第十一章 线性规划初步

找出满足每个不等式的解所在半平面, 并在图中标出,如图111所示.
N
x2
M
l2
l1
B
O
S 0
S 2
A
x1
图11-1 例1示意图
图中凸多边形OABMN即区域D是满足所有约束条件的半平面 的公共部分,因此D上的每个点坐标都是该规划问题的可靠的可 行解,故称D为该规划问题的可行解域.
为在可行解域D中找出使目标函数取得最大值的最优解, 令目 标函数S为一大一小的数.即不妨令S 0, S 2作两条直线, x1 x2 0, x1 x2 2,因在这样的直线上, 任意点的坐标代入方程, 函数值 不变, 故称之为等值线.由两条等值线的位置可知,当S 值越大, 等 值线越远离点,因求目标函数最大值, 故平移等值线, 在区域D上找 一点,使得过该点的等值线离原点最远,图中B点即为所求的点, 解 方程组, 求B点的坐标.先解方程组 5x1 7 x2 35 x1 5
例4 某鸡场有10000只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养, 每天每只鸡平均食混合饲料1斤,其中动物饲料所点比例不能 少于20%,动物饲料每斤0.25元,谷物饲料每斤0.15元,饲料公 司每周仅保证供应谷物饲料60000斤.问饲料怎么样混合,才能 使成本最低(1斤=500g)?
解 因所求的问题是成本最低,而谷物,动物饲料单价已知,故待
二、线性规划问题的数学模型 1.线性规划问题的数学模型的一般形式 求一组决策变量x j , ( j 1, 2, n)的值使其满足
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 (或 b1 , 或 b1 ) a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (或 b2 , 或 b2 ) 约束条件 a x a x a x b (或 b , 或 b ) mn n 1 m m m1 1 m 2 2 x j 0, ( j 1, , n) 并使目标函数S c1 x1 c2 x2 cn xn的值最小(或最大).也可简
线性规划研究的问题主要有两大类.第一类是：一项任 务确定后，如何统筹安排，使得所用人力、物力资源最少； 第二类是：如何对一定数量的人力、物力、财力资源做最 有效的分配使用，使得完成的任务最多，收到的效益最高， 上述两大类问题，实质上是如何进行有效的经营管理和合 理的经济分析工作，以达到良好的经济效果的问题.
设S表示总运费, 则有 S 18 x11 25 x12 20 x13 21x21 22 x22 24 x23
故所求问题数学模型为 : 求一组变量xij , (i 1, 2; j 1, 2,3)的值, 使其满足条件
x11 x12 x13 28 x x x 29 21 22 23 x11 x21 12 x12 x22 15 x13 x23 30 xij 0, (i 1, 2; j 1, 2,3) 并使函数S 18 x11 25 x12 20 x13 21x21 22 x22 24 x23取得最小值
设工厂计划生产产品A,B,C,D的产量分别为x1 , x2 , x3 , x4 , 显然这 些变量同时受到甲,乙两车间生产能力的限制,即
8x1 18 x2 14 x3 20 x4 3600 2 x1 2 x2 6 x3 80 x4 2400 并且x1 , x2 , x3 , x4均为非负整数.
设S 表示总收入, 则 S 24 x1 40 x2 36 x3 80 x4
于是该问题的数学模型为: 求一组变量x1 , x2 , x3 , x4的值, 使其满足条件
8x1 18 x2 14 x3 20 x4 3600 2 x1 2 x2 6 x3 80 x4 2400 x 0, 并且x 为整数, ( j 1, 2,3, 4) j j
28 29
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
需求量/t
12
15
30
显然所设变量xij , (i 1, 2; j 1, 2,3)同时受到供应量与需求量 的限制,即
x11 x12 x13 28 x x x 29 21 22 23 x11 x21 12 x x 15 12 22 x13 x23 30 并且所有的xij 0, (i 1, 2; j 1, 2,3).
需求量/t
18 24 12
25 22 15
20 24 30
28 29
设从Ai 粮库运到B j 粮店的粮食为xij (t ), 其中(i 1, 2; j 1, 2,3), 得 到运量见表11-2.
