2019高中数学第一章1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．思考辨析 (1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin π6，则2π3是函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (3)函数y ＝sin x 是奇函数．( ) [解析] (1)×.因为对任意x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋x 与sin x 并不一定相等．(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f (x )＝5是周期函数，就不存在最小正周期．(3)×.函数y ＝sin x 的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，不关于原点对称，故非奇非偶．[答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数B [y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y ＝f (x )是以2为周期的函数，且f (5)＝6，则f (1)＝________. 6 [由已知得f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (1)＝f (3)＝f (5)＝6.][合 作 探 究·攻 重 难]三角函数的周期问题及简单应用求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4； (2)y ＝|sin x |. 【导学号：84352085】[思路探究] (1)法一：寻找非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )恒成立． 法二：利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．[解] (1)法一：(定义法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4，所以周期为π.法二：(公式法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，T ＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.[规律方法] 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|. [跟踪训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R .[解] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.三角函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .[思路探究][解] (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z， ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )， ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．[规律方法] 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f (x )与f (－x )的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟踪训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. [解] (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12，∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z ，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？提示：奇函数有y ＝2sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝5sin 2x ，y ＝sin x cos x 等．偶函数有y ＝cos 2x ＋1，y ＝3cos 5x ，y ＝sin x ·sin 2x 等．2．若函数y ＝f (x )是周期T ＝2的周期函数，也是奇函数，则f (2 018)的值是多少？ 提示：f (2 018)＝f (0＋1 009×2)＝f (0)＝0.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin 2x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32[思路探究] (1)先作出选项A ，B 中函数的图象，化简选项C 、D 中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f (x ＋π)＝f (x )化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3；再依据f (x )是偶函数和x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝sin x 求值．(1)D (2)D [(1)y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.]母题探究：1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解] f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－11π12×2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.2．若本例(2)中的“π”改为“π2”，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π.[解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝32.[规律方法] 1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[当 堂 达 标·固 双 基]1．如图所示的是定义在R 上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )D [观察图象易知，只有D 选项中的图象不是周期函数的图象．] 2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )＝2sin 2x 的定义域为R ，f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．]3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．4 [由已知得f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.]4．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________. －3 [由已知得f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3.]5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos 3x；(2)f(x)＝x sin(x＋π).[解](1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．(2)f(x)＝x sin(x＋π)＝－x sin x，所以f(－x)＝x sin(－x)＝－x sin x＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．。
高一数学必修第一册2019(A版)_《正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性》教学设计二
《正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性》教学设计 教学设计一、问题引入观察正弦函数图象，回答下列问题.问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次.问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是.教师提出问题让学生思考.学生思考问题并回答.二、知识深化1.函数的周期性.（1）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.（2）如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做()f x 的最小正周期.教师让学生牢记概念.2.正弦函数、余弦函数的周期性是怎样的？教师提出问题，引导学生探究正弦线作正弦函数图象.师生共同作出正弦函数图象.思考1：定义域内的每一个值都有()()f x T f x +=成立，即x 的任意性这一条件重要吗？为什么？提示：重要，否则不能说()y f x =是周期函数.思考2：所有周期函数都有最小正周期吗？提示：否，如常数函数()f x c =（c 为常数，x ∈R ），所有非零实数T 都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期.3.正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称.教师引导学生自己得出结论.问题2：诱导公式sin()sin x x -=-，cos()cos x x -=体现了函数的什么性质？ 提示：奇偶性.师生共同总结得出：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.三、应用举例例 求下列三角函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R . 教师板演（1）（2），规范解题步骤，让学生利用三角函数的周期性，通过代数变形得到等式()()f x T f x +=来求得相应周期.（1）x ∀∈R ，有3sin(2)3sin x x π+=.