7.4平面向量的内积--中职数学第二册

高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件

学习必备欢迎下载【课题】7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式 . 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础能力目标：.通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（ 1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3） cos<a,b>＝a b，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基| a || b |础；（ 4）“a·b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】学习必备欢迎下载教学课件．【课时安排】2课时． (90 分钟)【教学过程】教学过程*揭示课题7.3平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30Os图 7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100N 的力，朝着与水平线成30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F x i + y j F sin30i F cos30j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即3W ＝｜F｜cos 30·｜s｜＝ 100×·10＝5003 （J）教师学生教学时行为行为意图间介绍了解0从实例出质疑思考发使学生自然的走向知识点引导自我分析分析5总结思考带领归纳学生分析2学习必备欢迎下载教学教师过程行为yF(x,y)jO i x图 7－22这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它仔细等于由两个向量 F， s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫分析做向量 F 与向量 s 的内讲解积 ,它是一个数量，又叫A关键做数量积．a词语如图 7－ 23，设有两ObB 图 7－23个非零向量 a, b，作OA＝ a, OB＝ b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量 a 与向量 b的夹角，记作 <a,b>．两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即a· b＝｜ a||b|c os<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F·s.由内积的定义可知a· 0＝0, 0· a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：学生教学时行为意图间理解引导记忆式启发学生得出结果15（1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝|a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b ＝- |a||b|.（ 2）cos<a,b>＝a b.思考| a || b |教学教师学生过程行为行为（3）当b＝a时，有 <a,a>＝ 0，所以a·a＝ |a||a|＝ |a|2，即 |a|＝ a a .（ 4）当a, b90 时，a总结b ，因此， a · b ＝归纳a b cos900, 因此对非零向量a ，，有ba·b＝0 a b.理解可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（ 1）a· b＝b· a．教学意图带领学生分析时间（ 2）( a )·b＝(a·b)＝a·(b)．（ 3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b· c)≠（ a· b）·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|＝ 3,|b|＝2, <a,b>＝60 ,求a·b．解 a· b＝|a||b| cos<a,b>＝3×2×cos60＝3．例 2 已知 |a|＝ |b|＝ 2 ,a·b＝ 2 ,求<a,b>．解cos<a,b>＝a b＝2＝-2. | a ||b | 2 22由于0≤ <a,b>≤180，所以<a,b>＝ 135 ．*运用知识强化练习1.已知 |a|＝ 7， |b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．2.已知 a· a＝9,求|a|．3.已知 |a|＝ 2,|b|＝ 3, <a,b>＝30，求 (2a＋b)·b．仔细分析记忆讲解关键词语说明思考强调引领主动求解提问思考巡视口答指导反复强调注意观察学生是否理解知识点及时了解学生知识掌握得情况304045教学过程教师行为学生行为教学意图时间*动脑思考探索新知设平面向量a＝( x1,y1),b＝(x2,y2)， i，j 分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥ j，故 i· j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a· b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)＝ x1 x2i ?i＋ x1 y2i ?j＋ x2 y1i ?j＋ y1 y2j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，总结思考即归纳归纳a· b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝( x,y)，则a a a x2y2，即带领a2y2(7.12)学生x总结由平面向量内积的定义可以得到，当a、b 是非零向量时，cos<a,b>＝a b＝x1x2y1 y2.(7.13)| a || b |x12y12x22y22仔细理解分析记忆利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝0，由公式(7.11)可知讲解关键a· b＝0x1 x2＋ y1 y2＝ 0．词语因此60a b x1 x2＋ y1y2＝ 0．(7.14)利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．* 巩固知识典型例题说明观察例 3 求下列向量的内积：强调（ 1）a＝(2,- 3), b＝(1,3)；讲解（ 2）a＝(2, - 1), b＝(1,2)；说明教学过程（3）a＝ (4,2), b＝ (- 2, - 3)．解 (1) a·b＝ 2× 1＋ (- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝2×1＋(- 1)×2＝0；(3)a· b＝2×(- 2)＋2×(- 3)＝- 14．例 4 已知a＝ (- 1,2),b＝( - 3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．解a· b＝(- 1)( - 3)＋2×1＝5；教师学生行为行为引领思考讲解主动说明求解教学时意图间注意|a|＝ a a( 1)222 5 ；|b|＝ b b( 3)21210 ；cos<a,b>＝a b＝5210 5，| a || b|2所以<a,b>＝ 45 ．例 5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(- 2, 3),b＝(6, 4)；(2)a＝(0, - 1),b＝(1, - 2)．解(1) 因为a·b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝0，所以a b．(2)因为 a·b＝0×1＋(- 1)×（- 2)＝2，所以 a 与 b 不垂直．*运用知识强化练习1．已知a＝ (5, - 4)，b＝ (2,3)，求a·b．2．已知a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知a＝ (2, - 3)，b＝ (3,－4)，c＝ (- 1,3),求a·( b＋c)．引领观察分析思考求解强调含义领会说明思考求解启发思考引导了解观察学生是否理解知识点反复强调70及时了解学生4.判断下列各组向量是否互相垂直：提问动手(1)a＝(- 2, - 3)，b＝(3, - 2)；(2)a＝(2,0)， b＝(0, - 3)；巡视求解(3)a＝(- 2,1)， b＝(3,4)．指导5.求下列向量的模：(1) a＝ (2, - 3)，(2) b＝(8, 6 )．知识掌握得情况80教学教师学生过程行为行为* 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义 ?质疑回答结论：两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即归纳a· b＝｜ a||b|c os<a, b>强调(7.10)a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．教学时意图间及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝ (5, - 4),b＝ (2,3),求a·b．2.已知a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求a· (b＋c)．*继续探索活动探究( 1)读书部分：阅读教材( 2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做）；7.3 B 组（选做）引导回忆提问反思巡视动手指导求解说明记录检验学生学习效果88分层次要求( 3) 实践调查：编写一道向量内积问题并解答．【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；90学习必备欢迎下载学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；学生实践的情况在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

