苏北四市2011届高三年级第二次调研考试数学
江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
2012年05月23日亲，很高兴访问《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2011高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》内容能帮助到您。
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江苏省苏北四市(连、徐、淮、宿)2011届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案(word版)
连云港市2011届高三年级调研考试数学I一、填空题： 1． 若1a ii+-（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是_________ 2． 已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=-<，则A B =_________3． 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中使用多媒体进行教学次数在【15,30】内的人数是_________ 4． 在如图所示的流程图中，输出的结果是_________5． 若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P 在圆2216x y +=内的概率是6． 在约束条件010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩_________7． 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，Ｐ是摩天轮轮周上一定点，从Ｐ在最低点时开始计时，则１６分钟后Ｐ点距地面的高度是_________ 8． 已知集合222{(,)|||||1},{(,)|,0}A x y x y B x y x y r r =+≤=+≤>若点（ｘ，ｙ）∈Ａ是点（ｘ，ｙ）∈Ｂ的必要条件，则ｒ 的最大值是_________9． 已知点Ａ（０，２）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若A M ⊥MF ，则p=_________ 10．若函数2,0()2,0xx x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________11． 如图所示，在直三棱柱中，A C ⊥BC ，AC =4,BC =CC 1=2,若用平行于三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。
江苏省苏北四市2011届高三第二次调研测试物理试题
江苏省苏北四市2011届高三第二次调研测试（苏北四市2011届高三期末联考）物理试题注意：本试卷满分120分，考试时间100分钟．请将答案填写在答题卡上，直接写在试卷上不得分．一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1．在探究超重和失重规律时，某体重为G的同学站在一压力传感器上完成一次下蹲动作。
传感器和计算机相连，经计算机处理后得到压力F随时间t变化的图象，则下列图象中可能正确的是2．如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则A．F1=αsinGB．F2=G tanαC．若缓慢减小悬绳的长度，F1与F2的合力变大D．若缓慢减小悬绳的长度，F1减小，F2增大3．如图所示的电路中，L是一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2和D3是三个完全相同的灯泡，E是内阻不计的电源。
在t=0时刻，闭合开关S稳定后在t1时刻断开开关S。
规定以电路稳定时流过D1、D2为正方向，分别用I1、I2表示流过D1和D2电流I随时间t变化关系的是4．如图所示，正点电荷2Q、Q分别置于M、N两点，O点为MN连线的中点。
点a、b在MN连线上，点c、d在MN中垂线上，它们都关于O点对称。
下列说法正确的是A．O点的电势高于c点的电势B．a、b两点的电场强度相同C．电子在a点的电势能大于在b点的电势能D．将电子沿直线从c点移到d5．酒后驾驶会导致许多安全隐患，是因为驾驶员的反应时间变长，反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间。
下表中“思考距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离，“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离（假设汽车制动时的加速度大小都相同）。
I2LGAGB C DO分析上表可知，下列说法不正确．．．的是 A ．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5s B．若汽车以20m/s 的速度行驶时，发现前方40m 处有险情，酒后驾驶不能安全停车C ．汽车制动时，加速度大小为10m/s 2D ．表中x 为66.7二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。
苏北四市2012届高三年级第二次模拟考试数学(附答案)
苏北四市2012届高三年级模拟考试数学I一、填空题1. 设集合2{0,1,3},{1,2}A B a a ==++，若{1}A B = ，则实数a 的值是________.2. 已知复数z满足(1)1i z +=(i 是虚数单位),则||z =________.3. 某校高一、高二、高三学生共有3200名,其中高三800名,如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本,那么应从高三的学生中抽取的人数是________.4. 箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片,从中一次随机抽取两张,则两张号码之和为3的倍数的概率是_________.5. 右图是求函数值的程序框图,当输出y 值为1时,则输入的x 值为______.6. 已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中,P ,M 分别为线段1BD ,11B C 上的点,若112BP PD =,则三棱锥M PBC -的体积为________. 7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点,右焦点分别为A,F ,它的左准线与x轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点,则双曲线C 的离心率为______. 8. 如图,已知A,B 是函数3sin(2)y x θ=+的图像与x 轴两相邻的交点,C 是图像上A,B之间最低点,则AB AC ⋅=_________.9. 设直线y=a 分别与曲线2y x =和x y e =交于点M,N ,则当线段MN长取得最小值时a的值为________.10. 定义区间[,]a b 的长度为b a -,用[]x 表示不超过x 的最大整数.设()[]([])f x x x x =-,()1g x x =-,则02012x ≤≤时,不等式()()f x g x ≤的阶级区间的长度为_________.11. 已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的范围是__________.12. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若7453n n S n T n +=+,且2n n a b 是整数,则n 的值为__________.13. 在平面直角坐标系中,已知点(1,2),(4,0),(,1),(1,1)A B P a N a -+,则当四边形P ABN 的周长最小时,过三点A,P ,N 的圆的圆心坐标是__________.14. 已知ABC ∆的三边长a,b,c 成等差数列,且22284a b c ++=,则实数b 的取值范围是__________.OA Bxy第8题图二、解答题15.(本题满分14分)已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x ππ=+-∈R . (1) 求()6f π的值;(2) 在ABC ∆中,若()12f π=,求sin sin B C +的最大值.16.(本题满分14分)如图,已知正方形ABCD 和直角梯形BDEF 所在平面互相垂直,1,2BF BD EF BF BD ⊥==. (1) 求证:DE ∥平面ACF ; (2) 求证:BE ⊥平面ACF .A BCDEF如图，在C 城周边已有两条公路12,l l 在点O 处交汇，且它们的夹角为75.已知OC km =,OC 与公路1l 的夹角为45.现规划在公路12,l l 上分别选择A,B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城.设OA xkm =,OB ykm =.(1) 求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域; (2) 试确定点A,B 的位置,使OAB ∆的面积最小.18.(本题满分16分)如图,已知椭圆C 的方程为2214x y +=,A,B 是四条直线2,1x y =±=±所围成的矩形的两个顶点. (1) 设P 是椭圆C 上任意一点,若OP mOA nOB =+,求证:动点(,)Q m n 在定圆上运动,并求出定圆的方程;(2) 若M,N 是椭圆上两个动点,且直线OM,ON 的斜率之积等于直线OA,OB 的斜率之积,试探求OMN ∆的面积是否为定值,并说明理由.1l 2若函数()f x 在(0,)+∞上恒有'()()xf x f x >成立(其中'()f x 为函数()f x 的导函数),则称这类函数为A 型函数. (1) 若函数2()1g x x =-,判断()g x 是否为A 型函数,并说明理由; (2) 若函数1()3ln ah x ax x x-=---是A 型函数,求函数()h x 的单调区间; (3) 若函数()f x 是A 型函数,当120,0x x >>时,证明1212()()()f x f x f x x +<+.20.(本题满分16分)已知各项均为正整数的数列{}n a 满足1n n a a +<,且存在正整数(1)k k >,使得1212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,*()n k n a k a n +=+∈N(1) 当1233,6k a a a =⋅⋅=时,求数列{}n a 的前36项的和36S ; (2) 求数列{}n a 的通项n a ;(3) 若数列{}n b 满足81121()2n a n n b b -+=-⋅,且1192b =,其前n 项积为n T ,试问n 为何值时, n T 取得最大值?EODCBA苏北四市2011-2012学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．， 若多做，则按作答的前两题评分。
数学_2011年江苏省苏北四市高三第二次调研数学试卷(含答案)
