平面与平面垂直的性质定理 ppt课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
平面与平面垂直的性质 课件
PF 5
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
高数数学必修一《8.6.3.2平面与平面垂直的性质》教学课件
1
AB＝AD＝ CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
2
证明：平面BCE⊥平面BDE.
1
2
证明：因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝ CD＝1，
所以BD＝BC＝ 2，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面
平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC.
求证：BC⊥AB.
题型 2 垂直关系的综合应用
例2 如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD ，PA⊥AB，
AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
2．线线、线面、面面垂直关系的综合应用．
第2课时 平面与平面垂直的性质
预学案
共学案
预学案
一、平面与平面垂直的性质定理❶
一个平面内
两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两
文字语言
交线
个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
α⊥β
α∩β=
ൢ⇒a⊥β
符号语言
a⊂α
____________
a⊥l
____________
ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥ED，
因为BD，ED⊂平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
随堂练习
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(
)
AB＝AD＝ CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
2
证明：平面BCE⊥平面BDE.
1
2
证明：因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝ CD＝1，
所以BD＝BC＝ 2，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面
平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC.
求证：BC⊥AB.
题型 2 垂直关系的综合应用
例2 如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD ，PA⊥AB，
AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
2．线线、线面、面面垂直关系的综合应用．
第2课时 平面与平面垂直的性质
预学案
共学案
预学案
一、平面与平面垂直的性质定理❶
一个平面内
两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两
文字语言
交线
个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
α⊥β
α∩β=
ൢ⇒a⊥β
符号语言
a⊂α
____________
a⊥l
____________
ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥ED，
因为BD，ED⊂平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
随堂练习
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(
)
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
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(1)求证：PD⊥平面 ABCD； (2)求证：平面 PAC⊥平面 PBD； (3)求二面角 P－BC－D 的大小． 【分析】 要求二面角应先求二面角的平面角．
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
2
由已知AB∥CD，AB1 = CD，
2
所以MN∥AB,且MN=AB,
所以四边形ABMN为平行
四边形.所以BM∥AN.
又因为AN平面ADEF，且B M 平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF.
例 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长 为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
Aβ
线线垂直
B
αa
线面垂直
面面垂直
线线平行 面面平行
则∠ABE就是二面角CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
α
且BEI CD=B
∴AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
思考1 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内
α aP
β
α a
P
β
思 考 5 已 知 平 面 ， IAB， 直 线 a∥ ， aAB， 试 判 断 直 线 a与 的 位 置 关 系 . 垂直
所成的角DEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点， 所以MN∥CD，且M1 N= CD.
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
C
O
A
O
C
B
B
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED 是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
（2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面ABCD
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
I CD AB
AB
C
AB CD
A B I C D B
A BD
证明： ,I C D ， AB, ABCD,
垂足为B，那么AB ⊥β
证明:在平面 内 作BE⊥CD, 垂足为B.
复习回顾：
面面垂直的判定
（１）利用定义
［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理
［线面垂直
面面垂直］
l l
l
B
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
思考 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
α
bB a l
β A
例1．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。
求证：AB⊥BC。
S
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
D C
A
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
B
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
2
由已知AB∥CD，AB1 = CD，
2
所以MN∥AB,且MN=AB,
所以四边形ABMN为平行
四边形.所以BM∥AN.
又因为AN平面ADEF，且B M 平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF.
例 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长 为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，
线线垂直 面面垂直
线面垂直 线面垂直
面面垂直 线线垂直
垂直、平行关系小结
Aβ
线线垂直
B
αa
线面垂直
面面垂直
线线平行 面面平行
则∠ABE就是二面角CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
α
且BEI CD=B
∴AB⊥ .
Eβ D
B
A
C
思考1 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内
α aP
β
α a
P
β
思 考 5 已 知 平 面 ， IAB， 直 线 a∥ ， aAB， 试 判 断 直 线 a与 的 位 置 关 系 . 垂直
所成的角DEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点， 所以MN∥CD，且M1 N= CD.
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
C
O
A
O
C
B
B
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED 是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
（2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面ABCD
D
E
A
β
C
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直．
符号表示:
I CD AB
AB
C
AB CD
A B I C D B
A BD
证明： ,I C D ， AB, ABCD,
垂足为B，那么AB ⊥β
证明:在平面 内 作BE⊥CD, 垂足为B.
复习回顾：
面面垂直的判定
（１）利用定义
［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理
［线面垂直
面面垂直］
l l
l
B
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
思考 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
α
bB a l
β A
例1．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。
求证：AB⊥BC。
S
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
D C
A
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
B