三角形中位线定理
三角形中位线判定定理证明
三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理是指，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
现在让我们来证明这个定理。
首先，我们知道一个三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设三角形ABC的中位线分别为DE, FG和HI，D是BC的中点，E是顶点A到BC的中线上的点，F是AC的中点，G是顶点B到AC的中线上的点，H是AB的中点，I是顶点C到AB的中线上的点。
我们要证明如果DE=FG=HI，那么三角形ABC是等腰三角形。
首先，我们知道中位线DE等于底边BC的一半，中位线FG等于底边AC的一半，中位线HI等于底边AB的一半。
因此，DE=FG=HI意味着BC=AC=AB，即三角形的三条边相等，这就是等腰三角形的定义。
另一种证明方法是利用向量。
假设向量AD=a, DC=b, AF=c,FC=d, AE=e, EB=f。
根据中位线的定义，我们知道D是BC的中点，所以D=(B+C)/2，同理F=(A+C)/2，H=(A+B)/2。
根据向量的加法和数量积的性质，我们可以得出E=(A+B)/2，G=(B+C)/2，I=(A+C)/2。
由于DE=FG=HI，所以E-D=G-F=I-H，即E-D=G-F=I-H=0。
根据向量的性质，我们知道E-D表示向量DE的方向和长度，同理G-F表示向量FG的方向和长度，I-H表示向量HI的方向和长度。
因此，E-D=G-F=I-H=0意味着向量DE, FG和HI的方向和长度相等，即三角形ABC是等腰三角形。
综上所述，根据中位线判定定理的证明过程，我们可以得出结论，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
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在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形中位线定理的推论
三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。
2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。
3. 中位线长度为底边长度的一半。
4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。
5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。
6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。
7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。
8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。
三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 A 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E B
D C
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 、F分别 AB 、、 AC 的中点 是 AB AC 、BC的中点
∴ DF=1/2BC，DE=1/2AC。 ∴ 四边形DECF的周长是 B DF+DE+EC+CF=16/2+12/2+1 6/2+12/2=28
D
F
E
C
拓展应用：
在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使 AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理 D 由
理由： ∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
B三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
演练
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边 的中点． （1）若AB=8cm，求EF的长； （2）若DE=5cm，求BC的长． （3）若增加M、N分别是BD、BF的中点， A 问MN与AC有什么关系？为什么？
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分. A
E
C
14
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍 或 1/2提供了一个新的途径
⑶解决“中点问题”
注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线
三角形中位线证明6种方法
三角形中位线证明6种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多特性和性质。
三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，连接三角形两边中点的直线称为三角形中位线。
本文将介绍10条关于三角形中位线的证明方法，并对每一种方法进行详细阐述。
1. 三角形中位线长相等证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F，连接BE并延长至D，使得AD与CF相交于点G。
则有：CE=EA (连接AC的中点E)BF=FC (连接BC的中点F)EF=EF （共同边）在三角形BEF和CEF中，有EF、BE、FC互相平行，并按比例划分。
根据平行线定理，有BE/EF=BG/GF和FC/EF=CG/GF。
由此可得：BE/FC=BG/CG2BE/2FC=2BG/2CGAB/AC=BG/CG同理可证出，AC/BC=AH/HB和BC/AB=CI/IA。
即中位线长相等。
2. 三角形中位线堆垛证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
同理可证出BE=CF，因此中位线堆垛。
3. 三角形中位线垂直证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。
由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。
连接EF并绘制ED⊥EF和FG⊥EF，分别交于点D和G。
则有：ED=GFEB=FC在三角形EBD和FCG中，有ED=FG，∠EDB=∠FGC，∠EBD=∠FCG。
由此可得：三角形EBD与三角形FCG全等（HL）BD=CG。
同理可证出AD=BG和AC=2DE，BC=2FG。
中位线垂直。
4. 三角形中位线和周长的关系证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
中位线定理的证明
如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
的中点，连接DF.
