高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.3.2 双曲线及其标准方程(2) Word版含解析
高中数学选修2-1课时作业19：2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫62，0C.⎝⎛⎭⎫52，0D ．(3，0) 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] B[解析] 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] C[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4， 则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( ) A.32B ．5C ．7D.12考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] D[解析] 根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12. 4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3. 5．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 已知曲线方程判断曲线的形状[答案] C[解析] 因为mn <0，所以m ，n 均不为0且异号，方程mx 2＋ny 2＝1，可化为x 21m ＋y 21n＝1，因为1m 与1n 异号，所以方程x 21m ＋y 21n＝1表示双曲线，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则其方程可化为x 21m ＋y 21n＝1，可知1m 与1n异号，则必有mn <0，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的必要条件．综上可得，“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支[答案] D[解析] 由|MA |－|MB |＝6，且6<|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16.故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．8．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B.12C ．2D ．4 考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] A[解析] 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |PF 1|·|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，∴12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1.二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] y 2－x 23＝1 [解析] 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] (2，＋∞)[解析] 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] x 216－y 29＝1 [解析] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得1QF k ·2QF k ＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解 已知双曲线x 216－y 29＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0， 不合题意，舍去，∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] D[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点．(1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为⎩⎨⎧ 12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF→|·|FQ →|cos θ＝m ， 所以tan θ＝46m. 又6<m <46，所以1<tan θ<4，即tan θ的取值范围为(1,4)． (2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c. 又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2， 解得x 1＝64c ， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12， 于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程 知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
课堂设计高中数学3.3.1双曲线及其标准方程课后作业北师大版选修21
3.1 双曲线及其标准方程1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的左支C.一条射线D.双曲线的右支解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果.由于|PM|-|PN|=4恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线.答案:C2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是( )A.-x2=1B.-y2=1C.x2-=1D.y2-=1解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.答案:B3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )A.2B.4C.6D.8解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.答案:B4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,由得x2-6x+8=0.∴x=2或x=4,即c=4,a=2.∴双曲线方程为=1.答案:A5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:∵k AB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1.答案:B6.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.解析:如图所示,由c=2得a2+1=4,∴a2=3,∴双曲线方程为-y2=1.设P点坐标为(x,y)(x≥),则·=(x,y)·(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).令g(x)=x2+2x-1(x≥),则g(x)在[,+∞)上是增加的,g(x)min=g()=3+2,∴·的取值范围为[3+2,+∞).答案:B7.给出问题:F1,F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上.解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a,即|PF1|-|PF2|=±2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上.因右顶点到左焦点的距离为10>9,所以点P只能在双曲线的左支上.答案:|PF2|=178.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.答案:99.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.①当m>n时,由=1,知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义,知m-n=2a=6.∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.设点P到x轴的距离为d,则d|F1F2|=|PF1||PF2|,即d·2c=mn.∴d=,即点P到x轴的距离为.②当m<n时,同理可得点P到x轴的距离为.答案:10.求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.解:由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为=1.由于点(3,2)在所求的双曲线上,从而有=1.整理,得k2+10k-56=0,∴k=4或k=-14.又16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16.从而得k=4.故所求双曲线的方程为=1.11.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.从而a=25,c2==4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为=1(x≥25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.12.设有双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论. 解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,∵r1r2sin θ,∴只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,由双曲线定义,有r1-r2=2a=4,两边平方得-2r1r2=16,即|F1F2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,∴r1r2=12,求得r1r2sin 120°=3.同理可求得若∠F1MF2=60°,=9.(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.证明如下:r1·r2sin θ.由双曲线定义及余弦定理,有②-①得r1·r2=,∴=b2cot .∵0<θ<π,0<,在内,cot 是减函数.因此当θ增大时,=b2cot 减小.备选习题1.k>9是方程=1表示双曲线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:=1表示双曲线的充要条件是(9-k)·(k-4)<0,即k>9或k<4.因为k>9是k>9或k<4的充分不必要条件.所以k>9是方程=1表示双曲线的充分不必要条件.答案:A2.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.解析:设P在双曲线上,|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线定义知|m-n|=2,∴m2-2mn+n2=4.①由双曲线方程得|F1F2|=2,又∠F2PF1=60°,由余弦定理,得(2)2=m2+n2-2mn cos 60°,∴8=m2-mn+n2.②由①②得mn=4,∴mn sin 60°=|F1F2||y P|,∴|y P|=.答案:B3.在双曲线=1上任取一点P,与双曲线两焦点F1,F2构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解:当点P在双曲线的左支上时,如图所示,△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2切于点Q,M,N.由已知,得a=4,b=3,则c=5.根据圆的切线长定理及双曲线的定义,可得|NF2|=|MF2|,|PM|=|PQ|,|QF1|=|F1N|,∴|NF2|+|MF2|=|PF2|+|F1F2|-|PM|-|F1N|,即2|NF2|=|PF2|-|PF1|+|F1F2|.∴|NF2|=×(8+10)=9,∴|ON|=|NF2|-|OF2|=4.∴切点N的坐标为(-4,0).根据对称性,当点P在双曲线的右支上时,切点N的坐标为(4,0).4.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.解:如图,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sin A=,sin B=,sin C=.∵2sin A+sin C=2sin B,∴2|CB|+|AB|=2|CA|.从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支,且不在x轴上. ∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.∴顶点C的轨迹方程为=1(x>).。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.1 双曲线及其标准方程[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56. 答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25①. 又∵P (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b2＝1.（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上， 知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1， 所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0， 解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
新北师大选修2-1高中数学 双曲线及其标准方程
§3双_曲_线3．1双曲线及其标准方程[对应学生用书P55]双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020. 双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点F1，F2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言P＝{M||||MF1|－|MF2|＝2a,0＜2a＜|F1F2|}双曲线的标准方程上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M 的轨迹方程是什么？提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c,0)；F2(c,0)F1(0，－c)；F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线定义中|||PF1|－|PF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝|F1F2|时，表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．c 2＝a 2＋b 2与椭圆中的a 2＝b 2＋c 2不同．[对应学生用书P55]双曲线的标准方程[例1] (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[精解详析] (1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：1．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：A2．已知双曲线经过点P (3,27)和点Q (－62，7)，求该双曲线的标准方程． 解：设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，又双曲线过P ，Q 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.3．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)， 设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.曲线类型的判定[例2] 已知曲线C ：x t 2＋y t 2－1＝1(t ≠0，t ＝±1)．(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．