(学生)三元一次方程组典型例题讲解
人教版七年级数学下册三元一次方程组(基础) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
三元一次方程组+知识点+例题
三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】 解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得， 把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. 购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。
三元一次方程组的解法讲课
讲课稿：三元一次方程组的解法一、引言大家好，今天我们将一起探讨一个有趣的话题：三元一次方程组的解法。
方程组在数学和实际生活中都有着广泛的应用，掌握其解法对于理解数学原理和解决实际问题都非常重要。
在本节课中，我们将学习消元法、代入法和解析法三种解法，并通过实例展示和互动练习来加深理解。
二、方程组概述首先，我们来了解一下三元一次方程组的基本概念。
三元一次方程组是由三个包含三个未知数的方程组成。
例如：1.x + y + z = 102.2x + y - z = 53.3x - y = 8这是一个三元一次方程组的例子，我们的任务是找到未知数x、y和z的值。
三、消元法介绍消元法是一种常用的解三元一次方程组的方法。
它的基本思想是通过加减消元法消除一些未知数，将方程组简化为更简单的形式，便于求解。
具体步骤如下：1.通过加减消元法将一个方程变形为未知数的系数为零的方程；2.解出该未知数的值；3.将求得的未知数的值代入原方程组中的其他两个方程，求解剩余的未知数。
四、代入法介绍代入法是一种通过将一个或多个方程中的未知数用另一个方程表示出来，然后代入到另一个方程中求解的方法。
具体步骤如下：1.从原方程组中选择一个最容易解出的方程；2.将该方程中的某个未知数用另一个未知数表示出来；3.将表示出来的未知数代入原方程组中的其他两个方程中；4.解出剩下的未知数。
五、解析法介绍解析法是一种通过对方程进行解析来求解的方法。
具体步骤如下：1.对原方程组进行整理和化简，使其变成易于求解的形式；2.解出原方程组中的每个方程；3.将解出的每个未知数的值代入原方程组中进行验证，确保解的正确性。
六、计算实例展示接下来，我将通过一个具体的例子来展示如何使用消元法、代入法和解析法求解三元一次方程组。
以这个例子为例：1.3x + 2y + z = 10 (①)2.x + y + z = 5 (②)3.x - y + 2z = -2 (③)我们分别使用消元法、代入法和解析法来求解这个方程组。
三元一次方程组典型例题讲解
实用标准文案武汉龙文教育学科辅导讲义由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x 解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，∴3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，∴9,11,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。
解法1：由①得y=2x ，z=7x ，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x ，得y=2； 把x=1，代入z=7x ，得 z=7.∴1,2,7.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k ，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。
三元一次方程组的例题及详解
三元一次方程组的例题及详解一、概述三元一次方程组是高中数学中重要的内容之一，通常形式为：$$ \\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\\\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \\end{cases} $$其中，a i、b i、c i、d i（i=1,2,3）是已知实数，x、y、z是未知数。
解三元一次方程组的关键在于运用代数运算和消元法。
二、例题及详解例题1解方程组：$$ \\begin{cases} 2x + 3y - z = 7 \\\\ 3x - 2y + 2z = 3 \\\\ x + 2y - y = 5\\end{cases} $$解：Step 1: 根据方程组，列出系数矩阵和常数矩阵：$$ \\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\\\ 3 & -2 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 7 \\\\ 3 \\\\ 5 \\end{bmatrix} $$Step 2: 利用消元法化简方程组： - 将第三个方程左边的y移到第一个方程：4y−2z=12 - 将第三个方程左边的y移到第二个方程：−4y+3z=−2 Step 3: 继续消元，得到新的方程组：$$ \\begin{cases} 2x + 3y - z = 7 \\\\ 3x - 2y + 2z = 3 \\\\ 4y - 2z = 12 \\\\ -4y + 3z = -2 \\end{cases} $$Step 4: 解方程组，得出x=3,y=2,z=1。
三元一次不定方程的整数解例题
三元一次不定方程的整数解例题三元一次不定方程是指具有三个未知数和一次项的方程，其一般形式为ax + by + cz = d，其中a、b、c、d为整数，且至少存在一组整数解。
解决三元一次不定方程的整数解例题是探索整数解的有效方法之一。
本文将从实际例题入手，详细讨论三元一次不定方程的整数解例题，并给出解题思路和步骤。
例题1：解方程2x + 3y + 4z = 13。
解题思路：由于题目中未给出具体要求整数解的范围，我们可以先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。
由于方程中的系数和常数项皆为正数，且已知方程有整数解，我们可以通过逐一遍历来寻找符合条件的整数解。
解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至6（根据后续计算结果决定是否需要扩大取值范围），逐一代入方程。
2. 根据方程，得到y = (13 - 2x - 4z) / 3。
3. 找出符合整数解条件的y和z的组合，同时满足y和z都为整数。
4. 根据计算结果，判断是否存在整数解。
若存在，则给出解的具体值。
通过计算得出的整数解为x = 3，y = 1，z = 2。
验证方程2x + 3y + 4z = 13，可以发现等式成立，因此该解为方程的整数解。
例题2：解方程5x + 8y + 10z = 57。
解题思路：同样地，我们先从整数区间较小的范围开始尝试，逐渐扩大范围来寻找整数解。
根据方程，我们可以发现系数5、8和10都是偶数，而常数项57也是奇数。
根据奇数与偶数相加的结果为奇数，并没有整除规律可循，因此我们需要更加细致的计算来找到解。
解题步骤： 1. 假设x的取值范围为0至9。
