三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下容作者为：第四中学瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理证明
三角形中位线定理证明
已知：如图， 在△ABC 中 D，E 分 别是 AB， AC 两 边中点
求证： DE 平行且等于 BC/2
方法一： 过 C 作 AB 的平行线交 DE 的延长线于 F 点 ∵ CF∥ AD ∴∠ A=∠ ACF 在△ ADE 和△ CFE 中
∠ A=∠ ACF AE=CE ∠ AED=∠CEF ∴△ ADE≌△CFE ∴ DE=EF AD=CF ∵D 为 AB 中点 ∴ AD=BD ∴ BD=CF ∴ BCFD 是平行四边形 ∴ DF∥ BC DF=BC ∴ DE=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立
方法二： 延长 DE 至点 F，使 EF=DE 连接 CF，DC，AF ∵ EF=DE
AE=EC ∴四边 形 ADCF 是平行四边形 ∴ AD∥ CF
AD=CF ∵ AD=DB ∴ FC∥ BD
FC=BD ∴四边 形 BCFD 是平行四边形 ∴ DF∥ BC
DF=BC
∴ DE=BC/2
方法三： 过点 E 作 MN∥AB 过点 A 作 AM∥BC ∴四边 形 ABNM 是平行四边形 ∵ AM∥ BC ∴∠ M=∠ MNC 在△ AEM 和△ CEN 中
三角形中位线定理证明
三角形中位线定理证明性质1中位线平行于第三边性质2等于第三边的一半1定理2证明3逆定理1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
[1]三角形的中位线2证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）∴△ADE≌△CGE （A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立.方法二：相似法：∵D是AB中点∴AD：AB=1：2∵E是AC中点∴AE：AC=1:2又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴BC=2DE,BC∥DE方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法4：延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立[2]方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]∴DE//BC且DE=BC/23逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DFFCBCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有ADFC，所以。
因为1DE，所以．BC 2，有F，则作FC交DE的延长线于法2C因为，DFBC。
为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DEBC 2，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD，所以FC为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE，所以BCDF 。
因为2法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都CENAEM 1。
DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC2法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？A BEDC图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?AEDBC图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1: 如图所示,延长中位线DE 至F,使 ,连结CF,则 ,有ADFC,所以FCBD,则四边形BCFD 就是平行四边形,DFBC 。
因为 ,所以DEBC 21.法2:如图所示,过C 作交DE 的延长线于F,则,有FCAD,那么FC BD,则四边形BCFD 为平行四边形,DFBC 。
因为,所以DEBC 21.法3:如图所示,延长DE 至F,使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形,有ADCF,所以FCBD,那么四边形BCFD 为平行四边形,DF BC 。
因为 ,所以DEBC 21.法4:如图所示,过点E 作MN ∥AB,过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形,易证CEN AEM ∆≅∆,从而点E 就是MN 的中点,易证四边形ADEM 与BDEN 都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE ∥BC,即DEBC 21。
法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的就是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。
⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别就是AB、AC 的中点,线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴:⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化？上述结论仍然成立不?C图⑵:说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别就是数量关系,而想到去度量、验证与猜想,水到渠成、如果教师直接叫学生去度量角度与长度,就是强扭的瓜不甜、2、教学重点:本课重点就是掌握与运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理的证明及其应用
例 ｌ 如 图，在 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ、 盼 别
是Ｂ Ｃ 、 Ａ Ｄ的 中点 ，延长Ｂ Ａ和Ｃ Ｄ分别 与Ｅ Ｆ 的延 长线 交 于Ｋ、 日， 求证 ： ／ ＿ ＿ Ｂ Ｋ Ｅ＝ Ｃ Ｈ Ｅ ． （ ２ ０ ０ ６ 年 内 蒙 古 呼 和 浩 特市初 中数学 竞赛题 ）
样 取 中点 比作平行 线好 ． 证明： 连 接Ｂ Ｄ并取Ｂ Ｄ的中 点Ｇ， 连Ｆ Ｇ、 Ｇ Ｅ， 在 △Ｄ Ａ Ｂ 和 △Ｂ Ｃ Ｄ 中，
・ ．
・
Ｆ 是ＡＤ的中 点， Ｅ 是Ｂ Ｃ 的 中点 ，
・ ． ．
Ｆ Ｇ ／ ／ Ａ Ｂ Ｊ ￣ Ｆ Ｇ ＝ Ａ ， Ｅ Ｇ ／ ／ ／ Ｄ Ｇ Ｊ ￣ Ｅ Ｇ ＝ 二Ｄ Ｃ ．
・ ．
．
Ａ ＡＥ Ｆ￣ Ａ ＡＢＣ ＥＦ ＝
＝
＝
Ｅ Ｆ ／ ／ Ｂ Ｃ Ｊ ｔ Ｅ Ｆ ＝Ｉ － － Ｂ Ｃ
２ ．
ＢＣ Ａ Ｂ ２
以
Ｉ
Ａ（ ０，口）
‘ 、
＼
钳 ／
童（ｂ ，ｏ’
＼ ‘ 专 ｆ口
．
、
Ｃ‘ ｃ－ Ｏ）
证 明 二 ： ’ 诜 ４ （ ｏ ， ， 日 （ ６ ， ０ ） ， ｃ （ ｃ ， ｏ ） ． 贝 Ｊ ｌ Ｅ （ 告 ， 号 ） ， 畸， 号 ） ．
求证： Ｅ Ｆ ＜２ １（ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ） ． （ ２ ０ １ １ 年银 川市 中考 题）
￣
分 析 ： 利 用 中 位 线 ， 将 矾吉 Ｂ ＋ ｃ Ｄ ） 转 移 到 同 一 三 角 形 中 ．
・ 。
・
直 线 Ｅ Ｆ 的 方 程 为 ） ， ＝ 号 ，
三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理是指如果一个三角形内某条边的中点和另外两条边连结，它们就能够构成三个等腰三角形。
证明：假设三角形ABC有两边AB和AC，其外角BAC为
$\theta$（由外角定理可知$\angle BAC=\angle A+\angle B$）。
