北师大版数学八年级下册4.6探索三角形相似的条件(二)
北师大版-数学-八年级下册-4.6探索三角形相似的条件2
A’
C’
A
C
B’
B
今天的收获是什么? 你还有什么疑惑吗?
P138
作业：习题4.8
伟大的发现
两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形是相似三角形.
全等三角形的判定
SSS ASA AAS SAS 没有 SSA
如果两边对应成比例一 个边的对角相等, 两个三角形 相似吗?
4cm 50°
3.2cm 2cm 1.6cm 50°
从中你能得到什么结论吗?
图中△ABC和△A’B’C’相似 吗？你有哪些判定方法？
伟大的发现
三边对应成比例的两个三角 形是相似三角形.
全等三角形的判定
SSS ASA AAS SAS
如果一个角相等,夹这个 角的两边对应成比例,两个三 角形相似吗?
画△ABC和△A’B’C’ ,使得 ∠A=∠A’, AB:A’B’=AC:A’C’=k. (1) 比较∠B与∠B’的大小; (2) △ABC和△A’B’C’相似吗?为什么? 改变的值,再试一试.
探索三角形相似的条件2
全等三角形也就是说:三边对应的比等于1时， 两个三角形全等 相似
由此你能联想到什么？
三边对应的比等于k时,两 个三角形会怎样呢？
画△ABC和△A’B’C’ ,使得 AB:A’B’=BC: B’C’ =CA:C’ A’ =k. (1) 比较三个对应角的大小; (2) △ABC和△A’B’C’相似吗?为什么? 改变的值,再试一试.
4.6探索三角形相似的条件(2)
4.5相似三角形
三角形相似需要一些什么条 件?今天我们就来讨论一下这个 问题!准备好了吗? 问题!准备好了吗?
那这 样变化一 下呢？ 下呢？
相似三角形定义：我们把对应角相等 相似三角形定义： 成比例的两个三角形叫做 两个三角形叫做相 、对应边成比例的两个三角形叫做相 似三角形。 似三角形。
A'
B'
A
问题： 问题：
在△ABC 和△ A'B'C'中, 中
∠A=∠A'，∠B= ∠B'
B A' C 是否相似? △ABC与△ A'B'C'是否相似 与 是否相似
判定定理1 判定定理1：如 果一个三角形的两 果一个三角形的两 个角与另一个三角 个角与另一个三角 形的两个角 两个角对应相 形的两个角对应相 等，那么这两个三 角形相似 相似。 角形相似。可以简 单说成： 两角对应 两角对应 相等，两三角形相 相等，两三角形相 似。
B'
C'
用数学符号表示： 用数学符号表示：
A A'
咦？是 这么表示 的？
B
C
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∠ ， ∠ ∴ ∆ABC ∽ ∆A'B'C'
练习： 练习：
∆ABC和∆DEF中， ∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°。 ∆ABC与∆DEF 相似 （“相似”或 “不相似”）。 D
A
40° 80° ？ 80° 60°
动 动 手 啊
B
C
E
F
练习2 练习2 有一个锐角相等的两直角三 角 三角形？ 形是否为相似 三角形？
4.5探索三角形相似的条件(2)
3.如图，P是△ABC的边AB上的一点。 （1）如果∠ACP= ∠B, △ACP与△ABC是否相似？为什么？
AB AC 和 都等于给定的值k. / / / / AB A C 设法比较B与B / (或C与C / )的大小。ΔABC和 ΔA /B / C / 相似吗？ 1 先画一个三角形，然后 分别取其中两边的 或k倍作为两边 k 画三角形。 /
A A
B/ B
C/
C
改变k值的大小， 再试一试。
判定三角形相似的定理之二
4.如图，画一个三角形，使它与△ABC相似， 且相似比为1 ∶2.
画法不唯一。例如，分别取AB 和AC两边的中点D,E,连接DE，则 △ADE与△ABC相似，且相似比 为1 ∶2.
