2017届高考数学模拟试卷(六)含答案

江苏省2017届高考数学模拟试卷（六）高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B = ．2.若31zi i=+-，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3.函数22()log (6)f x x =-的定义域为 ． 4.已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k 的值为 ．5.已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ．6.“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）7.已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是 ． 8.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin 2xf x x a π=-，且(3)6f =，则a = ．9.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且43a =，则7a = ． 10.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 11.函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ．12.数列{}n a 定义如下：11a =，23a =，122(1)22n n n n a na a n n +++=-++，1,2,n =…．若201642017m a >+，则正整数m 的最小值为 ． 13.已知点O 为△ABC 内一点，且230OA OB OC ++=，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于 ．14.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =． （1）求A 的大小；（2）若2a =，23b =，求△ABC 的面积．16.已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）． （1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围； （2）求()g x ()f x -的最大值．17.已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ． （1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，判断△ABC 的形状； （2）设向量(2sin ,3)s C =-，2(cos 2,2cos 1)2C t C =-，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3B π-的值．18.某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<）．中间每个桥墩的平均造价为803x 万元，桥面每1米长的平均造价为(2)640x x +万元． （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？19.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数（*n N ∈），若351S b =+，4b 是2a 和4a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．20.已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（2）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足1()8h a λ≥+，求λ的取值范围； （3）已知*n N ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++…．江苏省2017届高考数学模拟试卷（六）高三数学试卷（文科）一、填空题 1.{}0,2 2.2- 3.(,6)(6,)-∞-+∞ 4.6 5.2 6.充分不必要7.241258.5 9.3- 10.1- 11.38π 12.8069 13.3:2:1 14.112π- 二、解答题15.解：（1）2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =， ∵sin 0B >，∴1sin 2A =， 由于a b c <<，所以A 为锐角，∴6A π=．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， ∴234122232c c =+-⨯⨯⨯， 2680c c -+=，2c =或4c =，由于a b c <<，4c =， 所以1sin 232S bc A ==．当1x <时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x <⎧⎨≤≤⎩，得x ∈∅，综上x 的取值范围是[]1,4．（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]1,4上取到， 所以22599()()65(1)()244g x f x x x x x -=-+---=--+≤， 所以当52x =时，()()g x f x -取到最大值为94． 17.解：（1）因为BC CA CA AB ⋅=⋅，所以()0CA BC AB ⋅-=， 又0AB BC CA ++=，∴()CA AB BC =-+， 所以()()0AB BC BC AB -+⋅-=， 所以220AB BC -=，所以22||||AB BC =，即||||AB BC =， 故△ABC 为等腰三角形．（2）∵//s t ，∴22sin (2cos 1)22CC C -=，∴sin 22C C =，即tan 2C = ∵C 为锐角，∴2(0,)C π∈，∴223C π=，∴3C π=， ∴23A B π=-，∴2sin()sin ()333B B πππ⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦sin()3A π=-， 又1sin 3A =，且A 为锐角，∴cos A =sin()sin()sin cos cos sin 3333B A A A ππππ-=-=-=． 18.解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩．于是桥的总造价640()640(2(1)f x x=+-100+．即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+3112225120080138033x x x -=+-+（64100x <<）．（2）由（1）可求13122236404040'()233f x x x x --⨯=--，整理得3221'()(98064080)6f x x x x -=--⨯．由'()0f x =，解得180x =，26409x =-（舍去）， 又当(64,80)x ∈时，'()0f x <；当(80,100)x ∈时，'()0f x >， 所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401780-=个． 19.解：（1）∵数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数（*n N ∈），∴56b =，44b =．设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，0q >， ∵3517S b =+=，∴21117a a q a q ++=，① ∵4b 是2a 和4a 的等比中项，∴224316a a a ==， 解得2314a a q ==，② 由①②得23440q q --=， 解得2q =或23q =-（舍去），∴11a =，12n n a -=． （2）当n 为偶数时，0(11)2n T =+⨯[]2342122(31)242(51)2(1)122n n n n --+⨯++⨯+⨯++⨯++-+⨯+⨯…0231022(22232422)(222)n n n --=+⨯+⨯+⨯++⨯++++……，设023*********n n H n -=+⨯+⨯+⨯++⨯…，③则2312 2 2232(1)22n n n H n n -=+⨯+⨯++-⨯+⨯…，④③-④，得0231222222n nn H n --=+++++-⨯ (1212)n-=-2n n -⨯(1)21n n =-⨯-， ∴(1)21n n H n =-⨯+，∴21422(1)21()21433nnn n T n n -=-⨯++=-⨯+-． 当n 为奇数，且3n ≥时，11(1)2n n n T T n --=++⨯1115222()2(1)2(2)23333n n n n n n ---=-⨯+++⨯=-⨯+，经检验，12T =符合上式．∴122(2)2,3322()2,33n n n n n T n n -⎧-⨯+⎪⎪=⎨⎪-⨯+⎪⎩为奇数，为偶数.20.解：（1）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211'()f x x x=-， 则1()4222f =-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-，∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-=．（2）221'()a a xf x x x x-=-=，由'()0f x =，解得x a =， 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0a ≤或2a ≥，由于存在a 满足1()8h a λ≥+，所以max 1()8h a λ≥+， 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=，①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max 1()8h a λ≥+，即29188λλ≥+，结合0λ≤或83λ≥可得：19λ≤-或83λ≥；②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max 1()8h a λ≥+，即108λ≥+，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max 1()8h a λ≥+，即1688λλ-≥+，结合4833λ<<可知：13883λ≤<， 综上可知，λ的取值范围是113(,][,)98-∞-+∞．（3）证明：当1a =时，21'()xf x x-=，当()0,1x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x =-+在1x =处取得最大值(1)0f =， 即()f x 111ln x x =-+(1)0f ≤=，∴11ln xx x -≤，令1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<，∴ln(1)ln(1)ln1n n +=+-[][]111ln(1)ln ln ln(1)(ln 2ln1)11n n n n n n =+-+--++-<++++……， 故1111ln(1)1234n n+<+++++…．。