【学业测试】2019年高中数学学业水平测试模拟试卷(含答案)
山东省2019届数学学业水平考试模拟试卷【含答案及解析】
山东省2019届数学学业水平考试模拟试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 下列计算正确的是（）A. （－1）0=－1B. （－1）－1=1C. 2a－3=D. （－a3）÷（－a）7=2. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =（）A. 95°B. 90°C. 135°D. 120°3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（）A. 扩大为原来的10倍B. 缩小为原来的C. 不变D. 缩小为原来的5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）．A. B. 且 C. D. 且6. 已知：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE、DF，设EC长为x，则△DEF面积y关于x的函数图象大致为：（）A. B. C. D.7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B 运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（）A. 2B.C.D. 48. 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O 于E，交AM于D，交BN 于C．若AD BC=9，则直径AB的长为A. B. 6 C. 9 D.9. 如图，直线y＝x―4与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为双曲线y＝上一点，OC∥AB，连接BC交双曲线于点D，点D恰好是BC的中点，则k的值是（）A. B. 2 C. 4 D.10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2-4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+(b-1)x+c＜0；其中正确的个数是：（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是（）A. 3B. 9C. 7D. 112. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，－1），C （－1，－1），D（－1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称轴P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此操作下去，则点P2016的坐标为（）A. （0，2）B. （2，0）C. （0，－2）D. （－2，0）二、填空题13. 分解因式：＝____．14. 如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△PC′R，其中，，恰使C′P∥AB，RC′∥AD，则．15. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________。
辽宁省大连市2019年普通高中学生学业水平考试模拟数学试题(解析版)
2019年大连市普通高中学生学业水平考试模拟试卷数学(本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 满分100分,考试时间90分钟) 参考公式：柱体体积公式，锥体体积公式（其中为底面面积，为高）；球的表面积公式(其中为球的半径)．第I卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可.【详解】因为，所以=,故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.函数在区间[-2,-1]上的最大值是( )A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值.【详解】由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题.3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据求得函数的最小正周期.【详解】依题意可知，函数的最小正周期为，故选B.【点睛】本小题主要考查的最小正周期计算，属于基础题.4.已知,则的值是（）A. 0B. –1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式，直接求出的值.【详解】依题意.故选A.【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.5.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.6.已知向量，向量，若，则实数的值为（）A. B.3 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值.【详解】由于两个向量垂直，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.7.在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：那么这些得分的众数是（）A. 37.0%B. 20.2%C. 0分D. 4分【答案】C【解析】由题意得，得分为0分的比例为37.0%，所占比例最大，所以这些得分的众数是0。
2019年高二数学学业水平模拟试卷(4)及答案解析
4 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合A ＝{}0，1，3，B ＝{}1，2，则A ∪B 等于( )A. {}1B. {}0，2，3C. {}0，1，2，3D. {}1，2，32. 已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝{x |1x <0}，则A ∩B 等于( )A. －1B. {}－1C. (－∞，0)D. {}－1，03. 等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，则a 8＝( )A. 4B. 6C. 8D. 104. “sin A ＝12”是“∠A ＝30°”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是() A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交6. 函数f (x )＝2x 2＋1( )A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数7. 过点A (0，1)且与直线y ＝2x －5平行的直线的方程是( )A. 2x －y ＋1＝0B. 2x －y －1＝0C. x ＋2y －1＝0D. x ＋2y ＋1＝08. 在空间中，下列命题正确的是( )A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一直线的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行9. 已知a ，b ∈R ＋，且ab ＝1，则a ＋b 的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(第10题)10. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A. AB →＝OC →B. AB →∥DE →C. ||AD →＝||BE →D. AD →＝FC →11. 已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1，2)，则2a －b ＝( )A. (7，0)B. (5，0)C. (5，－4)D. (7，－4)12. “x ＝0”是“xy ＝0”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件13. 焦点为(1，0)的抛物线的标准方程是( )A. y 2＝2xB. x 2＝2yC. y 2＝4xD. x 2＝4y14. 不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集是( )A. {} |x －2<x <－1B. {} |x x <－2或x >－1C. {} |x 1<x <2D. {} |x x <1或x >215. 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )A. y ＝－x ＋1B. y ＝1xC. y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD. y ＝1－x 216. 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ，则a 4＝( )A. 32B. 14C. 18D. 11617. 双曲线x 24－y 29＝1的离心率是( )A. 23B. 94C. 52 D. 13218. 若α∈(0，π2)，且sin α＝45，则cos 2α等于( ) A. 725 B. －725 C. 1 D. 7519. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A. －1或 3B. 1或3C. －2或6D. 0或420. 已知直线l ：ax ＋by ＝1，点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1外，则直线l 与圆C 的位置关系是() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定21. 函数y ＝2sin(π3－x )，x ∈[π6，2π3]的最小值和最大值分别是( ) A. －3和1 B. －1和2 C. 1和3 D. 1和222. 若k <2且k ≠0，则椭圆x 23＋y 22＝1与x 22－k ＋y 23－k ＝1有( )A. 相等的长轴B. 相等的短轴C. 相同的焦点D. 相等的焦距23. “a 2＋b 2>0”是“ab ≠0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件24. 若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是( )①a 2＋b 22≥ab ；②（a ＋b ）24≤a 2＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④ba ＋ab ≥2.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个25. 