2011年江苏省苏北四市高三第二次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 复数z =(1+3i)i （i 是虚数单位），则z 的实部是________．2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=________．3. 为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2:3:5的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n ＝________．4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +2=0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a =________．5. 已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+α)=________．6. 设a →，b →，c →是单位向量，且a →=b →+c →，则向量a →，b →的夹角等于________．7. 如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是________．8. 在区间[−5, 5]内随机地取出一个数a ，使得1∈{x|2x 2+ax −a 2>0}的概率为________． 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinA =√3sinC ，B ＝30∘，b ＝2，则△ABC 的面积是________．10. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1, 2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．11. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长均等于1，且∠A 1AB =∠A 1AC =60∘，则该三棱柱的体积是________．12. 已知函数f(x)=mx 3+nx 2的图象在点(−1, 2)处的切线恰好与直线3x +y =0平行，若f(x)在区间[t, t +1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．13. 已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝9，ab +bc +ca ＝24，则b 的取值范围是________． 14. 已知函数f(x)=|x +1|+|x +2|+...+|x +2011|+|x −1|+|x −2|+...+|x −2011|(x ∈R)，且f(a 2−3a +2)=f(a −1)，则满足条件的所有整数a 的和是________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)−cos(2x +π3)+2cos 2x ． （1）求f(π12)的值；（2）求f(x)的最大值及相应x 的值．16. 如图，在四棱锥E −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB =90∘，BE =BC ，F 为CE 的中点，求证： （1）AE // 平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．17. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k >0)．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC =x(km)．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）若a =1，且x =6时，y 取得最小值，试求b 的值． 18. 如图，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →⋅F 2N →=0．(1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n =pa n −2n ，n ∈N ∗，其中常数p >2． （1）证明：数列{a n +1}为等比数列； （2）若a 2=3，求数列{a n }的通项公式；（3）对于（2）中数列{a n }，若数列{b n }满足b n =log 2(a n +1)(n ∈N ∗)，在b k 与b k+1之间插入2k−1(k ∈N ∗)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }的前m 项的和T m =2011？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 20. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数ℎ(x)=|f(x)|+g(x)在区间[−2, 2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．21. A 、选修4−1：几何证明选讲如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点，求证：∠DPB =∠DCP ． B ．选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =[122x ]的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修4−4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =ty =1+2t （t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．D ．选修4−5：不等式选讲求函数y =√1−x +√4+2x 的最大值．22. 已知动圆P 过点F(0,14)且与直线y =−14相切．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．23. 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0<a <1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P(ξ＝i)(i ＝0, 1, 2, 3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．2011年江苏省苏北四市高三第二次调研数学试卷答案1. −32. {x|1≤x ≤2}3. 304. 13 5. −36. π3 7.4 8. 0.3 9. √310. (1,√5) 11. √24 12. [−2, −1] 13. [1, 5] 14. 615. 解：（1）f(π12)=sin(2×π12+π6)−cos(2×π12+π3)+2cos 2π12=sin π3−cos π2+1+cos π6=√32−0+1+√32=√3+1（2）∵ f(x)=sin(2x +π6)−cos(2x +π3)+2cos 2x=sin2xcos π6+cos2xsin π6−cos2xcos π3+sin2xsin π3+cos2x +1=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴ 当sin(2x +π6)=1时，f(x)max =2+1=3，此时，2x +π6=2kπ+π2，即x =kπ+π6(k ∈Z)，16. 证明：（1）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵ F 是EC 中点，由三角形中位线的性质可得 FG // AE ，∵ AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE // 平面BFD ．（2）∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE =AB∴ BC ⊥平面ABE ，又∵ AE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥AE ， 又∵ AE ⊥BE ，BC ∩BE =B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BF ．在△BCE 中，BE =CB ，F 为CE 的中点，∴ BF ⊥CE ，AE ∩CE =E ，∴ BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴ 平面BDF ⊥平面ACE ．17. 解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为kax 2，点C 受B 污染源污染程度为kb(18−x)2， 其中k 为比例系数，且k >0． 从而点C 处受污染程度y =ka x 2+kb(18−x)2．（2）因为a =1，所以，y =k x 2+kb (18−x)2，y ′=k[−2x 3+2b(18−x)3]， 令y′=0，得x =1+√b3，又此时x =6，解得b =8，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． 18. 解：(1)∵ e =c a=12，且过点P(1,32)，∴ {1a 2+94b 2=1a =2c a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(4, y 1)，N(4, y 2)， 则F 1M →=(5,y 1)，F 2N →=(3,y 2)， ∵ F 1M →⋅F 2N →=15+y 1y 2=0， ∴ y 1y 2=−15，又∵ MN =|y 2−y 1|=|−15y 1−y 1|=15|y 1|+|y 1|≥2√15，∴ MN 的最小值为2√15． (3)圆心C 的坐标为(4,y 1+y 22)，半径r =|y 2−y 1|2．∴ 圆C 的方程为(x −4)2+(y −y 1+y 22)2=(y 2−y 1)24，整理得：x 2+y 2−8x −(y 1+y 2)y +16+y 1y 2=0， ∵ y 1y 2=−15，∴ x 2+y 2−8x −(y 1+y 2)y +1=0 令y =0，得x 2−8x +1=0，∴ x =4±√15，∴ 圆C 过定点(4±√15，0)． 19. 解：（1）∵ 2S n =pa n −2n ，∴ 2S n+1=pa n+1−2(n +1)，∴ 2a n+1=pa n+1−pa n −2， ∴ a n+1=p p−2a n +2p−2，∴ a n+1+1=p p−2(a n +1)，∵ 2a 1=pa 1−2，∴ a 1=2p−2>0，∴ a 1+1>0 ∴a n+1+1a n +1=pp−2≠0，∴ 数列{a n +1}为等比数列．（2）由（1）知a n +1=(pp−2)n ，∴ a n =(pp−2)n −1 又∵ a 2=3，∴ pp−2×pp−2−1=3，∴ p =4，∴ a n =2n −1（3）由（2）得b n=log22n，即b n=n，(n∈N∗)，数列C n中，b k（含b k项）前的所有项的和是：(1+2+3+⋯+k)+(20+21+22+⋯+ 2k−2)×2=k(k+1)2+2k−2当k=10时，其和是55+210−2=1077<2011当k=11时，其和是66+211−2=2112>2011又因为2011−1077=934=467×2，是2的倍数，所以当m=10+(1+2+22++28)+467=988时，T m=2011，所以存在m=988使得T m=2011．20. 解：(1)方程|f(x)|=g(x)，即|x2−1|=a|x−1|，变形得|x−1|(|x+1|−a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，由此得a<0．(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即(x2−1)≥a|x−1|(∗)对x∈R恒成立，①当x=1时，(∗)显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，(∗)可变形为a≤x2−1|x−1|，令φ(x)=x 2−1|x−1|={x+1(x>1),−(x+1)(x<1),因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>−2，所以φ(x)>−2，故此时a≤−2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤−2．