简单的线性规划第一课时
简单的线性规划(一)
y
1
x+<0 x+y-1=0
x
二元一次不等式表示平面区域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
二元一次不等式表示平面区域
例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
简单的线性规划
中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，
但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也 渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决 实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法.通 过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解 决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应 用数学的意识和解决实际问题的能力。
二元一次不等式表示平面区域
作业：P64 习题 7.4 1
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块儿热毛巾轻柔地为自己擦脸呢，就伸出双手哆哆嗦嗦地抓住男娃儿的手，吃力地说：“小直子，是你吗？你哥和你姐呢？”小沙弥记 着师傅的嘱咐，不敢多说什么，只轻轻地说：“你一定饿坏了吧？我喂你多喝点儿热粥吧。等喝饱了，你就安静地睡觉。放心啊，一切 都好着呢！你先歇息，有什么话，咱们以后再说。”小沙弥说着，扶着耿老爹慢慢坐起来。然后端来一碗热粥，一勺一勺地喂给耿老爹 喝。耿老爹确实饿坏了，一口气喝下去两碗，这才对小沙弥说：“我喝好了。告诉爹，你是怎么逃命的啊？你的头发怎么没了呢？你哥 和你姐呢？”聪明的小沙弥有点儿明白了，这个落难的人，是把自己当成他的儿子了！而且，他们是父子四人一起落难的！震惊的小沙 弥不敢多问，赶快扶耿老爹重新躺下来，并且给他掖一掖被子，亲切地说：“你太累了，需要好好歇息。我先把灯熄了吧。我就睡在你 的旁边，有什么事情你就叫我。我也很累了，咱们睡觉吧！”小沙弥说着，一口吹灭了灯，躺在耿老爹身旁装睡。听耿老爹又念叨了一 句：“唉，怎么没有看见你哥和你姐呢？”一会儿，听到耿老爹呼吸均匀地睡着了，小沙弥轻轻地下炕，直奔师傅屋里去了。老和尚还 没有歇息，正微微眯缝着眼睛在铺上打坐呢。小沙弥进屋来没敢大声说话，只是垂手站在一边。老和尚听见动静微睁双眼，看到是机灵 的小徒弟进来了。他心下明白，小家伙这个时候还来，肯定是有重要事情要和他说，就问：“徒儿，可是落难的施主醒过来了？”小沙 弥说：“师傅，他醒过来了，我已经喂他吃了两碗热粥，此时睡着了。他把我认作自己的儿子了，睡着之前一直喊我小直子，问我是怎 么逃命的，头发怎么没有了；还说怎么没有看见我的哥哥和姐姐。”老和尚双手合十说：“阿弥陀佛！不幸的人啊，看来是父子四人同 时落难的。你回去一定要好生照顾。他刚刚活过来，意识尚未完全清醒呢。如果认你为儿，你不必否认。等他的身体逐渐恢复了，我再 给他慢慢疏导吧。”小沙弥听从师傅嘱咐，马上返回厨房的火炕上陪耿老爹睡觉去了。从此之后，耿老爹就在小寺庙里住了下来。这个 寺庙实在是太小了，除了前院正中供奉有大肚弥勒佛的香火房还算说得过去之外，前、后院加起来也就还有十几间极普通的木制板房了。 而且，这个寺庙里的僧人也就只有前面提到的师徒四人。不过，这个寺庙虽然很小，僧人也只有老少四人，但出家人慈悲为怀的慈善和 仁爱之心却是一点儿也不少的。尽管日日三餐都是粗茶淡饭，但师徒四人亲亲热热和和气气地生活在一起。因此，与其说这是一个寺庙， 倒不如说这里就是一个普普通通的人家。而且，师徒四人都用特别友善的心，非常耐心地对待身体逐渐恢复，但意识一直糊涂不清的耿 老爹。尤其是那个极其机
简单的线性规划第一课时
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。
直线定界，特殊点定域；
若C≠0，则直线定界，原点定域；
2.求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
解：此平面区域在x-y=0的右下方， x-y≥0
y
x+2y-4=0 x-y=0
它又在x+2y-4=0的左下方， x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方， y+2≥0
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
y
C
B
o
x=1
析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,则直线 l：
2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故
x-4y=-3
B
o
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x
二.提出问题 把上面两个问题综合起来:
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5y
25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
x 4 y 3
1.先作出
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
《简单的线性规划》说课稿
《简单的线性规划》说课稿麟游县中学仇银萍一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》北师大版必修5第四章《不等式》中4.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
三、教学目标设计：（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
简单的线性规划第一课时课件
题，并加以解决.（难点）
第4页，共49页。
第5页，共49页。
二元一次不等式（组）表示平面区域的步骤： (1)“直线定界”.作直线Ax+By+C=0； (2)“特殊点定域”.利用特殊点代入,确定不等式表示
的区域是直线的哪一侧；
(3)用阴影表示平面区域.注意判断是否画成实线.
