[K12学习]八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.4《课题学习 最短路径问题》
新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习一、选择题（共15小题）1．如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB ＝50cm ，A 、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm ，B 点到y 轴的距离为30cm ，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P 、Q ，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（ ）A ．50B ．505C ．505－50D ．505＋50答案：D知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题解析：解答：过B 点作BM ⊥y 轴交y 轴于E 点，截取EM ＝BE ，过A 点作AN ⊥x 轴交x 轴于F 点，截取NF ＝AF ，连接MN 交x ，y 轴分别为P ，Q 点，过M 点作MK ⊥x 轴，过N 点作NK ⊥y 轴，两线交于K 点．MK ＝40＋10＝50，作BL ⊥x 轴交KN 于L 点，过A 点作AS ⊥BP 交BP 于S 点．∵LN ＝AS ＝22)1040(50--＝40．∴KN ＝60＋40＝100．∴MN ＝2210050+＝505．∵MN ＝MQ ＋QP ＋PN ＝BQ ＋QP ＋AP ＝505．∴四边形PABQ 的周长＝505＋50．故选D ．分析：过B 点作BM ⊥y 轴交y 轴于E 点，截取EM ＝BE ，过A 点作AN ⊥x 轴交x 轴于F 点，截取NF ＝AF ，连接MN 交X ，Y 轴分别为P ，Q 点，此时四边形PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题2．如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（－2，0）B ．（4，0）C ．（2，0）D ．（0，0）答案： C知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题解析：解答：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ， 则此时AP ＋PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A （－2，4），∴C （－2，－4），设直线CB 的解析式是y ＝kx ＋b ，把C 、B 的坐标代入得：⎩⎨⎧+-=-+=b k b k 2442， 解得：k ＝1，b ＝－2，∴y ＝x －2，把y ＝0代入得：0＝x －2，x＝2，即P的坐标是（2，0），故选C．分析：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y＝kx ＋b，把C、B的坐标代入求出解析式是y＝x－2，把y＝0代入求出x即可．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）．A．15°B．22.5°C．30°D．45°答案：C知识点：等边三角形的性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝21∠ACB ＝30°， 故选C ．分析：过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，推出M 为AB 中点，求出E 和M 关于AD 对称，根据等边三角形性质求出∠ACM ，即可求出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题4．如图，∠AOB ＝30°，内有一点P 且OP ＝6，若M 、N 为边OA 、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）．A ． 62B ． 6C ．621D ．6答案：D 知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：作P 关于OA 的对称点D ，作P 关于OB 的对称点E ，连接DE 交OA 于M ，交OB 于N ，连接PM ，PN ，则此时△PMN 的周长最小，连接OD ，OE ，∵P 、D 关于OA 对称，∴OD ＝OP ，PM ＝DM ，同理OE ＝OP ，PN ＝EN ，∴OD ＝OE ＝OP ＝6∵P 、D 关于OA 对称，∴OA ⊥PD ，∵OD ＝OP ，∴∠DOA ＝∠POA ，同理∠POB ＝∠EOB ，∴∠DOE ＝2∠AOB2×30°═60°，∵OD ＝OE ＝6，∴△DOE 是等边三角形，∴DE ＝6，即△PMN 的周长是PM ＋MN ＋PN ＝DM ＋MN ＋EN ＝DE ＝6，故选D ．分析：根据题意画出符合条件的图形，求出OD ＝OE ＝OP ，∠DOE ＝60°，得出等边三角形DOE ，求出DE ＝6，求出△PMN 的周长＝DE ，即可求出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题5．已知两点M （3，5），N （1，－1），点P 是x 轴上一动点，若使PM ＋PN 最短，则点P 的坐标应为（ ）．A ． （21，－4）B ． （32，0）C ． （34，0）D ． （23，0） 答案：C知识点：坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：∵PM ＋PN 最短，∴M 、P 、N 三点共线，∵M （3，5），N （1，－1），∴设解析式为y ＝kx ＋b ，把M （3，5），N （1，－1）分别代入解析式得，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ， 解得⎩⎨⎧-==43b k ，其解析式为y ＝3x －4．当y ＝0时，x ＝34． 故P 点坐标为（34，0）． 故选C ．分析：若PM ＋PN 最短，则M 、P 、N 三点共线，根据M 、N 的坐标，求出MN 的解析式，再求出与x 轴的交点即可．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题6．已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α＝（ ）．A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°答案：A知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝2，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故选A．分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF 的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题7．直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．A ．B ．C ．D ．答案：D 知识点：轴对称-最短路线问题解析：解答：作点P 关于直线L 的对称点P′，连接QP′交直线L 于M ．根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．故选D ．分析： 利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题8．已知两点A （3，2）和B （1，－2），点P 在y 轴上且使AP ＋BP 最短，则点P 的坐标是（ ）．A ． （0，21-） B ． （0，611） C ． （0，－1） D ． （0，41-） 答案：C知识点：点的坐标； 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：根据已知条件，点A 关于y 轴的对称点A′为（－3，2）．设过A′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，则－3k ＋b ＝2；k ＋b ＝－2．解得k ＝－1，b ＝－1那么此函数解析式为y ＝－x －1．与y 轴的交点是（0，－1），此点就是所求的点P ． 故选C ．分析：根据已知条件和两点间线段最短，可知P 点是“其中一点关于y 轴的对称点与另一点的连线和y 轴的交点．