数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）A ．)3ln(x -B ．x x x +-232C ．)1cos(-xD ．12-x 2．曲线xx y 133+-=在),1(+∞内是（ ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加 C ．具有最大值 D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f x ，则)(0x f '为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．21 4．若1)1(+=x xx f ，则⎰10)(dx x f 为（ ）A ．21B ．2ln 1-C ．1D ．2ln 5．设xuxy u z ∂∂=,等于（ ） A ．z zxy B ．1-z xy C ．1-z y D ．z y二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

6．设2yx e z xy +=，则)2,1(yz ∂∂= ．7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ．8．x x x f -=1)(，则=)1(xf ． 9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰=Ddxdy ． 10．xx x)211(lim -∞→= ．11．函数)(21)(x x e e x f -+=的极小值点为 ．12．若314lim21=+++-→x ax x x ，则=a ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ． 14．函数⎰=2sin x tdt y 在2π=x 处的导数值为 ．15．=+⎰-1122cos 1sin dx xxx ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0 001arctan )(x x xx f 的间断点．17．（本题满分6分）计算121lim 2--++∞→x x x x ．18．（本题满分6分）计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→x x x x 1)1(arcsin ln lim ．19．（本题满分6分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01)1ln(0 )(1x x x xe x f x ，求)(x f '．20．（本题满分6分）求函数)sin(y x y +=的二阶导数．21．（本题满分6分）求曲线342)(x x x f -=的极值点．22．（本题满分6分）计算⎰+dx x x 123．23．（本题满分6分）若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(．24．（本题满分6分）已知⎰∞-=+02211dx x k ，求常数k 的值．25．（本题满分6分）求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值．26．（本题满分10分）求⎰⎰+Ddxdy y x )(2，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域．27．（本题满分10分）设⎰-=adx x f x x f 02)()(，且常数1-≠a ，求证：)1(3)(3+=⎰a a dx x f a．28．（本题满分10分）求函数xxy ln =的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题6．122+e 7．313+e8．11-x 9．π310．21-e11．0=x12．5 13．)1(214-=-x y π14．4sin 2ππ 15．0三、解答题16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．21arctan lim )(lim 00π-==-→-→x x f x x21arctan lim )(lim 00π==+→+→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→≠故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．17．解 原式=222112111lim121lim222==--+=--++∞→+∞→xxx x x x x x ． 18．解 设xx x x f 1)1(arcsin )(++=．由于0=x 是初等函数)(ln x f 的可去间断点，故 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 100)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→→xx x x x 100)1(lim arcsin lim ln1ln )0ln(==+=e e ．19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)11(1)()(12111x e xxeexe x f x xxx+=⋅+='='----当01<<-x 时，[]11)1ln()(+='+='x x x f ．然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即111lim )0(0=+='-→-x f x 0)11(lim )0(10=+='-+→+xe f xx 从而)0()0(+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+='-0 110 )11()(1x x x x e x f x 20．解 )sin(y x y +=)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-=''[]2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-)cos(1)1)(sin(2y x y y x y +-'++-='' ②又由①解得)cos(1)cos(y x y x y +-+='代入②得2)cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=' []3)cos(1)sin(y x y x +-+-= 21．解 先出求)(x f 的一阶导数：)23(464)(223-=-='x x x x x f令0)(='x f 即0)23(42=-x x 解得驻点为23,021==x x ．再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2-=-=''x x x x x f ．当232=x 时，09)23(>=''f ，故1627)23(-=f 是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞内，0)(<'x f ，在)23,0(内0)(<'x f故 01=x 不是极值点．总之 曲线242)(x x x f -=只有极小值点23=x ． 22．解 Θ 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x xx x x x x x x x x x x ∴ ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+dx x xxdx dx x x x dx x x 1)1(12223 ⎰++-=++-=C x x x x d x )1ln(21211)1(21212222 23．解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f 故⎰⎰+=⋅dx x x dx x f x )1(ln )( ⎰⎰+=xdx xdx x ln⎰+=222121ln x dx x[]22221)(ln ln 21x x d x x x +-⋅=⎰22221121ln 21x dx x x x x ⎰+-⋅=222121ln 21x xdx x x ⎰+-=C x x x +-=2241ln 21．24．解 Θ ⎰⎰⎰+⋅=+=+-∞→∞-∞-02020211lim 111a a dx x k dx x k dx x k 2)arctan (lim arctan lim 0π⋅=-⋅=⋅=-∞→-∞→k a k x k a a a又21102=+⎰∞-dx x k 故 212=⋅πk 解得π1=k ．25．解 Θ123,622-=∂∂+-=∂∂y yf x x f 解方程组⎩⎨⎧=-=+-01230622y x 得驻点)2,3(),2,3(00-B A又 Θy f C f B f A yy xy xx 6,0,2=''==''=-=''= 对于驻点126,0,2:230-===-===y x y C B A A ，故0242>=-AC B∴ 驻点0A 不是极值点．对于驻点126,0,2:230-===-=-==y x y C B A B故 0242<-=-AC B ，又02<-=A ．∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3=+++--=-f26．解 由2x y =与2y x =得两曲线的交点为)0,0(O 与)1,1(A )0(2≥=y y x 的反函数为x y =．∴dx y y x dy y x dx dxdy y x x xx xD212222102)21()()(⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+14033)1034172()21()21(105227104425=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰x x x dx x x x x 27．证 Θ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a aadx dx x f x dx x f 0020)()(dx dx x f dx x a aa ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0002)(⎰⎰⋅-=a aa dx dx x f x 0003)(31⎰-=a dx x f a a 03)(3∴3)()(3a dx x f a dx x f aa=+⎰⎰于是)1(3)(3+=⎰a a dx x f a．28．解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：2ln 1xxy -='，令0='y 得驻点e x =． （3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当e x <<0时，0ln 12>-='xxy ，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少．由极值的第一充分条件可知ey e x 1==为极大值．（4）求y ''并确定y ''的符号：33ln 2xx y -=''，令0=''y 得23e x =． 当230e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的；当23e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的．根据拐点的充分条件可知点)23,(2323-e e 为拐点．这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。