在60°的二面角α－l －β，面α上一点到β的距离是2 cm ，那么这个点到棱的距离为()A. 433 cmB. 2 3 cmC. 4 3 cmD. 233cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 已知a ＝(2，5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝________．27. 不等式x ＋1x －2>0的解集________． 28. 函数y ＝2sin x ·cos x －1，x ∈R 的值域是________． 29. 已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 30. 给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{}－4，－2，0，2，4为闭集合；②集合A ＝{}n |n ＝3k ，k ∈Z 为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c ＝3a ，求∠C .32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)[第32题(A)](A)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别是PC ，AB 的中点，平面PAD ⊥ 底面ABCD .(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：AB ⊥平面PAD .(B)如图，四边形DCBE 为直角梯形，∠DCB ＝90°，DE ∥CB ，DE ＝1，BC ＝2，CD ＝AC ＝1，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，直线AE 与直线CD 所成角的大小为60°.[第32题(B)](1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求BE 与平面ACE 所成角的正弦值．4 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)1. C2. B3. C4. B5. C6. B7. A8. D 9. B 10. D 11. D 12. B 13. C 14. A15. D 16. C 17. D 18. B 19. D 20. A21. A 22. D 23. B24. C [提示：①显然成立，② a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒（a ＋b ）24≤a 2＋b 22，③④由于a ，b 正负未确定不能得出．] 25. A [提示：构造直角三角形，得到棱的距离等于2sin 60°＝433.] 26. 15227. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 28. [－2，0] 29. 4或－54 [提示：当0<k ＋8<9时，c 2a 2＝9－（k ＋8）9＝14，解得k ＝－54；当k ＋8>9时，c 2a 2＝（k ＋8）－9k ＋8＝14，解得k ＝4.] 30. ② [提示：①2＋4＝6∉A ，所以A 不是闭集合；②中A 是闭集合，证明：设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a ＋b ＝3(k 1＋k 2)∈A ，a －b ＝3(k 1－k 2)∈A ，所以A 是闭集合；③中A 不是闭集合．]31. 解：(1)a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ⇒ sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ⇒ sin B ＝2sin A ⇒b a ＝2. (2)cos C ＝a 2＋4a 2－3a 22·a ·2a＝12，∴∠C ＝π3. 32. (A)证明：(1)取PD 的中点G ，连接EG ，AG ，则EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，所以EF ∥平面PAD . (2)∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD .(第32题)(B)证明：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥CB ，∴CD ⊥平面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC . (2)在平面ACB 内，过C 作CF ⊥CB ，以C 为原点，以CF ，CB ，CD 所在射线为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系．∴CE →＝(0，1，1)，CA →＝(32，－12，0)，BE →＝(0，－1，1)，设平面ACE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x －12y ＝0，y ＋z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝BE →·n |BE →|·|n |＝427，∴BE 与平面ACE 所成角的正弦值为427.33. 解：(1)a 1a 4＝13，a 2＋a 3＝14⇒a 1＝1，a 4＝13⇒d ＝4⇒a n ＝4n －3.(2)S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ⇒b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴f (n )＝2n （n ＋36）·2（n ＋1）＝n n 2＋37n ＋36＝1n ＋36n＋37≤149，当且仅当n ＝6时取到最大值．(第34题)34. 解：(1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在拋物线C 上，所以p ＝1.因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x . (2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0. (3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝y k＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k .由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)．化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)4（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m )．所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D (s 22，s )，E (t 22，t )．由点M (m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2(m －s 22)，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f (m )＝DE ＝ （2s 2－s 22）2＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m (m >0)．。
河南省2019级普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
普通高中学业水平考试数 学本试题卷共4页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟一、选择题(共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，则C U A=A ．{1，3，5}B ．{2，4，6}C ．{3，4，5}D ．{1，3，4，5} 2．函数f (x)=21x 的定义域为A ．{x|x ≠0}B ．(0，+∞)C ．[0，+∞)D ．R 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．棱台D ．圆台4．同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．函数f (x)=3x -x-2的零点的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 6．直线l 经过点P(0，2)，倾斜角是135°，则直线l 的方程是A ．x+y-2=0B ．x+y+2=0C ．x-y+2=0D ．x-y-2=0 7．下列函数中，在R 上是增函数的是A ． y=lgxB ． y=21log xC ．221⎪⎭⎫⎝⎛=y D ．y=10x8．在等比数列{a n }中，a 2=2，a 3=4，则其前10项和是A ．511B ．1023C ．1024D ．2047 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=A ．10B ．45C ．55D ．6610．已知对数函数y=f (x)的图象过点(e ，1)，则f(e 3)=A ．－3B ．1C ．2D ．311．已知样本数据x ，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6的平均数为5，方差为2，则样本数据x 1+3，x 2+3，x 3+3，x 4+3，x 5+3，x 6+3的平均数和方差分别为A ．8和2B ．8和5C ．5和3D ．5和8 12．已知sin θ>0，cos θ<0，那么θ是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 13．△ABC 的三边长分别为3，5，7，则△ABC 的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 14．函数y=sin(2x+2π)是 A ．周期为2x 的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b=2a ，A=30°，则B=A ．45°B ．60°C ．60°或120°D ．45°或135°16．函数f (x)=1214++x x 的图象关于A ．y 轴对称B ．直线y=－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y=x 对称二、填空题(共7小题，每小题3分，共21分)17．函数f (x)=log 2x+x(x ∈[1，4])的值域是 。
天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟 数学试题(解析版)
故选：B． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，正确理解不等式的基本性质是解题的关键．
21.为了得到函数
， 的图象，只需将函数
， 的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度
C. 向左平行移动 个单位长度 【答案】D 【解析】
D. 向右平行移动 个单位长度
【分析】
故选 A.
【点睛】本题考查集合的交集，属基础题.
2.
