三角形中位线定理
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
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在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形中位线定理的推论
三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。
2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。
3. 中位线长度为底边长度的一半。
4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。
5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。
6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。
7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。
8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。
三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 A 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E B
D C
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 、F分别 AB 、、 AC 的中点 是 AB AC 、BC的中点
∴ DF=1/2BC，DE=1/2AC。 ∴ 四边形DECF的周长是 B DF+DE+EC+CF=16/2+12/2+1 6/2+12/2=28
D
F
E
C
拓展应用：
在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使 AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理 D 由
理由： ∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
B三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
演练
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边 的中点． （1）若AB=8cm，求EF的长； （2）若DE=5cm，求BC的长． （3）若增加M、N分别是BD、BF的中点， A 问MN与AC有什么关系？为什么？
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分. A
E
C
14
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍 或 1/2提供了一个新的途径
⑶解决“中点问题”
注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线
三角形中位线定理的证明方法
三角形中位线定理的证明方法三角形中位线定理是平面几何中的一个基本定理，它描述了一个三角形中位线的性质。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
三角形的三条中位线交于一点，这个点称为三角形的重心。
中位线定理的表述如下：在任何一个三角形ABC中，连接每个顶点与对边中点的线段，这三条线段的交点称为三角形的重心G。
重心G将每条中位线分成两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
下面我们来证明三角形中位线定理。
证明：设AD、BE和CF分别是三角形ABC的三条中位线，交于点G。
我们需要证明，|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
首先我们考虑|AD|=2|DG|这个关系。
延长DG到点X，使得GX=GD。
由于DG是中点D和点G之间的线段，所以延长DG得到的GX是中点D和点G之间的中点。
我们来考虑三角形BGC。
由中位线的性质可知，点X是BC的中点，因此|GX|是|BC|的一半，即|GX|=|BC|/2。
同理，由于|DG|=|GX|，所以|DG|=|BC|/2。
将这个结果代入三角形ADC中，我们可以得到|AD|=|DG|+|GX|=（|BC|/2）+（|BC|/2）=|BC|，即|AD|=|BC|。
接下来我们证明|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
我们延长EG和FG分别到点Y和Z，使得EY=EG和FZ=FG。
同样地，我们可以证明|BE|=|AC|和|CF|=|AB|。
让我们考虑三角形ABC中的高。
由于三角形ABC中的三条高交于一点（也就是垂心），我们可以发现BZYC是一个矩形。
这意味着|ZY|=|BC|，也就是说|EY|=|BC|，所以|BE|=|AC|。
同理，在三角形ABC中的三条高交于一点（垂心）的性质使得CYBX是一个平行四边形。
因此，|XZ|=|CB|，即|FZ|=|CB|，所以|CF|=|AB|。
三角形中的中位线定理要求证明|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
三角形中位线证明6种方法
三角形中位线证明6种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多特性和性质。
三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，连接三角形两边中点的直线称为三角形中位线。
本文将介绍10条关于三角形中位线的证明方法，并对每一种方法进行详细阐述。
1. 三角形中位线长相等证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F，连接BE并延长至D，使得AD与CF相交于点G。
则有：CE=EA (连接AC的中点E)BF=FC (连接BC的中点F)EF=EF （共同边）在三角形BEF和CEF中，有EF、BE、FC互相平行，并按比例划分。
根据平行线定理，有BE/EF=BG/GF和FC/EF=CG/GF。
由此可得：BE/FC=BG/CG2BE/2FC=2BG/2CGAB/AC=BG/CG同理可证出，AC/BC=AH/HB和BC/AB=CI/IA。
即中位线长相等。
2. 三角形中位线堆垛证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
同理可证出BE=CF，因此中位线堆垛。
3. 三角形中位线垂直证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
连接EF并绘制ED⊥EF和FG⊥EF，分别交于点D和G。
则有：ED=GFEB=FC在三角形EBD和FCG中，有ED=FG，∠EDB=∠FGC，∠EBD=∠FCG。
由此可得：三角形EBD与三角形FCG全等（HL）BD=CG。
同理可证出AD=BG和AC=2DE，BC=2FG。
中位线垂直。
4. 三角形中位线和周长的关系证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
证明三角形中位线判定定理
证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。
下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线定理
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• 一、三角形的中位线
• 连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位 线．
• 二、三角形中位线定理
• 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半．
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• 三、由三角形中位线定理可以推出：
• 1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为 原三角形周长一半． • 2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等 的三角形． • 3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面 积相等的三个平行四边形．
• 例3、如图，△ABC中，D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE，F、G分别为BE、CD的 中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于 点Q．求证：AP=AQ．
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• 例4、如图所示，O为等边三角形ABC内的 任意一点，且OD∥BC，交AB于D， OF∥AB，交AC于F，OE∥AC，交BC于 E．求证：OD＋OE＋OF=BC．
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• 例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证： 四边形EFGH是平行四边形．
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• 例2、已知，如图，E、F分别为四边形 ABCD的对角线AC、BD的中点．求证： EF<(AB＋CD)．
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• 例5、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB 边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延 长线上取点E，使DE=BD，连接AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连 接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你 的结论．
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例、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边 形EFGH是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形.
A
H
连接AC，在△ABC中，
D
因为E、F分别是AB、BC边的 E 中点，即EF是△ABC的中位线.
G
1
所以EF//AC，EF= AC
2 在△ADC中，同1 理可得
(2)图中有___3__个平行四边形
(3)若∠B=40O ，则∠EFD=__4_0_0__
在三角形ＡＢＣ中，Ｄ、E、F为ＡＢ、ＡＣ、 ＢＣ的中点，则
(1) △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系?
△DEF的周长是 △ABC周长的一半
A
(2) 面积呢?
E D
四分之一
B
F
C
如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的 中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
（6）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（7）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形结论Βιβλιοθήκη 实际上，顺次连接四边形各边中点所得 到的四边形一定是平行四边形，但它是否特 殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直 或者是否相等，与是否互相平分无关.
互相垂直 相等
互相垂直且相等 既不互相垂直也不相等
矩形 菱形 正方形 平行四边形
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的中点.
求证:EF › 1 AB-CD.
A
2
C
H F
B
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
平行四边形 矩形
（3）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形 菱形 正方形
什它到 么是的 呢否四 顺 ？是边 次
特形连 殊一接 的定四 平是边 行平形 四行各 边四边 形边中 取形点 决，所 于但得
A
D OE
B
F
C
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
的三角形的顶角相等.
B
F
C
HG//AC，HG= AC
2
所以EF//HG，EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的 线段组成一个平行四边形
顺次连接矩形各边中点的线 段组成一个 菱形
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
三角形中位线定理
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
练一练:
A
如图，已知△ABC，D、E、F分 E
F
别是BC、AB、AC边上的中点。 B D C
(1)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围 成的△DEF的周长是__9_c_m____