解析几何中向量共线时参数问题的研究与拓展-高中数学微课题研究性教程
《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究
《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究作者：南宁三中数学组李俊强解析几何是高中数学的重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，除涉及平面向量知识外，还常与数列及函数和导数交汇．一、版块知识分析及考纲考情分析1、知识结构图2、《考试大纲》要求考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求①知识要求.高中平面解析几何的内容要求的层次分析：了解部分（文、理科完全一样）:二元一次不等式表示平面区域．线性规划的意义.解析几何的基本思想，坐标法．圆的参数方程的概念.椭圆的参数方程．圆锥曲线的初步应用．理解和掌握部分：除上述了解部分外，其余都在理解和掌握的水平上；可见解析几何这一知识板块的重要性，这方面知识的考查在难题、中档题都有可能出现，根据考试说明的要求，我们在平时的教学中还是应上到一定的难度，以不变应万变.②能力要求.能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．高中平面解析几何的主要体现在思维能力和运算能力上.③个性品质要求.个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观．其中提到的“要求考生……崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．克服紧张情绪……树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．”在解析几何上是体现得淋漓尽致！3、思想方法高考命题的着眼点看上去是考查知识，但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力.利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质，其核心是“数形结合”的思想方法，由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，就必然还要用到其它的思想方法，如函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般思想，以及待定系数法、换元法等等.二、全国大纲（Ⅰ）卷近6年数学文、理高考试卷考查《解析几何》有关内容分析：表一：考点、分值和题型分析表二：以2019年全国大纲卷数学高考《考试说明》为参考，（Ⅰ）卷近6年文、理考点频率分析：表三:高频词统计(有关内容的提及或涉及，只统计理科数学)三、高考命题的特征及趋势：我们可以通过以上表格来分析解析几何高考的命题特征及趋势：1、题量稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右，其中2019年文理均达到了37分之多，足见其之不可动摇的重要地位.文理考点与分值差别不大，只是顺序变化，特别是解答题完全相同，理科都放在第21题，而文科都放在第22题.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.以2019年全国大纲卷数学高考《考试说明》为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60％左右，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.要练说，先练胆。
《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究
《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究南宁三中数学组李俊强解析几何是高中数学的重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，除涉及平面向量知识外，还常与数列及函数和导数交汇．一、版块知识分析及考纲考情分析1、知识结构图2、《考试大纲》要求考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求①知识要求.高中平面解析几何的内容要求的层次分析：了解部分（文、理科完全一样）:二元一次不等式表示平面区域．线性规划的意义.解析几何的基本思想，坐标法．圆的参数方程的概念.椭圆的参数方程．圆锥曲线的初步应用．理解和掌握部分：除上述了解部分外，其余都在理解和掌握的水平上；可见解析几何这一知识板块的重要性，这方面知识的考查在难题、中档题都有可能出现，根据考试说明的要求，我们在平时的教学中还是应上到一定的难度，以不变应万变.②能力要求.能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．高中平面解析几何的主要体现在思维能力和运算能力上.③个性品质要求.个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观．其中提到的“要求考生……崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．克服紧张情绪……树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．”在解析几何上是体现得淋漓尽致！3、思想方法高考命题的着眼点看上去是考查知识，但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力.利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质，其核心是“数形结合”的思想方法，由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，就必然还要用到其它的思想方法，如函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般思想，以及待定系数法、换元法等等.二、全国大纲（Ⅰ）卷近6年数学文、理高考试卷考查《解析几何》有关内容分析：表一：考点、分值和题型分析表二：以2012年全国大纲卷数学高考《考试说明》为参考，（Ⅰ）卷近6年文、理考点频率分析：表三:三、高考命题的特征及趋势：我们可以通过以上表格来分析解析几何高考的命题特征及趋势：1、题量稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右， 占总分值的20%左右，其中2008年文理均达到了37分之多，足见其之不可动摇的重要地位.