在三角形ABC内将AB延长到D点，且$\angle ADB=\angle B$，由正弦定理可得 $ \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sin{\angle
B}}{\sin{\theta}}$。
假设B点到AC边的垂线延长到交E点，且$\angle BAE=\angle A$。
由正弦定理可得 $ \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\sin{\angle
A}}{\sin{\theta}}$
链接B，D，E三点，就形成了等腰三角形BDE，其外角DBE为$\angle A$，根据已知$\angle ADB=\angle B$，可知$\angle
DBE=\angle B$，即无论三角形ABC的外角多大，三角形BDE的外角都相等，它们是等腰三角形，三角形中位线定理得证。
三角形中位线证明6种方法
三角形中位线证明6种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多特性和性质。
三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，连接三角形两边中点的直线称为三角形中位线。
本文将介绍10条关于三角形中位线的证明方法，并对每一种方法进行详细阐述。
1. 三角形中位线长相等证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F，连接BE并延长至D，使得AD与CF相交于点G。
则有：CE=EA (连接AC的中点E)BF=FC (连接BC的中点F)EF=EF （共同边）在三角形BEF和CEF中，有EF、BE、FC互相平行，并按比例划分。
根据平行线定理，有BE/EF=BG/GF和FC/EF=CG/GF。
由此可得：BE/FC=BG/CG2BE/2FC=2BG/2CGAB/AC=BG/CG同理可证出，AC/BC=AH/HB和BC/AB=CI/IA。
即中位线长相等。
2. 三角形中位线堆垛证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
同理可证出BE=CF，因此中位线堆垛。
3. 三角形中位线垂直证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
连接EF并绘制ED⊥EF和FG⊥EF，分别交于点D和G。
则有：ED=GFEB=FC在三角形EBD和FCG中，有ED=FG，∠EDB=∠FGC，∠EBD=∠FCG。
由此可得：三角形EBD与三角形FCG全等（HL）BD=CG。
同理可证出AD=BG和AC=2DE，BC=2FG。
中位线垂直。
4. 三角形中位线和周长的关系证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
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备课偶得——
三角形中位线定理的再证明
王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。
笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC
且
证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC
∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF
为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD
∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形
∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且
证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF
∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD
∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE
∴DE=EF ∴D E ∥BC 且
证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则
∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点
∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF
即 ∴DE ∥BC 且
图1 B
C
A
D
E
图2
B
C
A
D
E
F
图3
B
C
A
D E
F
C
图4
B
A
D
E
F E ′ 图5
B
C
A
D
E
1
2
DE BC =1
2
DE BC =1
2DE BC =12
DE BC =1
2DE BC =
证法四、（相似法）如图5，
∵D 、E 分别为AB 、AC 中点 ∴ ∵∠A=∠A
∴△AD E ∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 且
证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC 的中点E 为中心，将△ABC 绕点E 旋转180°得△ACF ，取CF 中点G ，连结EG 、DG ，则四边形ABCF 为平行四边形
∴
AF BC ∵D 、G 分别为AB 、CF 的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF 为平行四边形
∴DG AF BC ∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE ≌△CGE （SAS ）
∴∠AED=∠CEG ∴D 、E 、G 在一条直线上 ∴DE ∥BC ∵△ADE ≌△CGE
∴DE=EG ∴ ∴DE ∥BC 且
证法六、（面积法）如图7，取BC 中点F ，连结AF 、EF ，分别过A 、E 作
A H ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别为H 、G ，过D 作DM ⊥BC 于M ，则
∴ ∵F 为BC 中点 ∴ 同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE 为矩形
∴DE ∥BC 同理 EF ∥AB ∴四边形DBFE 为平行四边形
∴DE=BF ∵ ∴DE ∥BC 且 证法七、（解析法）如图8，以点B 为坐标原点，建立如图所示平面
直角坐标系，不妨设A （a ，b ）C （c ，0）（c ＞0）则，D （ ），E （ ）
则DE ∥x 轴，DE= ∵BC=c ∴DE ∥BC 且
证法八、（三角法）如图9，取BC 中点F ，连结EF ，设AB=2c ，AC=2b BC=2a ，∠A=α则AD=c ，AE=b ，在△ADE 中，
在△ABC 中，
图6
B C
A
D
E
F
G H G
图7
B
C
F M A
D
E
1
2
AD AE AB AC ==1
2
DE
AD
BC AB ==12
DE BC =1
2
DE BC =12
DE BC =,ABF ACF AEF CEF S S S S ==1
4CEF ABC
S S =12CF BC =111242CF EG BC AH =⨯1
2
DM AH =1
2
BF CF BC
==12
DE BC =12
EG AH =,22
a b
,22
a c
b +222
a c
a c +-=12
DE BC =22
2222cos 2cos AD AE A bc c b DE AD AE α=+-=+-2
2
2
2
2
2cos 2(2)(2)cos (2)(2)AB AC A c b c b BC AC
AB α=+-=+-⨯⨯
∴ ∴BC=2DE ∵F 为BC 的中点 ∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE 为平行四边形
∴DE ∥BF 即DE ∥BC 且
图9
B
C
A
D E
F 22
4(2cos )bc c b α
=+-2
2
4BC DE =1
2
DE BC =。