高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法教师用书教案新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法学习目 标核 心 素 养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?[提示] 不一定．如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，第一个值n 0＝3. 2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋k C ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4C [A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ； B 中，n ＝1时，式子＝1；C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1.故正确的是C.]2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n ＝________成立．[答案] 23.已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝________，S 2＝________，S 3＝________，S 4＝________，猜想S n ＝________.13 25 37 49 n 2n ＋1 [分别将1,2,3,4代入得S 1＝13， S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49， 观察猜想得S n ＝n 2n ＋1.]用数学归纳法证明等式“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． (1)2(2k ＋1) [令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则 f (k )＝(k ＋1) (k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．](2)证明： ①当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．②假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： (1)弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．[跟进训练]1．求证：1－12 ＋13 －14 ＋… ＋12n －1 －12n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋… ＋12n (n ∈N *)．[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12(k ＋1) ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对于任意n ∈N *，等式都成立.归纳—猜想—证明【例2】 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)的前n 项和为S n ，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解] S 1＝11×4 ＝14； S 2＝14 ＋14×7 ＝27 ；S 3＝27 ＋17×10 ＝310 ；S 4＝310 ＋110×13 ＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1 .下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14 ，右边＝n3n ＋1 ＝13×1＋1 ＝14 ， 猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＝k 3k ＋1 ， 则当n ＝k ＋1时，11×4 ＋14×7 ＋17×10 ＋… ＋1(3k －2)(3k ＋1) ＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k3k ＋1 ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n ∈N *都成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．[跟进训练]2．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．[解] 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32 ；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74 ；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158 .猜想a n ＝2n －12n －1 .下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[]2(k ＋1)－S k ＝k ＋1－12 (2k －2k －12k －1 )＝2k ＋1－12(k ＋1)－1 ，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．用数学归纳法证明不等式1．你能指出下列三组数的大小关系吗？ (1)n ，n (n －1)，n (n ＋1)(n ∈N *)；(2)1n 2，1n (n －1)，1n (n ＋1)(n ∈N *，n >1)； (3)12n ＋1＋12n ，12n －1(n ∈N *)． [提示] (1)n (n －1)<n <n (n ＋1)；(2)1n (n ＋1)<1n 2<1n (n －1)； (3)∵12n ＋1＋12n <12n ＋12n ＝22n＝12n －1， ∴12n ＋1＋12n <12n －1. 2．结合探究问题1，试给出一些常见的不等式放缩方法．[提示] 在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如： (1)1k ＝2k ＋k >2k ＋k ＋1＝2()k ＋1－k()k ∈N *，k >1，1k ＝2k ＋k <2k ＋k －1 ＝2()k －k －1()k ∈N *，k >1.(2)1k 2<1k (k －1)＝1k －1－1k (k ≥2), 1k 2>1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1. (3)1k 2<1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1)(k ≥2)． 【例3】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．思路探究：按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] (1)当n ＝1时， 32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即1＋k 2 ≤ 1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ≤ 12 ＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k >1＋k 2 ＋2k ·12k ＋1 ＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋… ＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋… ＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k ·12k＝12 ＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． [跟进训练]3．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时， 不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以，当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2 <2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)和(2)知原不等式在n ≥2时均成立．用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )＞g (k )，求证f (k ＋1)＞g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3C [当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 1＋1＝1＋a ＋a 2，故C 正确．]2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)C [当n ＝k 时，左边是共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．故选C.]3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f(32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有________．[答案] f (2n )＞n ＋224．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3 [从不等式结构看，左边n ＝k ＋1时，最后一项为1(k ＋2)2，前面的分母的底数是连续的整数，右边n ＝k ＋1时，式子为12－1(k ＋1)＋2，即不等式为122＋132＋…＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋3.] 5．用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n . [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1) ＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．。