2020版高考数学第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件教学案理北师大版

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件．[常用结论]1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆否命题是( )A ．若α≠π3，则sin α≠32B ．若α＝π3，则sin α≠32C ．若sin α≠32，则α≠π3 D ．若sin α≠32，则α＝π3C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则 綈p ”，显然綈q ：sin α≠32，綈p ：α≠π3，所以该命题的逆否命题是“若sin α≠32，则α≠π3”．] 3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．(教材改编)下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2＞0, 则x ＞1”的逆否命题A [令a ＝c ＝0，b ＝d ＝－1，则ac ＜bd ，故B 错误；当a ＝2时，a 是素数但不是奇数，故C 错误；取x ＝－1，则x 2＞0，但x ＜1，故D 错误．]5．已知命题“若x ＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [原命题“若x ＞1，则2x＜3x ”，则它的逆命题：若2x＜3x，则x ＞1，若x ＝1时也满足2x＜3x，所以逆命题是假命题；否命题：若x ≤1，则2x≥3x，由逆命题与否命题真假性相同知，否命题是假命题；逆否命题：若2x ≥3x，则x ≤1，为真命题．故选B.]四种命题的关系及其真假的判断1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福D ．不拥有的人们不幸福D [原命题与其逆否命题等价，故选D.]2．若命题A 的逆命题为B ，命题A 的否命题为C ，则B 是C 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题D ．都不对C [根据题意，设命题A 为“若p ，则q ”，则命题B 为“若q ，则p ”，命题C 为“若綈p ，则綈q ”；显然，B 与C 是互为逆否命题．故选C.] 3．下列命题中的真命题是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x ＝312，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④D ．①④B [①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x ＝312，则x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.] 写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p ，则②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提判断一个命题为真命题，根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假充分条件、必要条件的判定【例1】 (1)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1，则x 3＜1成立；取x ＝－1，则(－1)3＜1，但⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－12＝32＞12.故选A.(2)由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →＜0，即cos B ＜0，所以B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.]分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1(2)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)C (2)A [(1)若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.(2)因为綈p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒綈p ，但綈pD /⇒q ，其等价于p ⇒綈q ，但綈qD /⇒p ，故选A.]充分条件、必要条件的应用【例2】 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________． [0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．组(1)件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3](2)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3](1)B (2)A [(1)由x 2－2ax ＋a 2－1＞0得(x －a ＋1)(x －a －1)＞0，解得x ＞a ＋1或x ＜a －1，故p ：x ＞a ＋1或x ＜a －1.又q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，所以a ＋1≤2，解得a ≤1，故选B.(2)由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.故选A.]1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0D /⇒a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.] 2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 C [当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0. 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．]。