【配套K12]三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第四章 三角函数、解三角形4 理

第四节 三角恒等变换A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，7)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.3π2D.2π2.(2016·全国Ⅱ，9)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15C.－15D.－7253.(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－310104.(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32 C.－12 D.125.(2014·新课标全国Ⅰ，8)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2 B.3α＋β＝π2 C.2α－β＝π2 D.2α＋β＝π26.(2016·四川，11)cos2π8－sin 2π8＝ . 7.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是 .8.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.9.(2015·山东，16)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.10.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________.11.(2014·江西，16)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 12.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.13.(2014·江苏，15)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东湛江模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A.－235B.235C.45D.－452.(2016·开封二模)若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15 B.－12 C.15 D.123.(2016·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( )A.－35B.105C.35 D.14.(2015·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22 C. 2 D.125.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66.(2015·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α 7.(2016·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .8. (2016·湖北武汉十六中模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值.9.(2016·长春检测)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.10.(2016·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.11.(2015·广东茂名模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. B [∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B.]2. D [因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.]3.C [设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.]4.D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]5.C [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β,即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α,又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α,所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α,又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以－π2<α－β<π2,0<π2－α<π2,因此α－β＝π2－α,所以2α－β＝π2，故选C.]6. 22 [由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22(二倍角公式).] 7.62 [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.] 8.3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.]9.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 10.1 [f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.]11.解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12.解 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32，∴A ·32＝32，A ＝ 3.(2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32，∴6cos θ＝32，cos θ＝64， 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 13.解 (1)因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [ sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋ sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.]2. A [若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.]3. C [tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则sin 2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.]4.D [sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.]5.A [解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A.]6. A [4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2α， ∴sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.7.－12 [由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.]8. 解 (1)∵f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin 2x －1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝sin 2x ＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－12＝12－12cos 2x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3－12＝－12cos 2x ＋14cos 2x ＋34sin 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π2，则2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值分别为34，－12.9.解 (1)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，则函数f (x )＝a·b ＝sin x 3cos x 3＋3cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，令2k π－π2≤2x 3＋π3≤2k π＋π2，(k ∈Z ).解得3k π－54π≤x ≤3k π＋π4，(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－54π，3k π＋π4，(k ∈Z ).(2)∵b 2＝ac .∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x <1，∴12≤cos x <1，∴0<x ≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3≤1，∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤3，1＋32.10.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B.∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵B ＋C ＝2π3，0<B <π2，0<C <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<y ≤2，即函数的值域为(3，2].11. 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6.所以f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226.。