2. 根据方程，得出y = (57 - 5x - 10z) / 8。
3. 代入x和z 的取值范围，逐一计算y的可能取值。
4. 判断y是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。
5. 判断z是否为整数，若为整数则继续下一步骤，否则继续尝试下一组解。
三元一次方程组典型例题讲解
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象 郭家铭 授课教师 杨琴梅授课时间 授课题目 三元一次方程组典型例题课 型 新课使用教具教案、白板、笔教学目标会解三元一次方程组教学重点和难点 能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组参考教材教材教学流程及授课详案一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。
解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.时间分配及备注①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x 解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3，②-④得 y=4， ③-④得 z=5，∴3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.典型例题举例：解方程组20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，∴9,11,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。
《三元一次方程组》例题与讲解
*8 三元一次方程组1．三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程．(2)三元一次方程组：①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．如：⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，⎩⎨⎧x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7等都是三元一次方程组．②拓展理解：a ．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b ．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( )．A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋y ＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D.答案：D2．三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解．(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数．(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解．释疑点 检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解．【例2】 判断⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，z ＝－3是不是方程组⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝5，2x －y ＋z ＝4，2x ＋y －3z ＝10的解．答：__________(填是或不是)．解析：把⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，z ＝－3代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解．答案：是3．三元一次方程组的解法(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．(2)步骤：①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；⑤写出三元一次方程组的解． (3)注意点：①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．【例3】 解方程组⎩⎨⎧ x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7.①②③分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①，②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7，④ 解③，④组成的方程组 ⎩⎨⎧2x －y ＝7，5x ＋8y ＝7.解这个方程组，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，z ＝1.4．运用三元一次方程组解实际问题(1)方法步骤：①审题：弄清题意及题目中的数量关系； ②设：设三个未知数；③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；⑤答：回答说明实际问题的答案． 析规律 列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组．【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．解：设百位数字为a 、十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为100a ＋10b ＋c ，由题意，得⎩⎨⎧a ＋c ＝b ＋1，a ＋b ＋c ＝100a ＋10b ＋c ，100a ＋10b ＋c ＋99＝100c ＋10b ＋a .化简，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝1，－73a ＋17b ＋26c ＝0，a －c ＝－1.解这个方程组，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3.答：原来的三位数是243.5．三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考．(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程．如：⎩⎨⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －3z ＝11，x ＋y ＋z ＝12中，y 的系数较简单，先消y 简单．(2)先消某个方程中缺少的未知数．若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解．