由周期函数的定义知，3sin y x =的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2)z π+ cos z =，于是cos(22)cos 2x x π+=，所以cos 2()cos 2x x π+=，x ∈R .由周期函数的定义知，cos 2y x =的周期为π.学生独立完成（3），教师评价.思考：回顾例2解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？教师引导学生阅读教材第203～204页“探究与发现”的内容.求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：（1）公式法，即将函数解析式化为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++的形式，再利用2||T πω=求得；（2）图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.课堂练习：教材第203页练习第4题.判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看()f x 与()f x -的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可以根据诱导公式先将函数解析式化简后再判断.四、归纳小结师生共同总结正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性.教学研讨本案例是通过一系列思考与问题来让学生学习新知的，设计新颖，实用性比较强.需要探讨的一点是：关于教材中的“探究与发现”内容，在实际教学中可引导学生思考是否可以将结论推广到一般周期函数？为将来学习函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质提前做好铺垫.。
2019高中数学 第一章 1.4.2 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性学案 新人教A版必修4
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中，周期为π的函数是( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 解析：根据公式T ＝2π|ω|可知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最小正周期是T ＝2π|－2|＝π. 答案：D2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)， 所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)， 又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π. 答案：C3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x 解析：对于D ，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．答案：D4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 解析：由诱导公式得，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，所以该函数为周期为2π的偶函数．答案：D5.若函数f (x )＝a sin x ＋2x ＋3，且f (－1)＝7，则f (1)＝( )A.4B.－4C.1D.－1解析：函数f (x )＝a sin x ＋2x ＋3，令g (x )＝a sin x ＋2x ，则g (－x )＝－a sin x －2x ＝－g (x )，所以g (x )＝a sin x ＋2x 是奇函数，f (－1)＝g (－1)＋3＝7，g (－1)＝4，g (1)＝－4，f (1)＝g (1)＋3＝－4＋3＝－1.故选D.答案：D二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y 轴”)．解析：函数的定义域为R ，f (－x )＝2cos 2(－x )＋1＝2cos(－2x )＋1＝2cos 2x ＋1＝f (x )． 故f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称．答案：y 轴7.已知函数f (x )的周期为1.5，且f (1)＝20，则f (10)的值是_______.解析：f (10)＝f (6×1.5＋1)＝f (1)＝20.答案：208.若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)的最小正周期为T ，且T ∈(1，3)，则ω的最大正整数值是_______.解析：ω＝2πT ，因为T ∈(1，3)，所以2π3＜ω＜2π.所以ω的最大正整数值为6.答案：6三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin2x )；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2.解：(1)因为1＋sin2x ＞sin2x ，所以1＋sin2x ＞|sin x |≥－sin x ，所以sin x ＋1＋sin2x ＞0，所以函数f (x )的定义域为R.f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin2（－x ）]＝lg(－sin x ＋1＋sin2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1＋sin2x ＝所以f (x )为奇函数．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R. 又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数． 10.函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ）.求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明：因为f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f （x ＋2）＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.[B 级 能力提升] 1.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0，sin x （0≤x ≤π），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A.1 B.22 C.0 D.－22解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2×（－3）＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：B2．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期，所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－f （1），f （－1）＝f （1）， 解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．答案：53．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集． 解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案 新人教A版必修4(20
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1.4。
2 正弦、余弦函数的性质（二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程： 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？（1）余弦函数的图形当自变量取一对相反数时,函数y 取同一值。
例如：f （—3π)=21，f （3π)=21 ，即f （—3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(—x ）= f(x)。
以上情况反映在图象上就是：如果点（x ，y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(—x ，y ）也在函数y=cosx 的图象上,这时,我们说函数y=cosx 是偶函数。
（2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系?这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。
第1课时 正弦函数、余弦函数的性质-周期性和奇偶性-高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性、奇偶性【学习目标】【自主学习】一、函数的周期性1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数. ___________叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.二、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性【小试牛刀】2.因为sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，所以函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π.( )3.函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数.