文理考点与分值差别不大，只是顺序变化，特别是解答题完全相同，理科都放在第21题，而文科都放在第22题.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.以2012年全国大纲卷数学高考《考试说明》为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60％左右，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．近6年全国卷数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）； ⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、能力立意，渗透数学思想：如2012年理第（21）题（文科第（22）题），以抛物线和圆为背景，将两者的概念、性质与应用导数求曲线切线等知识融为一体，有很强的综合性.一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案.4、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.与课改区比较，我们的试题更好做.对某个知识的考查都没有太多的变化更没有出什么花样.近6年来全国大纲卷的解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属易中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形（选择题、填空题从没有，解答题也只有2009、2011两年给了图），以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度比课改区对应位置的稍小，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近4年的解答题都与圆有关，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功.四、解题对策研究1、直线与圆的方程要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．例1(2008年全国Ⅰ卷理10)若直线1x y ab+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111ab+≤ D ．22111ab+≥2、线性规划全国大纲卷的这部分内容考得很直接很简单，线性约束条件都不含参数且目标函数都是直线型的，其他型的可做了解，不必过分拓展.例2(2008年全国Ⅰ卷理13)若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．其它年高考的目标函数如:(2008年全国Ⅱ卷理5)则y x z 3-=的最小值为（ ） (2010年全国Ⅰ卷理3)则2z x y =-的最大值为（ ） (2010年全国Ⅱ卷理3)则2z x y =+的最大值为（ ） (2012年全国Ⅰ卷理3)则3z x y =-的最小值为 .3、圆锥曲线的定义、标准方程(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，一般用到余弦定理解三角形，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．此类题目高考常现，每年约有两道小题.(2)圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见．例3(2012年全国Ⅰ卷理8)已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．14B ．35C ．34D ．45【命题意图】本小题主要考查了双曲线的定义和性质的运用，以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 类似的题目很多.(2011年全国Ⅰ卷理10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则c o s A F B ∠=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45-(2011年全国Ⅰ卷理15) 已知1F 、2F 分别为双曲线C :221927xy-=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，A M 为12F AF ∠的平分线．则2||A F = .(2010年全国Ⅰ卷理9) 已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点在P 在C 上，1260F P F ∠= ，则P 到x 轴的距离为( )A2B2CD总结：利用圆锥曲线的定义是解决此类问题的有效方法，当然熟记某些常用的结论对于提高解题速度大有好处，特别是在高考复习的冲刺阶段，尤为重要.4、圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，其归根结底是利用定义寻求关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e.该类题型较为基础，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，而对于选择填空题中常常可利用第二定义构造直角三角形来解决，避免了复杂的运算．例4(2010年全国Ⅰ卷理16) 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 .(2010年全国Ⅱ卷理12)已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=＞＞2F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1B C D ．2(2010年全国Ⅱ卷理15)已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．(2009年全国Ⅰ卷理12)已知椭圆22:12xC y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段A F 交C 于点B ，若3FA FB =，则||AF =（ ）a b ．2 C D ． 3(2009年全国Ⅱ卷理11)已知双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>：的右焦点为F ，过F 的直线交C于A B 、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ）A ．65B ．75C ．58D ．