重积分例题 (2)
重积分典型例题
重积分典型例题
例 1 在下列积分中改变累次积分的次序： (1) 解 (2) 解
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy ， ( a < b ) ；
a
x
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy = ò dy ò f ( x , y ) dx ．
a a y 2 ax 2 ax - x 2 2 ax 2 ax - x 2
òò ( x - a )( y - b ) dxdy £ òò | x - a | | y - b | dxd y £ òò
D D
| x - a || y - b | dxdy
[ a ,b ]´[ c , d }
= ò | x - a | dx × ò | y - b | dy
a c b =æ - x ) dx + ò ( x - a ) dx ö ç òa (a ÷× a è ø
2 2
f ( x , y ) dx + ò dy ò x , y ) dy ． y f (
2
2 a
2 a
a
2 a
例 2 计算下列重积分：
(1)
òò xy dxdy ，D 为抛物线 y
D p 2 òò xy dxdy = ò 2 xdx ò 0 D p 4 p 2 p 2 7 p 5 2 2 = × x 0 = ． 3 7 21 2 px - 2 px
解
令 x = ar cos q ， y = br sin q ，则 0 £ q £ 2 p ， 0 £ r £ 1 ，
¶ ( x, y ) = abr ．有 ¶ ( r , q )
§-9-重积分习题与答案(2021年整理精品文档)
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第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y102,______________________________________________（2)()=⎰⎰dx y x f dy yy222,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y10,_______________________________________________(4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 11122,___________________________________________（5）()=⎰⎰dy y x f dx e x1ln 0,______________________________________________（6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y44214,________________________________________2)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的值则 。
概率论 二重积分的计算(二)
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）
高等数学 重积分 (9.1.2)--重积分的概念与性质
习题 9.11. 利用二重积分的几何意义，求下列积分的值.(1) d Dh σ⎰⎰，其中h 为常数，D 为圆形闭区域221x y +≤;(2) Dσ，其中D 为圆形闭区域221x y +≤;(3) Dσ，其中[0,4][0,3]D =⨯.2. 用重积分表示下列物理量.(1) 位于xOy 平面上，占有闭区域D ，电荷连续分布(面密度为(,)x y μ)的带电薄板上的全部电荷Q ;(2) 铅直浸没于水中，占有xOy 平面上闭区域D (其中x 轴铅直向下, y 轴位于水平面上)的薄板一侧所受到的水压力F ;(3) 半径为R 的非均匀球体(其上任一点的密度与球心到该点的距离成正比)的质量m .3. 利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小.(1) 21()d D I x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰.(a) D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成的闭区域； (b) D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成的闭区域.(2) 1e d xy D I σ=⎰⎰与22e d xy D I σ=⎰⎰.(a) D 是矩形区域01x ≤≤，01y ≤≤;(b) D 是矩形区域10x -≤≤，01y ≤≤.(3) 21sin ()d D I x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域.4. 利用二重积分性质, 估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰，其中(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin()d DI x y σ=+⎰⎰, 其中()22π3π,|44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭; (3) d ln(4)DI x y σ=++⎰⎰，其中(){},|04,08D x y x y =≤≤≤≤; (4) 22e d xy D I σ+=⎰⎰，其中()221,|4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭. 5. 设函数(,)f x y 在区域D 内连续, 又{}22200(,)()()r D x y x x y y r =-+-≤, 其中00(,)x y 是D 的一个内点. 试求极限201lim (,)d πrr D f x y r σ+→⎰⎰. 6. 设函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续且非负. 证明(1) 若(,)f x y 不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰;(2) 若(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，则(,)0f x y ≡.。
重积分习题word版
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将 化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将 化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及 所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由 所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
高等数学(2)第11章重积分典型例题解析
高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222= 。
（其中{}222),(Ry x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10交换积分次序后，得到的积分为 。
（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是 。
解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。
应该填写：332R π。
（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。
应该填写：⎰⎰y yx y x f y 2d ),(d 10。
（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰2011。
应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择 （1）二重积分xx y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（ ）。
A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y221+=所围的体积是（ ）。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
重积分练习题答案
重积分部份练习题1．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。
2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。
(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。
3．设()y x f ,持续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。
4．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为持续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()50lim t t F t →。
5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部份的曲面面积。
6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部份面积最大?7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。
8.计算以下二重积分:(1)24212sinsin 22xx x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;(2) ⎰⎰--=Dd y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.（3）计算2||,:11,01Dy x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D d y f x x f y y x I σ221,其中(){}222,D x y x y R =+≤。
9. 求极限4/2/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .10. 设Ω是曲面与 所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。
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一般的本科教材中都末具体给出,但在计算积分中经常用到,现补充如下:
结论1:如果积分区域 关于 对称, 则
结论2:如果积分区域 关于 轴对称, 则
结论3:如果积分区域 关于坐标原点 对称,则
其中
结论4:如果积分区域 关于直线 对称,则
三重积分的对称性,由教师自己给出。
二、补充例题
, 所围区域。
解:旋转面方程为 ,积分区域
注:本题若采用先一后二法,将较麻烦！
例7设函数 连续, ,其中
,试求 与
解: 在 平面上投影 为圆 ,于就是
当 时有:
当 时有:
且 时,有 ,所以
从而
例8求曲面 在点 的切平面与曲面 所围立体的体积
解:不难想象,该立体的上、下底曲面一个就是曲面 的一块,一个就是切平面的一块,首先确定立体在 平面上投影区域
由于切平面的法向量就是 ,切平面方程:
,即
从而切平面与曲面 的交线就是 ,消去 ,可得投影 ,注意到在 上, ,所以
例9设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 取何值
时, 在定球面内部的那部分 的面积最大?