(3)因为ℎ(x)=|f(x)|+g(x)=|x2−1|+a|x−1|={x2+ax−a−1(x≥1),−x2−ax+a+1(−1≤x<1),x2−ax+a−1(x<−1),当a2>1，即a>2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, 1]上递减，在[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，经比较，此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当−1≤a2<0，即−2≤a<0时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当−32≤a2<−1，即−3≤a<−2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,a2]，[1,−a2]上递减，在[a 2，1]，[−a2，2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3<0，ℎ(2)=a +3≥0，ℎ(1)=0，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a +3．当a2<−32，即a <−3时，结合图形可知ℎ(x)在[a2, 1]，[−a2,2]上递增，在[−2,a2]，[1, −a2]上递减，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，ℎ(1)=0， 故此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为ℎ(1)=0．综上所述，当a ≥0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a +3； 当−3≤a <0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a +3； 当a <−3时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为0．21. 解：A ．因为PA 与圆相切于A ，所以，DA 2=DB ⋅DC ，因为D 为PA 中点，所以，DP =DA ，所以，DP 2=DB ⋅DC ，即PD DC=DB PD． 因为∠BDP =∠PDC ，所以，△BDP ∽△PDC ，所以，∠DPB =∠DCP ．B ．矩阵M 的特征多项式为f(λ)=|λ−1,−2−2,λ−x|=(λ−1)(λ−x)−4因为λ1=3方程f(λ)=0的一根，所以x =1， 由(λ−1)(λ−1)−4=0得λ2=−1，设λ2=−1对应的一个特征向量为α=[xy ]， 则{−2x −2y =0−2x −2y =0得x =−y ，令x =1，则y =−1， 所以矩阵M 的另一个特征值为−1，对应的一个特征向量为α=[1−1]C ．消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x +1；ρ=2√2(sinθ+π4)即ρ=2(sinθ+cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ)，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(x −1)2=2，圆心C 到直线l 的距离d =|2−1+1|√22+12=2√55<√2，所以，直线l 和⊙C 相交．D ．因为y =√1−x +√4+2x =(√1−x, √2+x)•(1, √2)，由|a →⋅b →|≤|a →|⋅|b →| 求得 ∴ y 的最大值为3，当且仅当两个向量共线时，即1√1−x=√2√2+x时取“=”号，即当x =0时，y max =3．22. 解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为x 2=y（2）证明：设A(x 1, x 12)，B(x 2, x 22)，∵ y =x 2， ∴ y′=2x ，∴ AN ，BN 的斜率分别为2x 1，2x 2，故AN 的方程为y −x 12=2x 1(x −x 1)，BN 的方程为y −x 22=2x 2(x −x 2)即{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22，两式相减，得x =x 1+x 22， ∴ M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴23. P(ξ)是“ξ个人命中，3−ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ=0)=C 10(1−12)C 20(1−a)2=12(1−a)2，P(ξ=1)=C 11⋅12C 20(1−a)2+C 10(1−12)C 21a(1−a)=12(1−a 2)，P(ξ=2)=C 11⋅12C 21a(1−a)+C 10(1−12)C 22a 2=12(2a −a 2)，P(ξ=3)=C 11⋅12C 22a 2=a 22．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×12(1−a)2+1×12(1−a 2)+2×12(2a −a 2)+3×a 22=4a+12．P(ξ=1)−P(ξ=0)=12[(1−a 2)−(1−a)2]=a(1−a)，P(ξ=1)−P(ξ=2)=12[(1−a 2)−(2a −a 2)]=1−2a 2，P(ξ=1)−P(ξ=3)=12[(1−a 2)−a 2]=1−2a 22．由{ a(1−a)≥01−2a2≥01−2a 22≥0 和0<a <1，得0<a ≤12，即a 的取值范围是(0,12]．。
江苏省苏北四市高三第二次调研考试(数学)
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，填空题(第1题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题)两部分．本试卷考试时间为120分钟，满分160分．选修物理的考生在本试卷考试结束后，需做数学附加试题，时间为30分钟，满分40分．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3.请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符． 4.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效． 江苏省连云港、徐州、淮安、宿迁四市联考2008届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={l ，3，5}，B={l ，2}，则(СU A)∩B ＝ ．2.若复数(a+i)(1—2i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a= .3.已知α为第二象限角，且sin α=45，则tan α= .4.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．5.中心在坐标原点，一个焦点为(5，o)，且以直线y=±34x 为渐近线的双曲线方程为 .6.如图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几 何体的侧面积为 .7.某算法的伪代码如图所示，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的值是 .8.已知函数)y=f(x)是奇函数，当x ＜0时,f(x)=x 2+a x (a ∈R)，且f(2)=6，则a = .9.用计算机随机产生的有序二元数组满⎩⎨⎧－1＜x ＜1－2＜y ＜2对每个二元数组(x,y)，用计算机计算x 2+y 2的值，记“(x,y)满足x 2+y 2＜l”为事件A ，则事件A 发生的概率为 .10.已知p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x)＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 .Read x If x ＜0 Then y←x －2 Else y←x 2－3x End If Print y （第7题） 主视图左视图 俯视图2 2 （第6题）11.已知函数f(x)，g(x)满足，f(5)=5，f ﹐(5)=3，g(5)=4，g ﹐(5)=1，则函数y=f(x)+2g(x) 的图象在x=5处的切线方程为 .12.若实数a ,b 满足a b 一4a 一b+1=0(a ＞1)，则(a +1)(b+2)的最小值为 .13.若存在a ∈[1，3]，使得不等式a x 2+(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是 .14.对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形;②若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A+sin 2B+cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形；④若tanA+tanB+tan C ＞0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确命题的序号是 .(把你认为所有正确的都填上)二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
苏北四市高三第二次调研测试数学试卷(必做题)答案
绝密★启用前苏北四市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学I 参考答案及评分标准一、填空题1. 2；2. 2i ； 3．75； 4．9； 5．3π； 6.23；7．35； 8. 245； 9．26； 10. 4； 11．； 12．()-∞+； 13．4； 14.12．二、解答题15．（1）在锐角三角形ABC 中，由3sin 5A =，得4cos 5A ， …………2分所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分 由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅，得tan 2B =. ………………7分（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得sin B =，cos B =9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………11分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分16．(1) 连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．………2分因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ．………4分 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC ．……………………6分(2) 因为P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． …………………8分因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．…………………………………10分 因为 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ．…………12分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以 平面P AD ⊥平面ABCD ． …………………14分17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为)=19y x x ≤≤，PM x = 所以点P坐标为,x x ⎛+⎝⎭， 直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分OPABCDE则点P 到直线0x y -=24x ==，………………4分又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米． 