的值是（ ）
A.
B.
【答案】B
【解析】
C.
D.
试题分析：根据诱导公式可得 考点：1.诱导公式.
3.已知直线
，
，故选 B. ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 8 B. 2 C. 【答案】A
D. -2
【解析】
【分析】
利用两条直线平行的充要条件求解．
【详解】：∵直线 l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
A. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】
B. ①④
C. ①③④
D. ②③
由不等式的基本性质可知：①（可加性）④（可乘性）正确，②不正确． ②③可通过举反例否定．
【详解】：①∵a＞b，c＞d，由不等式的可加性得 a+c＞b+d，故①正确； ②由①正确，可知②不正确；
③取 4＞-2，-1＞-3，则 4×（-1）＞（-2）×（-3）不成立，故③不正确； ④∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．故④正确． 综上可知：只有①④正确．
”，依次求出等差数列中
的公差与首项，然后再运用等差数列的通项公式求出该数列的通项公式
。
28.已知奇函数 【答案】
2019年安徽省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2019年安徽省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13,5A =,，{}0,1,2B =，则=A B I （ ） A ．∅ B ．{}1C ．{0,1}D ．{}1,2,3【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算可得； 【详解】解：{}13,5A =Q ,，{}0,1,2B =， {}1A B ∴⋂=故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．y =B ．1y x =-C ．2y x =D ．3y x =【答案】C【解析】利用偶函数的定义判断即可． 【详解】解：y =[)0,+∞，不关于原点对称，不是偶函数；1y x =-是非奇非偶函数；2y x =是偶函数，3y x =是奇函数；故选：C ． 【点睛】本题考查常见函数的奇偶性的判断，属于基础题．3．立德中学男子篮球队近5场比赛得分情况如茎叶图所示，则这5场比赛的平均得分是（ ） 茎叶3 84 2 65 0 4A ．42B ．44C ．46D ．48【答案】C【解析】根据茎叶图读取数据，再计算平均数即可； 【详解】解：由茎叶图可得这5场比赛得分分别为：38、42、46、50、54， 则平均数3842465054465++++==故选：C 【点睛】本题考查茎叶图的应用，几个数的平均数的计算，属于基础题. 4．不等式(1)(3)0x x +-<的解集为（ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|31}x x -<< C ．{|1x x <-，或3}x > D ．{|3x x <-，或1}x >【答案】A【解析】直接根据一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】解：因为(1)(3)0x x +-< 所以13x -<<即不等式的解集为{|13}x x -<< 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5．函数()1x f x a =+（0a >，且1a ≠）的图象经过定点（ ） A ．(0,1)B ．(01)-，C ．(0,2)D ．(1,1)【答案】C【解析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1即可得解． 【详解】解：因为()1xf x a =+（0a >，且1a ≠） 令0x =，则()0012f a =+=，故函数过点()0,2，故选：C 【点睛】本题考查指数函数过定点问题，属于基础题.6．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则在男运动员中需要抽取的人数为（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】若用分层抽样的方法,则样本中男运动员与所有运动员的人数之比与总体的男运动员与所有运动员的人数之比相同,由此求解即可 【详解】由题,男运动员占总体运动员的56456427=+,所以男运动员中需要抽取的人数为428167⨯=,故选:C 【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题7．如图，分别以正方形ABCD 的两条边AB 和CD 为直径，向此正方形内作两个半圆（阴影部分），在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12πB ．8πC ．6π D ．4π 【答案】D【解析】首先求出正方形的面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形的面积为224=，阴影部分恰可拼成一个直径为2的圆，则阴影部分的面积为21ππ⨯=，根据几何概型的概率公式可得，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率4P π=，故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3,4)，则cos α=（ ）A ．43B ．34C ．45D ．35【答案】D【解析】先求出点P 到原点的距离r ，然后按照cos α的定义：cos xrα=求出结果． 【详解】解：3x =Q ，4y =，5r ==，∴由任意角的三角函数的定义知，3cos 5x r α==， 故选：D ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取一点（除原点外），求出此点到原点的距离r ，该角的余弦值等于所取点的横坐标除以此点到原点的距离r ．9．已知直线l 10y -+=，则直线l 的倾斜角是 A ．23πB ．56π C ．3π D ．6π 【答案】C【解析】直线方程即：1y =+ ，直线的斜率k =，则直线的倾斜角为3π .本题选择C 选项.10．已知(2,2)a m =-r ，(4,)b m =r ，且//a b r r，则m =（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-6【答案】A【解析】根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为(2,2)a m =-r ，(4,)b m =r ，且//a b r r，所以()242m m ⨯=⨯-， 解得4m = 故选：A 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 11．5sin6π=（ ）A ．12 B ．12-C D ． 【答案】A【解析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】 解：51sinsin sin 6662ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.12．已知点(4,9)A ，(6,3)B ，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ） A ．22(5)(6)40x y +++=B ．22(5)(6)40x y -+-=C ．22(5)(6)10x y +++=D ．22(5)(6)10x y -+-=【答案】D【解析】利用中点坐标公式求出AB 的中点坐标即为圆心，再根据平面直角坐标系上两点间的距离公式求出AB 的长即直径，最后写出圆的标准方程. 【详解】解：因为(4,9)A ，(6,3)B ，所以AB 的中点坐标为()5,6，AB ==，则以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为()5,6，半径r =，故圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=，故选：D 【点睛】本题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．13．函数()ln 3f x x x =+-的零点的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先可以判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断可得； 【详解】解：因为ln y x =与3y x =-在()0,∞+上单调递增， 所以()ln 3f x x x =+-也在()0,∞+上单调递增，又()1ln11320f =+-=-<Q ，()3ln333ln30f =+-=> 所以()()130f f <，故函数在()1,3上存在唯一零点， 故选：B 【点睛】本题考查函数的单调性的判断及应用，零点存在性定理的应用，属于基础题.14．我国古代数学专著《九章算术》中的“堑堵”是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，三棱柱111ABC A B C -为堑堵，其中AB AC ⊥，AB =1AC =，则直线BC 与11A B 所成角是（ ）A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°【答案】B【解析】由三棱柱的定义可得11//AB A B ，则ABC ∠为异面直线11A B 与BC 所成的角，在ABC ∆中利用三角函数计算可得； 【详解】解：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以ABC ∠为异面直线11A B 与BC 所成的角， 在ABC ∆中，AB AC ⊥，3AB =1AC =， 所以3tan 33AC ABC AB ∠===， 所以30ABC ︒∠=，故异面直线11A B 与BC 所成的角为30︒， 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.15．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．只有一次中靶 C ．两次都中靶 D ．两次都不中靶 【答案】D【解析】根据互斥事件的定义逐个分析即可. 【详解】“至少有一次中靶”与 “至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A 错误. “至少有一次中靶”与“只有一次中靶” 均包含中靶一次的情况.故B 错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶” 均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.16．