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题9．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）． A ． 6 B ． 73 C ． 72 D ． 5答案：C知识点： 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题 解析：解答：如图所示：∵点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），∴点C 的坐标所在直线为y ＝3x ，点A 关于直线y ＝3x 的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y ＝33-x ＋b ， 把点A 的坐标（ 2，0 ）代入得33-×2＋b ＝0， 解得b ＝332． 故AA′所在直线为y ＝33-x ＋332．联立C 的坐标所在直线和AA′所在直线可得⎪⎩⎪⎨⎧+-==332333x y x y ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321y x ，∴C 的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M 的坐标为（21，23）， ∴点A 关于直线y ＝3x 的对称点的坐标为（－1，3），∴A′B ＝22)30()14(-++＝28＝27，即CA ＋CB 的最小值．故选C ．分析：分别得到点C 的坐标所在直线，点A 关于点C 的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题10．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高； 轴对称-最短路线问题；全等三角形的判定与性质 解析：解答：如图，在AC 上截取AE ＝AN ，连接BE ．∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM ＝∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AM AM NAM EAM AN AE ，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME ＝MN ．∴BM ＋MN ＝BM ＋ME≥BE ．∵BM ＋MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，又AB ＝42，∠BAC ＝45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，∴BE ＝4，即BE 取最小值为4，∴BM ＋MN 的最小值是4．故答案为：B ．分析：从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．题型：单选题掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题11．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）．A ． 29B ． 21C ． 74D ． 45答案：C知识点：三角形相关概念；勾股定理； 轴对称-最短路线问题解析：解答：如图所示，先作点N 关于AC 的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM ＋MN 的最小值， 根据对称的性质可知N′C ＝NC ＝5，∠ACB ＝∠ACN′＝45°，即∠BCN′＝90°，在Rt △BCN′中，BN′＝22'BC C N +＝2275+＝74．故答案为：C ．分析：先作点N 关于AC 的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM ＋MN 的最小值，根据对称的性质可知N′C ＝NC ＝5，∠BCN′＝90°，再利用勾股定理即可求出BN′的长． 题型：单选题难易程度：较易考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题12．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（）米．A．8 B．9 C．6 D．7答案：D知识点：轴对称-最短路线问题；三角形的三边关系解析：解答：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、B、P在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：D．分析：当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以当ABP在同一直线上时，PA与PB之差最大＝AB＝7．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF ＋EF 的最小值为（ ）．A ． 13120 B ． 10 C ． 12 D ． 13 答案：A知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质；勾股定理解析： 解答：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ， ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴M 在AB 上，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：AD ＝22513-＝12，∴S △ABC ＝21×BC ×AD ＝21×AB ×CN ， ∴CN ＝AB AD BC ⨯＝131210⨯＝13120， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM≥CN ，即CF ＋EF≥13120，即CF ＋EF 的最小值是13120， 故答案为：A ． 分析：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD ，根据三角形面积公式求出CN ，根据对称性质求出CF ＋EF ＝CM ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥13120，即可得出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题14．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA ＋PE 最小，则这个最小值是（ ）．A ． 32B ． 4C ． 52D ． 5答案：C知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质解析：解答：如图，连接BE ，则BE 就是PA ＋PE 的最小值，∵Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴CE ＝2cm ，∴BE ＝20＝52，∴PA ＋PE 的最小值是52．故答案为：C．分析：要求PA＋PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题15．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD 的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A．1100 B．1200 C．1300 D．1400答案：C知识点：轴对称-最短路线问题；勾股定理解析：解答：点B关于CD的对称点E，由对称的性质可知，BD＝ED，∠EDM＝∠MDB，DM＝DM，∴△MDE≌△MDB，∴BM＝ME，BM＋AM＝ME＋AM＝AE，即AE为牧童要走的最短路程．∵EN＝CD＝500米，AN＝NC＋AC＝700＋500＝1200米，∴在Rt △ANE 中，AE ＝22EN AN +＝221200500+＝1300米． 故牧童至少要走1300米．分析：在CD 边上找一点M ，使AM 和BM 的和最小，延长BD 到E 点，使BD ＝DE ，连接AE 交CD 边于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N ，则AE 为所求的长即牧童最少要走的距离．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习 试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题二、填空题（共5小题）1．