95类似的题目还有2008年全国Ⅰ卷理15， 2007年全国Ⅰ卷理11，2007年全国Ⅱ卷理115、直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合性问题此类试题一般为理第21（文22)题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式、数列及函数和导数等知识的相互交汇，一般以圆锥曲线为依托，结合圆这一重要曲线，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．外省的高考题经常设计有探究性存在性问题，还有定点定值、最值及参数范围等问题，题目新颖而精彩，但，这毕竟是属于别人的精彩，并非我们的！相比之下，我们全国大纲卷的命题更显平稳平淡中庸，特别注重基础，从2007年到2012年的全国Ⅰ卷来看，除2008年的以双曲线为背景结合向量融入等差数列的题目有些新意外，其余的都是以椭圆或抛物线为背景，全部给定圆锥曲线方程.所以不存在再考查求其方程和离心率的可能（都在小题考了），所以大都结合考查圆的有关知识，也经常考查与平面向量基础知识的综合运用．有关题型应引起我们足够的重视. 例5【2011高考北京理19】已知椭圆22:14xG y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将A B 表示为m 的函数，并求A B 的最大值.例6【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y ab=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．例7【2010高考陕西理21】如图，椭圆C ：22221x y ab+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,F F ，11A B =，112211222A B A B B F B F S S = .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，1O P =，是否存在上述直线l 使0=⋅→→OB OA成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题．五、复习建议1、回归课本，重视通性通法从近年的高考试题中，我们可以发现高考命题的一个重要规律：很多高考试题在课本中都能找到题源.因为高考命题的一个不变的原则就是“源于课本，又不囿于课本”，因此，在高考的复习中，我们必须重视课本知识的回顾和整理，对课本知识重新认识，挖掘其更深层次的内容，充分发挥课本上的典型例题和习题的作用，提高复习效率，达到事半功倍的复习效果. 例如：课本上圆心与弦中点连线与该弦垂直（斜率关系）推广到圆锥曲线类似问题.课本P .83例2：已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点M （00,x y ）的切线方程.本题的多种求解方法及结果的推广都很重要.课本P .90习题7.6第3题圆的直径式方程的求解及应用（解决以二次曲线的弦为直径的圆系） 课本P .107习题8.1第5题椭圆焦点三角形的有关问题课本P .131例3中抛物线焦点弦（有斜率或倾斜角）长的求解与推广课本P .133习题8.5第7题焦点弦两端点的横坐标（或纵坐标）之积为定值的意义及推广 课本P .137习题8.6第6题所涉及的有关模型2、夯实基础，关注核心内容常态试题是考查数学基础知识、基本技能的重要阵地，《考试说明》在命题指导思想中也指出:考查考生对基础知识、基本技能的掌握程度是高考考查的重要目标之一，对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点.对于支撑数学知识体系的主干知识要占有较大的比例，是支撑数学试卷的主体.因此，考查核心内容、主干知识的问题在高考的试卷中都较为基础、常态.按前面统计的高频词，除了课本上有的之外，还有的往往会让我们忽略，稍有不慎满盘皆输，例如：⑴ 重心坐标计算及向量表示(2011年全国Ⅰ卷理21)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212yx +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(Ⅰ)证明：点P 在C 上；(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.(2007年全国Ⅱ卷理12) 设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3⑵角平分线定理(2011年全国Ⅰ卷理15) 已知1F 、2F 分别为双曲线C :221927xy-=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，A M 为12F AF ∠的平分线．则2||A F = .⑵ 研究透圆（含初中知识）圆幂定理及其逆定理（相交弦定理、切割线定理及割线定理）、有关外接圆和内切圆的性质和定理、有关切线的性质和定理、圆的弦的有关性质. 近四年的全国Ⅰ卷解答题均与此有关.⑷三角形和四边形的面积计算的各种方法（特别注意与圆相结合的，以及对角线互相垂直的四边形）(2009年全国Ⅰ卷理21) 如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点. （I ）求r 得取值范围；（II ）当四边形A B C D 的面积最大时，求对角线A C 、B D 的交点P 坐标.(2009年全国Ⅱ卷理16) 已知A C B D 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ，则四边形A B C D 的面积的最大值为 ．(2008年全国Ⅱ卷理21) 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．(2008年全国Ⅰ卷理14) 已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．(2007年全国Ⅰ卷理11) 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则A K F △的面积是（ ）A ．4B ．．．8(2007年全国Ⅰ卷理21) 已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且A C B D ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形A B C D 的面积的最小值． ⑸向量的基本运算⑹导数的几何意义与基本应用⑺均值不等式与类“双勾”函数（)0()(≠+=ab xb ax x f 型）求最值3、熟记一些重要二级结论，对解决选择填空题非常有效，对解答题也有很好的指导作用.