7.4平面向量的内积--中职数学第二册

a b a·b 0 x1x2 y1y2 0
典型题解
例3.求下列向量的内积：

(1) a (3,2),b (1,5)

(2) a (3,1),b (2,5)

(3) a (0,2),b (1,0)

例4.已知a (1,2) ，b (3,1)
ab
当a·b 0时 a 与b 的夹角是锐角或 0 当a·b 0时 a 与b 的夹角90 即 a b 当 a·b 0时 a 与b 的夹角是钝角.
3.向量内积的性质
(1)当 a 与 b 同向时，a·b a b
2

a a a a a 或 a a a
，求

a b
， a

，b
，
.
典型题解
例5.判断下列各组向量是否相互垂直：

(1) a (6,3),b (2,4)

(2) a (1,2),b (0,3)
课堂小结
一、平面向量的内积

1.两向量的夹角 a, b
00 1800
2. 两向量的内积 a·b a b cos
12
cos
=|
a b a || b

|
x1 x 2 y1 y 2 x12 y12 x 2 2 y 2 2
命题：a b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
感谢指导！
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角:
已知两个非零向量 a
和b
,作OA a ,OB b
则 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b 。

最新中职数学基础模块教学设计：平面向量的内积

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】⋅+⋅，i F j30cos30是水平方向的力与垂直方向的力的和，OA OB＝b,所形成的角叫做a与向量两个向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量解关键词180时，a,b>＝＝a时，有时，cos900,=因此对非零向量a·．a a=2+x由平面向量内积的定义可以得到，当45．判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。