则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 因为22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 18.（1）令1n =，得221a λ=+．令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++．…………2分由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，因为0λ≠，所以1λ=．………4分 （2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+，所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，………………………6分 所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列， 所以()11212n n S n a =-⋅++， ……………………………………………………8分 即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①-②得，13222n n n n n a a a -=-++，……………………………………………10分 即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a an n n -=++≥， ………………………12分所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. ……………………14分代入①得2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. （1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分 （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=. 化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分 （3）因为OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =12分由OM l ，得2D A E A D AM Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+= …………………………………………………14分=≥k =时取等号，所以当k =时，AD AE OM+的最小值为 …………………………16分 20. (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分(2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，……………………………6分 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立， 因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分 记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞ ，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号． ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分。
2011江苏各地调研试卷试题汇编 选修4-4
b2011年南京师范大学附属中学高考模拟 C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线⎩⎨⎧x =2cos θ，y =3sin θ.(θ为参数)和曲线⎩⎨⎧x =－2t +2，y =3t .(t 为参数)相交于两点A ，B ，求A ，B 的坐标．C ．(2，0)和(1，32)江苏省2011届高考数学考前预测试卷2（理）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．1-．提示：化为普通方程求解．江苏省2011届高考数学考前预测试卷1（理）15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为__________________．15．24．提示：转化为直角坐标系求解 2011年江苏海安高级中学热身试卷2011．5．21 C ．选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos(θ ＋π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．21．C 解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2 – x ＋3y ＝0，解方程组⎩⎨⎧x 2 + y 2= 1x 2 + y 2– x + 3y = 0 ，得两交点坐标(1，0)，(–12，– 32)故，线段AB 的长为 3 ，即AB ＝3．2010-2011学年南通市四星高中四校联考C ．（选修4—4 参数方程与极坐标）已知曲线:C 3cos 2sinx y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=． ⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． C 、解：⑴2120x y --=⑵设P (3c o s ,2s iθθ，故d=)12θϕ=+-（其中，34cos ,sin )55ϕϕ==当cos()1θϕ+=时，min d =，故P 点到直线l 的距离的最小值为．2010-2011第一学期苏北九所重点高中期末联考试卷2、已知圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）．(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径；（2）若题中条件R 为定值，则当α变化时，圆M 都相切于一个定圆，试写出此圆的极坐标方程． 解：（1）依题意得 圆M 的方程为222)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα，故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα． （2）当α变化时，因R R R R R -==+32)sin 2()cos 2(22αα，故所有的圆M 都和定圆2229R y x =+内切，此圆极坐标方程为R3=ρ;又因R R R R R +==+2)s i n 2()c o s 2(22αα，故所有的圆M 都和定圆222R y x =+外切，此圆极坐标方程为R =ρ2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（1） C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩得1sin cos y x θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得22(1)1x y +-=，故曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．令cos ,sin x y ρθρθ==，代入并整理得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=．2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（3） C ．选修4－4 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．C ．解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ，故0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥．2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（5）22．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），求直线被曲线C 截得的线段长度．22．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，直线方程的普通方程为1y =+，圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，故直线被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（7）2、已知圆的极坐标方程为：2cos()604πρθ--+=．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（8）2．直线3,()12x s y s⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 2．解：曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，故121210s s s s +==．AB 12s s =-2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（9） C ．选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=． （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系．解：消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ，)4(sin 22πθρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，2)1()1(22=-+-x x（2）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，故直线l 和⊙C 相交． 2011届高考数学仿真押题卷——江苏卷（10） C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围．【解】由题设得004cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）．于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-+，故002x y -．2011届江苏省如皋中学高三第一次数学月考试卷3．在极坐标系下，已知圆θθρsin cos :+=O 和直线:l 22)4sin(=-πθρ． （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当),0(πθ∈时，求直线l 于圆O 公共点的极坐标．23．解：（1）圆θθρsin co s :+=O ，即θρθρρsin cos 2+=，圆O 的直角坐标方程为：y x y x +=+22，即022=--+y x y x ，直线:l 22)4sin(=-πθρ，即1cos sin =-θρθρ则直线的直角坐标方程为：1=-x y ，即01=+-y x ．由⎩⎨⎧=+-=--+01022y x y x y x 得⎩⎨⎧==10y x ，故直线l与圆O 公共点的一个极坐标为)2,1(π．2011届江苏省苏北四市第一次摸底考试数学模拟试题2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：（1）224ρρ=⇒=，故224x y +=；因2πcos()24ρθ--=，故2ππ(cos cos sin sin )244ρθθ-+=，故222220x y x y +---=．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即πsin()4ρθ+=徐州市2010～2011学年度高三第三次质量检测C ．