解析几何中的二级结论特别多，而抛物线又是特别多，其中又绝大多数与焦点、焦半径、焦点弦，焦点三角形和准线有关，简单地说，就是与定义有关.如抛物线的二级结论有如下：有关定点、定值问题；有关圆线相切问题；有关共线问题；有关平分问题；有关面积问题；与数列有关的问题等.(2010年全国Ⅰ卷理9)已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点在P 在C 上，1260F P F ∠=，则P到x 轴的距离为( )A2B．2CD若用到2cot 221αb S PF F =∆（椭圆的是2tan 221αb S PF F =∆），马上有20001cot 302||||2b c y y ⋅=⋅⇒=2(2008年全国Ⅱ卷理15)已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．若用到抛物线的带倾斜角的焦半径公式R 上=1cos p θ-，R 下=1cos p θ-就非常快！1cos 431cos4FA FBππ+==+-(2007年全国Ⅰ卷理11) 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则A K F △的面积是（ ）A ．4B． C． D ．8R 上=1cos p θ-=241cos3π=-，144sin23A K F π=⋅⋅⋅=△S4、参考外省，有备无患.在我们重视基础，强化训练运算能力的同时，做为解析几何的经典题型中的存在性的探求，定点、定值问题，复杂的参数范围等全国卷从未涉及的问题，做为预防可做适当训练，但不宜花太多时间和精力而让学生感到乏力和恐惧.平时的各种考试命题要重视选题，个人认为可用如下两个标准检验：⑴不要偏题，怪题，繁题，考点要正，要直接，多选中档题！ ⑵放弃所谓的“精彩”，回归考试大纲.平淡中见真功，不经意间显能力，要有点润物细无声的感觉！有品味，值得琢磨！总之，我们对于自己的高考要考些什么一定要做好真正地研究，不能随便照搬外省的所谓精彩的结论和题型，在外省的一些专家都不知道广西考几道选择题几道填空题却声称对广西高考深有研究时，还不如我们沉下心去自己研究.。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展.docx
专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和 l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点(2，3)，则过点A (a 1,b 1)、B (a 2,b 2)的直线l 的方程为 . 2x +3y +1=0拓展：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =u u u r u u u r ，2BP PD =u u u r u u u r ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=．（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．代入椭圆方程2214x y +=， 得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，即1118x y +=-． ③ 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ 由③④可得直线AB 的方程为x ＋y =18-，所以AB 直线斜率为－1.探究2： 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．解： (1) 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x26＋y 23＝1.(2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，即k ＝±1. 若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k2. 因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．拓展1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意点P (x 0,y 0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A 、B 两点.求证：直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.拓展2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y =∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为探究3：设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）?请证明你的结论. 解：（1）由0(0)0f ∆>⎧⎨≠⎩解得1b <且0b ≠；（2）设二次函数与x 轴的两个交点分别为1(,0)x 和2(,0)x ，则1x 和2x 是关于x 的方程220x x b ++=的两个不同解，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点1(,0)x ，2(,0)x ，(0,b )分别代入圆方程有21122220,0,0,x Dx F x Dx F b Eb F ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 由前两个方程可知1x 和2x 是关于x 的方程20x Dx F ++=的两个不同解，所以2,D F b ==,代入第三个方程解得1E b =--，所以圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=；（3）由(2)圆C 方程整理为222(1)0x y x y b y ++-+-=，令222010x y x y y ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩解得21x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩，可知圆C 经过两个定点(－2,1)和(0,1).拓展：已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比. 