函数的奇偶性 导学案
高中数学必修一-2.2函数的奇偶性 导学案 Word版
函数的奇偶性导学案主讲人：李渊【学习目标】1、知识与技能：了解函数奇偶性的含义；掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2、过程与方法：师生共同探讨、研究，从代数的角度来严格推证并总结规律。
3、情感态度与价值观：在函数奇偶性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
【重点难点】教学重点：函数奇偶性的概念教学难点：函数奇偶性的判断和证明【预习案】画出函数2()f x x =和1()g x x=的图象，观察图象有什么特征并完成表格？ y y思考1：对于上述两个函数，(2)f -与(2)f 、(1)f -与(1)f 、1()2f -与1()2f ，(2)g -与(2)g 、(1)g -与(1)g 、1()2g -与1()2g 的结果有什么关系？ 思考2：()f x 与()f x -，()g x 与()g x -的关系？1．偶函数的定义：设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于任意x A ∈，都有 ，那么称函数()y f x =是偶函数。
2．奇函数的定义：设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于任意x A ∈，都有 ，那么称函数()y f x =是偶函数。
思考3：若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)等于多少？思考4：奇函数或偶函数的定义域有什么要求？思考5：奇函数和偶函数的图象关于什么对称？【探究案】例1：判断下列函数的奇偶性：(1)2()1f x x =- (2)()2f x x = (3)()2f x x = (4)2()(1)f x x =-变式训练：判断函数()f x =归纳总结判断函数奇偶性的步骤：例2：对于定义在R 上的函数()f x ，下列判断是否正确？(1)若()f x 是偶函数，则(2)(2)f f =-(2)若(2)(2)f f =-，则()f x 是偶函数(3) 若(2)(2)f f ≠-，则()f x 不是偶函数(4) 若(2)(2)f f =-，则()f x 不是奇函数例3：已知 ()y f x =是奇函数，()y g x =是偶函数，试将下列图形补充完整【训练案】1.判断下列函数的奇偶性： (1)1()f x x x=+ (2)421()x f x x-= (3)()23f x x =-(4)()f x =2.求证：函数53()f x x x =-在R 上是奇函数3.求证：(1) ()33f x x x =++-是R 上的偶函数 (2) ()33f x x x =+--是R 上的奇函数。
函数的奇偶性和周期性导学案
1、判断下列函数奇偶性:
(1)f(x)＝ (2) f(x)= (3)f(x)＝ ＋
2、如果奇函数 区间[－7，－3]上是（）
A、增函数且最小值为－5 B、增函数且最大值为－5
C、减函数且最小值为－5 D、减函数且最大值为－5
3、奇函数 （）
A、 B、 C、 D、
4、已知
5、设 是奇函数，求 的值。
2、根据定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）求定义域，看定义域是否关于原点对称
（2）验证 或 对定义域中的任意x是否恒成立。
（3）作结论。
3、f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=
4、周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。
二、例题讲解
四、课后作业：
1、对 （）
A、 B、 C、 D、
2、已知定义在R上的奇函数 ，则 的值为（）
A、－1 B、1 C、0 D、2
3设 为（）
A、0.5 B、1.5C、－1.5 D、－0.5
4、已知函数 ， 的值为（）
A、0.5 B、1 C、1.5 D、－1.5
5、已知 ）
A、4 B、6 C、8 D、11
1、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
(5)
2、设奇函数 的定义域为[－4,4],若当 ，则不等式 的解集是_________________________.
3、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 求出函数的解析式并ห้องสมุดไป่ตู้出函数f(x)的图象。
4、已知f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上的单调性，并证明。
高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性 精品导学案
函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性【高考目标定位】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二、热点难点提示1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。
2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
【考纲知识梳理】定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
【热点、难点精析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>判断函数奇偶性的一般步骤（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。
若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性导学案导言：函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常遇到一些特殊的函数，它们具有奇偶性质。
本文将介绍函数的奇偶性概念，以及如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。
一、函数的奇偶性概念在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
它们与自然数的奇偶性概念相对应。
下面分别给出奇函数和偶函数的定义。
1. 奇函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = - f(x)，那么称该函数为奇函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值的相反数也相等。
2. 偶函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = f(x)，那么称该函数为偶函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值保持不变。
二、判断一个函数的奇偶性判断一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过两种方法：图像判断和代数判断。
1. 图像判断：绘制函数的图像是判断函数奇偶性的直观方法。
对于奇函数，若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；对于偶函数，若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数。
2. 代数判断：对于定义在整个实数集上的函数f(x)，可以通过代数方式进行奇偶性判断。
将函数的表达式中的x替换为-x，然后比较原函数和替换后的函数是否相等即可。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，下面分别介绍奇函数和偶函数的性质。
1. 奇函数的性质：a) 奇函数的图像关于原点对称；b) 奇函数在区间[-a, a]上关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；c) 奇函数与奇函数相乘是偶函数；d) 奇函数与偶函数相乘是奇函数。
2. 偶函数的性质：a) 偶函数的图像关于y轴对称；b) 偶函数在区间[-a, a]上关于y轴对称，即f(-x) = f(x)；c) 偶函数与奇函数相乘是奇函数；d) 偶函数与偶函数相乘是偶函数。
四、应用实例奇偶函数在数学和实际应用中具有广泛的应用。
人教课标版(B版)高中数学必修1《函数的奇偶性》导学案
2.1.4 函数的奇偶性一．学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二．学习过程：引例：已知函数()314f x x =，()2g x x =， 则有()f x -= ，()g x -=讨论()f x 与()f x -、()g x 与()g x -的关系。
1. 函数奇偶性的定义：奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数。
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。
奇偶性：如果一个函数()f x 在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数()f x 具有奇偶性。
