第四章-传热学数值计算方法
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《传热学》第4章-导热问题的数值解法
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
《传热学》第四章 导热数值解法基础
——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
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《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
第四章导热问题数值解法基础_传热学
y o
∆x
(i, j) P (i,j-1) S ∆x
(i+1,j) E
x
QV为单位时间控制体内热源 的发热量； 的发热量；ΔΕ为控制体单
位时间内热能的增加量。 位时间内热能的增加量。
由导热傅立叶定律
QW = QE = QS = QN =
N (i,j+1) (i-1,j) W P (i,j-1) S ∆x ∆x (i, j)
∆x
S
建立离散方程的方法一 建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开 方法一： 泰勒级数： 泰勒级数：
ti +1, j ( ∆x ) 2 ( ∆x ) 3 ∂t ∂ 2t ∂ 3t = t i , j + ( ) i , j ∆x + ( 2 ) i , j + ( 3 )i , j + ••• 2! 3! ∂x ∂x ∂x
近代发展（1985年-至今） 近代发展（1985年 至今） Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰文 指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问 题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟 LES)的发展 和大涡模拟（ 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年 PHOENICS对中国的禁运被解除 对中国的禁运被解除， 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除，中国 科技大学火灾实验室首先买进了使用权
走向工业应用阶段（1975-1984年 走向工业应用阶段（1975-1984年） 1979年 国际杂志Numerical 1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 创刊，分为Application 和 Fundamentals 1979年 1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Series)问世 Numerical Integration Code Series)问世 1979年 Lconard创建了优于中心差分格式的 1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式 格式( QUICK格式(精度高和稳定性好 ） 1980年 Patanker教授的名著 教授的名著“ 1980年，Patanker教授的名著“Numerical Flow” Heat Transfer and Fluid Flow”出版 随后，许多商用软件如FLUENT,Star FLUENT,Star随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
∆x
(i, j) P (i,j-1) S ∆x
(i+1,j) E
x
QV为单位时间控制体内热源 的发热量； 的发热量；ΔΕ为控制体单
位时间内热能的增加量。 位时间内热能的增加量。
由导热傅立叶定律
QW = QE = QS = QN =
N (i,j+1) (i-1,j) W P (i,j-1) S ∆x ∆x (i, j)
∆x
S
建立离散方程的方法一 建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开 方法一： 泰勒级数： 泰勒级数：
ti +1, j ( ∆x ) 2 ( ∆x ) 3 ∂t ∂ 2t ∂ 3t = t i , j + ( ) i , j ∆x + ( 2 ) i , j + ( 3 )i , j + ••• 2! 3! ∂x ∂x ∂x
近代发展（1985年-至今） 近代发展（1985年 至今） Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰文 指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问 题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟 LES)的发展 和大涡模拟（ 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年 PHOENICS对中国的禁运被解除 对中国的禁运被解除， 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除，中国 科技大学火灾实验室首先买进了使用权
走向工业应用阶段（1975-1984年 走向工业应用阶段（1975-1984年） 1979年 国际杂志Numerical 1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 创刊，分为Application 和 Fundamentals 1979年 1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Series)问世 Numerical Integration Code Series)问世 1979年 Lconard创建了优于中心差分格式的 1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式 格式( QUICK格式(精度高和稳定性好 ） 1980年 Patanker教授的名著 教授的名著“ 1980年，Patanker教授的名著“Numerical Flow” Heat Transfer and Fluid Flow”出版 随后，许多商用软件如FLUENT,Star FLUENT,Star随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
传热学第4章 导热问题的数值解法
各种飞行器和汽车空气动力学船舶水动力学环境工程中污染物的排放和流出水力和海洋学各种机车中的发动机和燃气轮机涡轮机械泵和风机中旋转通道内部的流动扩散等燃烧空气动力学火灾和爆炸电气和电子工程设备的冷却化学工艺过程中的混合分离和聚合建筑物内部和外部环境海上建筑物的负荷气象学中的天气预报20151011导热问题的数值解法40引言3cfdnht的区别与联系计算传热学或数值传热学numericalheattransfernht与计算流体动力学computationalfluiddynamicscfd的主要研究内容是一致的不少文献把热流问题的数值计算一概称为cfd就它们的发展史来说计算传热的发展史在很大程度上也就是计算流体动力学的发展史
2014-10-1
-9-
第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵
2014-10-1
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第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵
传热学4-导热数值解法基础2013
第四章 导热数值解法基础
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
第四章-传热学数值计算方法资料
Thermal
如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带 来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数 值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。
应用较为广泛的一种处理方法是把源项局部线性化
S SC SPTP
SC常数， SP 是S 随T 而变化的曲线在P点的斜率。 表示在TP的附近以直线代替曲线。
①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
2020-11-2
太原理工大学
16 /72
§4.2-4 非 线 性
Thermal
若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已
知数，联立求解代数方程组可得到温度场。
但实际问题中，Kp 、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度 T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的 函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。
21 /72
源项线性化方法举例：
Thermal
eg1. 已知：S=5-4T, 可能的线性化形式有：
(1) SC 5, SP 4
(2) SC 5 4TP, SP 0 相当于设S 为常数，当S 的表达式很复杂时，
这样做或许是唯一的一种选择。
(3) SC 5 7TP, SP 11
这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代
S
2020-11-2
1
已知曲线
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
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xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
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②.调和平均法
Thermal
利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
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③.两种方法的比较
Thermal
算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
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④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 一维稳态热传导
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§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
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分布假设： dT 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
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k 值不均匀性产生的原因
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由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确 定ke 的关系式为：
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
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§4.2-3 界面导热系数
1. 问题的提出
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通用离散方程式 aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小
反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交
界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW，
无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。
qe
TE
xe
Te kE
Te TP
xe kP
xe
TE TP
kP xe
kE
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE
xe
TP ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xe xe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
ke
kP
kE
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dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
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§4.2-2 网格间距
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1. 采用不均匀的网格间距
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
③ 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对 于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、 源项的线性化及代数方程组的求解方法等。
法计算, ke kP xe xe , 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
x x
ke
kP
e
xe
kE
e
xe
e
P (x)e- (x)e+ E x
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xe xw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
div ur div(grad) S
t
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二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
e x
P (x)e- (x)e+ E
ke kE kP kE
xe xe
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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ke kE kP kE
xe xe
Thermal
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
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§4.1 本章的对象
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一、本章研究对象