第四章-传热学数值计算方法

本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
div ur div(grad) S
t
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二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
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§4.1 本章的对象
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一、本章研究对象
e x
P (x)e- (x)e+ E
ke kE kP kE
xe xe
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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ke kE kP kE
xe xe
Thermal
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 一维稳态热传导
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§4.2-1 基本方程
①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
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③.两种方法的比较
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算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
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§4.2-3 界面导热系数
1. 问题的提出
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通用离散方程式 aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小
反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交
界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW，
无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。
ke
kP
xe xe
kE
xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
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②.调和平均法
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利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
③ 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对 于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、 源项的线性化及代数方程组的求解方法等。
xe xw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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qe
TE
xe
Te kE
Te TP
xe kP
xe
TE TP
kP xe
kE
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE
xe
TP ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xe xe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
ke
kP
kE
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一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
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分布假设： dT 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
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k 值不均匀性产生的原因
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由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确 定ke 的关系式为：
法计算, ke kP xe xe , 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
x x
ke
kP
e
xe
kE
e
xe
e
P (x)e- (x)e+ E x
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dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
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§4.2-2 网格间距
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1. 采用不均匀的网格间距