高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件

【课题】7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式 . 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础能力目标：.通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（ 1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3） cos<a,b>＝a b，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基| a || b |础；（ 4）“a·b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时． (90 分钟)【教学过程】教学教师学生过程行为行为*揭示课题介绍了解7.3平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30O质疑思考s图7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100N 的力，朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前进了100引导自我m．那么，这个人做了多少功？分析分析教学时意图间从实例出发使学生自然的走向知识点5*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为 j，则总结思考带领归纳学生F x i +y j F sin30 i F cos30j ，分析即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W ＝｜F｜cos30 ·｜｜＝100×3· ＝5003（）s10J2教学教师过程行为yF(x,y)jO i x图7－ 22这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它仔细等于由两个向量 F， s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫分析做向量 F 与向量 s 的内讲解积 ,它是一个数量，又叫A关键做数量积．a词语如图 7－ 23，设有两ObB 图 7－23个非零向量 a, b，作OA＝ a, OB＝ b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量 a 与向量 b的夹角，记作 <a,b>．两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即a· b＝｜ a||b|c os<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F·s.由内积的定义可知a· 0＝0, 0· a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：学生教学时行为意图间理解引导记忆式启发学生得出结果15（ 1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝|a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b ＝ - |a||b|.（ 2）cos<a,b>＝a b.思考| a || b |教学教师学生过程行为行为（ 3）当 b ＝a 时，有 <a ,a >＝ 0，所以 a ·a ＝ |a ||a |＝ |a |2，即 |a |＝ a a .（ 4）当 a , b90 时， a总结b ，因此， a · b ＝归纳a b cos90 0, 因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝ 0 ab.理解可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（ 1） a · b ＝b · a ．教学意图带领学生分析时间（ 2） ( a )· b ＝ (a · b )＝ a ·( b )．（ 3） (a ＋ b )· c ＝ a · c ＋ b · c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a · (b ·c )≠（ a · b ）· c .请结合实例进行验证 .* 巩固知识典型例题例 1 已知 |a |＝ 3,|b |＝2, <a ,b >＝ 60 ,求 a · b ．解 a · b ＝ |a ||b | cos<a ,b > ＝ 3× 2× cos 60 ＝3．例 2 已知 |a |＝ |b |＝2 ,a · b ＝2 ,求 <a ,b >．解cos<a ,b >＝ab＝2＝ -2 .| a ||b |222由于0≤ <a ,b >≤ 180 ，所以<a ,b >＝ 135．* 运用知识强化练习仔细分析记忆讲解关键词语说明思考强调引领主动求解反复强调注意观察学生是否理解知识点及时30401.已知＝，＝， a 和 b 的夹角为 60 ，求 ·．|a | 7 |b | 4a b 提问思考2. 已知 a · a ＝9,求 |a |．巡视口答＝ 303.已知＝＝，求＋b )· ．