第35页，共49页。
小结：本题是整数线性规划问题，整数线性规划问
题的可行域是由满足不等式组的整点(横、纵坐标 均为整数的点)组成的集合，所求的最优解必 须是整数解.
第36页，共49页。
在可行域内找出最优线性规划整数解问题的一般方法：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下）
3x + 2y ≤1200
xx
+ 2y ≥0
≤
800
②
y ≥ 0
第10页，共49页。
于是问题转化为，在x,y满足条件②的情况下，求式 子30x+40y的最大值. 画出不等式组②表示的平面区域OABC（阴影部分）
l2:x+2y-800=0 l1:3x+2y-1200=0
第11页，共49页。
第18页，共49页。
第19页，共49页。
解：（1）作出可行域（如 图阴影 y
部分）.
4
l :2x 3y 0
A
2
o
y 4 B
D4x 3 y 12
x C
4x 3y 36
令 z 0 ，作直线 l : 2x 3y 0 . x 3
当把直线 l 向下平移时，所对应的 z 2x 3y 的函数值随之减小，所以，
高一数学§3.3.2简单的线性规划(1)
所以 zmax=2× 2-1=3.
（ 2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、 y 满足约束条件
5x 3y 15, y x 1, x 5y 3.
教师课时教案
3
学生活动
学生完成 学生板演
问题与情境及教师活动
解：不等式组所表示的平面区
域如图所示：
从图示可知，直线 3x+5y=t
在经过不等式组所表示的公共区
及
3
因 此，问 题可以转 化为当 直线
方 y
2z x 与不等式组（ 1）确
33
法 定的平面区域有公共点时， 在区域
内找一个点 P，使直线经过点 P 时
截距 z 最大。 3
（ 5）获得结果：
由 上图 可以看 出， 当实 现
2z
y
x
3 3 金国直线 x=4 与直
z
14
线 x+2y-8=0 的交点 M（ 4， 2）时，截距 3 的值最大，最大值为 3 ，这
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
3、 变换条件，加深理解
教 探究：课本第 100 页的探究活动
（ 1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利
3 万元，每生产一件
学
乙产品获利 2 万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？
在换几组数据试试。
过 （ 2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
上.
3
2
x-y=0
1
11
O B(2, 2)
-2 -1
12
x
C(-1,-1) -1 A(2,-1)
x+y-1=0
2x+y=0
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
7.4.1 简单的线性规划
简单的线性规划（1）一．课题：二．教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)，(1,0)或(0,1)检验不等式0Ax By c ++>（0<）表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.三．教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式0Ax By c ++> （0<）表示直线0Ax By c ++=的哪一侧区域.四．教学过程：（一）引入：点集{(,)|10}x y x y +-=是以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的集合，它是一条直线，经过(1,0)和(0,1)，那么点集{(,)|10}x y x y +->在平面直角坐标系中表示什么图形呢？（二）新课讲解：1．尝试、猜想、证明在平面直角坐标系中，所有的点被直线10x y +-=分成三类： 一类是在直线10x y +-=上；二类是在直线10x y +-=的右上方的平面区域内； 三类是在直线10x y +-=的左下方的平面区域内.对于任意一个点(,)x y ，把它的坐标代入1x y +-，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(,)x y 在直线上、在直线右上方、在直线左下方？猜想结论：对直线10x y +-=右上方的点(,)x y ，10x y +->；对直线10x y +-=左下方的点(,)x y ，10x y +-<．证明结论：如图，在直线10x y +-=上任取一点00(,)P x y ， 过P 作平行于x 轴的直线0y y =，在此直线上点P 右侧的任 意一点(,)x y ，都有0x x >，0y y =，所以，00x y x y +>+，00110x y x y +->+-=， 因为点00(,)P x y 为直线10x y +-=上任意一点， 所以，对于直线10x y +-=右上方任意点(,)x y ，都有10x y +->， 同理对于直线10x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有10x y +-<， 所以，结论得证.2．得出结论一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。
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1、画出线性约束条件所表示的可行域 2、利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线； y
故有四个整点可行解.
x +4y=11
0
1
2
3
3x +２y=10
4
5
x
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
练习3：已知1 a b 5, 1 a b 3, 求3a 2b的范围.
当直线3a-2b=0过点A(4,1)时 3a-2b取最大值10 当直线3a-2b=0过点B(0,1)时 3a-2b取最大值-2
b 5 z C (2， 3） 2 A(4， 1） 1 a -1 o 1 3 5 B(2， 1） -3
z 3a 2b
2 3a 2b 10
3a 2b 0
B (1,1)
x1
z A(5, 2) 2
2x y z
Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。 目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。
解:1.根据线性约束条件作出可行域
2.作直线 3x 2 y 0 3.平移直线 l : 3x 2 y z 4.当直线
2x y 8 0
3x 2 y 12 0
4 48 A( , ) 7 7
l
4 48 A ( , ) 过点 7 7
O
9 3 B( , ) 2 4
乙种产品
现有库存
1
10
9
60
1
设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y
4 x y 10 12 x 9 y 60 x 0 y 0
利润P=2x+y何时达到最大？
4 x y 10 由 4 x y 10 12 x 9 y 60 5 P( ,5) 5 4 x 解得 4 x o y 5 2 x y 0 12 x 9 y 60 5 Pmax 2 5 4 P 2x y 15 万元 2
A
B
3x+5y=25
o
x
二.提出问题 把上面两个问题综合起来:
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1
时,求z的最大值和最小值.
x 4 y 3 1.先 作 出 3 x 5 y 25 x 1 所表示的区域 .
