2018高中数学人教a版必修5课件：2.5.2数列求和习题课(42张)

2n－1 321 5． 已知数列{an}的通项公式 an＝ 2n ， 其前 n 项和 Sn＝ 64 ， 则项数 n 等于________．
2n－1 1 解析：an＝ 2n ＝1－2n， 1 1 1－ n 2 2 1 321 1 ∴Sn＝n－ 1 ＝n－1＋2n＝ 64 ＝5＋64， 1－2 ∴n＝6. 答案：6
4．倒序相加求和法 如果在一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一常数， 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相 加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． 5．错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
【课标要求】 1.通过具体实例，理解并掌握数列的分组求和法. 2.通过具体实例，理解并掌握数列的裂项求和法. 3.通过具体实例，理解并掌握数列求和的错位相减法．
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．公式求和法 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利 用等差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值 情况要分 q＝1 和 q≠1. (2)正整数和及正整数平方和公式有： nn＋1 ①1＋2＋„＋n＝ 2 . nn＋12n＋1 2 2 2 ②1 ＋2 ＋„＋n ＝ . 6
|化解疑难| 求数列前 n 项和，一般有下列几种方法 (1)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对 应项相乘构成的数列求和． (2)分组转化法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的 形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． (4)奇偶并项法：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n＋1 时，常 常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论．
4．数列{n· 2n}的前 n 项和等于( A．n· 2n－2n＋2 ＋ ＋ B．n· 2n 1－2n 1＋2 C．n· 2n＋1－2n ＋ ＋ D．n· 2n 1－2n 1
)
解析：设{n· 2n}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋„＋n· 2n，① ＋ 所以 2Sn＝1×22＋2×23＋„＋(n－1)· 2n＋n· 2n 1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋„＋2n－n· 2n＋1 21－2n ＝ －n· 2n＋1， 1－2 所以 Sn＝n· 2n＋1－2n＋1＋2， 故选 B. 答案：B
课堂探究 互动讲练 类型一 分组转化法求和 [例 1] (北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
【思路点拨】 (1)设出公差 d，公比 q，利用等差、等比的 知识求 d，q，即可求 an，及 bn.(2)cn＝an＋bn，{an}是等差数列， {bn}是等比数列，故利用分组求和法求{an}的前 n 项和．
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝Sn－Sn－1.( × ) 1 1 1 1 (2)当 n≥2 时， 2 ＝2n－1－n＋1 .( √ ) n －1
2．已知数列{an}的通项公式为 anห้องสมุดไป่ตู้2n＋1，则{an}的前 n 项 和 Sn 等于( ) A．n2 B．n2＋2n C．2n2＋n D．n＋2
3．裂项相消求和法 把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： 1 1 1 (1) ＝n－ ； nn＋1 n＋1 1 1 1 1 (2) ＝22n－1－2n＋1 ； 2n－12n＋1 1 1 1 1 (3) ＝2nn＋1－n＋1n＋2 ； nn＋1n＋2 1 1 (4) ＝ ( a－ b)． a＋ b a－b
解析：a1＝2×1＋1＝3， na1＋an n3＋2n＋1 2 Sn＝ ＝ ＝n ＋2n. 2 2 故选 B. 答案：B
1 1 1 3．1＋ ＋ ＋„＋ 等于( 1×2 2×3 99×100 99 199 A.100 B.100 98 197 C.99 D. 99
)
1 1 1 解析：因为 ＝n－ ， nn＋1 n＋1 所以所求和＝ 1 1 1 1 1 1＋1－2＋2－3＋„＋99－100 1 199 ＝1＋1－100＝100. 答案：B
2．分组转化求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列．即先分别 求和，然后再合并，形如： (1){an＋bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列； fn，n＝2k－1， (2)an＝ (k∈N*)． gn，n＝2k
(2)由(1)知 an＝2n－1，bn＝3n 1， － 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n 1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋„＋(2n－1)＋1＋3＋„＋3n－1 n n1＋2n－1 1－3n 3 －1 2 ＝ ＋ ＝n ＋ 2 . 2 1－3
－
方法归纳,
分组转化法求和的解题策略 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过 对通项变形， 转化为等差数列或等比数列或可求数列的前 n 项和 的数列求和．
b3 9 【解析】 (1)设等比数列{bn}的公比为 q，则 q＝b ＝3＝3， 2 b2 － 所以 b1＝ q ＝1，b4＝b3q＝27，所以 bn＝3n 1(n＝1,2,3，„)． 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即 d＝2. 所以 an＝2n－1(n＝1,2,3，„)．