( )【经典例题】题型一 三角函数的周期例1 求下列函数的周期 R x x y ∈=,sin 3)1(R x x y ∈=,2cos )2(Rx x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,621sin 2)3(πxx f sin )()4(=【跟踪训练】1 (多选)下列函数中，周期为4π的是 A.y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-621πx B.y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πxC.y ＝2sinxD.y ＝2cos 12x 题型二 三角函数的奇偶性例2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221πx ，则函数f (x )为A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断下列函数的奇偶性. ∈f(x)＝sin xcos x ；②f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【跟踪训练】2 (1)下列函数中周期为π2，且为偶函数的是 A.y ＝sin 4xB.y ＝cos 14xC.y ＝sin )24(π+xD.y ＝cos )24(π-x(2)函数f (x )＝x2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2的奇偶性是___________.题型三 三角函数奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π时，f (x )＝sin x ，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π 等于( )A.－12B.12C.－32D.32 变式1.在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π的 值为________.2.若本例中条件变为定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx ＝－f (x )，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π＝1，则f ⎪⎭⎫⎝⎛35π 的值为________.【跟踪训练】3 (1)奇函数f (x )满足f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx ＝f (x )，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π时f (x )＝3cos x ，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-617π 的值为________.(2)函数y ＝f(x)是R 上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝___.【当堂达标】1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为A.π2 B.π C.2π D.4π2.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是A.y ＝|cos x | B.y ＝sin 2xC.y ＝xD.y ＝cos 12x3.(多选)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)是R 上的偶函数，则φ的值可以是A.π2 B.π C.3π2 D.－π24.已知f (x )为奇函数，且周期为3π4，若f 1，则f _____.5.已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.【课堂小结】1.(1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.3.常见误区：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期.【参考答案】【自主学习】非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 最小的正数【小试牛刀】×××【经典例题】例1 课本例题【跟踪训练】1例2 (1) B(2)【跟踪训练】2(1)例3 D变式1：变式2【跟踪训练】3（1）【跟踪训练】3（2）【当堂达标】1.2.AC3.4.15.(1)(2)。
第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性念课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
• (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是 否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化 为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的 一个．
2π ω≠0)的周期T＝___|ω_|___．
【预习自测】 函数 y＝sinx＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
() B．周期为 π 的偶函数 D．周期为 2π 的偶函数
• 【解【析答】因案为】y＝Dsinx＋π2＝cos x，所以该函数是周期为 2π 的偶函数．
|课堂互动|
条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的____正__数___ 结论 这个最小___正__数____叫做f(x)的最小正周期
• 【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的 画“√”，错误的画“×”)
• (1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，
b∈R)．
()
• (2)任何周期函数都有最小正周期．
• 关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
• 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导 公式先将函数式化简后再判断．
2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1．
• 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， • 又因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， • 所以f(x)是偶函数．
求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
高中数学课件：第一章 1.4 1.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
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＋x)是奇函数对吗？ 2 π 提示：不对．∵sin( ＋x)＝cos x，∴应为偶函数． 2 π 2π π 2π 4． 对于函数 y＝sin x， x∈R 有 sin( ＋ )＝sin ， 能否说 6 3 6 3
是它的周期？
提示：不能．周期必须是对定义域内的每一个值都 有f(x＋T)＝f(x)．
返回
2．正、余弦函数的周期 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周
期函数，最小正周期为 2π ,2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期．
3．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数y＝sin x(x∈R)是 奇 函数，图像关于 原点(0,0) 中 心对称； 余弦函数y＝cos x(x∈R)是 偶 函数，图像关于 y轴 对称．
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π 2π 法二：f(x)＝sin(2x＋ )中，ω＝2，∴T＝ ＝π. 3 2 (2)作出 y＝|sin x|的图像如图：
由图像知，y＝|sin x|的周期为π.
返回
本例(2)中若变为“y＝sin |x|”，它是周期函数吗？ 解：作出y＝sin |x|的图像知它不是周期函数．
返回
[悟一法]
π，则 a＝______.
2π 解析：∵ ＝π，∴|a|＝2，∴a＝± 2. |a|
答案：±2
返回
[研一题]
[例 2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)； 1－sin x (2)f(x)＝ . 1＋sin x
[自主解答]
(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x. f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．
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≤
x≤
0
， 则f
15π －4
的值等于
sin x（ 0≤ x≤π ），
()
2
2
A.1 B. 2 C.0 D. － 2
解析： f
15π
－ 4
＝f
3π
3π
×（－ 3）＋
2
4
＝f
3π 4 ＝sin
3π 2 4＝2.
答案： B 2．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数，则方程 f ( x) ＝ 0 在 [ － 2， 2] 上至少有 ________个实 数根． 解析： 因为函数 f ( x) 是定义在 R上的奇函数， 所以 f (0) ＝ 0，又因为函数 f ( x) 以 2 为周期， 所以 f (2) ＝ f ( － 2) ＝ f (0) ＝ 0，
3x
(2) f ( x) ＝ sin
＋ 42
＝－ cos
4 ， x∈ R.
3x
3x
3x 3π
又 f ( － x) ＝－ cos － 4 ＝－ cos 4 ＝ f ( x) ，所以函数 f ( x) ＝sin 4 ＋ 2 是偶函数．
1 10. 函数 f ( x) 满足 f ( x＋2) ＝－ f （ x） . 求证： f ( x) 是周期函数，并求出它的一个周期 .
1 证明： 因为 f ( x＋ 4) ＝ f (( x＋ 2) ＋ 2) ＝－ f （ x＋ 2）＝ f ( x) ，
所以 f ( x) 是周期函数，且 4 是它的一个周期 .
[B 级 能力提升 ]
1. 设 f ( x) 是定义域为
R，最小正周期为
3π 2 的函数，若
f ( x) ＝
cos
x
－
π 2
则 g( － x) ＝－ asin x－ 2x＝－ g( x) ，
所以 g( x) ＝ asin x＋ 2x 是奇函数，
f ( 1) ＝ 4， g(1) ＝－ 4，f (1) ＝ g(1) ＋ 3＝－ 4＋ 3＝－ 1. 故选 D.
答案： D
二、填空题
(1) f ( x) ＝ lg(sin x＋ 1＋ sin2 x) ； 3x 3π
(2) f ( x) ＝ sin 4 ＋ 2 .