如图，在ABCV中，CD是AB边上的中线，点P是CD的中点，则（）A．1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rB．1124AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rC．1132AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rD．1123AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】根据平面向量的加法和数乘运算法则计算可得；【详解】解：依题意可得()12AP AC AD=+u u u r u u u r u u u r，12AD AB=u u u r u u u r所以()1111122224AP AC AD AC AB AC AB⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：A【点睛】本题考查平面向量的线性运算的几何表示，属于基础题.17．不等式组20210x yx y+->⎧⎨--<⎩表示的平面区域是（）A．B．C ．D ．【答案】B【解析】由线定界，由点定域，即可画出线性约束条件所表示的平面区域； 【详解】解： 首先在平面直角坐标系中画出直线20x y +-=，将()0,0代入20x y +->，不等式不成立，可得20x y +->所表示的平面区域在直线20x y +-=的右上方， 同理可得210x y --<所表示的平面区域在直线210x y --=的左上方，即可得到线性约束条件所表示的平面区域为:故选：B 【点睛】本题考查根据线性约束条件画出可行域，属于基础题.18．如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为218m ，高度为3m .若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为（ ）A ．40000元B ．42000元C ．45000元D ．48000元【答案】B【解析】设房屋的长为xm ，则宽为18m x ，则总造价1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭再利用基本不等式求出最小值即可得解； 【详解】解：设房屋的长为xm ，则宽为18m x ，则总造价1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭36366000300060003000242000y x x x x ⎛⎫∴=+⨯+≥+⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当36x x =，即6x =时取等号；故当长等于6m ，宽等于3m 时，房屋的最低总造价为42000元， 故选：B 【点睛】本题考查函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题.二、填空题19．从甲､乙､丙三名学生中任选一名学生参加某项活动，则甲被选中的概率是_______. 【答案】13【解析】由题意可得总的方法种数为133C =，甲被选中只有1种选择方法，由古典概型的概率公式可得． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中，任选一人参加某项活动共有133C =种不同的选择方法，而甲被选中，只有1种选择方法，由古典概型的概率公式可得甲被选中的概率13P =，故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合简单计数，属于基础题． 20．点M （2，-2）到直线210x y --=的距离为______.【解析】直接利用点到直线的距离公式d =计算可得；【详解】解：点()2,2M -到直线210x y --=的距离d==【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 21．2lg2lg25+=______． 【答案】2【解析】通过同底对数的运算法则，求得结果. 【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.22．如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e u v 、2e u u v分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+u u u v u v u u v ，则把有序实数对,x y 叫做向量OPuuu v在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =u u u v ．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3a =v，5,2b =-v ， ,a b v v夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】由题意,1223a e e =+u r u u r r ,1252b e e =-+u r u u r r ,分别求出a b ⋅r r ,a r ,b r ,进而利用数量积求出夹角即可 【详解】由题,1223a e e =+u r u u r r,1252b e e =-+u r u u r r ,所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+-u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r rr()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=u r u u r u r u r u u r u u r r ,则19a =r()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=u r u u r u r u r u u r u u r r ,则19b =r 所以1912cos 21919a b a bθ-⋅===-⨯⋅r r r r ,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力三、解答题23．ABC V 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 30A A -=. （1）求角A ；（2）若4b =，2c =，求a . 【答案】（1）3π（2）23【解析】（1）由同角三角函数的基本关系求出角A ； （2）由余弦定理即可求出边a 的值； 【详解】解：（1）由sin 3cos 0A A -=，易知cos 0A ≠，则tan 3A =.因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得22212cos 164242122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以23a =.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及余弦定理的应用，属于基础题.24．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，M 是PB 的中点，PA ⊥平面ABC ，且23PA =，4AB =，30ABC ︒∠=.（1）求证:BC ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥M —ABC 体积. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）依题意可得AC BC ⊥，再由PA ⊥平面ABC ，得到PA BC ⊥，即可证明BC ⊥平面PAC ；（2）连接OM ，可证//OM PA ，即可得到OM ⊥平面ABC ，OM 为三棱锥M ABC -的高，再根据锥体的体积公式计算可得； 【详解】（1）证明:因为AB 是半圆O 的直径，所以AC BC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，且AC PA A ⋂= 所以BC ⊥平面PAC .（2）解:因为30ABC ∠=︒，4AB =，所以23BC =，1sin 30232ABC S AB BC ︒=⋅⋅⋅=V .连接OM .因为O 、M 分别是AB ，PB 的中点，所以//OM PA ，132OM PA ==.又PA ⊥平面ABC .所以OM ⊥平面ABC .因此OM 为三棱锥M ABC -的高.所以123323M ABC V -=⨯⨯=.【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题. 25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且11a =，23211a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证:123111174n S S S S +++⋯+<. 【答案】（1）21n a n =-（2）2n S n =（3）证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得方程组，解得1a ，d ，即可求出通项公式；（2）由等差数列的前n 项和公式直接可得；（3）利用()()22111111n n n n =--<+放缩，再利用裂项相消法求和即可得证； 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得()1111,2211.a a d a d =⎧⎨+++=⎩解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，21(21)2n n S n n +-∴=⨯=. （3）①当1n =时，左边714=<，原不等式成立. ②当2n …时，左边22222111111234n =+++++L 2222111112131411n <++++⋯+----11111132435(1)(1)n n =++++⋯+⨯⨯⨯-⨯+111171171122142224n n n n ⎛⎫=+⨯+--=--< ⎪++⎝⎭. 综上可得，123111174n S S S S +++⋯+<. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，放缩法证明数列不等式及裂项相消法求和，属于中档题.。
2019年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练题一(数学学考模拟题)含答案
取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是
1
.