表11-2 运量
t
供应量/t
B3 x13 x23
粮店 粮库
B1 A1 A2 x11 x 21 B2 x12 x22
第二节 线性规划问题的图解法
在前一节中，介绍了线性规划问题的数学模型及建立的 方法.以后将介绍线性规划问题的解法及解的性质.由二元不 等式的知识得到启示，可以利用作图的方法即图解法去求解 最简单的线性规划问题—仅含两个决策变量的线性规划问题. 一、图解法 例1 求解下列线性规划问题 maxS x1 x2
例1 设粮库存A1 , A2 , 每月可分别调出粮食28t,29t,粮店B1 , B2 B3每月需粮分别为12t,15t,30t,均由粮库A1 , A2供应.各粮库运住 各粮店每吨粮食的运费见24-1,问如何安排运输计划,可使运费 最少?
表11-1 运费
/ 元 1 t
供应量/t
B3
粮店 粮库
B1 A1 A2 B2
并使目标函数S 0.25 x1 0.15 x2取最小值.
线性规划问题的数学模型是前面所述的两类实际问题的 抽象数学形式，反映了客观事物数量的本质规律.在该问题中， 满足所有约束条件的解称为线性规划问题的可行解.全部可行 解的集合称为可行解集.在可行解中，使目标函数取得最大值 或最小值的解，称为最优解.在实际建模过程中，要根据实际 问题，抓住最本质因素，剔除次要因素，建立一个既简单而 又比较真实反映问题本质规律的模型.
并且x j ( j 1,, 6), 为非负整数. 设S 表示所用原料总数,即 S x1 x2 x3 x4 x5 x6 于是该问题的数学模型为: 求一组变量x j ( j 1,, 6)的值, 使其满足条件
5 x1 4 x2 3x3 2 x4 x5 10000 x2 2 x3 3x4 5 x5 6 x6 20000 x 0并且x 为整数, ( j 1,, 6) j j 并使函数S x1 x2 x3 x4 x5 x6取得最小值(所用原料最少)
项目 甲车间/台时 乙车间/台时 收 入/元 产品A
8 2 24
产品B
18 2 40
产品C
14 6 36
产品D 生产能力/台时
20 80 80 3600 2400
问工厂决定生产哪些产品,生产多少时,能创造更多的收入?
解 表24-3说明,甲车间生产能力为3600台时/d,乙车间生产能
力为2400台时/d,生产一件产品A需甲车间设备工作8个台时, 乙车间设备工作2个台时,产品B,C,D同理类推.
第一节 线性规划问题的数学模型
线性规划属于应用较广泛的应用数学学科，所以利用线 性规划去解决实际问题，首先就要将实际问题进行抽象的概 括，转化为数学形式，即建立数学模型.数学模型就是描述实 际问题共性的抽象的形式.下面通过实例体会如何建立线性规 划问题的数学模型. 一、实例 1.运输问题的数学模型
第十一章 线性规划初步

第一节 线性规划问题的数学模型 第二节 线性规划问题的图解法 第三节 单纯方法初步
*第二十四章 线性规划初步 线性规划是运筹学中研究较早—如于20世纪30年代，发 展较快，应用较广，在理论和方法上比较完善的重要分支.随 着科学技术的发展，计算机的普及，线性规划已广泛应用到 工业、农业、商业、交通运输、军事及经济管理和经济活动 分析等诸多领域.
定变量为购买动物,谷物饲料的数量.
设每周购买动物,谷物饲料的量为x1斤,x2斤,总成本为S , 显然 x1 , x2受一星期所需混合饲料公司供应量以及动物饲料所占比例 的约束.
于是该问题的数学模型为:求一组变量x1 , x2的值, 使其满足
x1 x2 10000 7 x 70000 20% 约束条件 1 x2 60000 x1 0, x2 0
x1 5 x 4 S t 2 5 x1 7 x2 35 x1 0, x2 0
解 以x1为横坐标,以x2为纵坐标建立直角坐标系x1Ox2 , 在该坐标系
中分别作出直线
l1 : x1 5, l2 : x2 4, l3 : 5 x1 7 x2 35
记为
minS c1 x1 c2 x2 cn xn (或 max S )
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 (或 b1 , 或 b1 ) a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (或 b2 , 或 b2 ) S t a x a x a x b (或 b , 或 b ) mn n 1 m m m1 1 m 2 2 x1 0, ( j 1, , n)
(总运费最少).
上述问题的数学模型属供需平衡的数学模型,而在实际问题中存 在大量的供需不平衡问题,若供大于求,则反映在限制条件中是总需 求量小于总供给量;若供不应求,则在限制条件中总需求量大于总供 量.
2.生产组织与计划问题
例2 某工厂生产产品的型号,各车间设备每日的生产能力,各 个产品的收以及生产各种产品所需要的设备台时数见表11-3
并使函数S 24 x1 40 x2 36 x3 80 x4取得最大值.