三维柔性多体梁系统非线性动力响应分析
桥梁工程的非线性动力响应
桥梁工程的非线性动力响应桥梁是连接两个地点的重要交通设施，具有承载能力和稳定性的重要要求。
然而，在桥梁结构的使用寿命中，各种自然和人为因素都会对其性能和安全产生影响。
其中之一就是桥梁在遭受外界荷载时的非线性动力响应问题。
本文将从理论和工程实例两个方面探讨桥梁工程的非线性动力响应问题。
1. 引言桥梁作为交通运输的关键节点，其结构必须经受住各种动力荷载的考验。
传统的结构设计方法主要基于线性静力理论，而对于桥梁结构的非线性动力响应问题，人们对其认识还相对有限。
因此，深入研究桥梁的非线性动力响应对于提高桥梁的稳定性和安全性具有重要意义。
2. 桥梁结构的非线性动力分析方法2.1 非线性数学模型可通过建立合适的非线性数学模型来描述桥梁结构的动力响应。
常见的非线性数学模型包括非线性弹簧模型、非线性阻尼模型和非线性质量模型等。
这些模型能够更准确地刻画荷载作用下桥梁结构的响应特性。
2.2 计算方法针对桥梁结构的非线性动力分析问题，可采取数值计算方法进行求解，如有限元法、模态叠加法和延时微分方程法等。
这些方法可以更精确地研究桥梁结构在动力荷载作用下的非线性响应。
3. 桥梁工程实例以某桥梁为例，探讨桥梁结构的非线性动力响应问题。
该桥梁承受着日常交通荷载以及突发事件等多种荷载作用。
通过对该桥梁的振动测量和监测数据进行分析，可以得到其在不同荷载下的非线性动力响应情况，并评估其安全性。
4. 桥梁结构的非线性动力响应控制为了提高桥梁结构的稳定性和安全性，可以采取一系列控制措施来减小非线性动力响应。
如采用主动控制和减振装置、改善材料和结构设计等手段，可以有效改善桥梁结构的非线性动力响应特性。
5. 结论桥梁工程的非线性动力响应问题对于提高桥梁的稳定性和安全性具有重要意义。
通过建立合适的非线性数学模型和采用适当的计算方法，可以更准确地刻画桥梁结构在动力荷载下的响应特性。
同时，结合实际工程实例，可以评估桥梁结构的非线性动力响应情况，并采取相应的控制措施来减小非线性响应。
三维柔性体的建模及其仿真实现的开题报告
三维柔性体的建模及其仿真实现的开题报告一、课题背景及研究意义柔性体是一类通常由弹性材料制成，具有高度可塑性、变形能力、抗冲击能力和高度适应性的材料。
在机械领域，柔性体广泛应用于可编程和可变形机械手臂、张力和形状控制结构等领域。
在生物医学领域中，柔性体被用于仿真和模拟人体组织，如心脏、肌肉和骨骼等。
在娱乐、游戏和虚拟现实领域中，柔性体被用于模拟人物运动和物体互动的特性。
因此，研究三维柔性体的建模及其仿真实现具有重要的理论和应用价值。
二、研究内容本文主要研究三维柔性体的建模及其仿真实现。
具体包括以下内容：1. 柔性体的物理模型和算法的研究。
根据柔性体的物理特性和动力学特性，建立其精确的数学模型和有效的算法。
2. 三维柔性体的建模方法。
根据柔性体的几何结构和物理特性，提出一种高效准确的三维柔性体建模方法，包括网格模型和隐式模型。
3. 三维柔性体仿真算法的设计。
根据柔性体的建模方法和物理模型，提出一种高效仿真算法，包括显式和隐式数值方法。
4. 三维柔性体的仿真应用。
将所提出的算法和建模方法应用于三维柔性体仿真中，并通过实验验证其有效性和可靠性。
三、研究方法本文主要采用以下研究方法：1. 理论研究和文献调研。
对柔性体的物理特性和动力学特性进行深入研究，对国内外相关文献进行充分调研。
2. 数值计算和仿真实验。
采用数值计算和仿真实验的方法，验证所提出的算法和建模方法的有效性和可靠性。
3. 软件实现。
利用相关软件实现所提出的算法和建模方法，并进行相关应用实验。
四、研究计划本研究计划分为以下三个阶段：第一阶段：对柔性体的物理模型和算法进行研究，包括柔性体的力学模型、动力学模型和数值计算算法。
计划耗时两个月。
第二阶段：研究三维柔性体的建模方法，并提出一种高效准确的三维柔性体建模方法，包括网格模型和隐式模型。
计划耗时三个月。