3
19．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的一个焦点与抛物线
y2
12x
的焦点重合，且双曲线的离
心率等于 3 ，则该双曲线的标准方程为
x2 y2 1
．
36
6
三．解答题：本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分，解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。
A． 3
B．0
C． 3
D．3
2
2
12．直线 MN 的斜率为 2 ，其中点 N 1, 1 ，点 M 在直线 y x 1上，则 B
A． M 5,7
B． M 4,5
C． M 2,1
D． M 2,3
13．等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a5 8 ， S3 6 ，则 S10 S7 的值是 B
交点，M 是 PD 的中点，AB=2，∠BAD=60o。 （1）求证：OM∥平面 PAB； （2）平面 PBD⊥平面 PAC；
（3）当四棱锥 P－ABCD 的体积等于 3 时，求 PB 的长。
4
参考答案
1．设集合 M 1，0 ，1 , N 为自然数集，则 M N C
A．1 , 0
PA 平面 ABCD , AB 平面 ABCD ,
3 ,得 PA 3 …………12 分 2
PA AB .
…………13 分
在 RtPAB 中, PB PA 2 AB 2 3 2 22 5 .
2
2
…………14 分
8
【学业测试】2019年 高二数学学业水平测试卷(含答案)
2019年 高二数学学业水平测试卷一、选择题（本大题共20小题）1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A ∩C U B=( )A.{4，5}B.{2，3}C.{1}D.{2} 2.若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ).A.0<m<4B.0≤m ≤4C.m ≥4D.0<m ≤4 3.函数f(x)=34--x x的定义域为( ) A.(－∞，4] B.(－∞，3)∪(3,4] C.[－2,2] D.(－1,2] 4.y=x+xx ||的图象是（ ）5.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+,01,012x x x x 则f ［f(-1)］值为（ ）A.5B.2C.-1D.-2 6.已知函数f(x)是定义在的增函数,则满足＜的x 取值范围是（ ）A.(，) B.[，) C.(，) D.[，)7.如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[-b,-a]有( )A.最大值B.最小值C.没有最大值D.没有最小值 8.三个数a=0.32，b=log 20.3，c=20.3之间的大小关系是( )A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a 9.函数f(x)=e x＋x-2的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2) 10.设l 是直线α，β是两个不同的平面( )A.若l ∥α, l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC.若α⊥β, l ⊥α,则l ⊥βD.若α⊥β, l ∥α,则l ⊥β 11.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A. B.C.-D.-12.已知点M(-1,6),N(3,2)，则线段MN 的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D.13.已知圆C ：x 2+y 2-4x+6y-3=0，则圆C 的圆心坐标和半径分别为（ )A.(-2,3)，16B.(2,-3)，16C.(-2,3)，4D.(2,-3)，4 14.如果实数x ，y 满足(x ﹣2)2+y 2=2，则xy的范围是( ) A.(﹣1，1) B.[﹣1，1] C.(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D.(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞) 15. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12 D.π 416.已知α∈(2π,π)且sin(π+α)=-53，则tan α=（ ） A ．-43 B ．34 C.43 D ．-3417.函数的单调增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知向量，.若向量满足，，则（ ） A.B.C.D.19.△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形20.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-0923063202y x y x y x 则目标函数z=2x+5y 的最小值为( )A.-4B.6C.10 D .17 二、填空题（本大题共10小题）21.已知a ≥0，化简4343⎪⎭⎫⎝⎛a =_______。
2019年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷(附详解)
2019年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、单选题（本大题共20小题，共60.0分） 1. 设集合A ={1,3,5}，B ={2,3}，则A ∪B =( )A. {3}B. {1,5}C. {1,2,5}D. {1,2,3,5}2. 函数f(x)=cos(12x +π6)的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 函数f(x)=√x −1+ln(4−x)的定义域是( )A. [1,4)B. (1,4]C. (1,+∞)D. (4,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )A. y =−x 3B. y =1xC. y =|x|D. y =1x 25. 已知直线l 过点P(2,−1)，且与直线2x +y −1=0互相垂直，则直线l 的方程为( )A. x −2y =0B. x −2y −4=0C. 2x +y −3=0D. 2x −y −5=06. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，则f(−1)+f(1)=( )A. 0B. 1C. 32D. 27. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. 6√3B. 6√2C. 4√3D. 68. 某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg).其中每件产品的重量范围是[40,42].数据的分组依据依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为( )A. 30B. 40C. 60D. 809. sin 110° cos40°−cos70°⋅sin40°=( )A. 12B. √32C. −12D. −√3210. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. DC⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA⃗⃗⃗⃗⃗ C. BC⃗⃗⃗⃗⃗ D. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 某产品的销售额y(单位：万元)与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x的线性回归方程为y ̂=7x +a ̂，则实数a ̂=( ) x 3 4 5 6 y25304045A. 3B. 3.5C. 4D. 10.512. 下列结论正确的是( )A. 若a <b ，则a 3<b 3B. 若a >b ，则2a <2bC. 若a <b ，则a 2<b 2D. 若a >b ，则lna >lnb13. 圆心为M(1,3)，且与直线3x −4y −6=0相切的圆的方程是( )A. (x −1)2+(y −3)2=9B. (x −1)2+(y −3)2=3C. (x +1)2+(y +3)2=9D. (x +1)2+(y +3)2=314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A. 事件“都是红色卡片”是随机事件B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C. 事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D. 事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a −1)x −2y +1=0与直线x −ay +1=0垂直，则实数a =( )A. −1或2B. −1C. 13D. 316. 将函数y =sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A. y =sin(3x −π4) B. y =sin(3x −π12) C. y =sin(13x −π4)D. y =sin(13x −π12)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. 14B. 23C. 12D. 3418. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是( )A. A 1D ⊥C 1CB. BD 1⊥ADC. A 1D ⊥ACD. BD 1 ⊥AC19. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +7b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ −5b ⃗ ，则( )A. A ，B ，C 三点共线B. A ，B ，D 三点共线C. A ，C ，D 三点共线D. B ，C ，D 三点共线20. 