数值计算方法第四章第四节 三次样条
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数值计算方法 三次样条插值1 - 三次样条插值1
问题：当n较大时，计算工作量很大，不便于实际应用。
13
1. 确定插值函数 S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2. 确定插值函数 S( x) 在节点处的二阶导数，记为 S( x j ) M j , j 0,1,, n,
由Lagrange插 值 公 式 得 ：
其 中 ：hj
Sj''(x) M j1 x j1 x j
x xj hj
Mj
x x j1 hj
x [x j , x j1]
15
对
Sj''(x)
M j1
x xj hj
Mj
x x j1 hj
积分得：
Sj'( x)
M j1 2hj
(x
x j )2
Mj 2hj
6
“样条”的来源:
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的 细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连 接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。 样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
特殊性:
除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界 点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。
则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数
观察与思考 ?
3次样条插值函数s(x) 是否存在?
是否唯一?如何计算?误差估计?
9
S(x)除了满足基本插值条件
S0 x,
SxS1源自x,x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;
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1. 确定插值函数 S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2. 确定插值函数 S( x) 在节点处的二阶导数，记为 S( x j ) M j , j 0,1,, n,
由Lagrange插 值 公 式 得 ：
其 中 ：hj
Sj''(x) M j1 x j1 x j
x xj hj
Mj
x x j1 hj
x [x j , x j1]
15
对
Sj''(x)
M j1
x xj hj
Mj
x x j1 hj
积分得：
Sj'( x)
M j1 2hj
(x
x j )2
Mj 2hj
6
“样条”的来源:
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的 细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连 接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。 样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
特殊性:
除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界 点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。
则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数
观察与思考 ?
3次样条插值函数s(x) 是否存在?
是否唯一?如何计算?误差估计?
9
S(x)除了满足基本插值条件
S0 x,
SxS1源自x,x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;
数值计算方法( 三次样条插值)
u xj hj
分段三次Hermite插值算法
则 v A1 y j 1 A2 y j B1 f j1 B2 f j
算法： 1.输入x j , f j , f j （j 0,1,...,n）； 2.计算插值 (1)输入插值点u; (2)对于j 1,2,...,n做 如果u x j 则计算A1 , A2 , B1 , B2 ; v A1 f j 1 A2 f j B1 f j1 B2 f j; 3.输出u , v。
三次样条插值
于是由Taylor展示有 s( x) s( xi ) s( xi )(x xi ) s( xi ) s( xi ) 2 ( x xi ) ( x xi )3 2! 3! M M Mi yi s( xi )(x x j ) i ( x xi ) 2 i 1 ( x xi )3 2! 3!( xi 1 xi )
2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ]
三次样条插值
同理(2)式中令i n得 M n 1 2M n 6 f [ xn 1 , xn , xn ] 即有 2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ] ） i M i 1 2M i i M i 1 6 f [ xi 1 , xi , xi 1 ] （i 1,2,...,n 1 M 2M 6 f [ x , x , x ] n n 1 n n n 1
三次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为 n 2个，还缺两个，因此须 4 给出两个 条件称为边界条件，有 以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) m0 s( xn ) f ( xn ) mn
数学数值分析三次样条插值PPT课件
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2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
计算方法第4章三次样条插值081208
h(k ) (x j ) = 0,
k = 0, 1, 2, L, m − 1
( ) ( ) 从而必有 h(x) = C j x − x j m ，即 q(x) = p ( x) + Cj x − xj m 。
例1 验证分片多项式
⎧
S(x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
是三次样条函数。 ⎪⎩
1− 2x 28 + 25x + 9x2 + x3
+
(x
−
xk )(x − hk2
xk +1)2
mk
+
(x
−
xk +1 )( x hk2
−
xk
)2
mk +1
。
(4-35)
因此，求s(x)的关键在于确定n+1个常数m0, m1, …, mn。
可微函数的集合）类的分段m次多项式。
(
x
−
a)
m +
m次截断多项式
a
可以证明
定理4.4 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
