2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第22讲三角恒等变换的方法
三角恒等变换与解题技巧
三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。
在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。
恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。
掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。
一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。
这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。
2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。
该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。
3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。
运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。
在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。
在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。
2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。
在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。
三角恒等变换的常用技巧
三角恒等变换的常用方法肖新勇解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。
三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。
本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一、 角变换角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，4743ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
【分析】考虑到“已知角”是4π+x ，而“未知角”是x 和x 2，注意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ，可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。
【解析】因为ππ4743<<x ，所以πππ24<+<x ， 又因为0534cos >=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，所以πππ2423<+<x ，544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x ， 从而102cos -=x ，7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【点评】（1）若先计算出102cos -=x ，则在计算x sin 时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐，易出现计算错误。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
数学三角恒等变换解题技巧
数学三角恒等变换解题技巧《数学三角恒等变换解题的那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱就来讲讲数学里那个有点让人头疼又有点好玩的三角恒等变换解题技巧。
咱得承认，刚开始接触三角恒等变换的时候，真觉得那一堆公式跟绕口令似的，什么正弦余弦正切，什么和差化积积化和差，脑子都快被绕晕啦！但是呢，就像打怪升级一样，慢慢掌握技巧后就会发现也没那么恐怖啦。
首先呢，一定得把那些公式背得滚瓜烂熟，这可是咱的武器呀！就好比上战场不带枪，那不是等着被虐嘛。
背公式的时候也别死记硬背，可以自己推导推导，这样印象更深。
然后呢，解题的时候眼睛得尖一点，看看题目里给的条件，找一找能和哪些公式挂上钩。
有时候题目就像个迷宫，那些条件就是线索，得把它们串起来才能找到出路。
哎呀妈呀，这感觉就跟侦探破案似的，老刺激了！举个例子哈，有一道题给了你个三角形的两个角的三角函数值，这时候就得想想能不能用两角和或者两角差公式啦。
还有些题呢，会让你化简一个表达式，那咱就得看看能不能把那些乱七八糟的项通过公式变成简单明了的。
记得有一次我做一道题，半天没找到头绪，感觉自己就像个无头苍蝇一样乱撞。
后来冷静下来，仔细分析了一下题目条件，突然就发现了可以用的公式，那瞬间的感觉，就像在黑暗中突然看到了曙光一样，老爽啦！再有就是要多做题，俗话说得好，熟能生巧嘛。
做得多了，那些技巧自然而然就熟练于心了，看到题就能条件反射似的想到方法。
有时候自己会做的题就像自己的宝贝一样，心里那个美呀。
总之呢，三角恒等变换虽然一开始有点难搞，但只要咱不放弃，多背背公式，多找找线索，多练练题，肯定能把它拿下！咱可不能被小小的三角恒等变换给难住了呀。
加油吧，小伙伴们！让我们在数学的海洋里畅游，把那些难题都当成小鱼小虾，一一收服！哇哈哈哈哈！。
高中数学三角恒等式解题技巧
高中数学三角恒等式解题技巧在高中数学中，三角恒等式是一个重要的概念，经常出现在各种数学考试中。
掌握解题技巧对于学生来说是至关重要的。
本文将介绍一些常见的三角恒等式解题技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、基本的三角恒等式首先，我们需要掌握一些基本的三角恒等式。
这些恒等式是通过三角函数的定义和性质推导出来的，是解题的基础。
1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²θ + sin²θ = 1这个恒等式是最基本的三角恒等式，也是其他恒等式的基础。
2. 余弦的倒数等于正弦：cosθ =1/sinθ正弦的倒数等于余弦：sinθ = 1/cosθ这两个恒等式可以互相转化，并在解题过程中起到简化计算的作用。
二、应用题解析下面我们通过具体的题目来说明三角恒等式的解题技巧。
例题1：已知sinθ = 3/5，求cosθ。
解析：根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。
将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25。
因此，cosθ =±√(16/25) = ±4/5。
例题2：已知sinθ = 2/3，求tanθ。
解析：根据tanθ = sinθ/cosθ，我们需要先求出cosθ。
根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。
将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 -(2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9。
因此，cosθ = ±√(5/9) = ±√5/3。
将sinθ和cosθ代入tanθ =sinθ/cosθ，得到tanθ = (2/3) / (√5/3) = 2/√5 = 2√5/5。
三角恒等变换解题步骤
解题步骤如下：
1.确定要证明的恒等式：先明确要证明的三角函数恒等式是什么，例如sin(x) + cos(x) = 1。
2.使用基本三角函数关系和特殊角恒等式：利用基本的三角函数关系（例如正弦、余弦、
正切的定义）和特殊角的恒等式（例如30度、45度、60度角的值），对原始方程进行变换。
3.利用三角函数的性质：使用三角函数的性质（例如奇偶性、周期性、倒数关系等），将
方程中的三角函数进行简化或重写，以便更容易证明等式成立。
4.运用三角恒等式：运用已知的三角恒等式（例如和差公式、倍角公式、半角公式等）对
方程进行变换，并尝试将其转化为更简单的形式。
5.化简和整理方程：利用代数运算规则，将方程进行化简和整理，消除冗余项，并使其更
接近目标恒等式的形式。
6.双边证明：根据所得到的等式，逆向进行推导，将方程两边进行相同的操作，直到推导
回原始的方程，从而证明等式成立。
7.注意等式成立条件：在证明过程中，要注意每个步骤的等式成立条件，确保操作符合数
学规则，避免引入不适当的约束条件。
8.总结和检查：完成证明后，对所有步骤进行总结和检查，确保每一步都是合理的，并且
最终得到的等式是正确的。
这些步骤可以帮助您进行三角函数恒等式的解题过程。
请注意，不同的恒等式可能需要采用不同的方法和技巧来证明，灵活运用相关的数学知识和技能是解题的关键。
三角恒等变换题型归纳