|a | 2,|b | 3, <a ,b >(2a b指导了解学生知识掌握得情况45教学教师学生教学时过程行为行为意图间*动脑思考探索新知设平面向量a＝( x1,y1),b＝(x2,y2)， i， j 分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥ j，故 i· j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a· b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)＝ x1 x2i ?i＋ x1 y2i ?j＋ x2 y1i ?j＋ y1 y2j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝ x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a· b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝( x,y)，则aa a x2y2，即a x2y2(7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a、b 是非零向量时，cos<a,b>＝a b＝x1x2y1 y2.(7.13)| a || b |x12y12x22y22利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝0，由公式(7.11)可知a· b＝0x1 x2＋ y1 y2＝ 0．因此a b x1 x2＋ y1y2＝ 0．(7.14)利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂总结思考归纳归纳带领学生总结仔细理解分析记忆讲解关键词语60直的问题．* 巩固知识典型例题说明观察例 3 求下列向量的内积：强调（ 1）a＝(2,- 3), b＝(1,3)；讲解（ 2）a＝(2, - 1), b＝(1,2)；说明教学过程（3）a＝ (4,2), b＝ (- 2, - 3)．解(1) a·b＝ 2× 1＋ (- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝2×1＋(- 1)×2＝0；(3)a· b＝2×(- 2)＋2×(- 3)＝- 14．例4 已知a＝ (- 1,2),b＝( - 3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．解a· b＝(- 1)( - 3)＋2×1＝5；教师学生行为行为引领思考讲解主动说明求解教学时意图间注意|a|＝ a a( 1)222 5 ；|b|＝b b(3)21210 ；cos<a,b>＝a b＝52，| a ||b |10 52所以<a,b>＝ 45 ．例 5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(- 2, 3),b＝(6, 4)；(2)a＝(0, - 1),b＝(1, - 2)．解(1) 因为a·b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝0，所以a b．(2)因为 a·b＝0×1＋(- 1)×（- 2)＝2，所以 a 与 b 不垂直．*运用知识强化练习1．已知a＝ (5, - 4)，b＝ (2,3)，求a·b．2．已知a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知a＝ (2, - 3)，b＝ (3,－4)，c＝ (- 1,3),求a·( b＋c)．引领观察分析思考求解强调含义领会说明思考求解启发思考引导了解观察学生是否理解知识点反复强调70及时了解学生4.判断下列各组向量是否互相垂直：提问动手(1)a＝(- 2, - 3)，b＝(3, - 2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0, - 3)；巡视求解(3)a＝(- 2,1)， b＝(3,4)．指导5.求下列向量的模：(1) a＝ (2, - 3)，(2) b＝(8, 6 )．知识掌握得情况80教学教师学生过程行为行为* 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义 ?质疑回答结论：两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即归纳a· b＝｜ a||b|c os<a, b>强调(7.10)a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．教学时意图间及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝ (5, - 4),b＝ (2,3),求a·b．2.已知a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求a· (b＋c)．*继续探索活动探究( 1)读书部分：阅读教材( 2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做）；7.3 B 组（选做）引导回忆提问反思巡视动手指导求解说明记录检验学生学习效果88分层次要求( 3) 实践调查：编写一道向量内积问题并解答．【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；90学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；学生实践的情况在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件