[思路点拨] 方程Ax 2＋By 2＝1表示的轨迹是由参数A ，B 的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A ，B 进行讨论．[精解详析] (1)当|t |>1时，t 2>0，t 2－1>0，且t 2≠t 2－1，曲线C 为椭圆； 当|t |<1时，t 2>0，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)证明：当|t |>1时，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因此c 2＝a 2－b 2＝t 2－(t 2－1)＝1， ∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．当|t |<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1，∵c 2＝a 2＋b 2＝t 2＋1－t 2＝1， ∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点． [一点通]方程Ax 2＋By 2＝1(A ，B ≠0)表示椭圆的充要条件为A >0，B >0，且A ≠B ；表示双曲线的充要条件为AB <0，若A <0，B >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线；若B <0，A >0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．即双曲线的焦点位置是由x 2，y 2的系数的正负决定的．4．已知两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线解析：由题意，|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6＜10，此式中没有加绝对值，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2|，点P 的轨迹为以F 2为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C5．若方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，则实数m 满足( )A ．m ≠1且m ≠－3B ．m ＞1C ．m ＜－3或m ＞ 3D ．－3＜m ＜1解析：因为方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，而m 2＋1＞0恒成立，所以m 2－3＞0，解得m ＜－3或m ＞3，故选C.答案：C双曲线的定义及应用[例3] 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．[精解详析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6， 将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[一点通]双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用．6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝2c ＝22，又因为∠F 1PF 2＝60°，所以在△F 1PF 2中利用余弦定理可知： |F 1F 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.答案：B7．在△ABC 中，|BC |＝2且sin C －sin B ＝12sin A ，求点A 的轨迹方程．解：以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )，由sin C －sin B ＝12sin A 及正弦定理可得|AB |－|AC |＝12|BC |＝1<2＝|BC |，∴点A 在以B ，C 为焦点的双曲线的右支上． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵2a ＝1,2c ＝2，∴a ＝12，c ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝34，∴双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. ∵|AB |－|AC |＝1>0，∴x >12，∴点A 的轨迹方程是4x 2－4y 23＝1⎝⎛⎭⎫x >12.1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支． 2．用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置．[对应课时跟踪训练(十八)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.答案：D2．已知双曲线过点P 1⎝⎛⎭⎫－2，352和P 2⎝⎛⎭⎫473，4，则双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.y 216－x 29＝1解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为P 1⎝⎛⎭⎫－2，352，P 2⎝⎛⎭⎫473，4两点在双曲线上，所以⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1，1129m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19，于是所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.答案：B3．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2.答案：A4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1―→·PF 2―→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.答案：B5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝ba x 上，则C 的方程为________．解析：点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，则1＝2ba，a ＝2b ①.双曲线的焦距为10，则有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：x 220－y 25＝17．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|⊥|PF 2|，求此双曲线的方程．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5. 则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。
高中数学选修2-1北师大版 双曲线及其标准方程 学案2(含答案)
3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线的定义我们把平面内到两定点F 1，F 2的________的________等于__________________________的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的______．预习交流1(1)议一议：定义中为何规定到定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数，且该常数的值大于零且小于|F 1F 2|?(2)想一想：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，若没有“绝对值”，则动点的轨迹是什么？2．双曲线的标准方程(1)如果焦点F 1，F 2在x 轴上，双曲线的标准方程为____________________________，其焦点坐标为__________________，其中c 2＝____________.(2)如果焦点F 1，F 2在y 轴上，双曲线的标准方程为______________________________，其焦点坐标为________________，其中c 2＝______________.预习交流2若方程x 2m －y 2n＝1为双曲线的方程，则m ，n 满足什么条件？能否断定此时焦点在x 轴上？为什么？