注意：（1） “对任意x D ，都有x D -∈”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具有奇偶性，还需判断()f x -是否等于()f x ±，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±等等。
（3） 从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2. 函数奇偶性的性质：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。
注意：（1） 若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则()00f =；（2） 既是奇函数又是偶函数的函数图象在x 轴上。
高一数学 第一章第13课时函数的奇偶性导学案
《必修1》第一章《集合与函数》 第13课时 函数的奇偶性高一（ ）班 第 小组 姓名： 评价：1. 理解奇偶函数的概念，掌握判断奇偶性的方法：（1）数形结合，理解奇偶性的定义；（2）理解奇函数、偶函数图像的对称性；（3）掌握判断奇偶函数的两种方法.2、理解奇偶性的简单运用：（1）已知奇偶性将已知函数部分图像补充完整；（2）已知奇偶性确定某个系数的值，特别是奇函数,何时f (0)=0，何时f (0)不存在，为什么？3、领悟奇偶性的本质，明确定义域先行判断的重要性.探究1：在课本P33页“观察”中给出的坐标系内分别作出212y x =和||y x =的图象，然后归纳出这4个图象的共性.偶函数定义：对于函数f(x)的 任意一个x,都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数的性质：偶函数的图象关于 对称.问题1：函数？是不是偶函数，为什么和24232)(112)(x x x g x x f +=+=探究2：完成课本P34页的表格，回答“观察”中的问题. 奇函数定义：对于函数f(x)的 的任意一个x,都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的性质：奇函数的图象关于 对称.问题2：是奇函数吗？为什么？函数x x x f +=3)(问题3：完成课本P35页思考.先自学课本P35页例5，然后证明：（1）||2x y --=是偶函数 （2）{1,01,0()x x x x f x +>-<=是奇函数.思考：（1）么结论？是偶函数，你能发现什如果c bx ax x f ++=2)(（2）为什么？定有结论是奇函数，那么是否一如果函数,0)0()(==f x f y 试举例说明.（3）如果从地面上观察到轰炸机上扔下炮弹的飞行高度h 和飞行时间t 的函数关系是h=1000-10t 2,试问这个函数是偶函数吗？为什么？奇函数的判断是否存在同样的问题？试举例说明.课堂练习：判断下列函数的奇偶性：(1)xx x f 1)(2+= (2)||)(a x x f -=。
高中数学《函数的奇偶性》导学案
1．3.2 奇偶性1．奇偶函数的定义(1)偶函数的定义：□1如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数的定义：□2如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．函数奇偶性的几何特征(1)□3奇函数的图象关于原点对称；(2)□4偶函数的图象关于y 轴对称．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )(2)函数f (x )＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，f (2)＝4，则f (－2)＝________.(2)(教材改编P 36T 1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 4＋2x 2；②f (x )＝x 3＋1x ； ③f (x )＝x 3＋x 2.(3)(教材改编P 36T 2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的递增区间．答案(1)4(2)①是偶函数②是奇函数③是非奇非偶函数(3)完整图如下函数的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)『释疑解难』理解函数奇偶性的注意点(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在[－3,5]上却不具有奇偶性．(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则根据定义可得，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0，即奇函数的图象过原点．(3)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．这样的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空数集．探究1 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ；(3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.解 (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．拓展提升 函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．【跟踪训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x －x 2，x >0；(2)f (x )＝0； (3)f (x )＝2x ＋1；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(3)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．探究2 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)[结论探究]本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．解由例题图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．拓展提升巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．【跟踪训练2】(1)奇函数y＝f(x)的局部图象如图(1)所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________；(2)已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图(2)所示，那么f(x)的值域是________．答案(1)f(2)>f(4)(2)[－3，－2)∪(2,3]解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f (－2)<f (－4)，所以－f (－2)>－f (－4)，即f (2)>f (4)．(2)利用奇函数图象的性质可以得到函数f (x )在[－2,0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．探究3 利用函数奇偶性求解析式例3 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋2)，x >0，0，x ＝0，x (2－x )，x <0.拓展提升求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性解出f (x )．注意：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，则未必有f (0)＝0.【跟踪训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 设x <0，∴－x >0.∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.探究4 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)，因为f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 拓展提升奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．【跟踪训练4】 (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.2.奇偶函数的主要性质(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f (|x |)＝f (x )，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.(3)函数的单调性与奇偶性的关系①若f (x )是奇函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f (x )是偶函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性相反.②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.3.