学习必备欢迎下载【课题】7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式 . 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础能力目标：.通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（ 1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3） cos<a,b>＝a b，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基| a || b |础；（ 4）“a·b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】学习必备欢迎下载教学课件．【课时安排】2课时． (90 分钟)【教学过程】教学过程*揭示课题7.3平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30Os图 7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100N 的力，朝着与水平线成30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F x i + y j F sin30i F cos30j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即3W ＝｜F｜cos 30·｜s｜＝ 100×·10＝5003 （J）教师学生教学时行为行为意图间介绍了解0从实例出质疑思考发使学生自然的走向知识点引导自我分析分析5总结思考带领归纳学生分析2学习必备欢迎下载教学教师过程行为yF(x,y)jO i x图 7－22这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它仔细等于由两个向量 F， s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫分析做向量 F 与向量 s 的内讲解积 ,它是一个数量，又叫A关键做数量积．a词语如图 7－ 23，设有两ObB 图 7－23个非零向量 a, b，作OA＝ a, OB＝ b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量 a 与向量 b的夹角，记作 <a,b>．两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即a· b＝｜ a||b|c os<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F·s.由内积的定义可知a· 0＝0, 0· a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：学生教学时行为意图间理解引导记忆式启发学生得出结果15（1）当 <a,b>＝ 0 时，a·b＝|a||b|；当 <a,b>＝180时，a·b ＝- |a||b|.（ 2）cos<a,b>＝a b.思考| a || b |教学教师学生过程行为行为（3）当b＝a时，有 <a,a>＝ 0，所以a·a＝ |a||a|＝ |a|2，即 |a|＝ a a .（ 4）当a, b90 时，a总结b ，因此， a · b ＝归纳a b cos900, 因此对非零向量a ，，有ba·b＝0 a b.理解可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（ 1）a· b＝b· a．教学意图带领学生分析时间（ 2）( a )·b＝(a·b)＝a·(b)．（ 3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b· c)≠（ a· b）·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|＝ 3,|b|＝2, <a,b>＝60 ,求a·b．解 a· b＝|a||b| cos<a,b>＝3×2×cos60＝3．例 2 已知 |a|＝ |b|＝ 2 ,a·b＝ 2 ,求<a,b>．解cos<a,b>＝a b＝2＝-2. | a ||b | 2 22由于0≤ <a,b>≤180，所以<a,b>＝ 135 ．*运用知识强化练习1.已知 |a|＝ 7， |b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．2.已知 a· a＝9,求|a|．3.已知 |a|＝ 2,|b|＝ 3, <a,b>＝30，求 (2a＋b)·b．仔细分析记忆讲解关键词语说明思考强调引领主动求解提问思考巡视口答指导反复强调注意观察学生是否理解知识点及时了解学生知识掌握得情况304045教学过程教师行为学生行为教学意图时间*动脑思考探索新知设平面向量a＝( x1,y1),b＝(x2,y2)， i，j 分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥ j，故 i· j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a· b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)＝ x1 x2i ?i＋ x1 y2i ?j＋ x2 y1i ?j＋ y1 y2j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，总结思考即归纳归纳a· b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝( x,y)，则a a a x2y2，即带领a2y2(7.12)学生x总结由平面向量内积的定义可以得到，当a、b 是非零向量时，cos<a,b>＝a b＝x1x2y1 y2.(7.13)| a || b |x12y12x22y22仔细理解分析记忆利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝0，由公式(7.11)可知讲解关键a· b＝0x1 x2＋ y1 y2＝ 0．词语因此60a b x1 x2＋ y1y2＝ 0．(7.14)利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．* 巩固知识典型例题说明观察例 3 求下列向量的内积：强调（ 1）a＝(2,- 3), b＝(1,3)；讲解（ 2）a＝(2, - 1), b＝(1,2)；说明教学过程（3）a＝ (4,2), b＝ (- 2, - 3)．解 (1) a·b＝ 2× 1＋ (- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝2×1＋(- 1)×2＝0；(3)a· b＝2×(- 2)＋2×(- 3)＝- 14．例 4 已知a＝ (- 1,2),b＝( - 3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．解a· b＝(- 1)( - 3)＋2×1＝5；教师学生行为行为引领思考讲解主动说明求解教学时意图间注意|a|＝ a a( 1)222 5 ；|b|＝ b b( 3)21210 ；cos<a,b>＝a b＝5210 5，| a || b|2所以<a,b>＝ 45 ．例 5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(- 2, 3),b＝(6, 4)；(2)a＝(0, - 1),b＝(1, - 2)．解(1) 因为a·b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝0，所以a b．(2)因为 a·b＝0×1＋(- 1)×（- 2)＝2，所以 a 与 b 不垂直．*运用知识强化练习1．已知a＝ (5, - 4)，b＝ (2,3)，求a·b．2．已知a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知a＝ (2, - 3)，b＝ (3,－4)，c＝ (- 1,3),求a·( b＋c)．引领观察分析思考求解强调含义领会说明思考求解启发思考引导了解观察学生是否理解知识点反复强调70及时了解学生4.判断下列各组向量是否互相垂直：提问动手(1)a＝(- 2, - 3)，b＝(3, - 2)；(2)a＝(2,0)， b＝(0, - 3)；巡视求解(3)a＝(- 2,1)， b＝(3,4)．指导5.求下列向量的模：(1) a＝ (2, - 3)，(2) b＝(8, 6 )．知识掌握得情况80教学教师学生过程行为行为* 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义 ?质疑回答结论：两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a· b,即归纳a· b＝｜ a||b|c os<a, b>强调(7.10)a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．教学时意图间及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝ (5, - 4),b＝ (2,3),求a·b．2.已知a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求a· (b＋c)．*继续探索活动探究( 1)读书部分：阅读教材( 2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做）；7.3 B 组（选做）引导回忆提问反思巡视动手指导求解说明记录检验学生学习效果88分层次要求( 3) 实践调查：编写一道向量内积问题并解答．【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；90学习必备欢迎下载学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；学生实践的情况在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