答案：1．距离之差 绝对值 常数(大于零且小于|F 1F 2|) 焦点 焦距预习交流1：(1)提示：设该距离之差的绝对值为2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．故只有当到定点F 1，F 2的距离之差的绝对值大于零且小于|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线．(2)提示：若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支．若设动点为点M ，则当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支． 2．(1)x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) a 2＋b 2(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＋b 2预习交流2：提示：若方程x 2m －y 2n＝1为双曲线的方程，则应满足m ·n ＞0.不能，当m ＞0，n ＞0时，焦点在x 轴上，当m ＜0，n ＜0时，焦点在y 轴上．1．双曲线的定义 设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝9，求|PF 2|的值．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )． A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5)双曲线用集合语言叙述为：平面内点集P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，a ＞0,2a ＜|F 1F 2|}，其中两定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．正确理解双曲线的定义要抓住两点：(1)平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；(2)常数大于零且小于|F 1F 2|.2．双曲线的标准方程已知双曲线焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，-)和9,54⎛⎫⎪⎝⎭，求双曲线的方程．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜1 B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1如不能确定焦点的位置时，应分两种情况进行讨论，对称轴的位置要看系数的正负，不看大小，不要与椭圆相混淆．3．双曲线的实际应用“神舟六号”飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时让航天员安全撤离，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排三个救援中心(记为A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A 处发现P 的方位角．思路分析：符合双曲线的定义，可建立有关的双曲线模型求解．如图所示，某村在P 处有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到一块矩形田地ABCD 中去，已知P A ＝100 m ，PB ＝150 m ，BC ＝60 m ，∠APB ＝60°，能否在田地中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送肥料较近，而另一侧的点沿PB 送肥料较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．答案：活动与探究1：解：在双曲线x 216－y 220＝1中，a ＝4，b ＝25，故c ＝6. 由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，得|PF 2|＝17.迁移与应用1：C 解析：∵a 2＝16，b 2＝9，a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝25.又∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．活动与探究2：解：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 将点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5分别代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9. 故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1. 迁移与应用2：A 解析：若x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )＞0， ∴－1＜k ＜1.活动与探究3：解：∵|PC |＝|PB |，∴P 在线段BC 的垂直平分线上，又∵|PB |－|P A |＝4，∴P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图所示．则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∴双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)， BC 的垂直平分线方程为x －3y ＋7＝0.联立两方程解得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)．k P A ＝tan ∠P Ax ＝3，∴∠P Ax ＝60°，∴P 点在A 点的北偏东30°处．迁移与应用3：解：设M 点是所求界线上任一点，则|P A |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝50(定值)．故所求界线是以A ，B 为焦点的双曲线的一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中a ＝25，在△APB 中，由余弦定理有|AB |2＝|P A |2＋|PB |2－2|P A ||PB |cos ∠APB ，所以|AB |2＝1002＋1502－2×100×150×12，所以|AB |＝507，即2c ＝|AB |＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750.因此，双曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y ≥0)．所以能在田地中确定一条界线，这条界线是双曲线的一支．1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k 的值为( )． A ．1 B ．－1C.653 D ．－6532．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )．A.14B.35C.34D.453．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点是F 1(－5，0)，点P 位于双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线方程为( )． A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 4．若x 22＋λ＋y 21＋λ＝1表示双曲线，则λ的取值范围是______，焦点坐标为______． 5．在双曲线x 216－y 29＝1上任取一点P ，与双曲线两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切点的坐标． 答案：1．B 解析：双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，由题意知c 2＝－8k －1k ＝9，∴k ＝－1.2．C 解析：设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴2m －m ＝2 2.∴m ＝2 2.又2c ＝2a 2＋b 2＝4，∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1||PF 2|＝34.3．