选修4－4：坐标系与参数方程．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C 1的方程为28sin 15ρρθ=-，曲线C 2的方程为,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）将C 1的方程化为直角坐标方程； （2）若C 2上的点Q 对应的参数为3=4πα，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值． （1）228150x y y +-+=． （2）当34απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C，故PQ1． 2011年江苏省高考数学预测试卷(一)C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．提示：曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x =0，即（x －2）2＋y 2=4，直线l的参数方程1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，化为普通方程为x －y －1=0，曲线C 的圆心（2，0）到直线l 的距=，故直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长点评：该题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的参数方程、点到直线距离公式；是容易题． 2011年江苏省高考数学预测试卷(二) C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1,2x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，又点P 的坐标为(1,2)． 求：（1）线段AB 的中点坐标； （2）线段AB 的长； （3）||PA PB -的值．解：由题意可知，直线l的参数方程为11,22x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（l 为参数），曲线C 的方程为221169x y +=，将直线方程代入曲线C的方程可得，2579)7104l l +-=，则12l l +=1228457l l =-， （1）中点对应的参数为122l l l +==；（2）弦AB的长为12||l l - （3）1212||||||||||PA PB l l l l -=-=+=． 2011年南京师范大学附属中学高考模拟试题 C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线⎩⎨⎧x =2cos θ，y =3sin θ.(θ为参数)和曲线⎩⎨⎧x =－2t +2，y =3t .(t 为参数)相交于两点A ，B ，求A ，B 的坐标．C ．(2，0)和(1，32)江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷 C ．选修4—4 参数方程与极坐标已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，故224x y +=；因()2πcos 24ρθ--=，故()2ππcos cos sin sin 244ρθθ-+=，故222220x y x y +---=．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin 4ρθ+．江苏省常州学校2011届高三模拟考试冲刺卷5 4—4 坐标系与参数方程求圆心为(3)6C π，，半径为3的圆的极坐标方程．4－4解：设圆上任一点为()P ρθ，，则OP ρ=，2366POA OA θπ∠=-=⨯=，，Rt cos OAP OP OA POA ∆=∠中，，6cos()6ρθπ=-，而点2(0,)3O π，(0,)6A π符合，故所求圆的极坐标方程为6cos()6ρθπ=-．江苏省常州学校2011届高三模拟考试冲刺卷3 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，直线方程l 的普通方程为1y =+，圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．江苏省海门中学2011届高三考前热身训练6．2 C ．选修4－4 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ． 解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．故0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥．江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度22．已知圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）．(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径；（2）若题中条件R 为定值，则当α变化时，圆M 都相切于一个定圆，试写出此圆的极坐标方程．解：（1）依题意得 圆M 的方程为222)sin 2()cos 2(R R y R x =-+-αα 故圆心的坐标为M （R R R 半径为).sin 2,cos 2αα． （2）当α变化时，因R R R R R -==+32)sin 2()cos 2(22αα，故所有的圆M 都和定圆2229R y x =+内切，此圆极坐标方程为R3=ρ；又因R R R R R +==+2)s i n 2()c o s 2(22αα，故所有的圆M 都和定圆222R y x =+外切，此圆极坐标方程为R =ρ；梁丰中学2010-2011学年度第二学期第五次模拟考试 21．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点．（1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦AB 的长度． 21．C ．解：（1）曲线2C ：4πθ=（R ∈ρ）表示直线x y =，曲线1C ：θρcos 6= ，即θρρcos 62=，故x y x 622=+即9)3(22=+-y x ． （2） 圆心（3，0）到直线的距离 223=d ，3=r 故弦长AB =23．江苏省梁丰高级中学2011届临考模拟考试2011-5-2522．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|． 解：（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240,t -+=由于2(2)4420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，故12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t=江苏省南通市2011届高三第一次调研测试2011．1 C ．选修4－4：坐标系与参数方程P 为曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上一点，求它到直线2C ：122x ty =+⎧⎨=⎩（t 为参数）距离的最小值．解：将曲线1C 化成普通方程是22(1)1x y -+=，圆心是（1，0），直线2C 化成普通方程是20y -=，则圆心到直线的距离为2．故 曲线1C 上点到直线的距离为1，该点为（1，1）． 江苏省南通市2011届高三第二次模拟考试 C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=．设点P的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l的距离d =，即d=其中cos sin ϕϕ==．当()sin 1αϕ+=-时，max d = 南通市2011届高三第三次调研测试2011．5 C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程． 解：设(,)P ρθ是所求圆上的任意一点，则cos()4OP OB θπ=-， 故所求的圆的极坐标方程为)4ρθπ=-．注：cos()4ρθπ=-亦正确．江苏省如皋中学高三数学月考试卷22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．C 解：（1）直线l 的参数方程为1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）圆C 的极坐标方程为8sin =ρθ．（2）因(4,)2M π对应的直角坐标为(0,4)，直线化为普通方程为50y --=，4d ==>，故直线与圆相离．江苏省苏州市2011届迎二模六校联考(第21-C 题答图)C ．选修4—4：(坐标系与参数方程) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t)，y ＝4(t －1t)(t 为参数)化为普通方程．解：（方法一） 因(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4，故(x 2)2－(y 4)2＝4．化简得普通方程为x 216－y 264＝1．（方法二）因⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )，故t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y 8，相乘得(2x ＋y )(2x －y )64＝1．化简得普通方程为x 216－y 264＝1． 江苏省宿迁市2011届高三数学高考押题试卷 C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P 为圆22s i n 70ρρθ+-=上任一点．求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值．C ．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=，设点1)P αα-，则点到直线70x y +-=的距离|4sin()8|d πα+-==∴min d ==max d == 江苏省泰州市2012届高三第一学期期末考试3．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 6=，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度．3．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为0622=-+y y x ，即9)3(22=-+y x ，它表示以)3,0(为圆心，3为半径的圆，直线方程l的普通方程为1y =+，圆C 的圆心到直线l的距离1=d ，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为2413222=-．盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．C ． 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，故曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--，令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC ，故1MN MC r +≤扬州市2010-2011学年度第一学期期末调研测试2011．01 22．（4-4极坐标与参数方程，本小题满分10分） 已知圆锥曲线C 的极坐标方程为θθρ2cos 1sin 8+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 21．