第三阶段：将所提出的算法和建模方法应用于三维柔性体仿真中，通过实验验证其有效性和可靠性。
计划耗时四个月。
桥梁地震碰撞的三维撞击模型及非线性响应分析_禚一
Fy （ t） = － μf·Fx （ t） ，当 xi （ t） － xj（ t） － gp ＞ 0 且
·yi （ t） － ·yj（ t） ＞ 0
Fy （ t） = μf ·Fx （ t） ，当 xi （ t） － xj（ t） － gp ＞ 0 且
·yi （ t） － ·yj（ t） ＜ 0
Fy （ t） = 0，当 xi （ t） － xj（ t） － gp ＞ 0 且 ·yi （ t） －
3D impact model and non-linear response analysis for
seismic pounding of bridges
Zhuo Yi1，2 Li Zhongxian1 Wang Fei2
（ 1． Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of the Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China； 2． The Third Ｒailway Survey and Design Institute Group Corporation，Tianjin 300142，China）
向撞击力 Fy（ t） 相同，这里不再赘述。
图 1 三维 Kelvin 碰撞单元力学模型 Fig． 1 Mechanical model of 3D Kelvin pounding element
2 基于 FENAP 平台的三维 Kelvin 碰撞单元 模块开发
FENAP 平台是课题组基于纤维梁柱单元模型的 基本原理开发的一套实用精细化模拟分析平台［18-19］， 包含了多种混凝土和钢材的本构模型。可进行结构 或构件的复杂非线性静力及动力响应分析，能够有效 地考虑构件 的 刚 度 退 化、强 度 退 化 等 损 伤 效 应，模 拟 轴力和双向弯矩的多维耦合效应等复杂非线性行为。 在桥梁构件的非线性静、动力模拟方面已取得了较好 的模拟效果。本文在 FENAP 平台基础上，基于三维撞 击模型的力学原理，利用 ABAQUS 所提供的 UEL 用户 单元子程序接口［20］，开发了三维 Kelvin 碰撞单元模块 FENAP /3D-Kelvin-Pounding，并 采 用 ABAQUS / Standard 隐式非 线 性 求 解 器 进 行 动 力 求 解。图 2 给 出 了 FENAP 平台引入三维 Kelvin 碰撞单元模块结构框图。
多梁柔性振动系统的动力学建模与实验研究
多梁柔性振动系统的动力学建模与实验研究随着科技不断进步和发展，人类对机械系统的要求也越来越高。
多梁柔性振动系统具有结构简单、稳定可靠、自适应性强等优点，因此被广泛应用于航空、机器人、机床等领域。
在实际应用中，多梁柔性振动系统的动力学问题成为重要研究方向，其动力学建模和实验研究对于系统控制和设计具有重要意义。
本文将着重探讨多梁柔性振动系统的动力学建模与实验研究。
一、多梁柔性振动系统的动力学建模动力学建模是研究机械系统振动问题的基础。
在多梁柔性振动系统中，我们需要考虑多个梁的振动状态以及梁与刚体的相互作用。
因此，动力学建模需要考虑梁的形变、扭转、拉伸等因素，以及外界的力和力矩。
在进行动力学建模时，我们可以采用传统的连续体模型或离散模型。
在连续体模型中，我们假设梁是连续的物质，在空间中进行连续的变形。
我们可以通过三维欧拉波动方程来描述梁的振动状态。
在离散模型中，我们将梁分割成许多小段，对每一小段进行动力学分析，然后将小段组合成整个系统。
离散模型具有更强的可操作性，可以更好地反映系统的动态行为，因此在实际应用中更加常用。
关于梁的力学性质，我们需要考虑多个因素。
首先是梁的弹性特性，可以使用弯曲刚度和拉伸刚度来描述。