《向量的内积及其运算》中职数学(基础模块)下册7.4ppt课件1【人教版】

b) (a b)

a
2

b
2
⑵
a b
2

a b
2

2( a
2

b
2
)
证明：⑴
(a

b)

(aLeabharlann b )
aa ab b a b b

a
2

b
2
⑵ 因为
2 ab

(a

b)

(a
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
120；
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b ,a
b,
求
a,b
⑴

a b 8, a
b

7.4平面向量的内积

【学习目标】1．了解平面向量内积的概念及其几何意义.2．了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.3．通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【重点难点】重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学过程】第一课时：平面向量的内积（一）问题情境问题：如图所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？分析：1、W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100210＝5003 （J ）2、这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．（二）新知探究1、内积的定义：如图，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作θ= <a ,b>，两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b ,即cos (0)a b a b θθπ=≤<2、内积的性质（1）当a ,b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a ＝b 时，a ·a ＝|a ||a |＝|a |2或|a |（2）当a ,b 反向时，a ·b ＝-|a ||b |.（3）当a ⊥b 时，a ·b ＝03、内积运算律（1）a ·b ＝b ·a ．（2）(a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．（三）例题练习例1．已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．例2．已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．分析： cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180，<a ,b >＝135 ．练习：P57 第二课时：运用平面向量的坐标求内积（一）新知探究1、两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即2、由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，3、a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．（二）例题练习例3．求下列向量的内积：（1）a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（2）a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（3）3a ＝ (4,2), b＝(−2, −3)．例4．已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b>．分析：a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=|b |cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =，所以<a ,b >＝45 ．例5．判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．分析： (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．练习P58【教学后记】。