∑ s(x) = pm (x) + c j (x − x j )+m , − ∞ < x < +∞ (4-31) j =1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
第4章 插值与逼近
4.3 三次样条插值
4．3 三次样条插值
4.3.1 样条函数 样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义4.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
Δ : −∞ < x1 < x2 < L < xn < +∞,
数值分析三次样条插值
若取等距节点 hi = h, i = 1,…, n –1
i
h h
h
1 2
i
1 i
1 2
di
6 2h
yi 1
2 yi h
yi 1
3 h3
( yi1
2 yi
yi1 )
i 1, 2,, n
例1. 对于给定的节点及函数值
k 0123 xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2 求满足自然边界条件S(x0 ) S(xn ) 0的三次样条 插值函数S(x),并求f (3)的近似值
Mi1
( x xi )2 2hi 1
yi1 hi 1
yi
hi 1 6
( M i 1
Mi )
于是
Si( xi )
hi 3
Mi
yi
yi1 hi
hi 6
M i 1
Si1( xi )
hi 1 3
Mi
yi1 hi 1
yi
hi 1 6
M i 1
解： 由M关系式
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
1 k
1
2 3
1
1 3
2
1 3
2
2 3
di
6
yi1 hi1
yi
yi
yi hi
1
hi hi1 6 f [ xi1, xi , xi1]
三次样条插值算法详解
如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数,则其必满足
插值条件： 连续性条件：
一阶导数连续条件：
二阶导数连续条件：
S(x j ) y j , j 0,1,, n
lim
xx j
S(x)
S(xj )
yj,
j
1,, n
1
lim
xx j
S ( x)
S(x j
)
mj
,
j
1,, n
1
lim
xx j
S
(
x)
S(
S(x)
(3x
3
16 x 2
27 x
14)
15
(x3 8x2 21x 18) 15
0 x 1 1 x 2
2 x3
10
三次样条插值函数的求法
通常有三转角法、三弯矩法、B样条基函数法。
这三种方法的基本思想是类似的，都是通过待定 某些参数来确定插值函数，但肯定不是待定4n个参
数。而是利用已知条件将待定参数减小到最少。
第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即
s3 (x0 ) m0 f (x0 ), s3 (xn ) mn f (xn ),
6
第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即
s3(x0 ) M 0 f (x0 ),
s3(
xn
)
Mn
f (xn ),
特殊情况为自然边界条件：
由区间端点处的二阶导数恒为0给出即
化为矩阵形式
17
2 1
2
2
2
m1 g1 1m0
m2
g2
3 2 3 4 2
m3
g3
n2 2 n2 mn2
三次样条插值算法详解
局限性
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
数值分析三次样条插值函数
数值分析三次样条插值函数【问题】对函数f x =ex, x∈[0,1]构造等距节点的三次样条插值函数，对以下两种类型的样条函数1. 三次自然样条2. 满足S′ 0 =1,S′ 1 =e的样条并计算如下误差：max{ f x1 −S x1 ,i=1,…,N} i−i−i这里xi−1为每个小区间的中点。
对N=10,20,40比较以上两组节点的结果。
讨论你的结果。
【三次样条插值】在每一个区间[t1,t2],…,[tn−1,tn]上，S都是不同的三次多项式，我们把在[ti−1,ti]上表示S的多项式记为Si，从而，S0 x x∈[t0,t1]∈[t1,t2] S x = S1 x x…Sn−1 x x∈[tn−1,tn]通过在节点处函数值、一阶导数和二阶导数的连续性可以得到：Si−1 ti = yi= Si ti 1≤i≤ n−1Si−1′ ti = Si′ tix→ti+limS′′ x =zi=limS′′(x) x→ti−再给定z0和zn 的值就构成了4n个条件，而三次样条插值函数共4n个系数，故可以通过这4n个条件求解三次样条函数的系数，从而求得该三次样条插值函数。
特别的，当z0=zn=0 时称为自然三次样条。
文本预览：一、自然三次样条插值【自然三次样条插值算法】1.由上面的分析可知，求解三次样条函数实际上就是求解一个矩阵：u 1h 1h1u2h2h2u3…v1 z1 v2 z2 z3=v3 … z…hn−2 n−2 vn−2 z vn−1 un−1 n−1ih3…hn−3un−2hn−26…其中hi=ti+1−ti，ui=2(hi+hi−1)，ui=h(yi+1−yi)，vi=bi−bi−1 所以自然三层次样条插值的算法就是在得到端点的函数值，一次导数值和二次导数值，然后根据上述求解矩阵得到v，代入自然三次样条的表达式即可。
2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。
【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：N=101. 计算得到zi的值为：由此可以得到各个区间的自然三次样条插值函数。
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yi f (xi )(i 0,1,...,n) 以及边界点上的一阶导数值f '(x0 ), f '(xn). 求一个三次样条函数S( x)使之满足
S(xi ) yi
(i 1,2,...,n 1)
S(xj ) yj , S'(xj ) f '(xj ) ( j 0, n) 8－
三弯矩插值法的基本思想 （ 1）yi'' f''(xi )未知，但可设S''(xi)Mi,
上的一个分划 ,:ax0x1 xn1xnb 给定节点上函数值f(xi)，i0,1,2, ,n。 若函数S(x)满足 (1)S(xi ) yi i 0，1， n； (2)S(x)Ck1[a,b]，即在整体上是k-1阶连续的； (3)S(x)在每一个小区间[xi, xi1]是k次多项式
（i 0，1， n1） 则称S(x)为k次样条函数。x1,..., xn1称为内节点, x0, xn称为外节点.
2－
样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机 械器件,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条. 或接近图 表上确定的描绘点.“样条函数”这个术语意在 点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很 象.
