数值分析第四章林成森
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析第四章
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析答案第四章
令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
《数值分析B》教学大纲
《数值分析B》课程简介课程编号：08014020课程名称：数值分析B（Numerical Analysis）学分:2学时：32 （课内实验(践)：上机：课外实践：）适用专业：机械设计制造及其自动化建议修读学期：4开课单位：数理科学与工程学院先修课程：高等数学、线性代数、数学软件与数学实验或C++等考核方式与成绩评定标准：卷面考试；平时成绩30%，考试成绩70%教材与主要参考书目：教材：数值分析（第五版），李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社，2008年参考书目：1．Numerical Analysis (Seventh Edition)，Richard L. Burden, J. Douglas Faires，Thomson Lerning, Inc.，20012、数值分析及实验（第二版），杜廷松等，科学出版社，2012年内容概述：《数值分析B》是一门应用性很强的基础课，它以数学问题为对象，研究适用于科学与工程计算的数值计算方法及相关理论，是用计算机解决数学问题的重要方法。
数值分析既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。
现在数值分析几乎成为所有理工科学生的必修课程。
数值分析的研究对象是科学和工程中常见的数学问题，包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程求根以及常微分方程数值解等问题。
对机械设计制造及其自动化专业的学生，教学内容侧重方法的实用性，适当讲授方法原理；本课程的宗旨既不以严谨理论为主导，也不是以全篇数据为数值计算，而是两者兼顾，兼授方法的基本理论和实用性。
通过本门课的学习使学生正确理解相关基本概念，掌握常用的基本数值方法，培养和提高应用计算机进行科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好的数学基础。
Numerical Analysis B is an important elementary course with extensive applicability. Its object is mathematical problem. It researches numerical computation methods and correlation theories, which are the main ways to solve mathematical problems with computer. Numerical Analysis B not only has the abstract and strictness of the theory, but also has the technical feature of practicability and experiment. It almost is thecompulsory course of all science and engineering students.The course includes: numerical approximation, numerical integration, numerical solution of the linear system, solution of Non-linear Equation and numerical solution of ordinary differential equation etc.The course teaching focuses on the applicability for the students of machine design manufacture and automation specialty. Calculation and theory are all paid attention to.Students can understand conception correctly, master the base methods by learning the course, and enhance the ability of computing the science and engineer problem. Good mathematical foundation is obtained by Numerical Analysis B for the later study and application.《数值分析B》教学大纲课程编号：08014020课程名称：数值计算（Numerical Analysis）学分:2学时：32 （实验：上机：课外实践：）适用专业：机械设计与制造专业建议修读学期：4开课单位：数理科学与工程学院/信息与计算科学系先修课程：高等数学、线性代数一、课程性质、目的与任务数值分析B是理工类本科公共基础课，是一门数学与计算机技术紧密结合的学科，主要任务是研究利用计算机技术解决科学与工程中常见数学问题的数值算法。
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
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Newton 差值多项式为： = −5 + 2 − 4( − 1) = −4 + 6 − 5; f(1.5) = −5 24、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=3,f(1)=3,f(2)=5/2,求 Newton 差值多项式，再条件 f(3/2)=13/4，Newton 差值多项 式 (1)计算差商如下表： I 0 1 2 0 1 2 ( ) 3 3 5/2 一阶差商 0 -0.5 二阶差商
×1 ×1
0.25(0.25 − 1) 0.25(0.25 − 1)(0.25 − 2) 155 ×1+ ×1= 2! 3! 128 0.3(0.3 + 1) 0.3(0.3 + 1)(0.3 + 2) 91 ×2+ ×1 = 2! 3! 16
f(x) = f(2.2 + 0.3) = 8 + 0.3 × 4 +
-0.25
Newton 差值多项式为： = 3 − 0.25( − 1) = −0.25 + 0.25 + 3; (2) 计算差商如下表： I ( ) 一阶差商 二阶差商 0 0 3 1 1 3 0 2 2 5/2 -1/2 -1/4 3 3/2 13/4 -3/2 -2 Newton 差值多项式为： = 3 − ( − 0)( − 1) − (x − 2)(x − 1)x = −
1 = 1.5 2 23、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15.f(2)=-9,求 Newton 差值多项式及 f(1.5)的值。 计算差商如下表： I 0 1 2 3 0 1 -1 2 ( ) -5 -3 -15 -9 一阶差商 2 6 2 二阶差商 三阶差商
√115 = 4.14012 29、已知函数 f(x)的函数值，f(0)=1,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8, 求 Newton 前插和后插差值多项式。计算 f(0.25)、f(2.5)。 解：前插和后插表： I 0 1 2 3 I 0 1 2 3 ( ) 1 1 2 2 4 4 8 ( ) 一阶后差 二阶后差
1 f(1.5) = (8 − 3 + )\ = 1.5 = 0.95833 6 2、 已知函数 y=f(x)的观测值为 f(-1)=3,f(0)=1,f(1)=3,,f(2)=9.试求以-1,0,1,2 为基点的 Lagrange 差值多项式， 并求 f(1/2) 的值。 ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ) ( − 1)( − 2) ( + 1)( − 1)( − 2) ( + 1) ( − 2) =3× +1× +3× +9 −1(−1 − 1)(−1 − 2) 1(−1)(−2) ( + 1)( − 2) × f ( + 1)( − 0)( − 1) = 1+2 (2 + 1)(2 − 0)(2 − 1)
第四章
1、已知函数 y=f(x)的观测值为 f(1)=1,f(4)=2,f(2)=1.试求以 1,4,2 为基点的 Lagrange 差值多项式，并求 f(1.5)的值。 ( − 4)( − 2) ( − 1)( − 2) ( − 1)( − 4) ( )= ( )+ ( )+ ( )=1× +2× +1× (4 − 1)(4 − 2) (1 − 4)(1 − 2) (2 − 1)(2 − 4) 1 = (8 − 3 + 6 )
三阶差商
-7/6 + − +3
25、利用 100,121,144 的平方根求√115。 计算差商如下表：
I 0 1 2 Newton 差值多项式为： = 10 + 100 121 144
( ) 1Leabharlann 11 12一阶差商 1/21 1/23
二阶差商
-1/10626 + + ;
( − 100) −
( − 100)( − 144) = −
( ! ( ! ) )
一阶前差
二阶前差
三阶前差
1 1 2
三阶后差 ×1+ ×2+
( )( ! ( )( ! ) )
Newton 前插差值多项式：f(x) = f( Newton 前插差值多项式：f(x) = f( f(0.25) = f(0 + 0.25) = 1 + 0.25 × 1 +
+ s) = 1 + s × 1 + + t) = 8 + t × 4 +