其次是梁的自重和外界载荷，例如重力、惯性力、气动力等。
最后是梁与刚体之间的相互作用力，例如约束力、支撑力等。
动力学建模的本质是将系统的动态行为量化，因此需要适当选择合适的坐标系和状态方程。
在多梁柔性振动系统中，常用的坐标系包括欧拉角坐标系、三维直角坐标系、本体坐标系等。
二、多梁柔性振动系统的实验研究动力学建模为实验研究提供了基础和依据。
通过实验，我们可以验证动力学模型的正确性，并获取系统的实际振动状态和响应特性。
多梁柔性振动系统的实验研究可以分为仿真实验和物理实验。
在仿真实验中，我们通过计算机建立系统的动力学模型，并对模型进行数值模拟。
通过仿真实验可以更加直观地观察系统的振动状态，同时可以调整参数来优化系统设计。
多体系统动力学综述
1. 绝对节点坐标法传统有限元方法建立的单元为非等参数单元，其使用节点处的位移梯度来描述物体的无限小的转动，但在物体发生大变形时，节点处的位移梯度已不能准确描述物体的转动变形，从而极大影响到计算的精度。
Shabana [1]提出了绝对节点坐标法（Absolute nodal coordinate formulation, ANCF ），其理论基础主要是有限元和连续介质力学理论。
该方法将物体的单元节点坐标定义在全局坐标系下，使用节点处的斜率(slope)矢量作为节点坐标而不是节点处的无限小转动[2]，不需要另外计算刚体位移与柔性变形之间的耦合，能较精确地计算大变形的多体系统动力学问题。
其最终推导出的多体系统的微分代数方程组（DAEs ）中，质量矩阵是一个常数矩阵，但刚度矩阵将是一个非线性的时间函数。
1.1梁单元的绝对节点坐标法Shabana 首先推导出一维梁单元的绝对节点坐标法模型[1][3]。
在这种模型中，梁单元用中性轴来简化，如图1所示，其上面任意一点P 在全局坐标系下的坐标表达为：23101232320123r =Se r a a x a x a x r b b x b x b x ⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦图1其中，x 为沿轴线的单元局部坐标，[]0,x l ∈，l 为梁单元初始长度；S 为单元形函数；e 为含有8个单元节点坐标的广义坐标矢量。
123456781102205162e []|,|,|,|,Tx x x l x l e e e e e e e e e r e r e r e r ========= 1212304078,,,x x x l x l r r r r e e e e x x x x ====∂∂∂∂====∂∂∂∂最终，通过绝对节点坐标法得到的无约束的单元动力学方程为：k e Me+Q =Q 其中，M 为常数质量矩阵，Q k 为广义弹性力矩阵，Q e 为广义外力矩阵。
3_RRS柔性并联机器人的动力学建模与频率特性分析_刘善增
1
动力学建模
3 -RRS 柔 性并联机 器人 的结构 如图 1 所
示 。 静( 下) 平台和动( 上) 平台通过 3 条支链相 · 1219 ·
中国机械工程第 19 卷第 10 期 2008 年 5 月下半月
连 , 设其上下平台均为等边三角形 , 上平台通过球 面副( S 副) 与各连杆连接 , 下平台则通过转动副 ( R 副) 与各连杆连接 , 其中 B i ( i =1 , 2 , 3) 处转动 副的轴线与 Ci 处转动副的轴线对应平行 。 分别建 立与动平台固结的局部坐标系 O P X ′ Y′ Z′ 和系统 ( 固定) 坐标系 OX Y Z 。 坐标系原点 O P 和O 分别位 于上下平台的几何中心 , 轴 Z′ 和 Z 分别垂直于上 下平台 , 轴 X′ 、 Y′ 与X 、 Y 分别平行和垂直于上下 平台的边 P 2 P 3 与 B 2 B 3 。 局部定坐标系B i x′ i1 y′ i1 z′ i1