又如，在BA的延长线上、CA的延长线上分别截取
1 1 AD AB , AE AC , 连接DE，则△ADE与△ABC相似， 2 2
AE 3 AC 4 AD 3 AB 4 AD AE AB AC
1.5
2
又∵∠EAD=∠CAB
DE AD 3 BC AB 4
3
3 3 9 DE BC 3 4 4 4
∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∵BC=3
练习 1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ A
两边及其中一边的对角
小明和小颖分别画出了如图所示的三角形，由此你能得 到什么结论？
A
4
B
50°
教案类：北师大版数学《探索三角形相似的条件》+教学设计
《探索三角形相似的条件》（一）锁定问题1、提出问题：（1）什么是相似三角形？（2）你能说出三角形全等有哪些判定方法吗？这些结论是如何得到呢？（3）类比三角形全等的判定，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？问题提出以后，问题（1）、（2）由学生口答。
问题（3）组织学生分小组进行讨论，然后全班交流，并对学生提出的判断三角形相似的条件进行归纳整理，将猜想归纳整理为三类，即只与角有关的猜想；只与边有关的猜想；与边和角有关的猜想。
并指出本节课我们只研究与角有关的猜想。
（二）解决问题的途径和方法：1、分析猜想：（1）猜想一：一个角对应相等的两个三角形相似；（2）猜想二：两个角对应相等的两个三角形相似；（3）猜想三：三个角对应相等的两个三角形相似。
2、猜想结果：根据已有的数学知识和方法，设计方案并验证“两个角对应相等的两个三角形相似”。
对于猜想一，由学生举出反例说明不成立(例如:等边三角形与含60°角的直角三角形)。
对于猜想三，根据三角形内角和，可将猜想三与猜想二化归为同一个猜想。
对于猜想二，组织学生以四人小组为单位自主设计验证方案并进行验证。
首先，由小组讨论出验证方案，教师组织学生进行交流。
其次，由小组根据方案操作验证。
学生根据小组确定的对应相等的两对角画三角形时，可能会遇到不会画三角形的困难，教师对有困难的小组给予指导。
当三角形画出以后，学生有可能根据三角形的大小、形状，凭直觉来判断两个三角形相似，这时教师要引导学生回归到定义去判定，学生需要测量所画三角形三边的长度，并用科学计算器计算三对对应边的比，从而验证两个三角形是否相似。
最后，教师对各小组的成果进行点评。
1、利用多媒体课件演示，验证“有两个角对应相等的两个三角形相似”。
2、明晰：两角对应相等的两个三角形相似。
符号表述：∵ ∠B=∠B’，∠C=∠C’， ∴ △ABC ∽△A’B’C’.C'C B'BA'AC'C B'BA'A在用多媒体课件演示的过程中，引导学生注意从两个层次观察、思考： 在△ABC 和△A’B’C’中，在∠B=∠B’， ∠C=∠C’的条件下， （1）改变两个角∠B （或∠B’）和∠C （或∠C’）的大小时，观察第三对角是否相等，三角形的三对对应边的比是否相等，是否符合三角形相似的定义；（2）改变三角形的形状，当三角形分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形时，判断两个三角形是否相似。
4.6 探索三角形相似的条件(2)比赛课件
探索三角形相似的条件（二）
课程说明 教学目标 复习回顾 问题猜想 验证猜想 课程小结 习题练习
1、三角形相似的判定方法一： 两角对应相等的两个三角形相似。 2、相似三角形的的性质： 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 3、如图：∠ADE=∠B，AD=4，AB=6，ED=3，求BC的长度。
A E
解：∵∠A=∠A ∠ADE=∠B ∴△AED∽△ABC
探索三角形相似的条件（二）
课程说明 教学目标 复习回顾 问题猜想 验证猜想 课程小结 习题练习
探究活动二：验证猜想2 （2）你们画的△ABC与△DEF相似吗？为什么？ 解：△ABC与△DEF相似 理由：∵∠B=∠E=50° ∠A=∠D ∴△ABC∽△DEF 思考：当我们改变对应边的比值或夹角的时候， 两个三角形还会相似吗？ 动画演示
∴ △ABC∽A'B'C'
下一题
探索三角形相似的条件（二）
课程说明 教学目标 复习回顾 问题猜想 验证猜想 课程小结 习题练习
2、判断右图中△AEB和△FEC是否相似？ 解： ∵
EF 36 2 AE 54 3 EF EC AE BE EC 30 2 BE 45 3
∴
又 ∵∠FEC=∠AEB ∴△FEC∽△AEB （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
DE EF DF
成比例 0.5 它们对应成比例吗？_____ _____；比值K=____ （2）画出△ABC与△DEF，再测量出∠A，∠D, ∠B， ∠E，∠C与∠F的大小？它们有什么关系？
E
2
B
4
3
4
C D
6 F
8
A
探索三角形相似的条件（二）
课程说明 教学目标 回顾引入 问题猜想 验证猜想 课程小结 习题练习
初二数学最新课件-探索三角形相似的条件二[下学期]北师大版1 精品
![初二数学最新课件-探索三角形相似的条件二[下学期]北师大版1 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/c05c1f7c964bcf84b9d57b73.png)
练一 3.若两个相似三角形的相似练比是 2∶5，则对应高的比是_ _____.