B 解析：由PF 1的中点坐标为(0,2)，得P (5，4)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－16b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝1，b 2＝4，故所求双曲线方程为x 2－y 24＝1. 4．－2＜λ＜－1 (－1,0)，(1,0) 解析：由方程x 22＋λ＋y 21＋λ＝1表示双曲线得， (2＋λ)(1＋λ)＜0，∴－2＜λ＜－1.∴2＋λ＞0,1＋λ＜0.∴a 2＝2＋λ，b 2＝－1－λ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2＋λ－1－λ＝1.∴焦点坐标为(－1,0)，(1,0)．5．解：如图所示，M ，N ，Q 是切点，由已知得a ＝4，b ＝3，c ＝5.根据圆的切线长定理及双曲线定义可得|NF 2|＝|MF 2|，|PM |＝|PQ |，|QF 1|＝|F 1N |，∴|NF 2|＋|MF 2|＝|PF 2|＋|F 1F 2|－|PM |－|F 1N |，2|NF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|F 1F 2|.∴|NF 2|＝12(8＋10)＝9，|ON |＝|NF 2|－|OF 2|＝4. ∴切点N 的坐标为(－4,0)，根据对称性，当P 在双曲线右支时，切点N 的坐标为(4,0)．。
高中数学选修2-1北师大版 双曲线及其标准方程 学案1(含答案)
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程自主整理1.我们把平面内到两定点F 1,F 2的距离之_____________等于_____________ (小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线.定点F 1,F 2叫作双曲线的_____________,两个焦点之间的距离叫作双曲线的_____________.2.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是_____________,焦点F 1_____________,F 2_____________,这里有_____________=b 2(b>0).3.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是_____________.焦点F 1_____________,F 2_____________,这里有_____________=b 2(b>0). 高手笔记1.在双曲线定义中“常数要大于0且小于|F 1F 2|”这一限制条件十分重要,不可去掉.2.如果定义中常数改为等于|F 1F 2|,此时动点轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线(包括端点).3.如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线.4.如果定义中常数改为大于|F 1F 2|,此时动点轨迹不存在.5.若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双曲线的一支.6.2222by a x -=1(a>0,b>0)是焦点在x 轴上的双曲线的标准方程,它的焦点坐标是F 1(-c,0),F 2(c,0),有关系式c 2=a 2+b 2.如果双曲线的焦点在y 轴上(如图),焦点是F 1(0,-c),F 2(0,c),只要将标准方程的x,y 互换就可以得到它的方程2222by a x -=1,此方程是焦点在y 轴上的双曲线的标准方程.7.通过比较两种不同类型的双曲线方程2222b y a x -=1和2222by a x -=1(a>0,b>0).可以看出,如果x 2项的系数是正的,那么焦点在x 轴上;如果y 2项的系数是正的,那么焦点在y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上. 8.掌握椭圆,双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系:名师解惑1.双曲线标准方程类型的确定 剖析：如果双曲线的焦点在坐标轴上,并且关于原点对称,那么双曲线的方程是标准的,否则不是标准的.求双曲线的标准方程就是确定a,b,并且判断焦点所在的坐标轴,确定方程类型是2222b y a x -=1,还是2222by a x -=1(a>0,b>0). 2.求双曲线标准方程的常用方法剖析：求双曲线标准方程的常用方法是待定系数法和定义法.若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再确定参数a,b,即先定型,再定量.若两种类型都有可能,则需分类讨论. 讲练互动 【例1】若一个动点P(x,y)到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P 的轨迹方程. 解析：从题设条件看,P 点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,|F 1F 2|>a.而题中|F 1F 2|=2,a 与2的大小关系不确定,所以要确定点P 的轨迹方程,首先要讨论a 与2的大小关系. 答案：因为|F 1F 2|=2,(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);(2)当a=0时,轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线,即y 轴,方程为x=0;(3)当0<a<2时,轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线,c=1,b 2=1-42a ,所以方程为4142222a y a x --=1; (4)当a>2时,轨迹不存在.绿色通道利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件|F 1F 2|>2a,若条件中不能确定|F 1F 2|与2a 的大小,需分类讨论. 变式训练1.已知周长为48的Rt △MPN 中,∠MPN=90°,tan ∠PMN=43,求以M,N 为焦点,且过点P 的双曲线方程.答案:因为△PMN 的周长为48,且tan ∠PMN=43. 所以设|PN|=3k,|PM|=4k(k>0),则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48,得k=4,所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20,以MN 所在直线为x 轴,以MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则2a=|PM|-|PN|=4,所以a=2,而c=10,所以b 2=c 2-a 2=100-4=96.故所求双曲线的方程为434122y x -=1. 【例2】如图,在△ABC 中,已知|AB|=42,且三内角A,B,C 满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.解析：利用正弦定理把2sinA+sinC=2sinB 转化为边的关系,从而构造出符合双曲线定义的动点A,利用待定系数法求方程.解：如图,以AB 边所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A(-22,0),B(22,0).由正弦定理得sinA=R a 2,sinB=R b 2,sinC=Rc 2. 因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=2c .从而有|CA|-|CB|=21|AB|=22<AB.由双曲线的定义知点C 的轨迹为双曲线的右支. 因为a=2,c=22,所以b 2=c 2-a 2=6.所以顶点C 的轨迹方程为6222y x -=1(x>2). 绿色通道条件中给出了角的关系,根据正弦定理,将角的关系转化为边的关系.由于A,B 可视为定点,且|AB|=42,从而可考虑用定义法求轨迹方程.同时要注意:(1)应先建立适当坐标系. (2)注意C 点满足的条件:C 不能与A,B 共线,否则构不成三角形,并且CA>CB,故所求轨迹只是双曲线的右支,在方程中应标出x 的范围. 变式训练2.在△ABC 中,B(-1,0),C(1,0),求满足sinC-sinB=21sinA 时,顶点A 的轨迹方程. 解:设A(x,y),由sinC-sinB=21sinA,得|AB|-|AC|=21|BC|=1<|BC|,故A 点在以B,C 为焦点的双曲线的右支上,而a=21,c=1,所以b 2=c 2-a 2=43,故所求顶点A 的轨迹方程为434122y x -(x>21).