如：⎩⎨⎧4x －9z ＝17， ①3x ＋y ＋15z ＝18， ②x ＋2y ＋3z ＝2. ③因为方程①中缺少y ，所以由②，③组合先消去y 比较简单． (3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如：⎩⎨⎧2x ＋4y ＋3z ＝9，3x －2y ＋5z ＝11，5x －6y ＋7z ＝13，三个方程中y 的系数成倍数关系，因此先消去y 比较简单． (4)整体代入消元，如：⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝26， ①x －y ＝1， ②2x ＋z －y ＝18. ③将方程③左边变形为(x ＋y ＋z )＋(x －y )－y ＝18，作整体代入便可消元求解．(5)整体加减消元：如：⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13， ①x ＋y ＋2z ＝7， ②2x ＋3y －z ＝12， ③在三个方程中，根据未知数x ，z 的系数特点，可用②＋③－①整体加减消元法来解得y 的值．再逐步求解．【例5－1】 解方程组⎩⎨⎧3x ＋4z ＝7，①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8. ③分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②，③组合先消去y ，再求解．解：②×3＋③，得11x ＋10z ＝35，④解由①，④组成的方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4z ＝7，11x ＋10z ＝35.解得⎩⎨⎧x ＝5，z ＝－2.⑤把⑤代入②，得y ＝13，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－2.【例5－2】 解方程组⎩⎨⎧5x －15y ＋4z ＝38，①x －3y ＋2z ＝10， ②7x －9y ＋14z ＝58. ③分析：经观察发现①中的5x －15y ＝5(x －3y )，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，把②整体代入该方程中，可求出z 的值，从而易得x 与y 的值．解：由①，得5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，④ 把②整体代入④，得5×10－6z ＝38. 解这个方程，得z ＝2， 把z ＝2分别代入①，②中，得 ⎩⎨⎧5x －15y ＝30，7x －9y ＝30.⑤ 解⑤，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，z ＝2.【例5－3】 解方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，①y ＋z －x ＝5， ②z ＋x －y ＝1. ③分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法．解：①＋②＋③，得x ＋y ＋z ＝17，④再由④分别减去①，②，③各式，分别得z ＝3，x ＝6，y ＝8.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝6，y ＝8，z ＝3.6.三元一次方程组的应用归类三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类： (1)构造方程组，通过解方程组解决问题．主要有以下几种情况．①根据某些数学概念构造方程组，如：2x 4m y 16－5n 与x 3n ＋6y 2m 是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m ，n .②运用非负数的性质构造方程组．如：如果(x ＋y －2)2＋|y ＋z －4|＋|x －y ＋2|＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.根据题意列出三元一次方程组求解．③已知方程的解的情况求未知系数．如：关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解，也是方程3x ＋2y ＝17的解，则m 的值是？根据题意构造一个以x ，y ，m 为未知数的三元一次方程组求解． 点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题．(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题． 【例6－1】 如果方程组⎩⎨⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m 中，x 与y 的和为2，则m 的值是( )．A ．16B ．4C ．2D ．8解析：方法一：因为x 与y 的和为2，即x ＋y ＝2，所以与⎩⎨⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，组成一个三元一次方程组⎩⎨⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，x ＋y ＝2.解这个方程组，求出m ＝4.方法二：也可以先解⎩⎨⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m .求出x ，y 的值(含m )，再把解得的x ，y 的值代入x ＋y ＝2中，求出m .方法三：把x ＝2－y 代入⎩⎨⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，解含y ，m 的二元一次方程组．答案：B【例6－2】 如果|x －2y ＋1|＋|z ＋y －5|＋(x －z －3)2＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，z ＋y －5＝0，x －z －3＝0.化简，得⎩⎨⎧x －2y ＝－1，z ＋y ＝5，x －z ＝3.解这个方程组，得x ＝5，y ＝3，z ＝2.答案：5 3 27．运用三元一次方程组求代数式的值解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax 2＋bx ＋c ，当x 分别取1,0,2时，式子的值分别是0，－3，－5，求当x ＝5时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值．解法：分别将x ＝1,0,2代入代数式ax 2＋bx ＋c 中，得到一个三元一次方程组⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝－5.解这个三元一次方程组，求出系数a ，b ，c 的值，再将x ＝5回代，再求出当x ＝5时，式子ax 2＋bx ＋c 的值．【例7－1】 已知x ＋2y ＋3z ＝54,3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31，那么代数式x ＋y ＋z 的值是( )．A ．17B ．22C ．32D ．132解析：将三个三元一次方程组成方程组，⎩⎨⎧x ＋2y ＋3z ＝54，3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31.整体求法，将三个式子相加，得6x ＋6y ＋6z ＝132，两边都除以6，解，得x ＋y ＋z ＝22.B 正确，故选B.