中职数学基础模块7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式教学设计教案人教版.docx

课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式课型新授第几1课时1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决课时有关长度、角度和垂直的问题．教学 2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．目标 3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合（三维）思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．教学重点：教学向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．重点与难点教学难点：向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b＝| a | | b | cos?a，b?与 a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系教学方法与手段使用教材的构想本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成教师行为1．已知非零向量 a 与 b ，则 a 与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求 cos?a，b?？2． a b；3． | a | 与a·a有何关系？已知 e1， e2是直角坐标平面上的基向量， a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出 a· b 的坐标公式吗？探究过程a· b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋ a1b2e1·e2＋ a2b1e1·e2＋ a2b2e2·e2，又因为e1· e1＝1， e2· e2＝1，e1·e2＝0，所以a· b＝a1b1＋a2b2．☆补充设计☆师生行为设计意图教师提出问题．为知识迁移做准学生回忆解答．师生共同备．回忆旧知识．师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．学生讨论并回答，教师再问题为复习向量提出的下列问题：的线性运算和向量的（ 1）(a1e1＋ a2e2)·(b1e1＋内积而设计．通过学b2e2) 是怎样进行运算的？生的探究给出结论，（ 2）e1·e1，e2·e2，e1·e2比直接给出更符合学的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学教师针对学生的回答进行生接受．通过结论的点评．师生共同写出详细的探探究，让学生初步感究过程．受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥ b a1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos?a，b?＝a1b1＋ a2b22222．a1＋ a2 b1＋ b2教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．问题：(1)若已知 a ＝ (a 1，a 2) ，你能用上面的定理求出 | a | 吗？解因为2| a | ＝ a · a ＝ (a 1， a 2)· (a 1， a 2)＝ a 12＋ a 22 ，所以 | a |＝ a 12＋ a 22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，你→能求出 | AB| 吗？解因为 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以→AB ＝ (x 2 －x 1，y 2 －y 1 )．因为 | a |＝ a 12 ＋ a 22，所以→ 2 2 ，| AB|＝ (x 2 －x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )教师提出问题，稍加点拨．通过对问题的详学生讨论解答．细探究得到性质，比教师总结得出这就是根据直接给出结论更容易向量的坐标求向量长度的计算被学生接受．同时加公式．深对 a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 的理解．从而提高学生的思维能力．教师提出问题．使刚刚学过的知学生讨论解答．识及时得到应用．教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例 1 设 a ＝ (3，－ 1)， b ＝ (1，－ 2)，学生尝试解答．教师针对求：学生的回答进行点评．(1) a · b ；(2) | a |； (3) | b |；(4)?a ， b ?．解 (1) a ·b ＝ 3× 1＋ (－ 1)× (－ 2)＝ 3＋ 2＝ 5；(2) | a |＝ 32＋ (－1) 2＝ 10； (3) | b |＝ 12＋ (—2) 2＝ 5；(4) 因为cos?a ， b ?＝ a b ＝5＝ 2，| a || b |10× 52π 所以 ?a ， b ?＝．4通过例 1 可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．例2 已知 A(2，－ 4)， B(－ 2，3) ，求→教师点拨，学生解答．巩固公式，形成| AB |．教师针对学生的回答进行技能．解因为 A(2，－ 4)，B(－ 2，3)，所点评．以→－ (2，－ 4) AB ＝( － 2， 3)＝(－ 4， 7)，→72＋( －4)2所以 | AB|＝＝ 65．例3 已知 A(1，2)， B(3，4)， C(5，0)，求证：△ ABC 是等腰三角形．教师点拨，学生讨论解答．在板书证明的过证明因为小组讨论时教师巡视，并程中，突出解题思路→针对学生的回答给予补充、完与步骤．AB ＝ (3－ 1， 4－ 2)＝ (2， 2)，→善．最后师生共同完成此题．教AC ＝ (5－ 1， 0－ 2)＝ (4，－ 2)，师给出具体的解题步骤．→BC ＝ (5－ 3， 0－ 4)＝ (2，－ 4)，→2＋ (－ 2)2＝20，|AC|＝4→2＋ (－ 4)2＝20，|BC|＝2→→所以 |AC|＝|BC |．因此△ ABC 是等腰三角形．例4 已知 A(1，2) ，B(2，3)，C(－ 2，→→教师点拨，学生解答．通过学生讨论，5)，求证： AB AC．教师针对学生的回答进行老师点拨，可以突出证明因为点评．解题思路，深化解题→步骤，分解难点．顺AB ＝ (2－ 1， 3－ 2)＝ (1， 1)，→利帮助学生完成．AC ＝ (－ 2－ 1，5－ 2)＝ (－ 3，3)，可得→→AB · AC ＝ (1， 1) ·(－ 3， 3)＝ 0．→所以 AB →AC ．练习1．已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(－ 2，π5)，求证：BAC= ．师生合作共同完成．学习新知后紧跟22．已知点 P 的横坐标是 7，点 P 到练习，有利于帮助学点 N(－1，5)的距离等于 10，求点 P 的坐生更好的梳理和总结标．本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．本节课我们主要学习了平面向量内学生阅读课本 , 畅谈本节梳理总结也可针积的坐标运算与距离公式，常见的题型课的收获，老师引导梳理，总对学生薄弱或易错处主要有：结本节课的知识点．进行强调和总结．(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判定两向量是否垂直．课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计平面向量基本定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2练习：是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝( b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．例 1 设a＝ (3，－ 1)，b＝ (1，－ 2)，求：(1) a·b；(2) |a |；(3) | b |；(4)?a，b?．作业设计教材P56 练习 A 组第 1 题；教材P57 练习 B 组第 1 题 (选做 )．教学后记。