如图，已知AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A 、D ，AD ＝6，AB ＝5，CD ＝3，P 是线段AD 上的一个动点，设AP ＝x ，DP ＝y ，92522+++=y x a ，则a 的最小值是______．答案：10知识点：相似三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：由题意可得，当BPC 三点在同一直线时，a 的值最小．则△ABP ∽△DCP ，x ＝415，y ＝49， 则a 的最小值是10．分析：首先确定当BPC 三点在同一直线时，a 的值最小．然后根据相似三角形的性质计算． 题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题2．已知如图所示，∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为_____．答案：100°知识点：多边形内角与外角；三角形相关概念；轴对称-最短路线问题解析：解答：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△PAB 的周长最小，由题意可知∠P 1PP 2＝180°－∠MON ＝180°－40°＝140°， ∴∠P 1PA ＋∠P 2PB ＝∠P 1＋∠P 2＝180°－∠P 1PP 2＝40°，∴∠APB ＝140°－40°＝100°．故答案为：100°．分析：作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_____．答案：5知识点：等边三角形的性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题解析：解答：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝2，∵D 是BC 边的中点，∴BD ＝1，根据勾股定理可得DC′＝22'BD BC +＝51222=+． 故答案为：5．分析：首先确定DC′＝DE ＋EC′＝DE ＋CE 的值最小．然后根据勾股定理计算．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题4．已知：如图所示，M （3，2），N （1，－1）．点P 在y 轴上使PM ＋PN 最短，则P 点坐标为_________．答案：（0，－41） 知识点：点的坐标；一次函数的应用；轴对称-最短路线问题解析：解答：根据题意画出图形，找出点N 关于y 轴的对称点N′，连接MN′，与y 轴交点为所求的点P ，∵N （1，－1），∴N′（－1，－1），设直线MN′的解析式为y ＝kx ＋b ，把M （3，2），N′（－1，－1）代入得：⎩⎨⎧-=+-=+123b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4143b k ，所以y ＝43x －41， 令x ＝0，求得y ＝－41， 则点P 坐标为（0，－41）．分析：找出点N 关于y 轴的对称点，连接M 与对称点，与y 轴的交点为P 点，根据两点之间，线段最短得到此时点P 在y 轴上，且能使PM ＋PN 最短．根据关于y 轴对称点的特点，找出N 对称点的坐标，设出直线MP 的方程，把N 的对称点的坐标和M 的坐标代入即可确定出直线MP 的方程，然后令x ＝0求出直线与y 轴的交点，写出交点坐标即为点P 的坐标． 题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4，E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，则（1）EF ＝____；（2）若D 是BC 边上一动点，则△EFD 的周长最小值是____．答案：2；2＋213知识点：勾股定理；轴对称-最短路线问题；三角形中位线定理解析：解答：（1）∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC ＝4，∴EF ＝21BC ＝21×4＝2； （2）延长FC 到P ，使FC ＝PC ，连接EP 交BC 于D ，连接ED 、FD ，此时ED ＋FD 最小，即△EDF 的周长最小，∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∵∠C ＝90°，∴∠EFC ＝90°，FC ＝PC ＝21AC ＝23， ∵在Rt △EFP 中，EP ＝22FP EF +＝22)3232(2++＝213，∴△EDF 的周长为：EF ＋FD ＋ED ＝2＋ED ＋PD ＝2＋EP ＝2＋213，故答案为：2；2＋213．分析：（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题三、解答题（共6小题）1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．答案：（1）见解析；（2）AM＋AN＝BM＋BN知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：（1）如图所示．画法：①作点M关于射线OP的对称点M'，②连接M'N交OP于点A．③作点N关于射线OQ的对称点N'，④连接N'M交OQ于点B．（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．分析：（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；（2）根据轴对称性质求出即可．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：如图分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN 的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．分析：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P 点即为所求点．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC＝EC，同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，∵ET＋TR＋FR＞EF，∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．分析：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC＝EC，BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题5．已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．。
人教版八年级数学上册第13章 轴对称4 课题学习 最短路径问题
yA
的周长最小时点 C 的坐标是（ A ）
C′
A．(0，3)
B．(0，2)
C
C．(0，1)
D．(0，0)
B′
解析：作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，O E B x
交 y 轴于点 C′，此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A
与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，再证明△B′OC′ 为
找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，
找出此点，并说明理由； D
C
A
P
B
C' 图①
（2）如图②，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、
OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的
三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由；
P'
A
E P
OF
B
P'' 图②
（3）如图③，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、 OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的 四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
A
2. 把 B 平移到岸边；
M
3. 把桥平移到和 A 相连； 4. 把桥平移到和 B 相连.
