2 017x2－2 016 的值．
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第十二页，共十五页。
13．(鄂州)关于(guānyú)x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
【解】 ∵a是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的根，
∴a2＋a－2017＝0，
即a2＋a＝2017. ∵a，b是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的两个实数根，
新人教版九年级上册初中数学 21-2-4 一元二次方程的根与系数的关系 教学课件
解：设共有x个队参加了比赛.
依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去). 答：共有10个队参加了比赛.
第十九页，共二十一页。
当堂小练
5.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和． 解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2)， 依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14， ∴x+2=14或 x+2=-12， ∴x+(x+2)=±26． 答：这两个偶数的和为±26．
2.不解方程的情况下利用一元二次方程的根与
系数的关系解决问题.
（重点）
第二页，共二十一页。
新课导入
知识回顾
1. 写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2. 一元二次方程求根公式.
x1,2 b
b2 4ac 2a
第三页，共二十一页。
新课导入
课时导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
解： －15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
第十二页，共二十一页。
新课讲解
第十三页，共二十一页。
新课讲解
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 例 2 已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值． 导引：利用两根之和与积求解
第十四页，共二十一页。
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
第五页，共二十一页。
新课讲解
【思考2】
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是
1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?
第六页，共二十一页。
依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去). 答：共有10个队参加了比赛.
第十九页，共二十一页。
当堂小练
5.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和． 解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2)， 依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14， ∴x+2=14或 x+2=-12， ∴x+(x+2)=±26． 答：这两个偶数的和为±26．
2.不解方程的情况下利用一元二次方程的根与
系数的关系解决问题.
（重点）
第二页，共二十一页。
新课导入
知识回顾
1. 写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2. 一元二次方程求根公式.
x1,2 b
b2 4ac 2a
第三页，共二十一页。
新课导入
课时导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
解： －15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
第十二页，共二十一页。
新课讲解
第十三页，共二十一页。
新课讲解
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 例 2 已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值． 导引：利用两根之和与积求解
第十四页，共二十一页。
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
第五页，共二十一页。
新课讲解
【思考2】
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是
1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?
第六页，共二十一页。
人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程4 一元二次方程的根与系数的关系
系数的值或取值范围.
教师讲评
(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂,则
①当Δ≥0且x₁x₂>0时，两根同号.
当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂>0时，两根同为正数；
当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂<0时，两根同为负数.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之
和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数
；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
教师讲评
知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用（难点）
（1）验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数
*21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
1.通过阅读课本学生可以掌握一元二次方程根与系数的关
系，提高学生解决问题的能力.
2.通过自主探究经历探索一元二次方程根与系数的关系 的
过程，发展学生的逻辑推理和数学运算能力.
3.通过对根与系数之间关系的探究，体会事物之间的联系，
发展学生归纳和推理论证的能力.
今天我们学习了哪些重要的知识呢？
1.根与系数的关系;
2.与方程根有关的常见变形.
【教材习题】完成课本16页练习.
【作业本作业】完成 相应练习.
【实践性作业】请你制作一个矩形，要求：矩形的长、宽分
别为方程2x2-8x+7=0的两根之和、两根之积.
+
=
− ；
+ + | ⋅ | =
教师讲评
(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂,则
①当Δ≥0且x₁x₂>0时，两根同号.
当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂>0时，两根同为正数；
当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂<0时，两根同为负数.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之
和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数
；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
教师讲评
知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用（难点）
（1）验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数
*21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
1.通过阅读课本学生可以掌握一元二次方程根与系数的关
系，提高学生解决问题的能力.
2.通过自主探究经历探索一元二次方程根与系数的关系 的
过程，发展学生的逻辑推理和数学运算能力.
3.通过对根与系数之间关系的探究，体会事物之间的联系，
发展学生归纳和推理论证的能力.
今天我们学习了哪些重要的知识呢？
1.根与系数的关系;
2.与方程根有关的常见变形.
【教材习题】完成课本16页练习.
【作业本作业】完成 相应练习.
【实践性作业】请你制作一个矩形，要求：矩形的长、宽分
别为方程2x2-8x+7=0的两根之和、两根之积.
