平面与平面垂直
平面与平面垂直的判定定理(课件)
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面与平面垂直的性质
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥ 如果 ⊥β (1) α里的直线都和 垂直吗？ 里的直线都和β垂直吗 里的直线都和 垂直吗？ (2)什么情况下 里的直线和 垂直？ 什么情况下α里的直线和 垂直？ 什么情况下 里的直线和β垂直
思考3:对于三个平面α 思考3:对于三个平面α、β、γ， 3:对于三个平面 如果两个相交平面都垂直于另 α 如果α⊥γ β⊥γ， α⊥γ， 如果α⊥γ，β⊥γ， ∩ β = l ，那 一个平面， 一个平面，那么这两个平面的 么直线l与平面 的位置关系如何？ 与平面γ 么直线 与平面γ的位置关系如何？ 交线垂直于这个平面. 交线垂直于这个平面. 为什么？ 为什么？
b⊥l
b ⊂ α ⇒ a // α a ⊄α
求证： 求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行， 垂线平行，则这两个平面互相垂直
αb A B
a β
γ
如图，四棱锥P ABCD的底面是 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2， 侧面PAB PAB是 矩形，AB=2BC = 2 ，侧面PAB是 ， 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. PAB⊥底面 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 证明：侧面PAB⊥侧面PBC PAB⊥侧面PBC； （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； 求侧棱PC与底面ABCD所成的角. PC与底面ABCD所成的角 （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
C
D' A’ B’
C’
思考:一般地， 思考:一般地， α ⊥ β , α ∩ β = CD AB ⊂ α , AB ⊥ CD ,垂足为B，那么直 垂足为B AB与平面 的位置关系如何？ 线AB与平面 β 的位置关系如何？ 为什么？ 为什么？
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的定义
平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、认定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相横向。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果n个互相平行的.平面存有一个旋转轴一个平面，那么其余平面均横向这个平面。
平面与平面平行
必须就是“两条平行直线”，且都“平行于另一个平面”推断：如果一个平面内的两
条平行直线和另一个平面内的两条平行直线分别平行，那么这两个平面平行。
面面平行的另一判定定理：垂直于同一条直线的两个平面平行。
x0d直线a，b均在平面α内，且a∩b=a a∥β b∥β。
在同一平面内永不平行的两条直线，认定平行线的方法包含同位角成正比，两直线平行；内错角成正比，两直线平行；同旁内角优势互补，两直线平行。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
平面与平面垂直的判定定理
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？
②找基面的垂线 取AB的中点M，连结PM． P 由己知AB2 = AC2 + BC2，∴∠ACB是直角．
连结CM，∴AM = BM = CM，
∵PA = PB = PC，∴△PAM≌△PCM． A ∵PM⊥AM，∴PM⊥CM， ∴PM⊥平面ABC
N
C
M B
③作平面角 取AC的中点N，连结MN、PN．
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
练习
一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角， 其作法主要有：
(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一 点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂 线所成的角为二面角的平面角．
(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的 交线所成的角是二面角的平面角．
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
的平面角.
A
l
O
B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