【例3】已知定圆F 1:x 2+y 2+10x+24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x+9=0,动圆M 与定圆F 1,F 2都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.解析：根据两圆外切的充要条件转化为用双曲线的定义求解. 解：圆F 1:(x+5)2+y 2=1,圆F 2:(x-5)2+y 2=42, 所以F 1(-5,0),半径r 1=1;F 2(5,0),半径r 2=4.设动圆M 的半径为R,则|MF 1|=R+1,|MF 2|=R+4,所以|MF 2|-|MF 1|=3<|F 1F 2|=10.所以M 点的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线左支且a=23,c=5. 所以b 2=25-49149=. 所以动圆圆心M 的轨迹方程为9149422y x -=1(x≤23-).绿色通道如果遇到动点到两定点的距离之差的问题,应联想能否运用双曲线定义解题. 变式训练3.已知两圆C 1:(x+4)2+y 2=2,C 2:(x-4)2+y 2=2,动圆M 与两圆C 1,C 2都相切,则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A.x=0B.)2(114222≥=-x y x C.114222=-y x D.114222=-y x 或x=0 解析:如图,动圆M 与两圆C 1,C 2都相切,有四种情况:①动圆M 与两圆都相内切;②动圆M 与两圆都相外切;③动圆M 与圆C 1外切与圆C 2内切;④动圆M 与圆C 1内切与圆C 2外切.在①②两种情况下,显然动圆圆心M 的轨迹为x=0.在③的情况下,设动圆M 的半径为r,则 |MC 1|=r+2,|MC 2|=r-2, 所以|MC 1|-|MC 2|=22<8. 在④的情况下,|MC 2|-|MC 1|=22. 由③④得|MC 1|-|MC 2|=±22.由双曲线的定义知,点M 的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点的双曲线,a=2,c=4,b 2=c 2-a 2=14,其方程为14222y x -=1. 综上,动圆圆心的轨迹方程为14222y x -=1或x=0. 答案:D。
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第三章 §3 课时作业29
一、选择题
1．双曲线方程为x 2－2y 2＝2，则它的左焦点坐标为( ) A ．(－2
2，0) B ．(－
5
2
，0) C ．(－
6
2
，0) D ．(－3，0)
解析：双曲线标准方程为x 22－y 2
＝1，
∴c 2＝2＋1＝3.
∴左焦点坐标为(－3，0)． 答案：D
2．[2014·四川宜宾一模]已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是1
2
时，点P 到坐标原点的距离是( )
A ．
62
B ．32
C ． 3
D ．2
解析：由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)． 将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.
∴点P 到原点的距离为 (－
52)2＋(12)2＝6
2
. 答案：A 3．方程
(x －4)2＋y 2－(x ＋4)2＋y 2＝6化简的结果是( )
A ．x 29－y 2
7＝1
B ．x 225－y 2
9＝1
C ．x 29－y 2
7＝1(x ≤－3)
D ．x 29－y 2
7
＝1(x ≥3)
解析：方程的几何意义是动点P (x ，y )到定点(4,0)，(－4,0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为x 29－y 2
7
＝1(x ≤－3)．
答案：C
4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A ．x 22－y 2
3＝1
B ．x 23－y 2
2＝1
C ．x 2
－y 2
4
＝1
D ．x 24
－y 2
＝1
解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在Rt △PF 1F 2中m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2， 由双曲线定义知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16. ∴4a 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2
＝1.
答案：D 二、填空题
5．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为__________． 解析：方程化为标准形式是y 2－8k －x 2
－1k ＝1，
所以－8k －1
k ＝9，即k ＝－1.
答案：－1
6．已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |
的最小值为________．
解析：如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.
当且仅当A ，P ，F ′三点共线时取等号． 答案：9
7．[2014·上海静安二模]已知双曲线x 26－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双
曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为________．
解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝
62，即|MF 1|＝62
.
又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2
＝6
2×66
4
＋36＝65.
答案：65
三、解答题
8．已知点P 为双曲线x 2
－y 2
12
＝1上的点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，且|PF 1|·|PF 2|
＝24，求△PF 1F 2的周长．
解：由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，
又|PF 1|·|PF 2|＝24，所以|PF 1|＋|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋4|PF 1|·|PF 2|＝10. 又因为|F 1F 2|＝2c ＝213，所以△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝10＋213. 9．已知双曲线x 216－y 2
4
＝1的两焦点为F 1、F 2.
(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→
＝0，求M 点到x 轴的距离；
(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解：(1)如右图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，则MF 1⊥MF 2，
设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 由双曲线定义知， m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80， ②
由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝1
2|F 1F 2|h ， ∴h ＝255
.
∴M 点到x 轴的距离为25
5.
(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 2
4＋λ
＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线
C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ
＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为x2
12－y2
8＝1.。