在三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =1，PB =PC =2，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A. 9π2B.27π2C. 9πD. 36π二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21. 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为______． 22. α为第二象限角sinα=35，则tanα= ______ ．23. 已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为______．24. 已知函数f(x)=x 2+x +a 在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为______． 25. 若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2=9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2=4上一动点，则|PQ|的最小值是______．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：EF//面PAD ．27.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=6，cosB=1．3(1)若sinA=3，求b的值；5(2)若c=2，求b的值及△ABC的面积S．28.已知函数f(x)=ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．(1)求a的值；(2)当x∈[0,+∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={1,3,5}，B={2,3}，∴A∪B={1,2,3,5}．故选：D．进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，故选：D．根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．本题主要考查三角函数周期的计算，结合周期公式是解决本题的关键，比较基础．3.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥04−x>0，解得1≤x<4；∴函数f(x)的定义域是[1,4)．故选A．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查求定义域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由幂函数的性质可知，y=−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y=|x|为偶函数且在(0,+∞)上单调递增，不符号题意，y =1x 2为偶函数且在(0,+∞)上单调递减，符合题意． 故选：D ．结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可． 本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的一般式方程，是基础题．根据题意设出直线l 的方程，把点P(2,−1)代入方程求出直线l 的方程． 【解答】解：根据直线l 与直线2x +y −1=0互相垂直，设直线l 为x −2y +m =0， 又l 过点P(2,−1)， ∴2−2×(−1)+m =0， 解得m =−4，∴直线l 的方程为x −2y −4=0． 故选：B ．6.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，∴f(−1)=2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32． 故选：C ．推导出f(−1)=2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，且|a⃗|=3，|b⃗ |=4，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cosπ3=3×4×12=6．故选：D．进行数量积的运算即可．本题考查了向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图得：重量在[40,41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5=0.4．∴重量在[40,41)内的产品件数为0.4×100=40．故选：B．由频率分布直方图得重量在[40,41)内的频率为0.4.由此能求出重量在[40,41)内的产品件数．本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：sin110°cos40°−cos70°⋅sin40°=sin70°cos40°−cos70°⋅sin40°=sin(70°−40°)=sin30°=12．故选：A．利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．10.【答案】B【解析】解：在平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．利用平面向量加法法则直接求解．本题考查向量的求法，考查平面向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：x −=3+4+5+64=4.5，y −=25+30+40+454=35，∴样本点的中心坐标为(4.5,35)，代入y ̂=7x +a ̂，得35=7×4.5+a ̂，即a ̂=3.5． 故选：B ．由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ^．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．12.【答案】A【解析】解：A.a <b ，可得a 3<b 3，正确； B .a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C .a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D .由a >b ，无法得出lna >lnb ，因此不正确． 故选：A ．利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误．本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由题意可知，圆的半径r =|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x −1)2+(y −3)2=9． 故选：A ．由题意可知，圆的半径即为圆心M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解． 本题主要考查了圆的方程的求解，解题的关键是直线与圆相切性质的应用．14.【答案】C【解析】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 故选：C ．利用随机事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查随机事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】C【解析】解：根据题意，若直线(a −1)x −2y +1=0与直线x −ay +1=0垂直， 必有(a −1)+2a =0，解可得a =13； 故选：C ．根据题意，分析可得(a −1)+2a =0，解可得a 的值，即可得答案．本题考查直线平行的判断方法，注意直线的一般式方程的形式，属于基础题．16.【答案】A【解析】解：将函数y =sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，可得y =sin3x 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y =sin3(x −π12)=sin(3x −π4)， 故选：A ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23=8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2=8−2=6种情况，∴所求概率为68=34．故选D．18.【答案】D【解析】解：因为AC⊥BD，AC⊥DD1；BD∩DD1=D；BD⊆平面DD1B1B，DD1⊆平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B；BD1⊆平面DD1B1B；∴AC⊥BD1；即D对．故选：D．直接可以看出A，B，C均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直．本题主要考查平面中的线线垂直的证明，属于对基础知识的考查．19.【答案】B【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +7b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ −5b⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a ⃗ +7b ⃗ )+(4a ⃗ −5b ⃗ )=a ⃗ +2b ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B ，D 三点共线． 故选：B ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a ⃗ +7b ⃗ )+(4a ⃗ −5b ⃗ )=a ⃗ +2b ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而A ，B ，D 三点共线．