不过A 点的动直线12y x m =+交椭圆O 于,P Q 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明,P Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点,,A P Q 的动圆记为圆C ,，已知动圆C 过定点A 和B (异于点A )，请求出定点B 的坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)., 1b =, ∴椭圆的标（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P 将 化简得：0)1(2222=-++m mx x ①∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-, ∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.（3）法1：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,,PQPQ圆过定点(2,0)，所以420D F ++=③圆过1122(,),(,)P x y Q x y , 则2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩ 两式相加得： 22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++=12y y m +=Q , 5220mD mE F -++=∴④点重合）所以1-≠m ，解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩(舍).所以圆过定点(0,1).法2：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,联立22012x y Dx Ey F y x m ⎧++++=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得到：2244()()0525E x m D x m EmF ++++++=⑤，由题可知方程①和⑤同解所以2242()5242(1)()5E m m D m m Em F ⎧=++⎪⎪⎨⎪-=++⎪⎩整理得23223522E D m Em F m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，又有圆过点A ，可得420D F ++=且1m ≠-，由上述三个方程联立可得.拓展：试证明如下定理：定理 设斜率为k 的直线与椭圆()22221,0x y a b a b+=>>相交于,P Q 两个不同点（也不同于椭圆的右顶点A ），则过,,P Q A 的圆恒过一个异于点A 的顶点B 2222222222,++a k b abk a b a k ba kb ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭证明：设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，直线PQ 的方程为：y kx m =+。
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用
高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用高一数学课程教案：平面向量的共线与垂直关系的判定与应用引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
了解平面向量的性质与关系，对于学生理解数学知识的整体框架具有重要作用。
本教案将重点介绍平面向量的共线与垂直关系的判定与应用，以帮助学生更好地理解与应用相关知识。
一、平面向量共线与垂直关系的判定1. 共线关系的判定共线向量指的是方向相同或相反的向量，即它们的起点与终点在同一直线上。
判定共线向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量共线的定义根据向量共线的定义，若向量A，A共线，则存在非零实数A，使得A=AA。
换言之，A与A的坐标分量之比相等。
因此，我们可以通过计算向量坐标分量之比来判断向量的共线关系。
- 方法二：向量共线的判定定理向量共线的判定定理指出，若向量A，A不共线，则向量A与向量A，A共线当且仅当存在实数A，使得A=AA+A。
通过判断向量A与向量A，A之间是否满足这个关系，我们可以判断共线关系。
2. 垂直关系的判定垂直向量指的是两个向量的夹角为90°的向量。
判定垂直向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量垂直的定义根据向量垂直的定义，向量A与向量A垂直，当且仅当A·A=0，即两个向量的数量积为零。
因此，可以通过计算向量的数量积来判断两个向量的垂直关系。
- 方法二：向量垂直的判定定理向量垂直的判定定理指出，向量A与向量A垂直，当且仅当有A1，A2∈A，使得A=A1A+A2A。
通过判断向量A是否满足这个关系，我们可以判断垂直关系。
二、平面向量共线与垂直关系的应用1. 平行四边形的性质平行四边形是具有两组相对平行边的四边形。
在平行四边形中，如果一对对角线的交点与其中一条对角线的中点重合，那么这两条对角线所代表的向量是共线向量。
通过共线向量的性质，我们可以解决平行四边形相关的证明与计算问题。
2. 角平分线的性质角平分线是将一个角等分为两个相等的角的线段。
聚焦共线向量问题
ʏ刘玉成共线向量也叫平行向量,相等向量是特殊的共线向量㊂共线向量定理:向量b (b ʂ)与a 共线,当且仅当存在唯一实数λ,使得a =λb (b ʂ0)㊂题型1:判断向量共线例1 如图1,四边形A B C D 与A B D E 是平行四边形㊂图1(1)找出与向量A B ң共线的向量㊂(2)找出与向量A B ң相等的向量㊂解:(1)由图可知,D C ң,E D ң,E C ң与A B ң方向相同,B A ң,C D ң,D E ң,C E ң与A B ң方向相反,所以与向量A B ң共线的向量为B A ң,C D ң,D C ң,E D ң,D E ң,E C ң,C E ң㊂(2)由平行四边形A B C D 与A B D E 可知,D C ң,E D ң与A B ң长度相等且方向相同,所以与向量A B ң相等的向量为D C ң和E D ң㊂评注:解答本题的关键是理解共线向量与相等向量的含义㊂题型2:判断三点共线例2 已知点A (1,-3),B 8,12(),C (9,1),求证:A ,B ,C 三点共线㊂证明:向量A B ң=8-1,12+3()=7,72(),A C ң=(9-1,1+3)=(8,4)㊂因为7ˑ4-72ˑ8=0,所以A B ңʊA C ң㊂又A B ң,A Cң有公共点A ,所以A ,B ,C 三点共线㊂评注:若存在实数λ,使得A B ң=λA C ң(或B C ң=λA B