向) 变 形 和 扭 转 变 形 。 单 元 广 义 坐 标 设 为 δ∈ R18×1 , 它表示单元端点的弹性位 移 、转角和 曲率 , 如图 2 所示 。 这样单元上任意一点相对于单 元坐标系将产生沿轴 x 、 y、 z 的弹性位移 W x ( x, t) 、W y ( x , t) 、 Wz ( x , t) 绕轴 x 、y 、z 的弹性角位移
[ 1-8]
的响应和 连杆末端的振动 。 Pi ras[ 4] 利用有限元 理论与运动弹性动力分析方法 , 研究了具有柔性 杆的 3 -P RR 平面并联机器人的动力学问题 , 分 析了机构位形 、 几何刚度和动力学项对弹性振动 的影响 , 并给出了第一阶模态固有频率随机器人 位形变化的曲线 。 然而 , 针对空间柔性杆件并联 机器人的 动力学建模和 分析的研究还 较少
机械结构的非线性响应分析
机械结构的非线性响应分析随着科学技术的不断进步和工程需求的不断提高，机械结构的性能需求也越来越高。
而机械结构的非线性响应分析就是对机械结构在非线性载荷作用下的变形与应力进行研究和分析。
机械结构的非线性响应分析不仅能够提高结构的安全性和可靠性，还能够优化设计和节约材料成本，对于工程实践具有重要意义。
一、非线性响应的定义非线性响应是指当机械结构受到外界作用力时，结构的变形与应力不随作用力线性变化的现象。
在非线性响应的分析中，通常具备三种情况：几何非线性、材料非线性和边界非线性。
1. 几何非线性：几何非线性是指结构在变形过程中，结构的形状和尺寸发生变化所引起的非线性现象。
最典型的几何非线性包括大变形、大位移和大变形梁理论等。
几何非线性主要是针对柔性结构而言，如悬臂梁、弹性线等。
2. 材料非线性：材料非线性是指材料在受力作用下，应变与应力之间的关系不遵循线性弹性假设的现象。
通常包括弹塑性、厚度变化、屈曲和断裂等非线性材料行为。
材料非线性是非线性响应分析中最常见的一种现象。
3. 边界非线性：边界非线性是指结构在支撑条件发生变化时所产生的非线性现象。
例如，结构在加载过程中由固定边界变为滑动边界、松弛边界或无约束边界等。
边界非线性的分析通常需要考虑接触力、摩擦力、预紧力等因素。
二、非线性响应分析的方法为了对机械结构的非线性响应进行分析，通常采用数值模拟方法。
常见的数值模拟方法包括有限元法、边界元法和离散元法等。
1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于结构力学领域的分析方法。
它将结构划分为有限个离散单元，然后通过建立单元之间的力平衡方程和位移连续条件，求解整个结构的变形和应力场。
有限元法不仅能够考虑各种非线性载荷的作用，还能够灵活地处理非线性材料和几何非线性等问题。
2. 边界元法：边界元法是基于边界积分方程理论的一种数值分析方法。
它根据结构的边界条件，将结构划分为内、外围两个区域，然后通过求解边界上的积分方程，得到结构的变形和应力。
《几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究》范文
《几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究》篇一一、引言在现代物理学和工程学领域，非线性弹性结构的动力系统研究已成为重要的研究课题。
随着科学技术的不断进步，人们对结构动力学的理解也日益深入，尤其是对无穷维动力系统的研究更是成为当前研究的热点。
本文将重点研究几类非线性弹性结构的无穷维动力系统，分析其特性和动力学行为。
二、非线性弹性结构概述非线性弹性结构是指在外力作用下，其内部应力与应变之间存在非线性关系的结构。
这类结构广泛存在于实际工程中，如桥梁、建筑、机械等。
由于其复杂的非线性特性，非线性弹性结构的动力学行为一直是学术界研究的重点。
三、无穷维动力系统的基本理论无穷维动力系统是指由无穷多个相互作用的子系统组成的复杂系统。
在非线性弹性结构的研究中，我们通常将结构看作一个无穷维的动力系统，其中每个子系统对应于结构的一个部分或一个自由度。
在本文中，我们将重点探讨无穷维动力系统的基础理论，包括其数学描述、稳定性分析、混沌现象等。
