三角形中位线定理及逆定理的证明教学教材
三角形中位线公开课课件
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
《三角形的中位线定理》数学教学PPT课件(2篇)
D。
C。
。
。B
E
补充：（1）平行线等分线段定理推论
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
几何语言： 在△ ABC中 ∵ AD=DB，DE//BC ∴ AE=EC
中点D
A E中点
B
F
C
我们把DE叫△ ABC 的中位线
A
D
E
定义：连结三角形两 边中点的线段
叫做三角形的中位线
B
C
注意：
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1 BC.
2
A
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
A
D
F
C
B
E
例: 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
图 24.4.3
证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边并且等于第三边的一半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、
A
B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
八下第五章《三角形的中位线,逆命题和逆定理》
教育学科教师辅导讲义课题中位线，逆命题与逆定理授课日期及时段教学目的1、回顾并掌握基本的平行四边形的性质2、掌握平行四边形的判定条件3、熟练使用平行四边形的判定解决问题教学内容一、上次课问题的解答二、知识梳理(一)中位线定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
定理1 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。
定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形①把这四个全等三角形拼成一个大的三角形②有没有相等的边和角？③这个三角形中有几个平行四边形，你是怎么判断的？④三角形内部的线段和三角形的边长有何关系？定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线(如图： D、E分别是AB、AC边的中点，DE就是△ABC的中位线。
)思考：一个三角形共有几条中位线？中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
例题1.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，12 DE BC证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到△CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且△ADE≌△CFE。
∴∠1=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC∴1//2 DE BC三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,且DE=12BC例题2.如图，作出△ABC的3条中位线DE，DF，EF(1) △DEF的周长与△ABC的周长有什么关系? 答：△DEF的周长是△ABC周长的一半(2) 设△ABC的面积为S，则△DEF的面积=1 4 S(3) 过D作DG⊥BC，垂足为G，过E作EH⊥BC，垂足为H，则四边形DEHG的面积=1 2 S变式：已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.①求证：四边形EFGH是平行四边形.②若四边形ABCD的面积为10，求四边形EFGH的面积提示：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形例题3.如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分例题4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。
三角形中位线定理的证明教案
三角形中位线定理的证明教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的中位线概念。
2. 引导学生掌握三角形中位线的性质。
3. 学会运用三角形中位线定理解决实际问题。
二、教学内容：1. 三角形中位线的定义。
2. 三角形中位线的性质。
3. 三角形中位线定理的证明。
4. 运用三角形中位线定理解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形中位线的定义、性质和定理。
2. 教学难点：三角形中位线定理的证明及运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究三角形中位线的性质。
2. 运用几何画板软件，直观展示三角形中位线的动态变化。
3. 通过例题讲解，让学生学会运用三角形中位线定理解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾三角形的中线、角平分线和高的概念，引出中位线的定义。
3. 证明三角形中位线定理：引导学生运用已知性质，进行证明。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4. 运用定理解决实际问题：出示例题，讲解解题思路，让学生独立完成练习。
6. 布置作业：设计适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、作业批改和课堂表现，评价学生对三角形中位线定义、性质和定理的理解掌握程度。
2. 考察学生运用三角形中位线定理解决实际问题的能力，以及对证明过程的逻辑思维能力。
七、教学反思：1. 反思教学过程，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了三角形中位线的相关知识。
2. 思考教学方法是否适合学生，是否需要调整教学策略以提高教学效果。
3. 考虑如何更好地激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。
八、教学拓展：1. 引导学生思考：三角形的中位线和三角形的中线、角平分线、高线有何联系和区别？2. 探讨三角形中位线定理在解决更复杂几何问题中的应用。
3. 介绍三角形中位线定理在工程、建筑设计等领域中的应用。
九、教学资源：1. 几何画板软件：用于直观展示三角形中位线的动态变化。
2. 教学PPT：展示三角形中位线的性质和定理，以及相关例题。
三角形中位线与反证法 知识讲解