ң),则A ,B ,C 三点㊂若A ,B ,C 三点共线,O 为直线外一点,则存在实数x ,y ,使O A ң=xO B ң+y O C ң,且x +y =1㊂题型3:用已知向量表示未知向量例3 赵爽是我国古代数学家㊁天文学家,大约在公元222年,赵爽为‘周髀算经“一书作序时,介绍了 勾股圆方图 ,亦称 赵爽弦图 (以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)㊂类比 赵爽弦图 ,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设D F =2A F ,则( )㊂图2A .A D ң=213A C ң+913AB ңB .A D ң=29A C ң+127A B ңC .A D ң=313A C ң+913A BңD .A D ң=213A C ң+613A B ң解:由题意知A D ң=3A F ң,C F ң=3C E ң,B E ң=3B D ң,则A D ң=3A F ң=3(AC ң+C F ң)=3A C ң+9C E ң=3A C ң+9C B ң+9B E ң=3A C ң+9(A B ң-A C ң)+27B D ң=-6A C ң+9A B ң+27(A D ң-A B ң)=-6A C ң-18A B ң+27A D ң,所以A D ң=313A C ң+913A B ң㊂应选C ㊂评注:用已知向量表示所求向量的实质是向量线性运算的应用㊂题型4:根据向量共线求参数的值例4 在әA B C 中,若A D ң=2D B ң,C D ң=13C A ң+λC B ң,则λ=( )㊂A.-13 B .-2311数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C .13D .23解:(方法1)由A D ң=2D B ң,可知A ,B ,D 三点共线,所以13+λ=1,解得λ=23㊂应选D ㊂(方法2)画出图形,如图3所示㊂图3由图知C D ң=C A ң+A D ң㊂由图知C D ң=C B ң+BD ң,即2C D ң=2C B ң+2B D ң㊂据此两式相加且利用A D ң+2B D ң=0,可得3C D ң=C A ң+2C B ң,所以C D ң=13C A ң+23C B ң,所以λ=23㊂应选D ㊂评注:利用共线向量处理求值问题的两种思路:利用共线向量定理a =λb (b ʂ0)列方程求解;利用向量平行的坐标表达式x 1y 2-x 2y 1=0求解㊂题型5:判断几何图形的形状例5 在әA B C 中,P 为B C 的中点,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cA C ң+aP A ң+bP B ң=0,则әA B C 的形状为㊂解:由P 为B C 的中点,可得P A ң=-12(A B ң+A C ң)㊂因为c A C ң+a P A ң+bP B ң=0,P B ң=12C B ң=12(A B ң-A C ң),所以c A C ң-12a (A B ң+A C ң)+12b (A B ң-A C ң)=0,所以c -a +b 2()A C ң-a -b 2AB ң=0,即c -a +b 2()A C ң=a -b 2A B ң㊂又A B ң,A C ң不共线,所以a -b 2=0,c -a +b 2=0,ìîíïïïï解得a =b =c ㊂故әA B C 为等边三角形㊂评注:两向量共线是两向量相等的必要不充分条件㊂题型6:求点的坐标例6 在如图4所示的平面直角坐标系x O y 中,点A (4,5),B (1,2),C (12,1),D (11,6),则A C 与B D 的交点P 的坐标为㊂图4解:设B P ң=λB D ң,则λB D ң=λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ)㊂易得C B ң=(-11,1),所以C P ң=C B ң+B P ң=(10λ-11,4λ+1)㊂因为C A ң=(-8,4),而C P ң与C A ң共线,所以4ˑ(10λ-11)+8ˑ(4λ+1)=0,解得λ=12,则B P ң=λB D ң=(5,2)㊂设点P 的坐标为(x P ,y P ),则B P ң=(5,2)=(x P -1,y P -2),所以x P -1=5,y P -2=2,{解得x P =6,y P =4㊂{故所求点P 的坐标为(6,4)㊂评注:四边形的一条对角线上的三点可以写出6个向量,其中任意两个向量共线㊂A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段C O与线段A B 交于点D (点O 与点D 不重合),若O C ң=λO A ң+μO B ң(λ,μɪR ),则λ+μ的取值范围是( )㊂A.(0,1)B .(1,+ɕ)C .(1,2]D .(-1,0)提示:设O C ң=m O D ң,则m >1㊂因为O C ң=λO A ң+μO B ң,所以m O D ң=λO A ң+μO B ң,即O D ң=λm O A ң+μmO B ң㊂又A ,B ,D 三点共线,所以λm +μm =1,即λ+μ=m ,所以λ+μ>1㊂应选B ㊂作者单位:重庆市巫溪县中学校(责任编辑 郭正华)21 数学部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
人教版高中数学-例析共线向量的三个命题及应用
例析共线向量的三个命题及应用命题1：若两非零向量a b ，共线，则有且只有一个实数t ，使a =t b ；命题2：若两向量a b ，满足a =t b （t 为非零实数），则向量a b ，共线；命题3：若向量a b ，不共线，且1k a ＋2k b =0，则120==k k ；命题1，2的正确性是显然的，对于命题3可用反证法，再借助于命题2很快予以证明， 下面举例说明上述三命题在解题中的应用．1．证三点共线例1 已知两非零向量12，e e 不共线，如果AB 1223e e =+，BC 12623e e =+，CD 1248e e =-，求证：，，A B D 三点共线．证明：由=++=AD AB BC CD 1212121223623486(23)++++-=+e e e e e e e e =6AB ． 得向量AD ，AB 共线．又AD ，AB 有公共起点A ，故A B D ，，三点共线．点评：欲证A B D ，，三点共线，由于AD ，AB 有公关起点，因而只需证AD ，AB 共线即可；也就是证明存在非零实数t ，使AD t AB =．2．证几何题例2 如图1，已知AD BE CF ，，是ABC △的三条高，DG BE ⊥于G ，DH CF ⊥于H ，求证：HG EF ∥．证明：DG BE ⊥，AE BE ⊥，DG AE ∴∥．设(0)DG k AE k =≠，那么DO k AO =．又DH CF ⊥，AB CF ⊥，DH AB ∴∥．