分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8答案 C解析 A ，D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数．2．若函数f (x )满足f (－x )f (x )＝1，则f (x )图象的对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加，解得g (1)＝3.4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)若g (x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．解 (1)g (x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g (－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3，∵g (x )＝g (－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34 D ．1答案 A解析 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2解析因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案C解析解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案D解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析 ∵x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (－x 2)<f (－x 1)．二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.答案 13 解析 由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0，所以a ＋b ＝13.8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；(2)f (x )＝x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <－1，0，|x |≤1，－x ＋2，x >1.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)对于函数f (x )＝x ，其定义域为[0，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )＝x 既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x <－1时，－x >1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x >1时，－x <－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．B 级：能力提升练10．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．解(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1，则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0.又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)<0.所以f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.。
2017人教a版数学必修一1.3.2函数的奇偶性导学案
1．3．2函数的奇偶性一．教学目标1．知识与技术：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．进程与方式：通过函数奇偶性概念的形成进程，培育学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培育学生从特殊到一般的归纳归纳问题的能力．二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方式与格式三．学法学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发觉，猜想与证明的全进程，从而成立奇偶函数的概念．四．学习流程(一) 知识连线：1、函数的奇偶性概念：（试探：奇偶函数的概念域有何特点？）（说明：函数的奇偶性与最值都是在整个概念域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．性是在函数概念域或其子集上的性质，是“局部”性质。
）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（二）知识演练二、函数y=|x|（ ）A 、是奇函数B 、是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数3、设f （x ）是概念在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=32-x ，则f （-2）=_________。
4、判断下列函数的奇偶性⑴3)(x x x f += ⑵x x f 1)(=⑶2)(x x f -=⑷)1,1[,11)(2-∈+=x x x f ⑸1)(3+=x x h五、已知bx ax x f +=2)(是概念在[1-a ，a 2]上的偶函数，那么_____,_____==b a 。
（三）知识提升：六、若f （x ）是奇函数且在x=o 处有概念，则f （0）=_________7、下列命题正确的序号是__________①偶函数的图像必然与y 轴相交 ②奇函数的图像必然通过原点③偶函数的图像关于y 轴对称④即是奇函数又是偶函数的函数必然是f （x ）=0（x ∈R ）八、奇函数y=f （x ）（x ∈R ）的图象必过点（ ）A 、))(,(a f a -B 、))(,(a f a -C 、))(,(a f a --D 、))1(,(af a九、已知f （x ）在R 是奇函数，且知足)()4(x f x f =+，当x ∈（0，2）时，==)7(2)(2f x x f ，则（ ）A 、-2B 、2C 、-98D 、98（四）、归纳总结：1、判断函数的奇偶性的前提条件是什么？2、有多少种判定方式？（五）布置作业讲义第39页习题（A ）组第6题。
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黄岛区职业教育中心高一导学案
课题：《函数的奇偶性》
知识目标：（1）理解函数奇偶性的概念；（2）学会运用图像研究性质；
（3）学会判断函数的奇偶性。
重点：函数的奇偶性及其几何意义
难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
考试说明：理解函数的奇偶性概念，掌握奇函数、偶函数的图像特征.
一、预习案：
1、观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。
（1）
1
()
f x
x
=（2）2
()
g x x
=
讨论归纳：它们的定义域分别是，。
它们的共性是：都是对称图形，（1）图关于对称；（2）图关于对称。
在（1）图中，x与-x所对应的函数值f(x)与f(-x)有什么特征？。
在（2）图中呢？。
2、一般地，对于函数f(x)定义域内的，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)叫
偶函数。
3、一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x值，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)叫
奇函数。
4、函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的。
5、由函数的奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一
个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（既定义域关于）。
6、偶函数的图像关于对称；奇函数的图像关于对称。
二、探究案：
判断下列函数的奇偶性：
（1）53)(x x x x f ++= （2）1)(2+=x x f
（3）1)(+=x x f （4）[]2,1,)(2-∈=x x x f
三、练习案：
1、课本58页1、
2、3题。
2、下列说法错误的是（ ） A f(x)= x+ 1x
是奇函数 B ()2f x x =-是偶函数 C []()0,6,6f x x =∈-既是奇函数又是偶函数 D 32
()1
x x f x x -=-既不是奇函数也不是偶函数 3、已知f(x)是定义域（-∞，+∞）上的奇函数，且f(x)在［0，+∞）上是减函数，下列关系
式中正确的是（ ）
A f(5)>f(-5)
B f(4)>f(3)
C f(-2)>f(2)
D f(-8)=f(8)
4、已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,3]上是 函数，且最 值为 。
四、课堂小结
五、课后作业
1、课本65页第4题
2、练习册。