4.两个相似多边形面积比是4∶5， 它们的周长比是________.
5.一个运动场的实际面积是 6400m2，按比例尺1∶1000的地 图上的面积是________.
想一想：在问题二中如果这个角是这两条边中 其中一条边的对角呢？
例1.下面两个三角形是否相似?为什么?
A
4cm
5cm
D
2cm
2.5cm
B
CE
7cm
解:在△ABC和△DEF中.
3.5cm F
AB 4 2. DE 2 BC 7 2. EF 3.5
AC 5 2. DF 2.5
AB BC AC. DE EF DF
动脑筋
(3) 如 图 ， 若 AB∥CD ， AD 、 BC 交于O，则△ACO∽△BDO (×)
(4)如图，若AB∥CD，AD、BC 交于O，则△AOB∽△DOC (√ ) 判 断
判断
(5)全等三角形都是相似形（√ ）
Байду номын сангаас
(6)相似三角形面积的比等于周长
比的平方.
（√ ）
(7)有一个角相等的两个菱形相似√.
4.6探索三角形相似 的条件（2）
初二备课组
回顾与反思☞
相似三角形的相关概念
三个角对应_______ 三条边对应________的两 个三角形, 叫做相似三角形
相似三角形的 _______ ，各对应边________ . 相似比等于______的两个三角形全等.
注意：
八年级数学下册 4.6探索三角形相似的条件教案 北师大版 教案
探索三角形相似的条件（一）教案教学目标1、经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，探索两个三角形相似的条件，进一步发展学生的探究、合作交流能力，以及动手、动脑和谐一致的习惯；2、初步掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定；3、能够运用三角形相似的条件解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
教学重点、难点经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，加强知识发生发展过程和渗透数学思想方法的教学，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
课前准备1、多媒体课件；2、学具：量角器、三角板；3、教具：三角尺、量角器。
教学过程一、复习旧知，谈话揭题同学们，今天我们学习的内容是“探索三角形相似的条件”。
（开门见山，揭题、揭趣――提出本堂课要研究的问题，明确学习目标）近年来随着城市建设的巨大变化、人民生活水平的改善，人们对居住的环境要求也越来越高，绿化面积就是购房的主要选择标准之一。
有一天，有两位建筑施工人员正在为了他们所砌的两个三角形草坪是不是相似三角形而与监管人员争议不休，请同学们帮忙解决一下。
（学生回答：三角形相似的定义可以解决）三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似，要同时用到六个元素，判定时感觉太繁琐，想不想找一些简单的方法来判定两个三角形相似呢？教师引导两个三角形相似仅仅是大小的不同,也就是边按一定的比例放大或缩小,而角的大小与边的长短无关。
（此处可让学生回忆用放大镜看角实验）思考：如果两个三角形有若干个角对应相等会相似吗？（进一步激发学生的学习欲望，引出用类比方法探究，顺利实行旧知到新知的迁移）二、画一画，量一量，得出结论问题一：一角对应相等，两三角形相似吗？画一个△ ABC,使得∠BAC =60°.与同伴交流,你们画得三角形相似吗?答：不一定相似（在此要提问学生为什么不相似？）问题二：两角对应相等的两个三角形相似吗?与同伴合作，一人画△ ABC, 另一人画△ A′B′C′, 使得∠A和∠A′都有等于给定的∠α(如30), ∠B和∠B′都等于给定的∠β (如 45),比较你们画的两个三角形相似吗?答：相似（在此要提问学生为什么相似？）问题三：改变∠α(如60)和∠β (如 75)的大小,再试一试。
北师大版-数学-八年级下册-4.6探索三角形相似的条件 素材 判定三角形相似的方法全攻略
判定三角形相似的方法全攻略判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似. 二、由三边的比判定三角形相似1、判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.2、推理形式：如图1所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CAC B BC B A AB '=''=''，那么△ABC ∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.例1 如图2，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为( )解析:由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC=2，BC=2，AB=10;图A 中三角形三边长为1，,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1，,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==故对应边的比相等;同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.