即DHO △与AFO △相似，于是得DH k AF =．因此，()HG DG DH k AE AF k FE =-=-=，HG FE ∴∥，又点H G F E ，，，不共线，HG EF ∴∥．点评：将平面几何问题转化为向量问题，欲证HG EF ∥，只需证HG kFE =，且点H G F E ，，，不共线即可． 3．求解向量例3 如图2，在ABC △中，D F ，分别是AB AC ，的中点，BF 与CD 交于O ，设AB =a ， AC =b ，试用a b ，表示向量AO ．解：由D O C ，，三点共线，得11DO k DC k ==1122⎛⎫-=- ⎪⎝⎭b a 1k a ＋1k b ， 同理得222()==-=-BO k BF k AF AB k a 212k +b ， ① 又12BO BD DO =+=-a 11(2k +-a 1k +b )11(1)2k =-+a 1k +b ， ② 由①②得2k -a 212k +b 11(1)2k =-+a 1k +b ， 即121(12)2k k +-a 2112k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=0b ， 由于a b ，不共线，得11221211(12)032120.23⎧⎧=+-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，，，k k k k k k 23BO ∴=-a 13+b ， AO AB BO ∴=+=211()333⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭a a b a b ． 点评：用已知向量表示未知向量，往往有一定的难度．面对图形中错综复杂的线条，要善于抓关键、抓重点，有时还要借助于参数；本题借助于参数且两次利用三点共线的性质，再结合向量的线性运算得出结论．4．解探索性问题例4 若a b ，是两个不共线且起点相同的非零向量，问是否存在实数t ，使a ，t b ，1()3a b +三向量的终点在同一直线上？若存在，请求出实数t ；若不存在，请说明理由． 解：若存在，则必存在实数λ使-a t b =λ1()3a a b ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即213a λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3λ⎛⎫- ⎪⎝⎭t =0b ． 由于a b ，不共线，得23103210.32λλλ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，，，t t 故存在实数12t =，使a ，t b ，1()3a b +三向量的终点在同一直线上． 点评：先假设结论存在，然后进行推理，出现矛盾，说明不存在，否则结论存在，这是求解探索性问题的常规思路；本题先假定三终点共线，产生“-a t b =λ1()3a a b ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦”，再结合a b ，不共线求出t 的值，从而肯定结论存在．。
向量在解析几何中的应用
第一章引言1。
1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化。
向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．1。
2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用。
2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用。
5、向量在平面其它方面的应用。
第二章 向量法在有关平面问题中的应用2.1 向量的基础知识1。
向量分解定理定理1 如果向量10e ≠，那么向量r 与向量1e 共线的充分条件是r 可以用向量1e 线性表示，或者说r 是1e 的线性组合，即1r xe =,并且系数x 被r ,1e 唯一确定.定理2 如果向量1e ,2e 不共线,那么向量r 与向量1e ，2e 共面的充要条件是r 可以用向量1e ，2e 线性表示，或者说r 可以分解成1e ,2e 的线性组合,即12r xe ye =+，并且系数, x ，y 被r ,1e ，2e 唯一确定.这时1e ,2e 叫做平面上向量的基底。
高中平面向量共线的几个探究问题
高中平面向量共线的几个探究问题平面向量是高中新增加的内容，高中数学教材显著的变化就是“向量”的引入，它将“数”与“形”融于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，决定了它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。
其中共线向量是平面向量此章的重要内容。
共线向量的定义，充要条件的理解、应用，以及充要条件延展问题，对学生来说有一定理解难度。
下面就几个问题谈谈要点。
1高中课本有关共线向量的定义问题关于共线向量，课本定义了：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，同时补充规定零向量与任一向量平行。
因此零向量与零向量平行，非零向量与本身平行。
平行向量也叫共线向量。
这里“平行”与初中几何平行不一样，向量平行包括向量所在的直线成同一直线。
例1、命题“若a∥b，b∥c，则a∥ c （）（A）总成立（B）当a ≠o 时成立（C）当b≠o时成立（D）当c≠o时成立说明：∵零向量与其它任何非零向量平行∴当两非零向量a 、c 不平行，而b= o有a ∥b 、b ∥c。
这时命题不成立，故不能选（A），也不能选择（B）与（D），故选（C）。
2高中课本有关共线向量的充要条件问题高中课本给出共线向量的充要条件为：“向量b与非需向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa”。
①这里实数λ由a、b唯一确定。
②取定一个非零向量为基底，任何一个与共线向量都可以由此向量唯一的线性表示出来。
③课本没有给出a= o的补充说明，显然当a= o、b = o，那么这里λ并不是唯一，当a= o、b≠o那么无法存在在这种关系。
可以写成：a =λ b 且b≠o a∥b；同样得到定理推广：a∥b 存在实数λ1λ 2 ，使λ1a=λ2b。
证明：当a∥b时，我们分以下几种讨论：（1）若a=0，显然λ2=0 。
（2）若b=0 ，显然λ1=0。
（3）若a=b=0，显然λ1λ2取全体实数。
（4）若a≠0且b≠0，显然成立。
当存在实数λ1λ2，使λ1a=λ2b时。
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专题7.21：解析几何中向量共线时参数问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，1