解： (1) 因为 1＋ sin2 x＞ sin2 x，所以 1＋ sin2 x＞ |sin x| ≥－ sin x，
所以 sin x＋ 1＋ sin2 x＞ 0， 所以函数 f ( x) 的定义域为 R.
f ( － x) ＝ lg[sin( － x) ＋ 1＋ sin2 （－ x）] ＝
1 lg( －sin x＋ 1＋ sin2 x) ＝ lg sin x＋ 1＋ sin2 x ＝
2
2019
－ lg(sin x＋ 1＋ sin2 x) ＝－ f ( x) ，
所以 f ( x) 为奇函数．
3x 3π
2π T＝| － 2| ＝ π.
答案： D
x＋φ
2．若函数 f ( x) ＝ sin
( φ∈[0 ， 2π ]) 是偶函数，则 φ ＝ ( 3
)
A.
π 2
2π B. 3
3π C. 2
5π D. 3
解析： 因为 f ( x) 是偶函数，
所以
0＋ φ 3
＝
π 2＋
kπ
(
k∈Z)
，
3 所以 φ ＝ 2π ＋3kπ ( k∈ Z) ，
3π 解析： 由诱导公式得， y＝ sin 2 － x ＝－ cos x，所以该函数为周期为 2π 的偶函数．
1
答案： D
2019
5. 若函数 f ( x) ＝ asin x＋ 2x＋ 3，且 f ( －1) ＝ 7，则 f (1) ＝( )
A.4 B. － 4 C.1 D. －1
解析： 函数 f ( x) ＝ asin x＋ 2x＋ 3，令 g( x) ＝ asin x＋ 2x，
π 8. 若函数 f ( x) ＝ 2cos( ω x＋ 3 ) 的最小正周期为 T，且 T∈ (1 ， 3) ，则 ω 的最大正整数值是 _______.
2π 解析： ω ＝ T ，因为
T∈ (1 ， 3) ，
2π 所以 3 ＜ ω ＜2π .
所以 ω 的最大正整数值为 6.
答案： 6 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性．
2019
第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题
A 级 基础巩固
1．下列函数中，周期为 π 的函数是 (
)
A． y＝2sin x
B． y＝cos x
1π C． y＝sin 2x＋ 3
π D． y＝cos 3 －2x
解析： 根据公式
2π T＝ | ω | 可知函数
y＝ cos
π 3
－
2x
的最小正周期是
2
3
66
2
6
又因为 g( x) 的最小正周期为 π .
3 所以 g( x) ＝ 2 的解集为
π
π
x x＝ kπ － 2 或 x＝ kπ － 6 ， k∈ Z .
4
3 又 φ∈[0 ， 2π] ，所以 φ ＝ 2π .
答案： C
3．(2015 ·福建卷 ) 下列函数为奇函数的是 (
)
A． y＝ x
B． y＝|sin x|
C． y＝cos x
D． y＝ex－ e－x
解析：
对于
D，f
(
x)
＝
x
e－
－x
e
的定义域为
R，
f
(
－x)
＝
－x
e－
x
e ＝－
f
(
x)
，故
y
＝
x
－π2
，
π 2
时， g( x) ＝ f
x 2 ，求
3 关于 x 的方程 g( x) ＝ 2 的解集．
解： 当
x∈
－π， π 22
时，
x
π
g( x) ＝f 2 ＝ cos x＋ 3 .
3
2019
因为
x＋
π 3
∈
－
π 6
，
5π 6
，
所以由 g( x) ＝
3 解得
x＋ π ＝－ π 或 π ，即
x＝－
π 或－ π .
e
－
－
e
x
为奇函数．
而 y＝ x的定义域为 { x| x≥0} ，不具有对称性，故 y＝ x为非奇非偶函数． y＝ |sin x| 和 y＝ cos x 为偶函
数．
答案： D
3π
4．函数 y＝ sin 2 － x 是 (
)
A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π的奇函数
B．周期为 π 的偶函数 D．周期为 2π的偶函数
f （－ 1）＝－ f （ 1）， 且
f （－ 1）＝ f （ 1），
解得 f ( － 1) ＝ f (1) ＝ 0，故方程 f ( x) ＝ 0 在[ － 2， 2] 上至少有 5 个实数根．
答案： 5
3．已知函数
f ( x) ＝ cos
2x＋
π 3
，若函数
g( x) 的最小正周期是
π ，且当
x∈
6．函数 f ( x) ＝ 2cos 2 x＋ 1 的图象关于 ________对称 ( 填“原点”或“ y 轴” ) ．
解析： 函数的定义域为 R， f ( － x) ＝ 2cos 2( － x) ＋ 1＝ 2cos( － 2x) ＋ 1＝ 2cos 2 x＋ 1＝ f ( x) ． 故 f ( x) 为偶函数，所以图象关于 y 轴对称． 答案： y 轴 7. 已知函数 f ( x) 的周期为 1.5 ，且 f (1) ＝20，则 f (10) 的值是 _______. 解析： f (10) ＝f (6 × 1.5 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 20. 答案： 20