三、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似.简单说成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2、推理形式：如图1，在△ABC 和△C B A '''中，如果,,A A A C CAB A AB '∠=∠'=''那么△ABC ∽△C B A '''.例2 如图3，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.⑴填空：∠ABC=_____，BC=_____;图3' 图1A 图2D⑵判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.解析：⑴利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC=18045135-=，由勾股定理得BC=222222=+;⑵△DEF 中，∠DEF=135，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB=2，BC=22；EF=2，DE=2.∵,2222,222====EF BC DE AB ∴ EFBCDE AB =且∠ABC=∠DEF=135，∴△ABC ∽△DEF. 技巧点拨：本题是网格中的形似问题，首先要用正方形的性质和勾股定理求出相等的角和边长.再利用两组对边的比相等，夹角相等的两个三角形相似来判断，本题的另一种方法就是利用三边的比对应相等的两个三角形相似来判断，本题的易错点是不少同学认为：因为,,2222,122DE BCEF AB DE BC EF AB ≠====，故这两个三角形不相似.网格中的数学问题是近几年中考的热点题型，预计这类问题在今后的中考中有所加强. 四、由两角判定三角形相似1、判定方法：如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两个三角形相似。
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合作交流，探索结论
小组内左中右的三个同学分别做 △A1B1C1; △A2B2C2; △A3B3C3,满足 A1B1=4cm;B1C1=3cm;C1A1=2cm
A2B2=6cm;B2C2=4.5cm;C2A2=3cm
A3B3=8cm;B3C3=6cm;C3A3=4cm
合作交流，探索结论
以小组为单位计算一下△A1B1C1与 △A2B2C2的对应边是否成比例，比 较一下对应角是否相等？ 是否相似？ △A1B1C1 与△A3B3C3呢？ △A2B2C2与△A3B3C3呢？
你有什么结论？
独立思考——合作交流
如图，△ABC与△A’B’C’相似吗？ 你有哪些判断方法？
达标练习
一、如图要得到△ABC∽ △DEF若∠A=∠D， E 那么再添加条件∠___=∠___或∠____=∠___ B C F 或 _______即可得到△ABC∽ △DEF； 若 A D 那么再添加条件∠___=∠___ 或 _______
探索三角形相似的条件（2）
温故而知新
一般三角形全等的判定方法 除了ASA；AAS还有哪些？
SSS：三边对应相等的两个三角形全等 SAS：பைடு நூலகம்边及其夹角对应相等的两个三角 形全等
方法类比，大胆猜想
大家大胆的猜想一下三角形相似的条件还有 哪些？ 三边对应成比例的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似。
如图所示的两个三角形是否相似？
由此你得到什么结论？
小试牛刀，练习应用
3、图中的三角形相似吗？为什么？
（1）
（2）
△ADE∽△ABC
△ADE∽△ABC
小试牛刀，练习应用
（4） （3）
△ADE∽△ABC
△AED∽△ABC
一个直角三角形的斜边和一条直角边的 长分别为5cm和3cm，另一个直角三角 形的斜边和直角边分别为10cm和6cm， 这两个直角三角形是否相似？
达标练习
二、如图在△ABC中CE⊥AB，BF⊥AC求证（1） △ABF∽△ACE（2） △AEF∽△ACB
小结
请同学们谈一谈这节课的收获？ 作业（抄题画图）：1,2
3.如图，正方形ABCD的边长为4， CP=1，Q是CD的中点，△ADQ与 △QCP是否相似？为什么？
探索结果： 三边对应成比例的两个三角形相似；
几何语言：
小试牛刀，练习应用
1、图中的三角形相似吗？为什么？
合作交流，探索结论
小组内左中右的三个同学分别做 △A1B1C1; △A2B2C2; △A3B3C3,满足 ∠A1=40°A1B1=4cm; A1C1=2cm
∠ A2=40°A2B2=6cm; A2C2=3cm
∠ A3=40°A3B3=8cm; A3C3=4cm
合作交流，探索结论
以小组为单位比较一下∠B1，∠B2，∠B3 的大小（或∠C1，∠C2，∠C3） △A1B1C1; △A2B2C2; △A2B2C2;是否相 似？ 探索结果：
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
几何语言：
仔细观察，认真思考