第一节 复习回顾
平面区域的表示
回顾1：画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。
y
6
解:
将直线2x+y-6=0画成虚线 将(0,0)代入2x+y-6
o
2x+y-6<0
3
x
得0+0-6=-6<0
原点所在一侧为 2x+y-6<0表示平面区域
2x+y-6=0
平面区域的确定常采 用“直线定界，特殊 点定域”的方法。
线性目 标函数
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1
时, z的最大值和最小值.
线性约 束条件
最 优 解
任何一个满足不 等式组的（x,y）
线性规 划问题
可行域
所有的
可行解
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
y
z
22 C (1, ) 5
2.作直线 l0 : 2 x y 0
x 4 y 3
x 3 x 5 y 25
2x y 0
O
3.作 一 组 与 直 线 l0平 行 的 直 线l : 2 x y t , t R
直线 l 越往右平移,t随之增大. 以经过点A(5,2)的直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1)的直线所对应的 t值最小.
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２x＋３y－６＞０ （2）４x－３y≤１２
y y
2
O
3
x
O
3
-4
x
（1）
（2）
回顾2：画出不等式组
Y
x y 5 0 x y 0 x 3
表示的平面区域
x+y=0
5
-5
x-y+5=0
O
X
解： 0-0+5>0
1+0>0
x=3
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
解：作出可行域如图：
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 平移l0，当l0经过可行域上点A时，
－z 最小，即ｚ最大。
y
3x+5y=25
2x－y＝0
C (1,4.4)
平移l0 ， 当l0经过可行域上点C时，
－ｚ最大，即ｚ最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
C( 22 20 , ) 3 3
时 z max 5.当直线 时z
min
108 7
l
15
9 3 过点 B ( , ) 2 4
x 2y 6 0
3x 2 y 0
解:1.根据线性约束条件作出可行域
2.作直线 2 x y 0 3.平移直线 l : 2 x y z 4.当直线
两直线无交点（平行）
简单的线性规划问题
y
o
x
x -4y≤ - 3 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大(小)值？
y
x=1
C
问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
x-4y=-3
2x y 8 0
3x 2 y 12 0
4 48 A( , ) 7 7
l
22 20 过点 C ( , ) 3 3
时 zmax 5.当直线 时z
min
33 4
l
9 3 过点 B ( , ) 2 4
64 3
9 3 B( , ) 2 4
O
C(
22 20 , ) 3 3
进一步思考t的双重意 义？？
x
o 2x+y=-3 2x+y=7
回顾2、直线的方程
1、直线的倾斜角与斜率
倾斜角，常用 表示 如果直线的倾斜角不等 于 90 度，那么直线的倾斜 角的正切值叫做直线的斜 率，常用 k 表示
y
P2 ( x2 , y2 )
o
x
P 1 ( x1 , y1 )
y2 y1 k tan x2 x1
2.判断下列直线斜率的大小关系:
l2 l1 o l5
y
l4 l3
l6 x
l7
k4 k3 k6 k1 k7 k2
3.求下列直线的交点:
3x 2 y 5 x 2y 1 0 7 x 2 y 6 0 x 5 y 11 0 8 83 B( , ) A(1, 1) 37 37 6x 2 y 5 0 3 有公 共点且纵截距最大或最小的直线；
求 通过解方程组求出最优解； 4、 答 作出答案。
3、
三、课堂练习
3 x 2 y 12 0 x , y 已知 满足 2 x y 8 0 x 2y 6 0
(1).求z 3x 2 y 的最大值和最小值. (2).求 z 2 x y 的最大值和最小值.
C
∵
4.4 2 3 kAC＝ 1 5 5
k l = -a ∴ -a
=
3 5
3 5
Ａ B
∴
a=
o
x
x=1
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5
4 3 2 1
解：由题意得可行域如图:
由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
练习1、65页例1、变式1
例2、66页例2、变式2； 例3、66页例3、变式3；
回顾1.在同一坐标系上作出下列直线:
这些直线有着什么样的特征？？ 2x+y=0; 2x+y=1; 2x+y=-3; 2x+y=4; 2x+y=7 y 2x+y=4 结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 2x+y=1 2x+y=0 的直线 与 2 x y 0平 行.
x
由
x－4y＝－3
(1,4.4) ； (5,2) ； 得A点坐标_____ 由 得C点坐标_______ 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25
zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4