本题考查命题真假的判断，考查向量加法法则、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】A【解析】解：由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =1，PB =2，PC =2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 所以外接球的体积V =43πR 3=92π， 故选：A ．由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积．考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及球的体积公式，属于基础题．21.【答案】8【解析】解：∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人， ∴这支田径队共有45+36=81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴每个个体被抽到的概率是1881=29， ∵女运动员36人，∴女运动员要抽取36×29=8人， 故答案为：8．根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数． 本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题．22.【答案】−34【解析】解：∵α为第二象限角sinα=35， ∴cosα=−45，则tanα=sinαcosα=−34， 故答案为：−34．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，从而求得tanα的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．23.【答案】2π【解析】解：由已知可得r =1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2． ∴圆锥的侧面积S =πrl =2π． 故答案为：2π．由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．本题考查圆锥侧面积的求法，关键是对公式的记忆，是基础题．24.【答案】(−2,0)【解析】解：函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)内有零点，f(0)=a，f(1)=2+a，由零点存在性定理得f(0)⋅f(1)=a(a+2)<0，得−2<a<0，经验证a=−2，a=0均不成立，故答案为：(−2,0)由零点存在性定理得f(0)⋅f(1)=a(a+2)<0，求出即可．考查函数零点存在性定理的应用，中档题．25.【答案】5【解析】解：圆C1：(x−4)2+(y−5)2=9的圆心C1(4,5)，半径r=3，圆C2：(x+2)2+(y+3)2=4的圆心C2(−2,−3)，半径r=2，d=|C1C2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3=r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)=10−(2+3)=5，故答案为：5．分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)，即可求出答案．本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．26.【答案】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF=CF，PG=DG，CD．所以FG//CD，且FG=12又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．CD．所以AE//CD，且AE=12所以FG//AE，且FG=AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF//AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF//平面PAD ．【解析】本题考查直线与平面平行的证明，是基础题．取PD 的中点G ，连接FG 、AG ，由PF =CF ，PG =DG ，所以FG//CD ，且FG =12CD.又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以AE//CD ，且AE =12CD.证得四边形EFGA 是平行四边形，所以EF//AG ，由线面平行的判定定理即可得证．27.【答案】解：(1)由cosB =13可得sinB =2√23， 由正弦定理可得，a sinA =bsinB ， 所以b =asinB sinA=6×2√2335=20√23，(2)由余弦定理可得，cosB =13=a 2+c 2−b 22ac=36+4−b 22×2×6，解可得，b =4√2， S =12acsinB =12×6×2×2√23=4√2．【解析】(1)先根据同角平方关系求出sinB ，然后结合正弦定理即可求解， (2)结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．28.【答案】解：(1)根据题意可知f(x)=f(−x)，即ax +log 3(9x+1)=−ax +log 3(9−x+1)，整理得log 39x +19−x +1=−2ax ，即−2ax =log 39x =2x ，解得a =−1；(2)由(1)可得f(x)=−x +log 3(9x +1)=log 3(3x +13x )，令ℎ(x)=3x +13x ，x ∈[0,+∞)，任取x 1、x 2∈[0,+∞)，且x 2>x 1， 则ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=3x 2+13x 2−(3x 1+13x 1)=(3x 2−3x 1)⋅3x 1+x 2−13x 1+x 2因为x 2>x 1≥0，所以3x 2−3x 1≥0，3x 1+x 2>1，则3x 1+x 2−1>0， 所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，故f(x)在[0,+∞)上单调递增， 因为f(x)−b ≥0对x ∈[0,+∞)恒成立，即−x+log3(9x+1)≥b对x∈[0,+∞)恒成立，因为函数g(x)=−x+log3(9x+1)在[0,+∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=log32，则b≤log32.【解析】(1)根据偶函数性质f(x)=f(−x)，化简整理可求得a的取值；(2)根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0,+∞)恒成立，求出函数g(x)=x+ log3(9x+1)在[0,+∞)上的最小值即可本题考查利用函数奇偶性求参数值，利用函数增减性求参数取值范围，属于中档题．。
2019年安徽省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
2019年安徽省普通高中学业水平考试数学本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷为选择题，共2页；第Ⅱ卷为非选择题，共4页全卷共25题，满分100分．考试时间为90分钟。
第Ⅰ卷(选择题共54分)注意事项：1．答题前，请先将自己的姓名、座位号用钢笔或黑色水笔填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡规定的位置上将自己的座位号、考试科目涂黑考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
2．选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑如需改动，要用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．请注意保持答题卡整洁，不能折叠答案写在试卷上无效。
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分．)1．已知集合A={1，3，5}，B={0，1，2}，则A∩B=A．∅B．{1} C．{0，1} D．{1，2，3}2．下列函数中为偶函数的是y B．y=x－1C．y=x2D．y=x3 A．x3．立德中学男子篮球队近5场比赛得分情况如茎叶图所示，则这5场比赛的平均得分是A．42 Array B．44C．46D．484．不等式(x＋1)(x－3)<0的解集为A．{x|－1<x<3} B．{x|x－3<x<1}C．{x|x<－1，或x>3} D．{x|x<－3，或x>1}5．函数f(x)=a x＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A．(0，1) B．(0，－1) C．(0，2) D．(1，1)6．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人．用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则应抽取男运动员的人数为A ．12B ．14C ．16D ．187．如图，分别以正方形ABCD 的两条边AB 和CD 为直径，向此正方形内作两个半圆(阴影部分)．在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分 的概率是A ．12πB ．8πC ．6πD ．4π8．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=A ．34 B ．43 C ．54 D ．53 9．已知直线l ：3x －y ＋1=0，则直线l 的倾斜角为A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 10．已知a =(2，m －2)，b =(4，m)，且a //b ，则m=A ．4B ．－4C ．6D ．－611．65sinπ A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 12．已知点A(4，9)，B(6，3)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是A ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2=40B ．(x －5)2＋(y －6)2=40C ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2=10D ．(x －5)2＋(y －6)2=1013．函数f(x)=1nx ＋x －3的零点的个数是A ．0B ．1C ．2D ．314．我国古代数学专著《九章算术》中的“堑堵”是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为堑堵，其中AB ⊥AC ，AB=3，AC=1，则直线BC 与A 1B 1所成角是A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°AA 1BB 1CC 1。