答案：B【例7－2】 在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x 分别取1,2,3时，y 的值分别为3，－1,15.则a ＝__________，b ＝______，c ＝______；当x 取4时，y 的值为______．解析：把x ＝1,2,3分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得三元一次方程组⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝15.解这个三元一次方程组得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－34，c ＝27.所以等式是y ＝10x 2－34x ＋27，把x ＝4代入y ＝10x 2－34x ＋27中，得y ＝51.答案：10 －34 27 51 8.含比例方程的方程组的解法三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如⎩⎨⎧x ∶y ＝3∶2， ①y ∶z ＝5∶4， ②x ＋y ＋z ＝66. ③这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k ，则x ＝3k ，y ＝2k ，z ＝1.6k ，把它们分别代入③中，得3k ＋2k ＋1.6k ＝66.即6.6k ＝66，解得k ＝10，所以x ＝30，y ＝20，z ＝16.从而解出方程组．【例8】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝y 4＝z 5，7x ＋3y －5x ＝16.①②分析：方法一：将①化简成两个方程和②组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设x 3＝y 4＝z5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，代入②中即可求出t 的值，解出方程组．解：设x 3＝y 4＝z5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，将它们都代入方程②，得 7×3t ＋3×4t －5×5t ＝16，解得t ＝2.所以x ＝6，y ＝8，z ＝10. 所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.。
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第 5讲 三元一次方程组典型例题
教学目标：会解三元一次方程组
教学重点和难点：能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组 一、三元一次方程组之特殊型
例1：解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212
【
例2：解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++③
②①17216
2152z y x z y x z y x
典型例题3：解方程组20,19,
21.x y y z x z +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩①
②③
《
例3：解方程组⎩⎨
⎧=+-=②
①21327
:2:1::z y x z y x
[
典型例题2：解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧===++③②
①4:5:2:3:111z y x y z y x
—
二、三元一次方程组之一般型
例4：解方程组34,
6,
2312.x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
①②③
典型例题3：解方程组2439,32511,
56713.
x y z x y z x y z ⎧++=∨⎪⎪
-+=∨∆⎨⎪-+=∆
⎪⎩①②③。
三、三元一次方程组的相关变式题型
例五、解方程组134********=-+-=++=+-z
y x z y x z y x
，
例六、已知0432=-+z y x ，0543=++z y x ，求z y x z
y x +-++的值。
'
[例6] 已知方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+)3(4)2(5)1(3a x z a z y a y x 的解使代数式z y x 32+-的值等于10-，求a 的
值。
：
[例7] 甲、乙两同学解方程组⎩⎨⎧=+=+1022y cx by ax ，已知甲的正确解答是⎩⎨⎧==42y x ，乙由
于看错了c ，求出的解是⎩⎨
⎧==5.63y x ，则求c b a ,,的值。
四、三元一次方程组的实际应用
：
例一:甲地到乙地全程是，一段上坡，一段平路，一段下坡。
上坡每小时行3km ，
平路每小时行4km ，下坡每小时行5km ，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要分。
求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少
练习
1.甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。
求这三个数。
(
课时训练试题：
解下列方程组
（1）
27
5322
344
y x
x y z
x z
=-
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-=
⎩
（2）
4912
321
3
754
4
x y
y z
x z
⎧
⎪+=
⎪
-=
⎨
⎪
⎪+=
⎩
（3）
37
43
225
x y
y z
x z
-=-
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=-
⎩
（4）
4917
31518
232
x z
x y z
x y z
-=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
（5）
767100
20
320
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪+-=
⎩
（6）
2439
32511
5680
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪++=
⎩
（7）
323
24
43210
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪++=-
⎩
（8）
2636
31273
43411
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪-+=
⎩
（9）
::1:2:3
2315
x y z
x y z
=
⎧
⎨
+-=
⎩
（10）
1
2
3
x y
y z
z x
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩。