数值分析答案第四章
数值方法课后习题答案第4章
解线性方程组迭代法
第四章 解线性方程组迭代法
习题4-1
第四章
解线性方程组迭代法
Байду номын сангаас
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
解线性方程组迭代法
第四章
习题4
习题4
习题4
习题4
8.
设A为严格对角优势阵，证明：
习题4
9. A是n阶非奇异阵，B是n阶奇异阵，试求证：
习题4
习题4
P91
P91.
x0
p0 r0
Ap0
x1
r1
p1
Ap1
x2
r2
0
3
7
30/29=
17/29=
1360/841=
1530/841=
14/9=
0.3
P91
1.034482758 0 1 8 10/29= 0.344827586
0.570796875 0.493315839 0.500166165 0.499999398 1.001438281 0.998173633 1.000074653 1.000013383 -0.49943416 -
0.500558834 0.499923587 0.500003961
w=1.03
10 29 a0 =10/29=0.344827586
2890/841=3.436385254 260100/24389=10.66464388 a1 =8381/26010=0.322222222 -289/29= -9.965517218 b0 =289/841=0.343638524
《数值分析》第四章答案
习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。
再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。
解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析第4章答案
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];hhhh hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+ 从而解得011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3hhhhf x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
《数值分析》杨大地 答案(第四章)
⑴ 2 3 1 ，求按模最大特征值和对应的特征向量，精确到小数三位。
解：由幂法公式有:
1i n
//P67 页
(1) | a r | max | a i | ,其中 ai 是uk −1 = (a1 , a2 , . . . , an )T 的各分量； (2) y k 1
∴ i t 为������ − ������������ 的特征值。 令 为 A 的特征向量，则有： A i 又∵ A tI A tI i t i t ∴ 也为������ − ������������ 的特征向量； ∴ i t 是 A tI 的特征值，且 A 和������ − ������������特征向量相同。
T
1
当计算到第 9 次时，λ 1 的小数点前三位精度开始稳定，满足题目要求，所以此时 A 矩阵的按模最大特 征值 1 =7.288，对应的特征向量为（1.000,0.523,0.242）T 5．若 A 的特征值为 1, 2 ,, n , t 是一实数，证明： i t 是 A tI 的特征值，且特征向量不变． 证明： ∵ A 的特征值为 ∴｜ i I A ｜=0 假设������是 A tI 的特征值，则有：
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ukT 1.000,1.000,1.000 9.000,6.000,3.000 7.6667,4.3333,2.000 7.3913,3.9565,1.8261 7.3177,3.8530,1.7824 7.2966,3.8231,1.7701 7.2906,3.8146,1.7666 7.2887,3.8119,1.7655 7.2882,3.9112,1.7652 7.2880,3.8109,1.7651 ykT 1.000,1.000,1.000 1.000,0.6667,0.3333 1.000,0.5653,0.2609 1.000,0.5353,0.2471 1.000,0.5265,0.2436 1.000,0.5240,0.2426 1.000,0.5232,0.2423 1.000,0.5230,0.2422 1.000,0.5229,0.2422 9.0000 7.6667 7.5913 7.3177 7.2966 7.2916 7.2887 7.2882 7.2880
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
应用数值分析【研究生课程】课后习题答案04章
应用数值分析【研究生课程】课后习题答案04章第四章习题解答1、 求下列矩阵的满秩分解。
121002123011,04111002514211A A ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦解：因为1A 的秩为2，可求出满秩分解为11110011001001121A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦又因为2A 的秩为2，可求出满秩分解为22210212301041111A B C ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2、 根据定义求下列矩阵的广义逆A +。
1210012011,24100211A A ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦解：（1）先求出1A 的一个满秩分解。
因为1A 的秩为1，可求出满秩分解为[]1111122A B C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦于是有[]11111111111()12511()52T T T T B B B B C C C C +-+-==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦最后得1111212524A C B +++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（2）先求出2A 的一个满秩分解。
因为2A 的秩为2，可求出满秩分解为22210011001001121A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦于是有1222212222111114444()5131144441011()052102T TT T B B B B C C C C +-+-⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦最后得222111144441311888813118888A C B +++⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦3、 证明下述广义逆矩阵的性质，设,m nn m A R A R ⨯+⨯∈∈。
（1）()AA ++=；（2）2()AA AA ++=；（3）2()AA A A ++=。
证明：（1）因为由定义可得,,(),()T T A AA A AA A A A A A A AA AA ++++++++====故由广义逆的定义可知()A A ++=。
2020年智慧树知道网课《数值分析》课后章节测试满分答案
第一章测试1【单选题】(20分)在数值计算中因四舍五入产生的误差称为（）A.方法误差B.舍入误差C.模型误差D.观测误差2【多选题】(20分)当今科学活动的三大方法为（）。
A.理论B.科学计算C.实验D.数学建模3【判断题】(20分)计算过程中如果不注意误差分析，可能引起计算严重失真。
A.对B.错4【判断题】(20分)算法设计时应注意算法的稳定性分析。
A.错B.对5【判断题】(20分)在进行数值计算时，每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。
A.对B.错第二章测试•第1部分•总题数:71【单选题】(14分)A.B.C.D.2【单选题】(14分)某函数过(0,1)，(1,2)两点，则其关于这两点的一阶差商为A.B.2C.3D.13【单选题】(14分)A.B.C.D.4【单选题】(14分)下列说法不正确的是A.分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来B.分段线性插值的导数一般不连续C.高次多项式插值不具有病态性质D.分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度5【多选题】(20分)下列关于分段线性插值函数的说法，正确的是A.对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值B.一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身C.二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身D.对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值6【多选题】(20分)A.B.C.D.7【判断题】(14分)同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。
A.对B.错第三章测试1【单选题】(15分)A.B.C.D.2【单选题】(15分)以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A.B.C.D.3【单选题】(15分)当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权()正交。
A.B.C.D.4【单选题】(15分)n次Chebyshev多项式在(-1,1)内互异实根的个数为A.n+1B.nC.n+2D.n-15【多选题】(10分)用正交函数族做最小二乘法有什么优点A.得到的法方程非病态B.不用解线性方程组，系数可简单算出C.每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算D.每当逼近次数增加1时，系数需要重新计算6【判断题】(10分)用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵高度病态，舍入误差很大。
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令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b
(3) n = 4, a = 1, b = 9, h = 2, f ( x ) =
复化梯形公式为
x,
3 h T4 = [ f (a ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] = 17.22774 2 k =1
复化辛普森公式为
3 3 h S4 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 17.32222 k+ 6 k =0 k =1 2
∫
h
−h
f ( x)dx ≈ A−1 f (− h) + A0 f (0) + A 1 f ( h)
令 f ( x ) = 1 ，则
2 h = A−1 + A0 + A 1
令 f ( x ) = x ，则
0 = − A− 1h + A1h
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 3 h = h 2 A−1 + h 2 A1 3
∫
b
令 f ( x ) = x 5 ，则
b 1 f ( x )dx = ∫ x 5 dx = (b6 − a6 ) a a 6 b −a 1 6 6 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )]= (b − a ) 90 6 b
f ( x)dx = ∫ xdx =
0
∫
h
0
1 2 h 2 1 2 h 2
h[ f (0) + f (h )] / 2 + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)] =
令 f ( x ) = x 2 ，则
h h 1 f ( x)dx = ∫ x2 dx = h3 0 3
∫
0
h[ f (0) + f (h )] / 2 + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)] =
∫
a
b −a [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )]= b− a 90
令 f ( x ) = x ，则
b 1 2 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a xdx = 2 (b − a ) b −a 1 2 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a2 ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 2 b
∫
令 f ( x ) = x 4 ，则
h 1 5 4 f ( x ) dx = x dx = h ∫ 0 0 5 1 1 1 1 h[ f (0) + f (h )] / 2 + h 2 [ f ′ (0) − f ′ (h )] = h5 − h5 = h5 12 2 3 6 h
∫
故此时，
h
∫
0
f ( x)dx ≠ h[ f (0) + f ( h)] / 2 +
2h
−2 h
f ( x)dx = ∫
2h
−2 h
x4 dx =
64 5 h 5 16 5 h 3
A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A1 f ( h) =
故此时，
2h
∫ ∫
−2 h
f ( x)dx ≠ A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A 1 f ( h)
因此，
2h −2 h
令
f (x) = x ，则
0 = − A− 1h + A1h
令 f ( x ) = x 2 ，则
16 3 h = h 2 A−1 + h 2 A1 3
从而解得
4 ⎧ ⎪ A0 = − 3 h ⎪ 8 ⎪ ⎨ A1 = h 3 ⎪ ⎪ 8 ⎪ A−1 = 3 h ⎩
令 f ( x ) = x 3 ，则
(3) ∫−1 f ( x)dx ≈ [ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3; (4) ∫ f ( x)dx ≈ h[ f (0) + f ( h)] / 2 + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)];
0
h
解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多 项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若 (1)
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度：
(1) ∫ f ( x)dx ≈ A−1 f (− h) + A0 f (0) + A 1 f ( h);
−h
h
(2) ∫
2h
−2 h 1
f ( x)dx ≈ A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A 1 f ( h);
∫
0
f ( x)dx ≈ h[ f (0) + f ( h)] / 2 + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)]
令 f ( x ) = 1 ，则
∫
h
0
f ( x)dx = h,
h[ f (0) + f (h )] / 2 + ah2 [ f ′(0) − f ′( h)] = h
令
h
f (x) = x ，则
∫
2h
−2 h
f ( x)dx = ∫
2h
−2 h
x3 dx = 0
A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A1 f ( h) = 0
故
∫
2h
−2 h
成立。 f ( x)dx = A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A 1 f ( h)
令 f ( x ) = x 4 ，则
∫
1 1 1
(1 − e− x ) 2 (2) ∫ dx, n = 10; 0 x (3) ∫
9 1
xdx, n = 4;
π
(4) ∫ 6 4 − sin 2 ϕ dϕ , n = 6;
0
解：
(1) n = 8, a = 0, = 8 4 + x2
令 f ( x ) = x 3 ，则
b 1 4 3 4 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 4 (b − a ) b −a 1 4 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a4 ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 4 b
从而解得
4 ⎧ ⎪ A0 = 3 h ⎪ 1 ⎪ ⎨ A1 = h 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪ A−1 = 3 h ⎩
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
h
−h
f ( x )dx = ∫ x 3dx = 0
−h
h
A−1 f ( −h) + A0 f (0) + A1 f ( h) = 0
故
∫
h
−h
f ( x )dx = A− 1 f (−h ) + A0 f (0) + A1 f (h ) 成立。
∫
令 f ( x ) = x 6 ，则
∫
h
0
f ( x)dx ≠
b −a [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x 3 )+ 7 f (x 4 )] 90