3－
一.k次样条函数的定义
定义 若函数yf(x)在 [a,b]上连续，对于区间[a,b]
（ 4 ） 再 由 三 弯 矩 方 程 边 界 条 件 （ 补 充 两 个 方 程 ） 封 闭 的 方 程 组 ， 可 求 出 M i,(i 0 ,1 ,2 ,...,n )9－
1、建立三弯矩方程 在[xi，xi1]上，三次样条函数可表示为 Si(x)ai(xxi )3 bi(xxi )2 ci(xxi )di (i 0， 1，，n1)
4－
二.三次样条插值函数的提法
1.定 义 若 函 数 yf(x)在 [a,b]上 连 续 ， 对 于 区 间 [a,b]
上 的 一 个 分 划:ax0x1 xn1xnb 给 定 节 点 上 函 数 值f(xi)， i0,1,2, ,n。 若 函 数 S(x)满 足
(1)S(xi ) yi i 0， 1， n； (2)S(x)C2[a,b]，即在整体上是二阶连续的；
以下面问题为例介绍三转角插值法.
兰洲交通大学数理学院 1－
4.4 三次样条插值
4.4.1 三次样条插值函数的概念
分段三次Hermite插值函数只有当被插函数在所有插 值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，并且该 插值函数在内节点处的二阶导数一般不连续，因而插值 曲线不是很光滑。在一些实际问题中，我们不可能也没 有必要已知被插值函数在内节点处的导数值。本节将讨 论在科学和工作计算中起到重要作用的一种分段三次插 值，它只在插值区间的端点比Lagrange插值多两个边界 条件，但却在内节点处的二阶导数连续。
Si1(xi)Si (xi), Si'1(xi)Si'(xi), Si''1(xi)Si''(xi), i1,2,...,n1
共 有 (n1)3(n1)4n2个 条 件 ,
3(n1)个条件
缺 两 个 条 件 ， 由 边 界 条 件 给 出 。
6－
3.边界条件 常见的边界条件有以下三种：
（1）给定端点一阶导数值
其中ai,bi,ci,di是四个待定系数。（共有4n个待求系数）
设 S" (xi)M i， (i0 ， 1 ， ， n )， M iyi" ，
（1）建 共 立 有 an i ,b1 i个 ,ciM ,di待 i和 求 M 。 i之间的关系 在Si(x)中代入两个端点xi和xi1,并记hi xi1xi,
Sn1(x)
x[x0,x1]; x[x1,x2];
x[xn1,xn];
故 构 造 S (x )需 要 4 n 个 条 件
由 （ 1 ） 已 知 节 点 上 函 数 值 y i , i 0 , 1 , 2 , . . . , n 。 这 是 n + 1 个 条 件
由 （ 2） S(x)C2[a,b],隐 含 着 在 内 节 点 上 应 有
得到
yi Si(xi)ai(xi xi)3bi(xi xi)2ci(xi xi)di di yi1 Si(xi1)aihi3bihi2cihi di
10－
对Si (x)求导 S'i(x)3ai(xxi )2 2bi(xxi )ci S"i(x)6ai(xxi )2bi
于是 Mi S"i(xi )6ai(xi xi )2bi 2bi Mi1 S"i(xi1)6aihi 2bi
(Mi yi'',只是Mi yi'')
（ 2 ） 如 能 求 出 M i ， 则 可 由 M i 和 y i 构 造 S ( x ) . (3)如何求Mi? 可 利 用 在 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 条 件 由Si'1(xi)Si'(xi), i1,2,...,n1 导 出 三 弯 矩 方 程 （ n1个 方 程 要 解 n1个 未 知 数 ）
S'(x0) f '(x0), S'(xn) f '(xn) 称为固支边界条件。 （2）给定端点二阶导数值
S"(x0) f "(x0)，S"(xn) f "(xn) 特别，当S"(x0) 0和S"(xn) 0
称为自然边界条件。
（3）周期边界条件
S( x0 0) S( xn 0)，
S '( x0 0) S '( xn 0)
(3)S(x)在每一个小区间[xi, xi1（ ] i 0， 1， n1） 是三次多项式;
则称S(x)为三次样条函数。x1,..., xn1称为内节点,
x0, xn称为外节点.
5－
2、 插 值 条 件 分 析
由（3）S(x)在每个[xi,xi1]上表达式不同，故应分段构造：
S0(x) S(x) S1(x)
S "( x0 0) S "( xn 0)
7－
4 . 构 造 三 次 样 条 插 值 函 数 S ( x ) 的 基 本 方 法
(1)三 弯 矩 插 值 法 (2)三 转 角 插 值 法
三．三弯矩插值法 以 下 面 问 题 为 例 介 绍 三 弯 矩 插 值 法 .
问题 对于分划,已给相应的函数值