+
=
− ；
+ + | ⋅ | =
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
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21.2.4 一元二次方程的根与系数关系
知道一元二次方程的根与系数的关系， 学习运用一元二次方程的根与系数关系解决 实际问题. 一、教材分析
已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关 系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。 二、学情分析
1.知道一元二次方程的根与系数关系. 三、教学目标 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
2 2 2 2 2 2 2 2
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号， 6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的限制. ○ 三、课堂训练 四、小结归纳 本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： 1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○ 2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○ 3 由给出 的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○ 4 判断两个根的符号；○ 5 不解方程求含有方程的两根的式子的值. ○ 1.完成课本练习 2.补充练习：
一元二 次方程的根与系数关系 重点 四、 教学重点难点 对根与系数关系的理解和推导 难点
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一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰出数学家 韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1） （x-x2）=0 化为一般形式 x -( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x +px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实 数根，则一次项系数等 于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x +3x+2=0； x +2x-3=0; x -6x+5=0; x -6x-15=0 3. 方程 2x -3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通 过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 4.一般的一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积 与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 五、 教学过程设计 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个 根 x1 、x2 和系数 a，b， c 的关系 ，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的 根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之 积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到， 根与系数的 关系由求根公式得 到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间 都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. 1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○ 2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x ○ 6.拓展练习 1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 b= ○ 2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1， ○ 则另一个根是 ,c= . .
2 1 1 1 ； x1 ， x2 是方程 3x -2x-4=0 的两根， 利用根与系数的关系求下列各式的值： ○ x1 x 2
六、 练习及检测题
2 x2 x12 x1 x2 2 ○ 3 x12 x2 2 ； ○ 5 x2 x1 ○ x1 x2 必做：P17 ：7
4 x1 x2 2 ； ○
七、作业设计
选做： 补充作业： 已知一元二次方程 x +3x+1=0 的两个根是 、 ， 求
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的值.
3
4
2 2 2 2 2 2 2 2
,k 的值是
3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数 ， 则 p= ○ 互为倒数，则 q= .
; 若两个根
分析： 方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系 数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次
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项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得 方程的一次项系数 和常数项. 4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) ○ A.4x +21x+5=0 B.6x -13x-5=0 C.7x -12x+5=0 D.2x +15x-8=0 5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） ○ A.4x -3=0 B.-3x +5x-4=0 C.0.5x -4x-3=0 D.2x + 3 5 x- 6 =0 6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m ○ 方程有两个负根；当 m 时方程有两个正根；当 m 时
知道一元二次方程的根与系数的关系， 学习运用一元二次方程的根与系数关系解决 实际问题. 一、教材分析
已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关 系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。 二、学情分析
1.知道一元二次方程的根与系数关系. 三、教学目标 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
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时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号， 6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的限制. ○ 三、课堂训练 四、小结归纳 本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： 1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○ 2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○ 3 由给出 的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○ 4 判断两个根的符号；○ 5 不解方程求含有方程的两根的式子的值. ○ 1.完成课本练习 2.补充练习：
一元二 次方程的根与系数关系 重点 四、 教学重点难点 对根与系数关系的理解和推导 难点
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一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰出数学家 韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1） （x-x2）=0 化为一般形式 x -( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x +px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实 数根，则一次项系数等 于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x +3x+2=0； x +2x-3=0; x -6x+5=0; x -6x-15=0 3. 方程 2x -3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通 过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 4.一般的一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积 与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 五、 教学过程设计 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个 根 x1 、x2 和系数 a，b， c 的关系 ，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的 根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之 积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到， 根与系数的 关系由求根公式得 到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间 都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. 1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○ 2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x ○ 6.拓展练习 1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 b= ○ 2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1， ○ 则另一个根是 ,c= . .
2 1 1 1 ； x1 ， x2 是方程 3x -2x-4=0 的两根， 利用根与系数的关系求下列各式的值： ○ x1 x 2
六、 练习及检测题
2 x2 x12 x1 x2 2 ○ 3 x12 x2 2 ； ○ 5 x2 x1 ○ x1 x2 必做：P17 ：7
4 x1 x2 2 ； ○
七、作业设计
选做： 补充作业： 已知一元二次方程 x +3x+1=0 的两个根是 、 ， 求
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的值.
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,k 的值是
3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数 ， 则 p= ○ 互为倒数，则 q= .
; 若两个根
分析： 方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系 数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次
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项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得 方程的一次项系数 和常数项. 4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) ○ A.4x +21x+5=0 B.6x -13x-5=0 C.7x -12x+5=0 D.2x +15x-8=0 5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） ○ A.4x -3=0 B.-3x +5x-4=0 C.0.5x -4x-3=0 D.2x + 3 5 x- 6 =0 6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m ○ 方程有两个负根；当 m 时方程有两个正根；当 m 时