上海市高一第一学期数学期末试卷

高一上的综合练习
复兴高级中学 朱良
一、填空题
1、已知a 、b R ∈，且{}2,
,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，则a b +=______________ 2、已知集合{
}
2
4120A x x x =--≤，401x B x
x ⎧-⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，则A B ⋂=______________ 3、设全集U R =，已知集合{}
3(1)
x
A y y x ==<，{}
12
B x x =<<，
()U A B ⋂=ð______________
4、函数213
()22
f x x x =
-+的定义域和值域都是[1,]a ，则a 的取值为______________ 5、函数2
()22f x x ax =++在[3,3]x ∈-上是单调函数，则实数a 的取值范围是_________ 6、函数9
1
y x x =+
+，当[8,10]x ∈时的最小值是______________ 7、已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是______________
8、已知函数21()1
x f x ⎧+=⎨⎩ 00x x ≥<，则满足不等式2
(1)(2)f x f x ->的x 取值范围是
______________
9、已知函数5
3
()231f x x x =++，则不等式()(3)2f x f x +->的解集为______________ 10、对于实数x 、y ，则“8x y +≠”是“2x ≠或6y ≠”的______________条件 11、对于函数()f x ，()g x ，记{}()()()
max (),()()()()f x f x g x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨
<⎩
，则函数
{}()max 1,2F x x x =+-（x R ∈）的最小值是______________
12、设两个命题
（1）不等式2
1
()423
x m x x +>>-对一切实数x 恒成立； （2）函数()(72)x
f x m =--是R 上的减函数
如果这两个命题仅有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______________ 13、()f x 是定义在R 上的函数
（1）若存在1x 、2x R ∈，12x x <，使12()()f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增；
（2）若存在1x 、2x R ∈，12x x <，使12()()f x f x ≤成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；
（3）若存在20x >，对于任意1x R ∈都有112()()f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递增；
（4）对任意1x 、2x R ∈，12x x <，都有12()()f x f x ≥成立，则函数()f x 在R 上单调递减；
（5）函数()f x 对任意实数x 都有()(1)f x f x <+，那么()f x 在实数集R 上是增函数 以上命题正确的序号是_______________
14、若关于x 的不等式kx x x x ≥-++|3|92
2
在[1,5]x ∈上恒成立，则实数k 的取值范围是_______________ 二、选择题
15、如图，已知正ABC ∆的边长为1，E 、F 、G 分别是
AB 、BC 、CA 上的点，且AE BF CG ==，设EFG ∆的面积为y
， AE 的长为x ，则y 关于x 的函数的图象大致是（
）
16、已知()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =⋅的图象可以是
（ ）
()
y g x =()y f x =B ()
A ()O x y
y x O G
E
F
C
B
A A ()
B ()
C ()
D ()
x
y
17、已知0x 是函数1
()21x
f x x
=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞， 则（
）
（A ）1()0f x <，2()0f x < （B ）1()0f x <，2()0f x > （C ）1()0f x >，2()0f x <
（D ）1()0f x >，2()0f x >
18、设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题
（1）若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；
（3）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值
这些命题中，真命题的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 三、解答题
19、用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，若要求框架围成的总面积为8（2
m ），则x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001（m ））
20、已知函数1()22
x
x f x =-
（1）设集合15()4A x f x ⎧⎫=≤
⎨⎬⎩
⎭
，{}
2
60B x x x p =-+<，若A B ⋂≠∅，求实数p 的取值范围；
（2）若2(2)()0t
f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围
21、已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =-，若x 、[1,1]y ∈-，0x y +≠，
则
()()
0f x f x x y
+<+
（1）用定义证明，()f x 在[1,1]-上是减函数； （2）解不等式：11(
)()12
f f x x <+-； （3）若2
()21f x t at ≥--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-均成立，求实数t 的取值范围
22、设函数()a f x x x
=+
，2
()22g x x x a =-+-，其中0a > （1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解，求a 的取值范围； （2）求函数()a
f x x x
=+
在(0,2]x ∈上的最小值； （3）若对任意的1x ，2(0,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围； （4）当32a =时，令()()()h x f x g x =+，试研究函数()h x 在(0,)x ∈+∞上的单调性，并求()h x 在该区间上的最小值
答案
一、填空题 1、1-；
2、[2,1)[4,6]-⋃；
3、[2,3)(,1]⋃-∞；
4、3；
5、(,3][3,)-∞-⋃+∞；
6、9；
7、4；
8、(1)-；
9、3
(,)2
+∞； 10、充分不必要；
11、
32
；
12、(,1][3,4]-∞⋃；
13、（2）；
14、(,6]-∞
二、选择题 15、C ； 16、A ； 17、B ； 18、C
三、解答题
19、解：2184
xy x +
=得84x
y x =-（0x <<）
316
22(1)2l x y x x
=++=+≥
此时8 2.343x =-≈， 2.828y =≈用料最省 20、（1）解：(,2]A =-∞，
令2
()6g x x x p =-+，则由题意()0g x <得12(,)B x x =，且12x < 即(2)0g <，得(,8)p ∈-∞ （2）22112(2)(2)022t t
t t t
m -
+-≥对[1,2]t ∈恒成立 即22(21)(21)0t
t
m -++≥，又[1,2]t ∈时2213t
-≥
则2210t
m ++≥即2(21)t
m ≥-+恒成立
则5m ≥- 21、（1）略 （2）111121x x -≤+
<≤-得3
[,1)2
x ∈-- （3）2min ()(1)121f x f t at ==-≥--即2
20t at -≤对所有[1,1]a ∈-均成立
设2
()2h a at t =-+ [1,1]a ∈- 则由题意得(1)0
(1)0
h h ≤⎧⎨
-≤⎩得0t =
22、（1）1x =代入得1a >；
（2
）min
04()242
a f x a
a ⎧<≤⎪
=⎨+
>⎪⎩ （3）min max ()()(2)8f x g x g a >==-得4a > （4）2
32
()230h x x x
=+
- (0,)x ∈+∞ 用定义易证()h x 在(0,2]x ∈上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增 则min ()(2)6h x h ==-。