四、几类非线性弹性结构的无穷维动力系统研究1. 弦的振动模型：我们将研究弦的振动作为非线性弹性结构的典型代表，分析其无穷维动力系统的特性和动力学行为。
我们将采用有限元法等数值方法，对弦的振动进行模拟和计算，从而揭示其动力系统的基本特性。
2. 弹性梁的弯曲模型：在弹性梁的弯曲过程中，我们考虑其几何非线性和材料非线性的耦合作用，研究其无穷维动力系统的稳定性问题。
我们将采用能量法等理论方法，对梁的弯曲过程进行理论分析和数值模拟。
3. 复杂结构的振动模型：针对复杂结构如桥梁、建筑等，我们考虑其多尺度、多物理场耦合的特性，研究其无穷维动力系统的混沌现象和分岔行为。
我们将结合实际工程案例，对复杂结构的振动进行实验研究和数值模拟。
五、研究方法与结果分析在本文中，我们将采用理论分析、数值模拟和实验研究相结合的方法，对几类非线性弹性结构的无穷维动力系统进行研究。
我们将运用有限元法、能量法等理论方法，对各类结构的动力系统进行数学描述和稳定性分析。
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振 动 与 冲 击第25卷第1期JOURNAL OF V I B RATI O N AND SHOCK Vol.25No.12006 三维柔性多体梁系统非线性动力响应分析收稿日期:2005-01-09第一作者吴国荣男,博士,副教授,1966年10月生吴国荣1 钟伟芳2 梁以德2(11福建工程学院土木系,福州 350007; 21华中科技大学力学系,武汉 430074) 摘 要 研究了三维柔性多体梁系统的非线性动力响应问题。
将空间柔性梁的变形分解为轴向变形以及在x-y 平面的弯曲变形和在x-z平面的弯曲变形,引用各自的精确振动模态描述变形场,利用拉格朗日乘子法建立起柔性多体梁系统约束非线性动力学方程。
结合Ne wmark直接积分法和Ne wt on2Raphs on迭代法,导出了求解该非线性代数-微分方程组的数值方法。
仿真算例证明了该方法的正确性和有效性。
关键词:多体系统,三维柔性梁,非线性,动力响应中图分类号:O32,T B1 文献标识码:A0 引 言随着现代机械系统向高速、轻质和高精度发展,使得在机械系统设计和动力学分析时,应用传统的多刚体系统动力学分析方法不能得到正确的结果,必须考虑构件在大范围刚性运动时柔性变形的影响。
这类计及部件变形的多体系统称为柔性多体系统。
近年来,考虑刚柔耦合的柔性多体系统的研究已成为多体系统中最主要的研究方向,各国学者对此作了大量的研究工作,提出了不少新的方法处理柔性多体系统动力学问题,如有限元方法[1-5],有限段方法[6-8],子结构方法[9-10],模态综合法[11-12]。
研究了三维多体梁系统非线性动力响应问题。
将空间柔性梁的变形分解为轴向变形和弯曲变形,并用各自的解析模态来近似描述。
使用带乘子的拉格朗日方程导出了柔性多体系统动力学方程。
基于Ne wmark直接积分法结合Ne wt on2Raphs on迭代法[13],给出了求解该约束非线性方程的数值方法。
数值模拟结果表明了本文方法的有效性。
图1空间柔性梁的弹性位移示意图1 运动学建立如图1所示的坐标体系来描述作空间运动的柔性梁的构形,其中O XY Z为惯性坐标系,O i X i Y i Z i为随体坐标系。
柔性体的变形在随体坐标系中描述。
随体坐标系的方位由三个相互独立的欧拉角<i,;i及ψi确定。
考虑其上任一点P i,它的空间位置可表示为:r iP=R i+A i u i(1)上式中:R i为随体坐标系的坐标原点的位置矢量,u i为点P i变形后的局部坐标,矩阵A i为坐标变换矩阵,其定义为:A i=C<i Cψi-C;i S<i Sψi-Sψi C<i-C;i S<i Cψi S;i S<iS<i Cψi+C;i C<i Sψi-Sψi S<i+C;i C<i Cψi-S;i C<iS;i Sψi S;i Cψi C;i(2)其中S=sin()及C=cos()。