2）在椭圆上（e 为椭圆
的离心率）． （1）求椭圆的方程；
（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=，且0OC OB ⋅=，求实数λ的
值．
探究2：在平面直角坐标系xOy 中，已知点
F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点，
A ，
B ，
C 分别为椭圆E
的右、下、上顶点，满足
5FC BA =，椭圆的离心率为1
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PB PA ⋅取得最小值时，求点P 的坐标；
（3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM
λ
=，求实数
λ的取值范围．
变式1：已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 过点)3,2(，且它的离心率21
=e ．直
线t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．（1）求椭圆的标准方程； （2）当2
3
=
k 时，求证：M 、N 两点的横 坐标的平方和为定值；
（3）若直线l 与圆1)1(:2
2
2=+-y x C 圆上一点P 满足OP ON OM λ=+，求实数λ的取值范围．
解：(1) 设椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
(2) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=168
232
2y x t x y ，得02443462
2=-++t tx x ，设),(11y x M ，),(22y x N ，
则86
24
42)634(2)(22212
212
2
2
1=-⋅--=-+=+t t x x x x x x 为定值
（3）因为直线t kx y l +=：与圆1)1(2
2
=+-y x 相切
所以，)0(1211|
|2
2≠-=⇒=++t t t k k
k t
把t kx y +=代入1682
2=+y x 并整理得：02448)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 2
21438k kt
x x +-=+ 2
2121214362)(k
t
t x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OP ++=λ， 所以，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
++-λλ)43(6,)43(822k t k kt
P 又因为点P 在椭圆上， 所以，1)43(6)43(82
222
22222=+++λ
λk t k t k 11)1(2432222222
++=+=⇒t
t k t λ． 因为 02
>t 所以 11)1()1(2
22>++t t ， 所以202
<<λ，所以λ的取值范围为 )2,0()0,2(⋃-．
变式2：已知斜率为2-的直线1l 与椭圆222:1(0)x C y a a +=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,22E ⎛⎫
⎪⎝⎭．直
线2l 与y 轴交于点()()0,0M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，
,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R ．
（1）求椭圆C 的方程；（2）求λ的值；（3）求m 的取值范围．
解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12
121212
1,1,
2y y x x y y x x -+=+==--． ∵22
1121,x y a +=222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=， 即121212212()x x y y y y x x a +-++-0=，即21
1(2)0a
+⨯-=，得212a =，
∴椭圆C 的方程为2221x y +=． …………5分 （2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）． 由,4PM MQ OP OQ OM
λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩
即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧
⎨
+++= ⎩①
②将①代入②得(3)0m λ-=，
∵0m ≠，∴3λ=． …………10分 解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+， 又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，
又∵OM ≠0，∴3λ=． …………10分 解法3：三点共线模型；OQ OP OM 4
41λ
+=
，根据Q M P ,,三点共线，得3=λ （3）首先明确研究思路：要求参数m 的取值范围，首先构建m 和另外参数的等量（不等）关系，而后通过研究另一个参数的取值反控m 的取值范围
另解：设点),(00y x P ，则)34,3(00y m x Q --，根据Q P ,在曲线122
2
=+y x 上，消元后得：
012320=--m my 在()1,10-∈y 上有解，构造函数123)(200--=m my y f ，
0)1()1(<-f f ，可得：1
12m -<<-，或112
m <<．
将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．
∵3λ=，∴由343422342
3,2,212x x km x x k m x x k ⎧
⎪=-⎪
-⎪+=⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
消去3x 、4x 得22
2
2(1)41m k m -=-． 由0∆>得2
2
2(1)k m >-，即22
2(1)
41
m m ->-22(1)m -， 即222
(1)041
m m m -<-，即(1)(1)
0(21)(21)m m m m +-<+-， 得1
12m -<<-，或1
12
m <<．
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。