重积分强化习题
§-9-重积分习题与答案(2021年整理精品文档)
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第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y102,______________________________________________（2)()=⎰⎰dx y x f dy yy222,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y10,_______________________________________________(4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 11122,___________________________________________（5）()=⎰⎰dy y x f dx e x1ln 0,______________________________________________（6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y44214,________________________________________2)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的值则 。
重积分习题word版
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将 化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将 化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及 所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由 所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
重积分习题三
重积分习题三1、试求函数f(x,y)=xy2在区域D：0≤x≤1,0≤y≤1上的平均值。
2、计算二次积分3、计算二次积分4、计算二次积分5、计算二次积分6、计算二次积分7、计算二次积分8、计算二次积分9、计算二次积分10、计算二次积分11、计算二次积分12、计算二重积分其中D：|x|≤2,|y|≤1.13、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.14、计算二重积分其中D：0≤x≤a0≤y≤b.15、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.16、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.17、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.18、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,0≤y≤2.19、计算二重积分其中D：0≤x≤2,－1≤y≤1.20、计算二重积分其中D：0≤x≤π,0≤y≤.21、计算二重积分其中D：－1≤x≤3,0≤y≤2.22、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤4.23、计算二重积分其中24、计算二重积分其中D：|x|≤π,|y|≤1.25、计算二重积分其中D：|x|≤3,|y|≤1.26、计算二重积分其中D：|x|≤1,0≤y≤1.27、计算二重积分其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。
28、计算二重积分其中D：0≤x≤1,－1≤y≤0.29、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x,0≤x≤π.30、计算二重积分其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。
31、计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。
32、计算二重积分其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.33、计算二重积分其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。
34、计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。
35、计算二重积分其中36、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,1≤y≤1.37、计算二重积分其中D：|x|≤π,0≤y≤1.38、计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
高数重积分总习题
重积分总复习题一 判 断1.若(,)f x y 在D 上的二重积分存在，则必定有(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰（ ）2.111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰. （ ）二 填空题1.改换二次积分的积分次序⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(= .2.化2220)adx x y dy +⎰为极坐标形式下的二次积分为 .3.将极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分21(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⋅=⎰⎰ ___________________4.二次积分2xdx f dy ⎰的极坐标形式的二次积分为 .5.交换二次积分201111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰的积分次序为 .三 选择题1.设区域D ：221x y +≤，f 是域D 上的连续函数，则22()Df xy dxdy +=⎰⎰（ ）A.12()rf r dr π⎰B .104()rf r dr π⎰ C.122()rf r dr π⎰ D.04()rrf r dr π⎰2.设4(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，交换积分次序，得（ ）A.24104(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ B.21440(,)y ydy f x y dx -⎰⎰C.44104(,)dy f x y dx ⎰⎰ D.20144(,)y y dy f x y dx ⎰⎰3.设积分区域D 由x 轴，y 轴及直线1x y +=围成，则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分后为（ ）.A.10dx ⎰1(,)0x f x y dy -⎰. B.10x dy -⎰1(,)0f x y dx ⎰. C.10dx ⎰1(,)0f x y dy ⎰.D.10dy ⎰1(,)0f x y dx ⎰.4.),(z y x f =在有界闭区域D 上连续是二重积分σd ),(D⎰⎰y x f 存在的（ ）条件。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