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2019年学业水平考试模拟卷数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{|14},{|28},A x x B x x =≤≤=≤≤，则A B 等于（ ）
A ．{|18}x x ≤≤
B ．{|24}x x ≤≤
C ．{|24}x x x ≤≥或 D.
{|18}x x x ≤≥或
2.
2cos 3π的值为（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ．32
D ． 32-
3. 函数()lg(2)f x x =+的定义域是( ) A ．),2[+∞ B ．),2(+∞ C ．(2,)-+∞ D ．[2,)-+∞
4. 函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( )
A.(－2,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1
，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3 6.要得到函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移
π
3
个单位
7.已知f (x )是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A. f (－0.5)＜f (0)＜f (1)
B. f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)
C. f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)
D. f (－1)＜f (0)＜f (－0.5) 8.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率是
( )
A.14
B. 34
C. 12
D.23
9.图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )
A ．k 1<k 2<k 3
B ．k 3<k 1<k 2
C ．k 3<k 2<k 1
D ．k 1<k 3<k 2
10．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
x －2y ＋2≥0，
则z ＝2x －y 的最小值等
于( )
A ．－52 B.－2 C ．－3
2 D.2
11．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++等于 ( ) A ．0 B. BE C.AD D.CF
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 指数函数f (x )＝a x ＋1的图象恒过定点________.
14. 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是_______.
16.已知向量(),2a m =，向量()2,3b =-,若a b a b +=-，则实数m 的值是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sin x
2
cos
x
2
－2sin2
x
2
.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
18．(本小题满分10分) 如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D为AC的中点，证明：平面POD⊥平面PAC.
19．(本小题满分10分)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且13,21,1355311=+=+==b a b a b a
(Ⅰ)求{}n a ，{}n b 的通项公式．
(Ⅱ)求数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n S .
20. (本小题满分10分)某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了错误!未找到引用源。
名学生作为样本，得到这错误!未找到引用源。
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
(Ⅰ)求表中错误!未找到引用源。
的值和频率分布直方图中错误!未找到引用源。
的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；
(Ⅱ)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在错误!未找到引用源。
的概率.
21. (本小题满分12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (Ⅰ)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(Ⅱ)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
普通高中学生学业水平考试模拟卷
参考答案 一、选择题
1.A
2.A
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.B
9.D 10.A 11.D
二、填空题：13. (-1,1) 14. 7π 15. 1
5 16. 3
三、解答题
17. 解： (1)由题意得f (x )＝
22sin x －2
2
(1－cos x ) ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π
4.
当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π
4时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
3π4＝－1－2
2
.…………………………10分 18. 证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 中点， ∴AC ⊥OD .
又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO . …………………………5分 ∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .
而AC ⊂平面PAC ，∴平面POD ⊥平面PAC . …………………………10分 19. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0，
且⎩⎨⎧
1＋2d ＋q 4
＝21，1＋4d ＋q 2
＝13，
解得⎩⎨
⎧
d ＝2，q ＝2，
所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. …………………………5分 (2)a n b n ＝
2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋
2n －32n －2＋2n －1
2
n －1，① 2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －1
2n －2，②
②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －1
2n －1
＝2＋2×⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1
＝2＋2×1－
1
2n －11－
12－2n －12n －1＝6－2n ＋3
2n －1.…………………………10分
20.
可以看出，中位数位于区间[15，20），设中位数为x 则0.250.125(15)0.125(20)0.0750.05x x +⨯-=⨯-++17x ∴=
（2）由题意知样本服务次数在错误!未找到引用源。
有20人，样本服务次数在错误!未找到引用源。
有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错
误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人数分别为：错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
.记服务次数在错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
，在错误!未找到引用源。
的为错误!未找到引用源。
.
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
共15种，
设“2人服务次数都在错误!未找到引用源。
”为事件错误!未找到引用源。
，则事件错误!未找到引用源。
包括
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
共10种，所有错误!未找到引用源。
.
21.解(1)设|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，又|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线l的距离公式：|－2k－6＋5|
k2＋(－1)2
＝2，得k＝
3
4
.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即CD→·PD→＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.。