C 解：由8sin 1cos 2θρθ=+得：2cos 4sin ρθθ=，22cos 4sin ρθρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，故，所求曲线的直角坐标方程是24x y =，故，焦点到准线的距离为2．江苏省扬州市2011届高三数学调研试卷2010．122．已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． 2．解：⑴2120x y --=⑵设P (3cos ,2sin )θθ，故d =)12θϕ=+-（其中，34cos ,sin )55ϕϕ==，当cos()1θϕ+=时，min d =，故P 点到直线l 的距离的最小值为扬州市第一中学2010-2011学年度第一学期期末考试 2、在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，（1）过极点的一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠︒=45AOX ，求OA 的长． （2）求过圆上一点)2,2(πP ，且与圆相切的直线的极坐标方程；(C)（1）2 （2） 2sin =θρ金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷南京市九校联合体2011届高三数学学情分析2010．12 24．已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系．解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；)4(sin 22πθρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：2)1()1(22=-+-x x （2）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，故直线l 和⊙C 相交． 南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试C ． 选修44：坐标系与参数方程求曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2t 2＋1，y ＝2tt 2＋1被直线l ：y ＝x －12所截得的线段长．C ：C 1：⎩⎨⎧x ＝2t 2＋1，①y ＝2tt 2＋1，②，②①得t ＝y x ，代入①，化简得x 2＋y 2＝2x ．又x ＝2t 2＋1≠0，故C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)．圆C 1的圆心到直线l ：y ＝x －12的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1－0－122＝122．所求弦长为21－d 2＝142． 南师大附属中学2011届高三冲刺卷 2．直线3,()12x s y s⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 解：曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，故121210ss s s +==． AB 12s s =- 江苏省2011百校大联考一模试题C ．4—4坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos()204πρθ-+-=．⑴．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； ⑵．若点(,)M x y 在曲线C 上，求x y +的最大值．解：⑴．直角坐标方程为222220x y x y +-+-=；⑵．上述方程即为22(1)(1)4x y -++=，化为参数方程为12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩，则2s i n 2c o 22s i n )224x y πααα+=+=+≤，故x y +的最大值为苏北四市2010-2011学年度高三年级第一次调研考试 2010．10C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的极坐标方程为0sin 2cos =+θρθρ，曲线C 的参数方程为ααα(sin 2cos 4⎩⎨⎧==y x 为参数)，又直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求线殷AB 的长．解：直线l 的直角坐标方程为02=+y x ，曲线C 的普通方程为.141622=+y x 两者联立解得A 和B 的坐标为)2,22(-，)2,22(-，102)22()24(22=+=∴AB江苏省盐城中学2010-2011学年度高三第一次考试C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2cos()3πρθ=+，它们相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：由，得，又2cos()cos 3πρθθθ=+=，故，2cos sin ρρθθ=，，由，得，则AB =江苏省2011届苏锡常镇四市高三调研测试（二） C ．坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2sin ρθ=，它们相交于,A B 两点，求线段AB 的长． C ：解：[方法1]由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1．又ρ＝2sin θ，故 ρ2＝2ρsin θ，故 x 2＋y 2－2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，则AB ＝3． [方法2]由ρ＝1，ρ＝2sin θ得2sin θ＝1，θ＝π6或θ＝56π．故A ，B 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫1，π6，B ⎝⎛⎭⎫1，56π．在△AOB 中，OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝23π，故AB ＝3．镇江市2011年高三期末考试试卷2011．01过点P (102，0)作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋2y 2＝1交于不同两点M 、N ，求PM ·PN 的取值范围．解：设直线为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos αt 为参数，y ＝t sin α，代入曲线并整理得(1＋sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0，Δ＝10cos 2α－4×32(1＋sin 2α)＞0，得0≤sin 2α＜14．则PM ·PN ＝|t 1t 2|＝321＋sin 2α，故 PM ·PN ∈⎝⎛⎦⎤65，32． 江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届调研考试（2011-02-24） 21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 解：(1)⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标分别为)23,2(),0,2(π(2) 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系下⊙1O 与⊙2O 的方程分别为04,042222=++=-+y y x x y x ，则经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的方程为x y -=，其极坐标方程为4πθ-=（R ∈ρ）．南通市2011届高三第三次调研测试 C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围．【解】由题设得004cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）．于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，所以002x y -．南通市和无锡市部分重点学校2011届高三数学联合调研试卷2010．11．2325．过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，故121210s s s s +==．AB 12s s =-说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．如东县2011届高三数学最后一次考前适应训练 C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB 两点，且14=AB（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．C ．解（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y x +-=，圆心坐标为(2,0)，半径2R =．（2）直线l 的直角坐标方程为y x m =-，则圆心到直线l的距离2d ==，所以=21m -=，解得1m =或3m = 苏北四市2011届高三年级第二次调研考试2011年3月31日 C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为23)4sin(=-πθρ． （1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解：（1）直线l 的极坐标方程sin()4ρθπ-=，则sin cos θθ=，即s i n c o s 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=；（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,，则P 到直线l 的距离d =，其中4cos 5ϕ=，所以当cos()1αϕ+=时，d 的最大值苏北四市2011届高三第一次质量检测 C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的方程为)4ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．C ．消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为21y x =+；)4πρθ=+即2(sin cos )ρθθ=+，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=, 圆心C 到直线l的距离d ==<l 和⊙C 相交． 宿迁市2011届高三数学高考押题试卷（二） C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为：2cos45,()sin 45,x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数oo，曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线方程普通方程为：20x y -+=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以222x y y +=，即22(1)1x y +-=，曲线C 是圆，圆心(0,1)到直线l的距离为：d ==AB的长AB =无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(一) C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB 两点，且14=AB（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．C ．