考研数学三重积分练习
习题9 三重积分一、填空题1、若{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则d z v Ω⎰⎰⎰= 。
2、d z v Ω⎰⎰⎰＝ ，其中222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥3、曲面z =被1z =截下部分的面积为 。
4、曲面22z x y =+被1z =截下部分的体积为 。
5、锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积为 。
二、解答题1、I=d x v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=与三个坐标平面所围的闭区域。
2、()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 其中Ω：由平面1x y z ++=及三坐标面所围成的区域。
3、I=22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++= 所围成的闭区域。
4、I＝⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，其中Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
5、⎰⎰⎰Ω++dvzyx)(222，Ω＝｛2224,0x y z z++≤≥｝。
6、⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
7、⎰⎰⎰Ω++dvzyx222，Ω是由球面zzyx2222=++所围成的闭区域。
8、求函数22y x z +=在区域D ：x 4y x x 222≤+≤上与z=0所围成的体积。
9、求由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体的体积。
10、在由椭圆1422≤+y x 绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
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Dz
y
x
5. 其中 F(t ) =
求lim
1
∫∫∫
f ( x2 + y2 + z2 ) d x d y d z
t →0π t
F(t )， 4
x2 + y2 +z2 ≤ t 2
解: 在球坐标系下
= 4π ∫ f (r) r 2 d r 0 F(0) = 0 利用洛必达法则与导数定义,得 2 f (t)− f (0) 4π f (t) t F(t ) = lim = f ′(0) lim 4 = lim 3 t →0 4 t t −0 t →0 π t t →0 π
二重积分练习题答案
1. 设
1 1 0 x
y
且
求 I = d x f (x) f ( y) dy. ∫ ∫ 提示: 提示 交换积分顺序后, x , y互换
1 y
y=x
ox
1
1 x
I = ∫ d y∫ f (x) f ( y) d x = ∫ d x
0 0 0
1
y
∴ 2I = ∫ d x∫ f (x) f ( y) dy + ∫ d x
0 a
a
o
+∫
2a
2a x
+∫ dy
0
a
a
dy
3.计算
2 2
∫∫D
(x2 + y2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x2 + y2 = 2y,
x + y = 4y 及直线 x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4 2 2 解： x + y = 2y ⇒r = 2sinθ
= ∫ d x ∫ f (x) f ( y) dy= ∫ f (x) d x∫ f ( y) d y = A2
0 0 0 0
0 1 x 1 0 1
1
1
1
1
2. 给定 改变积分的次序. y2 解： y = 2ax ⇒ x = 2a
y 2a
y = 2ax − x2
⇒ x = a ± a2 − y2
原式 = ∫ d y
0 ≤ r ≤ R cosθ D: π − 2 ≤θ ≤ π 2
原式
y
r = R cosθ
o
D
Rx
2 3 π 3 2 = R ∫ (1− sin θ ) dθ 0 3
6. 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I = ∫∫ (x + xye
2 D
x2 + y2
) dxdy , 其中:
t
其中
1 2 Ω由z = (x + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: 利用对称性
z
4 1 o
1 2 2 = ∫∫∫ ( x + y ) d x d y d z 2 Ω 1 4 2 2 = ∫ d z∫∫ ( x + y ) d x d y Dz 2 1 2π 2z 3 1 4 π = ∫ d z∫ dθ ∫ r d r = 21 0 0 2 1
x2 + y2 = 4y ⇒r = 4sinθ
y − 3x = 0 ⇒θ2 =
x − 3y = 0 ⇒θ1 =
2 2
π
3
π
6
2
π
3
o
∴∫∫ (x + y ) d x d y = ∫π dθ
D
6
∫
4sinθ 2 r ⋅ r dr 2sinθ
= 15( − 3) 2
π
x
4. 计算二重积分
其中D 为圆周 提示: 提示 利用极坐标 所围成的闭区域.
− 1− x2 − z 2 ≤ y ≤ 1
− 1− x ≤ z ≤ − 1− x
2 2
−1 ≤ x ≤ 1
I=
−1
∫
1
1− x 2
1− x2 d x
∫
− 1− x 2
dz
∫
1
− 1− x 2 − z 2
28 yd y = 45
思考: 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?
3. 设Ω由锥面 所围成 , 计算 提示: 提示
围成 .
x2 + y2
解: (1) 利用对称性.