三角形中位线与反证法【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 三角形的中位线的性质的一些简单的应用.3. 了解反证法的含义、反证法的基本步骤.4、会利用反证法证明简单命题．5. 了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、反证法（一）定义在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．（二）用反证法证明定理的正确性在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知:l1∥l2 ,l 2 ∥l 3求证： l１∥l３证明：用反证法证明：假设l１不平行l ３，则l１与l ３相交，设交点为Ｐ，∵l１∥l２ ,l ２∥l ３则过点Ｐ就有两条直线l１，l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、（2016春•莲湖区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．【思路点拨】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【答案与解析】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN==25°．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB ＝12，AC＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，在△ABD和△AND中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】（2015春•嵊州市校级期中）如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB，AE=EB ，求证：EF=BD ．【答案】证明：∵CD=CA，CF 平分∠ACB，∴F 是AD 中点，∵AE=EB，∴E 是AB 中点， ∴EF=BD ．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC ∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC 是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC ．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E 是AC 中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH ，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线， ∴EF=12BH ， ∴BH=AB -AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、反证法5、用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．【思路点拨】先设原结论不成立，然后推出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论正确．【答案与解析】证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．【总结升华】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．【答案】证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．。
三角形中位线定理的证明教案
三角形中位线定理的证明教案一、教学目标：1. 让学生掌握三角形的中位线定理及其证明过程。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
2. 中位线的概念：三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段叫做中位线。
3. 证明三角形的中位线定理：通过构造全等三角形和运用三角形内角和定理进行证明。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的中位线定理及其证明过程。
2. 教学难点：证明过程中三角形的全等条件的运用和逻辑推理。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形中位线定理。
2. 运用几何画板软件，动态展示三角形中位线的性质和证明过程。
3. 分组讨论法，让学生在团队合作中思考、交流和解决问题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考三角形中位线的性质和定理。
2. 讲解中位线的概念：介绍三角形中位线的定义和特点。
3. 探究中位线定理：让学生自主探究三角形中位线定理，并总结出证明过程。
4. 讲解证明过程：详细讲解三角形中位线定理的证明过程，包括构造全等三角形和运用三角形内角和定理。
5. 练习与拓展：布置一些有关三角形中位线定理的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考三角形中位线定理在几何学中的应用和意义。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和小测验，评估学生对三角形中位线定理的理解和掌握程度。
2. 观察学生在小组讨论中的表现，评估其团队合作和问题解决能力。
3. 收集学生的练习作业，分析其对证明过程的掌握和应用能力。
七、教学反思：1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。
2. 考虑如何更好地引导学生运用几何画板软件，提高其直观理解能力。
3. 对教学内容进行调整，确保覆盖三角形中位线的所有相关性质和应用。
三角形中位线定理PPT教学课件
2021/01/21
1
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
如图： D、E分别是AB、AC边的中点， DE就是△ABC的中位线。
A
一个三角形共有几条中位线？ D
E
答：三条
2021/01/21
B
F
C
2
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平
行四边形。
A
H
D
E
G B
F
2021/01/21
C
5
任意四边形四边中点连线所得的四边形 一定是平行四边形。
2021/01/21
6
例2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 菱形。
已知：E、F、G、H分别是矩形ABCD中 AB、BC、CD、DA边的中点。求证：EFGH是 菱形。
A
H
D
2021/01/21
E G
B
F
C
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
D H
O
G
C
2021/01/21
8
例4：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC
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定理
三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
[1]
三角形的中位线
证明
如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE （A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
方法二：相似法：
∵D是AB中点
∴AD：AB=1：2
∵E是AC中点
∴AE：AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三：坐标法：
设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2
另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）
这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
方法四：
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立[2]
方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]
∴DE//BC且DE=BC/2
逆定理
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
三角形的中位线
证明：取AC中点E'，连接DE'，则有
AD=BD，AE'=CE'
∴DE'是三角形ABC的中位线
∴DE'∥BC
又∵DE∥BC
∴DE和DE'重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）∴E是中点，DE=BC/2。