2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞
=，则221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==.
(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a →∞
=
(C) 若lim k k x a →∞
=，则321lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==
(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a
→∞
=
2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0
(B)1
(C)2
(D)3
3.设{
}
2222
(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续，则(,)D
f x y dxdy ⎰⎰=
（）
2cos 2sin 420
004
2sin 2cos 42000
4
10
110
()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)x
X
A d f r r rdr d f r r rdr
B d f r r rdr d f r r rdr
C dx f x y dy
D dx f x y dy
π
π
θ
θ
πππ
θ
θ
πθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
4.下列级数中发散的是（）
（A ）13n n n ∞
=∑
(B)1)n n ∞=+ (C)2
(1)1ln n n n ∞=-+∑
(D)1!
n n n n ∞
=∑
5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的
充分必要条件为（）
(),A a d ∉Ω∉Ω(),B a d ∉Ω∈Ω(),C a d ∈Ω∉Ω(),D a d ∈Ω∈Ω
6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中
123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）
（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++
7.设A,B 为任意两个随机事件，则（）
（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥
(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D)()()
()2P A P B P AB +≥
8.设总体(,)X B m θ ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则
21()n i i E x X =⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦
∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 92ln(cos )
lim x x x
→∞=__________。

10设函数()f x 连续，2
()()x x xf t ϕ=⎰
，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =____________.
11若函数(),z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则()0,0|dz =___________.
12设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x =
13设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2
B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =__________.
14设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(0)P XY Y -＜= ___________.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
设函数3()ln(1)sin ,(),f x x a x bx x g x kx =+++⋅=若()f x 与()g x 在0x →时 是等价无穷小，求,,a b k 的值。

16、（本题满分10分） 计算二重积分()D
x x y dxdy +⎰⎰，其中{}
2
22(,)2,D x y x
y y x =+≤≥
17、（本题满分10分）
为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η＞0） （i ）证明定价模型为11MC
p η
=
-
（ii ）若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格。

18、（本题满分10分）
设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点
()00,()x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)
2f =，求()
f x 的表达式。

（i ）设函数()u x ，()v x 可导，利用导数定义证明[]'
''
()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+
（ii ）设函数12*(),(),,()u x u x K u x 可导，12*()()()()f x u x u x Ku x =，写出()f x 的求导公式。

（20）设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
,且30A =.
（i ）求a 的值；
（ii ）若矩阵X 满足2
2
X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .
设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
（i ）求a,b 的值
（ii ）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵。

设随机变量X的概率密度为
2ln2,0, ()
0,0
x x
f x
x
-
⎧
=⎨
≤
⎩
＞
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数。

（1）求Y的概率分布；
（2）求EY。

设总体X 的概率密度为
11(:)10,x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩，其他
其中θ为未知参数，12,,R X X L X ，为来自该总体的简单随机样本。

、 （1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量。