解:可设 的方程为 ,从而两球面的交线就是
,于就是 的方程为
在 在投影为
的面积为
,得驻点 ,
,
而
因此球体 的重心位置为 。
解法2:设所考虑的球体为 ,球心为 ,以定点 为原点,射线 为正 轴建立直角坐标系,则球面方程为: 。
设 的重心位置为 ,由对称性得: , ,
而
故 ,因此球体 的重心位置为 。
三、练习题
1．计算 ,其中区域 就是由抛物线 及直线 所围成的区域
2．计算 ,其中 就是由 所确定的区域
例1.利用二重积分性质,估计积分
的值,其中 就是图形区域:
解法1、首先求 在 上的最小值 与最大值
由于 , ,令 , 得驻点 ,
的边界 ,此时
, ,
,
解法２:由积分中值定理,在 上至少 ,使
其中 ,且 ( )
例2求 ,其中
解:如图,曲线 把区域 分为 与 ,其中 , ;
例3证明 ( 连续)
证:左端= , ,作出积分域交换积分顺序,
第10章重积分
一、内容分析与教学建议
重积分与定积分一样,都就是来自实践中非均匀求与的需要,各种积分就是不同维数空间
的具体表现,因此教学中要从实例引出概念,且重点讲透二重积分概念与计算,避免平均使用力量
（一）重积分概念及性质
关于重积分的概念,可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例,在回顾定积分定义的基础上,通过分割、近似、求与、取极限来建立,至于性质的证明,可略讲。
3．计算 ,其中 为正方形区域:
4．更换积分次序
① ②
５、计算由平面 及 所围成的立体的体积
6、用二重积分求曲线 所围区域面积
7.球体 与 的公共部分为一立体,求其体积
8.用不同的积分次序(分别去对 积分)计算三重积分 ,其中 为由圆锥面的 及平面 所围成区域
9.分别用柱面坐标、球面坐标与直角坐标计算三重积分 ,其中 就是由球面 及圆锥面 所围成(含 轴部分)
,
当 时, 的面积最大。
例10有一半径为 的球体, 就是此球的表面上的一个定点,球体上任一点密度与驻
点到 距离的平方成正比(比例常数 ),求球体的重心位置。
解法1:证所考虑的球体为 ,以 的球心为原点O,射线 为正 轴建立直角坐标系,则点 的坐标为 球面方程为
设 的重心位置为 ,由对称性得: , ,
重积分的具体计算,通常要考虑到以下几个方面,选择合适的坐标系及恰当的积分顺序,确定积分的上下限,正确使用对称性(见附后),最后可通过一些综合例子,加强这方面理解与训练。
（三）重积分应用
首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法,其次要结合足够实例,使学生掌握用重积分来计算几何量(如面积体积等)及物理量(重心、转动惯量等)。
关于三重积分的概念与性质,与二重积分类似,教学上不必花较多时间。
（二）重积分的计算
重积分一般都就是化为累次积分来计算的,转化的关键就是确定积分的上下限。对于二重积分,在推出直角坐标与极坐标的计算公式之后,应多举些例题,重点讲解画图,解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。
关于三重积分,这部分内容比较复杂,教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标与球面坐标法。对于直角坐标,除了讲解一般方法(先一后二法),还应介绍先二后一法。关于极坐标与球面坐标,首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法,然后在此基础上,结合几何意义,讲解定限及积分计算的具体方法。
10.求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积( )
左端＝ 右端,证毕!
注:本题还可这样证明:
令 ,证明
例4设 在区间 上连续,且 ,试证明
证:设平面区域 , 关于直线 对称
例5计算 ,其中 由 , , 围成。
解:如图,作曲线 ,则积分区域被分为 与 , 关于 轴对称, 关于 轴对称。由于被积函数就是 的奇函数,故有 ,由于 的奇函数,故有
例6计算 , 就是由 平面上曲线Байду номын сангаас绕 轴旋转所得平面