解（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y x +-=，圆心坐标为(2,0)，半径2R =．（2）直线l 的直角坐标方程为y x m =-，则圆心到直线l的距离d ===21m -=，解得1m =或3m = 无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(二) C ．选修4－4：参数方程与极坐标试判断直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x l 22221:(t 为参数)与曲C ：12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ (θ为参数)的位置关系．直线方程l 的方程可化为01=+-y x ，曲线方程C 可化为22(1)(2)4x y ++-=，是一个圆，其圆心为(1,2)C -，半径为2．因为圆C的圆心到直线的距离2d r =<=，所以直线l 与曲线C 有两个相交．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(三)2．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x ，其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为63)3c o s (2=+πθρ．求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．2．解：直线l 的普通方程为：0633=--y x ，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d ．263)4sin(62|63sin 3cos 3|+-=--=πθθθd ，故当1)4sin(=-πθ时，62max =d ，当1)4sin(-=-πθ时，6min =d ．无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(四) C ．选修4—4 参数方程与极坐标 已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程． 解：由题设知,圆心 ()()0.2, 3,1P C ，∠CPO=60°,故过P 点的切线的倾斜角为30°，设()θρ,M 是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中，∠MOP =θ 00150, 30=∠-=∠OPM OMP θ，由正弦定理得()θρ-=∴∠=∠0030sin 2sin150, sin sin OMP OP OPM OM ，()()()130sin 160cos 00=-=+∴θρθρ或，即为所求切线的极坐标方程．盐城市2011届高三二模数学 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为)3cos(21πθρρ+==与，它们相交于A 、B 两点，求线段AB的长．解：（Ⅰ）由1ρ=得221x y +=，又22co ()o ss i n 3πρθθρρθρθ=+-∴=-，220x y x ∴+-=，由22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩，得1(1,0),(,2A B -， AB ∴==盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知两个圆的极坐标方程分别是θρcos 6=和θρsin 8=，求这两个圆的圆心距．C ． 解：因为θρcos 6=表示以点（3，0）为圆心，3为半径的圆，θρsin 8=表示以点)2,4(π为圆心，4为半径的圆，所以这个两个圆的圆心距为5 盐城中学2011届高三年级第二次模拟考试C ．选修4—4参数方程与极坐标已知椭圆C ：2cos ρθ=，直线l ：cos sin 4ρθρθ-=，求过点C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．盐城中学2011届高三年级第一次模拟考试（2011．04） C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），定点)3,0(-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左，右焦点．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2AF 的直线l 的极坐标方程；（2）在（I ）的条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于F E ,两点，求弦EF 的长．扬州市2010—2011学年度第二学期第三次调研测试2011．05 21．C （4-2极坐标与参数方程）椭圆中心在原点，离心率为12，点(,)P x y 是椭圆上的点，若2x 的最大值为10，求椭圆的标准方程．解：离心率为12，设椭圆标准方程是2222143x y c c +=，它的参数方程为2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ是参数)，2x 4cos 3sin 5sin()c c c θθθϕ=+=+最大值是5c ，依题意510c =，2c =，椭圆的标准方程是2211612x y +=扬州市2011届四星级高中联考 2011．4．81．已知圆的极坐标方程为：2cos()604πρθ--+=．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 1．⑴224460x y x y +--+=；⑵圆的参数方程为2,2x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以42sin()4x y πα+=++，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．扬州市第一中学2011届高三数学第二次阶段性测试 2、选修4－4：坐标系与参数方程．已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+．(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．【解】（1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为23y x =-；)4(sin 22πθρ+=,即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=（2）圆心C 到直线l 的距离d ==<l 和⊙C 相交． 2011届江苏省苏锡常镇扬五市高三调研测试2011.3C ．坐标系与参数方程已知A 是曲线12sin ρθ=上的动点，B 是曲线12cos()6πρθ=-上的动点，试求线段AB 长的最大值．解：曲线ρ=12sinθ化为直角坐标方程为 x 2+（y ﹣6）2=36，表示以（0，6）为圆心，以6为半径的圆．曲线化为直角坐标方程为x 2+y 2=6x+6y ，即，表示以（3，3 ）为圆心，以6为半径的圆．两圆的圆心距为=6，故两圆相交，线段AB 长的最大值为6+r+r′=18．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及两圆的位置关系，求出两圆的圆心距，是解题的关键．泰州中学10---11学年度第二学期第四次模拟考试 C ．4-4坐标系与参数方程 已知直线1C ：1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，2C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) ．⑴．当3πα=时，求1C 被2C 截得的弦长；⑵．过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，当α变化时，求点A 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：⑴．1C的普通方程为1)y x -，2C 的普通方程为221x y +=，而2C 的圆心到1C 的距离为d =1AB ==； ⑵．1C 的普通方程为s i nc o s s i nx y ααα--=，OA 的方程为：c o s s i n y x αα=-，由s i nc o s s i n 0,c o s s i n x y y x ααααα--=⎧⎪⎨=-⎪⎩得，2(s i n ,s i n c o s )A ααα-，故点A 轨迹的参数方程为2sin ,sin cos x y ααα⎧=⎨=-⎩(α为参数)．化为普通方程为：2211()24x y -+=，其为以1(,0)2为圆心，12为半径的圆．南师附中2010--2011学年度第一学期高三期中考试 C 4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)． ⑴．分别将直线l 和圆C 的参数方程化为普通方程；⑵．若直线l 和圆C 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011．01 C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线l ：3cos 4sin 300ρθρθ--=相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：2210x y x +=，即22(5)25x y -+=，圆心(5,0)C ．直线l ：34300x y --=，因圆心C 到直线l 的距离3d =，故8AB ==．。
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苏北四市2011届高三年级第二次调研考试数学I一、填空题： 1． 若1a ii+-（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是_________ 2． 已知集合2{|1},{|20}A x xB x x x =>=-<，则A B =_________3． 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中使用多媒体进行教学次数在【15,30】内的人数是_________ 4． 在如图所示的流程图中，输出的结果是_________标，则点P 在圆2216x y +=内的概率5． 若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐是6． 在约束条件010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩_________7． 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，Ｐ是摩天轮轮周上一定点，从Ｐ在最低点时开始计时，则１６分钟后Ｐ点距地面的高度是_________ 8． 已知集合222{(,)|||||1},{(,)|,0}A x y x y B x y x y r r =+≤=+≤>若点（ｘ，ｙ）∈Ａ是点（ｘ，ｙ）∈Ｂ的必要条件，则ｒ 的最大值是_________9． 已知点Ａ（０，２）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若A M ⊥MF ，则p=_________ 10．若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________11． 如图所示，在直三棱柱中，A C ⊥BC ，AC =4,BC =CC 1=2,若用平行于三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。