可把矢量u i分解为:u i=u io+u if(3)其中u io是在变形前点P i的局部坐标,而且u if为随体坐标下该点的形变位移矢量。
把式(3)代入式(1),得:r ip=R i+A i io+if)(4)方程(4)的两边对时间求导,并注意到u i=0,得:r i p= R i+A i(ωi×(u i o+u i f))+A u iΗi f(5)这里ωi为随体坐标系下的角速度,它可表示为:ωi=G iθi(6)其中θi=[<i ;i ψi],G i为如下定义的矩阵:G i=S;i Sψi Cψi0-S;i Cψi-Sψi0C;i012 空间梁的变形描述假设柔性构件为空间Bernoulli2Euler梁,其弹性变形分解为应用模态展开法,其变形场可近似表示为:轴向变形u i、在x 2y 平面的弯曲变形νi 以及在x -z 平面的弯曲变形w i(如图1),应用模态展开法,其变形场可近似表示为:u i(x,t )=∑u i n (x )a in (t )νi (x,t )=∑νi n(x )b i n(t )w i(x,t )=∑w i n (x )c i n(t )(7)上式中a i n (t )、b i n (t )、c i n (t )为广义坐标。
u in (x )为纵向振动模态,νi n (x )和w in (x )分别为在x -y 平面和x-z 平面的弯曲振动模态。
利用(7)式,点P i的形变位移矢量可写为:i f =N i q i f (8)其中N i 是由u i n (x )、νi n (x )和w in (x )构成的形函数矩阵,q i f 是由时变系数a i n (t )和b i n (t )和c in (t )构成的弹性坐标。
3 控制方程311 运动梁的动能把式(8)代入式(5),得:r ip = R i+A i(ωi×(u i))+A iN iq if(9)利用方程(6)及如下恒等式:ωi ×u i =-u ≅i ωi其中u ≅i反对成矩阵,方程(9)可化为如下矩阵形式:r ip=[I 3×3-A i u ≅iG i A iN i][ Ri θi q i f]T(10)运动梁的动能可写为:T i =12∫V i ρi r i p dV i=12q i T M i q i (11)其中q i=R i Tθi q i Tf T(12)Mi=∫V iρiI 3×3 B i A iNi B i T B i B i T A i N isy mm etric N i TNi(13)这里ρi为材料密度,矩阵B i定义如下:B i=-A i u ≅iGi(14)312 运动梁的应变能在小变形的条件下,包含轴向力效应的空间梁的应变能为:U i =12∫l i0{E i a i 9u 29x 2+f i x 9v i ax 2+9wi 9x2+E i I i yy 92νi 9x 22+E i I i zz 92wi 9x22}dx (15)这里E i 为剪切模量,a i 为截面面积,I i yy 和I izz 为截面二次矩,f ix 为轴向力,其定义如下:f ix =∫a i E i(9u i/9x )da式(15)可以写成如下的矩阵形式:Ui=∫l i9u i /9x9v i /9x 9w i/9x 92v i /9x 292w i /9x 2TE i aif ixf ixE i I iyyE i I izz9u i /9x9v i /9x 9w i /9x 92v i /9x 292w i /9x 2dx(16)用弹性坐标q if 表示应变,有:[9u i/9x 9v i/9x 9w i/9x 92v i /9x 2 92w i /9x 2]T=(9S i /9x )q if(17)其中Si=u i 1u i2… v i 1v i2… w i1w i2… 9v i 1/9x 9v i2/9x … 9w i1/9x 9w i2/9x …把(17)式代入(16)式,得:U i=12q i f K i ff q i f(18)这里Ki ff=∫li(9S i/9x )TE iai f ix f ix E i I iyy E i I izz(9S i/9x )dx(19)把变形能统一以广义坐标q i表示U i=12q i T K i qi (20)上式中K i =06×6 K iff313 动力学方程定义系统广义坐标如下:q =[q 1T q 2T … q N T ]T(21)上式中N 为系统包含的个体数。