求证：（1） DE ∥ BC 辅助线：延长DF至点F， 使EF=DF，连接FC △AED≌△CEF
1 2） DE （BC 2
一题多解
思考1
△ABC与△DEF的周长、面积有什么等量关系？
取AE中点G，连接DG
△DGF≌△CEF
四边形ABCD,AB与DC不平行,点E、F分别是
BC、AD的中点.求证: EF 1 AB CD
连接AC,取AC中点G 1 1 ∵FG=2 CD GE= AB 2
∴FG+GE>EF
1 EF ∴2 AB CD
2
∴平行四边形ABEC ∴F为BC中点，O为AC中 即：AB=2OF 点
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA的中点．求证:四边形EFGH 是平行四边形．
∵HG∥AC∥EF;EH∥BD∥F
GLeabharlann ∴EFGH为平行四边形题型二
增设中点，构造中位线
如图，已知△ABC中，D 是AB的中点， E是BC的三等分点（BE＞CE），AE、CD相交于F. 求证:F是DC的中点.
中 点 的 辅 助 线
倍长中线
三线合一
中位线定理
直角三角形斜边中线定理
三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 注意中线和中位线的区别！
中线：
一个顶点和对边的中点连线
中位线：
两个中点的连线
三角形中位线定理
观察并猜想DE与BC的关系
位置关系
数量关系
三角形的中位线定理
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三角形的中位线定理
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• 一、三角形的中位线
• 连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位 线．
• 二、三角形中位线定理
• 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半．
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• 三、由三角形中位线定理可以推出：
• 1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为 原三角形周长一半． • 2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等 的三角形． • 3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面 积相等的三个平行四边形．
• 例3、如图，△ABC中，D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE，F、G分别为BE、CD的 中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于 点Q．求证：AP=AQ．
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• 例4、如图所示，O为等边三角形ABC内的 任意一点，且OD∥BC，交AB于D， OF∥AB，交AC于F，OE∥AC，交BC于 E．求证：OD＋OE＋OF=BC．
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• 例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证： 四边形EFGH是平行四边形．
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• 例2、已知，如图，E、F分别为四边形 ABCD的对角线AC、BD的中点．求证： EF<(AB＋CD)．
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• 例5、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB 边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延 长线上取点E，使DE=BD，连接AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连 接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你 的结论．
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C
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
小结：
1.三角形中位线的定义。
2. 三角形中位线定理。 3. 三角形中位线定理的作用:
（1）位置关系：可以证明两条 直线平行。
（2） 数量关系：可以证明线段 的相等倍分。
1、相应的作业本上的题 2、分层作业：教材课后习题
例2、顺已次知：连如接图四，在边四形边形各AB边CD中中，点E、的F、线G、段H分组别
是AB、BC、CD、DA的中点.
成求证一：个四边平形行EFG四H是边平形行四边形.
证明：如图，连接AC
A
H
∵EF是△ABC的中位线
D
EF//1 AC
E
2 同理得： GH// 1 AC
G
G H/ /E F
2
B
F
∴四边形EFGH是平行四边形
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A 几何语言表述：
∵DE是△ABC的中位线
DE
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D
E/
/1 2
BC
适用范围:
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
练一练：
1.已知三角形的三边长分别为6、8、 10，顺次连接各边中点所得的三角 形周长是多少？
2.如果⊿ABC的三边长分别为a 、b 、 c, AB,BC,AC各边中点分别是D，E， F，则⊿DEF的周长是多少？
若DE分别是AB,AC的中点，则测出 DE的长，就可以求出池塘的宽BC.你 知道为什么吗？
C B
E D
C E A
B D
C E A
B D
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A ∵D、 E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
D
E
三角形有三条中位线
B
F
注意
DF、EF也为△ ABC的中位 C线
三角形的中位线和三角形的中线不同
三角形中位线的两端点都是三角形边 的中点。
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三 角形的一个顶点。
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
D
E求证：DE// 1 BC
2
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半