N B
1. 把 A 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
A
A'
M
N B' B
2. 把 B 平移到岸边. AM + MN + BN 长度改变了
3. 把桥平移到和 A 相连.
A M
N B
4. 把桥平移到和 B 相连.
边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（ B ） A
秋季八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题导学课件新版新人教版
1. 龟兔赛跑新规则：参赛者从 A 点出发到达直线 a 上任意一点 C 后，再回到直线 a 同侧的终点 B，最先达 到终点者胜，下图中的四个图是为他们设计的路线，其 中路程最短的是( C )
∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°， ∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°. ∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″ ＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
1．最短路径问题的类型：①“两点一线”型；②“两线 一点”型；③“两点两线”型；④“造桥选址”型．
2．解决最短路径问题的策略：利用“两点之间，线段 最短”，或“垂线段最短”的性质，借助轴对称或平移的知 识，“化折为直”．
3．解决三角形或四边形周长最小问题的方法：作定 点关于某一直线的对称点，利用轴对称的性质，把几条 线段转化到同一线段上去，再利用“两点之间，线段最短” 加以解决．
2. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D ＝90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，当△ AMN 周长 最小时，∠AMN＋∠ANM 的度数为多少？
解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″， 交 BC 于点 M，交 CD 于点 N，则 A′A″即为△ AMN 的周 长最小值．作 DA 的延长线 AH.
1.如图，正△ ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥ AB， 且△ ABC 与△ A′BC′关于直线 l 对称，D 为线段 BC′上一 动点，则 AD＋CD 的最小值是( A )
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案2新版新人教版
八年级数学上册教案：13.4 课题学习最短路径问题教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程方法提炼： 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC ，这样问题就转化为“点P ，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小”．问题5 造桥选址问题 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解题经验独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决提炼思想方法：轴对称，线段和最短体会转化思想，体验轴对称知识的应用BlABCCABC PQ 山河岸大桥方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学内容与教师活动 学生活动设计意图 三、巩固训练 1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN 和PQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法，为课本例题奠定基础.A 1NＮ１ Ｍ１MA。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题导学案(新版)新人教版-(新版)新
课题学习最短路径问题——轴对称在解决“最短路径问题”的应用一、新课导入1.导入课题：屏幕展示教材第85页问题1的文字和图标.2.学习目标：(1)能利用轴对称变换解决实际问题.(2)能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）3.学习重、难点：重点：路径极值问题的转换方法.难点：路径极值问题的说理证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第85页的问题1.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：经历“作图——探究——归纳——总结”过程，体验用轴对称的性质解决生活中的求最短距离问题的实质.(4)自学参考提纲：①轴对称具有什么性质？如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②思考：问题1中的情境问题可以转化怎样的几何问题？试作出几何图形来表示.③马从A到河边再到B的路径是一个折线，求折线的最小值，可联想到两点之间的距离，所以可将三个点转化到同一直线上.④如图，AC如何转化使A、C、B在同一直线上呢？作B点关于l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则A、C、B′在同一直线上.⑤按“两点之间线段最短”，A通过怎样的变换确定的C点保证变换后的A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上呢？作A点关于l的对称点A′，则A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上.2.自学：认真阅读教材第85页内容，参照自学参考提纲试着找出解决问题的办法.3.助学：(1)师助生：①明了学情：最短路径问题是轴对称知识在生活中的运用，寻找解题思路是个难点.②差异指导：先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，完成②，然后在②的基础上寻找解决③的办法及依据.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生明白此类题的作图方法.(2)练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图：P点即为该点.1.自学指导：(1)自学内容：教材第86页的问题2.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读课文，边看文字，对照图形，边体会教材上作图的方法和依据.(4)自学参考提纲：①回忆问题1是用什么办法解决最短路线问题的？作对称点.②问题2中点A、点B在河的两侧，而河岸存在两条直线，这个问题怎么解决？通过图形变化，转化为求一条直线两侧的点的最短距离.③由于河宽一定，要求AM+MN+NB最小，实际上就是要求AM+NB最小？④如何在直线b上确定一点N，使A′N=AM？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则A′N=AM.2.自学：学生结合自学参考提纲研学课文内容.3.助学：(1)师助生：①明了学情：问题2较问题1更复杂，本质上是一回事，注意了解学生的思维障碍.②差异指导：a.先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，然后引导学生思考如何将AM、NB转化到同一直线上.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生说明作图的思路、依据及方法.(2)完成教材第93页15题.解：过A作关于MN的对称点A′，过B作关于l的对称点B′，连接A′B′交MN于P，交l于Q点，连接AP、BQ.则A→P→Q→B就是所示的最短路径.(3)教材第87页“归纳”.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获有哪些？困惑在哪里？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.一、基础巩固（每题20分，共60分）1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.解:2.要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？试作图确定泵站并加以说明.解：如图，P处即为泵站的位置.3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.二、综合应用（20分）4.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图:作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.三、拓展延伸（20分）5.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.。
八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》同步训练(含解析)
最短路径问题·一．选择题（共6小题）;1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为;（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是;（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边;C．两点之间，线段最短;D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角;3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）;A．3 B．4 C．5 D．64．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为;（）A．4 B．6 C．8 D．95．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）;A．4 B．5 C．6 D．76．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为;（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°二．填空题（共6小题）;7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．;8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为; ．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是．;10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．;11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．;12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为．;三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．;;14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．