12．已知椭圆22142x y +=，A 、B 是其左右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连接AM 交椭圆与点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为_________ 13． 在三角形ABC 中，过中中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB ，AC 与M 、N 两点，设,,(0)AM xAB AN xAC xy ==≠则4x+y 的最小值是_________14． 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为_________二、解答题15． 如图,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴正半轴上,直线AB 的倾斜角为34π,OB=2，设3,(,)24AOB πθθπ∠=∈(1) 用θ表示OA(2) 求OA OB ⋅的最小值.16．如图，已知四面体ABCD 的四个面均为锐角三角形，EFGH 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，BD||平面EFGH ，且EH=FG 。
（1） 求证：HG||平面ABC（2） 请在平面ABD 内过点E 做一条线段垂直于AC ，并给出证明。
17．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0,1）且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1:2，过点H （0，t ）的直线l 于圆C 相切于MN 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O 。
（1） 求圆C 的方程；（2） 当t=1时，求出直线l 的方程； （3） 求直线OM 的斜率k 的取值范围。
18．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量144y x =+；若在t （t >0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y 2随时间2(0)(4)aa t <+，存留变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为量随时间变化的曲线如图所示。
当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a =-1，t =5，求“二次复习最佳时机点”； （2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的取值范围。
19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值 （2）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数。
20．已知函数222121451()ln ,()ln ,()2,6392f x ax x f x x x x f x x ax a R =+=++=+∈ （1）求证：函数()f x 在点(,())e f e 处的切线横过定点，并求出定点的坐标； （2）若2()()f x f x <在区间(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当23a =时，求证：在区间(1,)+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个。
连云港市2011届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题：1．1-； 2．}{x x >；3．100； 4. 60； 5．92； 67．14； 8．2 9； 10．11(1,)(,1)22-- ； 11．24； 12．(0,0)； 13．94； 14．162（或者65536）． 二、解答题:15. (1)在△ABC 中，因为2OB =，4BAOp?，344ABO p p p q q ?--=-， 由正弦定理，得sin sin4OB OA ABOp=Ð，……………………………………3分3sin()4OAp q =-，所以3sin()4OA p q =-. ……………6分 注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得2(sin cos )OA q q =+或)4OA πθ=+也得分.(2)由(1)得3||||cos )cos 4OA OB OA OB pq q q ?鬃-?uu r uu u r uu r uu u r ，…………………8分2(sin 2cos2)2θθ=++)24θπ=++， …………………10分因为3(,),24p p q Î所以572(,)444p p pq +?， 所以当3242p p q +=，即58pq =时，OA OB ×u u r u u u r的最小值为2-．…14分16. （1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG = 平面平面，所以BD //FG ． 同理BD //EH ，又因为EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ⊄平面，所以HG ABC 平面 ． ……………………………………………………6分 （2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点，在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点，连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下：EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭平面平面…………………………………14分17解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上， 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:，得23ACB π∠=， 所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为：22(2)(1)4x y ++-=． ………………………………4分 （2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得01x y =⎧⎨=⎩或22241411x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++， 因为以MN 为直径的圆恰好经过(0,0)O ，所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m m --+-+⋅=⋅==+++ ，解得2m =，所以所求直线l方程为(21y x =+或(21y x =+．………………………………10分（3）设直线MO 的方程为y kx =，2，解之得34k ≤，同理得，134k-≤，解之得43k ≤-或>0k ． 由（2）知，=0k 也满足题意． 所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞- ． ………………………………………14分18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ， 由题意知，228()(4)(4)4a y x t t t t =-+>++ ………………………………2分所以21284()(4)(4)44a y y y x t t t t x =-=-+->+++ ……………………4分 (1) 当1,5a t =-=时，2184(5)(54)544y x x -=-+-+++(4)41814x x -+=-++≤1-59=， 当且仅当 14x = 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天． ………………10分 (2) 284()(4)44a y x t t t x =-+-+++22(4)48(4)(4)44(4)a x a t t x t t -++=--+-++++≤84at --+， …………………………………………14分 当且仅当4)4(244)4()4(2-+-=+=++-t ax x t x a 即 时取等号，由题意t t a>-+-4)4(2，所以 40a -<<． ………………16分注：使用求导方法可以得到相应得分.19．⑴ 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =，112b a ==，32111122a b a d q b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ……………………………4分 ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯； ………6分② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-． ………………………10分 ⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ， ………………………………………………12分又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ， ……13分所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， …………………………………14分 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数. ……………………………………16分20. (1)因为1()2f x ax x '=+ ，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为21(2)()1y ae x e ae e=+-++ ，……2分整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1(,)22e ． ………4分(2) 令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x--+---'=--+== （*）………………………………………………………………6分 令()0p x '=，得极值点1x 1=，2121x a =-， ①当112a <<时，有1x x 12=>，即1a 21<<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>，此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，也不合题意； …………………………………………… 8分③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<， 从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数；要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 12a ⇒≥-， 所以1122a -≤≤．综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……………………………………………12分 (3)当23a =时，221214514()ln ,()63923f x x x x f x x x =++=+记22115()()ln ,(1,)39y f x f x x x x =-=-∈+∞．因为225650399x x y x x-'=-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数， 所以21211()()(1)(1)3f x f x f f ->-=， ………………………………14分设11()(),(01)3R x f x λλ=+<<, 则12()()()f x R x f x <<, 所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个． ………………………………………………………………16分。