系统总的动能和应变能可写为:T =∑N i =1T i =12q T M q 和U =∑Ni =1U i=12q T Kq假设系统所受的约束为一组完整约束,其可用如下非线性方程表示:C(q,t )=0(22)利用带乘子的拉格朗日方程,导出系统的动力学方程如下:M q ..+Kq -C Tq λ=F +Q v(23)52第1期 吴国荣等:三维柔性多体梁系统非线性动力响应分析上式中C Tq 是约束Jacobian 矩阵,λ是拉格朗日乘子矢量,F 为广义主动力,Q v 是和速度二次项有关的广义力,相当于离心惯性力和科氏惯性力,其表达式为:Q v =-M q +99q( q M q)(24)把约束方程(22)对时间作两次微分,得:C q q ..=Q c (25)其中Q c =-C tt -2C qt q -(C q q )qq 由式(23)和(25)可得:M -C Tq C qq..λ=F +Q v +Kq Q c(26)4 数值积分方法使用Ne wmark 直接积分法和Ne wt on 2Raphs on 迭代法对非线性代数-微分方程(26)进行求解,具体步骤如下:(1)在第n +1时刻步,计算迭代初值:q..(1)n +1λ(1)=M -C T qC q-1F +Q v -Kq n Q c(27)q (1)n +1= q n +(1-γ)h q ..n +γh q ..(1)n +1(28)q (1)n +1=q n +h q n +h 2((1-β)q ..n +βq ..(1)n +1)(29)其中h 为时间步长,γ和β为积分系数。
(2)利用Ne wt on 2Raphs on 迭代方法修正位移及拉格朗日乘子;首先把(23)式改写为:Φ(q)-C T q λ=0(30)其中Φ(q)=M q ..+Kq -F -Q v其次,在上一步得迭代值(q (m )n +1,λ(m ))附近,对(30)式及(20)式作泰勒展开,得:[Φ(q)-C Tq λ](q (m )n +1,λ(m ))+9Φ9q -9(C Tq λ)9q(q (m )n +1,λ(m ))・Δq -C T qq (m )n +1・Δλ=0(31)C |q (m )n +1+C q |q (m )n +1・Δq =0(32)这里9Φ9q =K +1βh2M -9Q v 9q 最后,由(32)和(33)两式,计算下一步迭代值:q (m +1)n +1λ(m +1)= q(m )n +1λ(m )+9Φ9q-9(C Tq λ)9q -C T q-C q-1q (m )n +1,λ(m )・-Φ+C Tq λ C(q (m )n +1,λ(m ))(33)直至收敛条件满足:‖[Φ(q)-C Tq λ]|q (m )n +1,λ(m )‖<e(34)(3)计算速度和加速度:q n +1=γβh (q n +1-q n )+1-γβ q n +1-γ2βh q ..n (35)q ..n +1=1βh2(q n +1-q n )-1βhq n -12β-1q ..n (36)表1 柔性操作器的惯性参数部件编号质量(kg )转动惯量(kg m 2)J xJ yJ z150.00.004690.01950.0195230.5240.062540.7340.73338.1560.078279.5379.534200.00.0078220.08340.08345 数值算例对一种广泛应用于航天飞船和空间站的柔性操作器模型进行了数值模拟运算。