人教版八年级数学上册13.3.4《课题学习最短路径问题》同步训练习题（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°考点：轴对称-最短路线问题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF 的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点：轴对称-最短路线问题．分析：利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．解答：解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．解答：解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．∵AE=DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG=AD=4．故选B．点评：本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．4．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．9考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质．专题：探究型．分析：先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．解答：解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，∴BE=CE=CE′=6，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴CD∥AB，∴=，即=，解得CF=3，∴DF=CD﹣CF=9﹣3=6．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．5．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．解答：解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和C重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，由勾股定理得：AC===4，故选A．点评：本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．6．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．二．填空题（共6小题）7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．解答：解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．故答案为：．点评：本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 4 ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D=5，即可求得A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4，从而得出PA+PG的最小值．解答：解：∵EF=2，点G为EF的中点，∴DG=1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB=2，AD=3，∴AA′=4，∴A′D=5，∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；∴PA+PG的最小值为4；故答案为4．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是2+．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∵点E、F的速度相等，∴AE=BF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE+∠BOE=90°，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，EF===．∴当x=1时，EF有最小值为．∴OE=OF=1．∴△OEF周长的最小值=2+．故答案为：2．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是10 ．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：要求HE+HF的最小值，HE、HF不能直接求，可考虑通过作辅助线转化HE、HF的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图：作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，连接AC交BD于O．则E′F就是HE+HF的最小值，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴E′F AB，而由已知△AOB中可得AB====10，故HE+HF的最小值为10．故答案为：10．点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△A BC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为（0，3）．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为（﹣，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B，交x轴于P，则P即为所求的点，然后用待定系数法求出直线A′B的解析式，求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵点A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（1，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=﹣．∴P（﹣，0）．故答案为（﹣，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（5，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=x﹣1，当y=0时，x=1．∴P（1，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）考点：轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．分析：利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．解答：解：如图所示：点E即为所求．点评：此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A点对称点是解题关键．（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为100万元．考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可．解答：解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE 中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．故答案为100万元．点评：此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．解答：解：（1）由题意结合图形知：AB=4，BP=x，CP=4﹣x，CD=2，∴AP==，DP===；当x=2时，AP+DP=+=2+2；（2）存在．如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，∴A′E=4，DE=6，则A′D====，∴最小值为2．点评：本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键．。
近年-近年学年八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教案新人教版(最新整理)
13.4 课题学习最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典故事---—“将军饮马问题"为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置:1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点:重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短"问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学生学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导.此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范,集合演绎推理能力有待加强.2、学生已经学习过“两点之间，线段最短”“垂线段最短"以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学策略分析:最短路径问题从本质上说是最值问题,作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生,无从下手。
解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C,使AC与BC的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和,这种思路和方法,一些学生想不到。
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13.4 课题学习最短路径问题
[学生用书P63]
1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )
A．40° B．100° C．140° D．50°
图13-4-6
2．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?
图13-4-7
3．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.
(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．
图13-4-8
4．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )
图13-4-9
A B
C D
5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．
图13-4-10
6．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )
图13-4-11
A．4 B．3 2
C．2 D．2＋ 3
参考答案
【归类探究】
例1略例2略
【当堂测评】
1．B 2.D 3.略
【分层作业】
1．B 2.略
3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；
(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。