I = ∫∫ x d x d y + ∫∫ xye
2 D
D
d xd y
1 = ∫∫ ( x2 + y2 ) dxdy + 0 2 D 1 3 π 1 2π = ∫ dθ ∫ r d r = 0 4 2 0
y
D
o
1x
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结束
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y = −x,将D 分为 D1, D2 , 利用对称性 , 得
和球面
z 2
π
4
I = ∫∫∫ (x2 + y2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz) dv
Ω
利用对称性
= ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 ) dv
Ω
o x
y
用球坐标
=∫
2π
0
d θ ∫ sinϕ dϕ ∫
4 0
π
2 4 r dr 0
64 2 )π = ( 1− 5 2
4. 计算
所围成.
分析： 分析：若用“先二后一”, 则有
I = ∫ y d y ∫∫
−1
0
Dy
1− x d x d z
2
+ ∫ y d y ∫∫
0
1
Dy
1− x d x d z
2
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
解： Ω由 y = − 1 − x 2 − z 2 , x 2 + z 2 = 1, y = 1 所围,故可 表为
F(t )，
x2 + y2 +z2 ≤ t 2
三重积分练习题答案
1. 计算三重积分
∫∫∫ zdxdydz
Ω
，其中 Ω
为三个坐标面及平面 解：
x + y + z = 1 所围成的闭区域.
1
z
zdxdydz = ∫0 zdz ∫∫ dxdy, ∫∫∫
Ω
Dz
1
Dz = {( x, y ) | x + y ≤ 1 − z}
2 2
4. 计算二重积分
其中D 为圆周 所围成的闭区域.
5.证明: dy∫ 证明: 证明 ∫
0
a
y m(a−x) a e f (x)dx = (a − x)em(a−x) f (x)dx 0 0
∫
6. 计算二重积分 I = ∫∫ (x + xye
2 D
x2 + y2
) dxdy , 其中 其中:
(1) D为圆域 为圆域 (2) D由直线 由直线 7. 计算积分 围成 . 其中D 其中 由 所围成 . 8. 证明
y2 = 2x
x
∫∫D
(x + y) dσ = ∫∫ (x + y) dσ − ∫∫D (x + y) dσ
D2
1
= ∫ dy ∫y2
−6
2
4
12− y
(x + y) d x −
∫−4
2
dy ∫y2 (x + y) d x
2
4− y
11 =L= 543 15
8.
证明
证:左端 = ∫ f (x) dx∫ f ( y) dy = ∫∫ f (x) f ( y) dxdy
∫
= (b − a)∫
b 2 f (x)dx a
= 右端
2ab ≤ a2 + b2
三重积分练习题
1. 计算三重积分 2. 设Ω由锥面 所围成 , 计算 3. 计算
Ω
∫∫∫ zdxdydz
Ω
，其中 Ω
为三个坐标面及平面
x + y + z = 1 所围成的闭区域.
和球面
I = ∫∫∫ y 1 − x 2 d x d y d z , 其中 Ω 由
重积分 强化练习
二重积分练习题
1.设 1.设
1 1
且
求 I = ∫0 d x∫x f (x) f ( y) dy. 2.改变积分的次序 改变积分的次序. 2.改变积分的次序. 3.计算 3.计算 ∫∫D (x + y ) d x d y, 其中D 为由圆 x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 4y及直线 x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域. 平面闭区域.
所围成.
y = − 1− x2 − z 2 , x2 + z 2 = 1 , y = 1
4. 计算
1 2 其中 Ω由z = (x + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
5. 其中 F(t ) =
求lim
1
4
∫∫∫
f ( x2 + y2 + z2 ) d x d y d z
t →0π t
1 1 2 原式 = z ⋅ (1 − z ) dz = ∫0 2 24
1
1 ∫∫ dxdy = 2 (1 − z )(1 − z ) Dz
o
1
y
x
1
2. 计算
I = ∫∫∫ y 1 − x d x d y d z , 其中 Ω 由
2 Ω
y = − 1− x2 − z 2 , x2 + z 2 = 1 , y = 1