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式❖ 基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．❖ 常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.[答案] (1)－12 (2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． [题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1B.12C.32 D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( )A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.第六节 简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简[典例](1)sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α(2)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．[解] (1)选D 原式＝－sin 2α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝－2sin αcos α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝cos α.(2)原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.[题组训练]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.答案：22cos α2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.解：原式＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.考点二 三角函数式的求值考法(一) 给角求值 [典例]cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°的值是________．[解析] 原式＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin (10°＋30°)cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.[答案] 2[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．考法(二) 给值求值[典例] 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解] (1)由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π② 由①②解得cos α＝－35.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，∴sin α＝45， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 考法(三) 给值求角 [典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. [答案] A[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．[题组训练]1．求值：cos 20°cos 35°1－sin 20°＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C 原式＝cos 20°cos 35°|sin 10°－cos 10°|＝cos 210°－sin 210°cos 35°(cos 10°－sin 10°)＝cos 10°＋sin 10°cos 35°＝2⎝⎛⎭⎫22cos 10°＋22sin 10°cos 35°＝2cos (45°－10°)cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 法一：因为sin α＋cos α＝33，所以(sin α＋cos α)2＝13，即2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， 所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0. 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 法二：由cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0， 因为sin α＋cos α＝33， 所以(sin α＋cos α)2＝13＝1＋2sin αcos α，得2sin αcos α＝－23，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53，则cos α－sin α＝－153，所以cos 2α＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 3．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.考点三 三角恒等变换的综合应用[典例] (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1， 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.[解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [题组训练]1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32 解析：选D 因为f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，所以T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.对于A ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以不正确；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C ，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以不正确；对于D ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故正确．故选D. 2．已知函数f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解：(1)f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)． (2)令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[课时跟踪检测]A 级1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝⎛⎭⎫32－12sin α＝⎝⎛⎭⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1.2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，所以⎩⎨⎧sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010. 4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝( )A.725B.1425C ．－725D ．－1425解析：选C 由题意知tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－17，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－725.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－79， 解得sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝19，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 7．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78. 答案：789．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π310．函数y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期是________． 解析：y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12sin x cos x －32sin 2x ＝14sin 2x －32·1－cos 2x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－34，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π11．化简：(1)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)； (2)cos 2α1tan α2－tan α2.解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24° ＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－4 3. (2)法一：原式＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2 αcos 2 α2－sin 2 α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2 α2－sin 2 α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α. 法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2 α2 ＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α. 12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 级1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝( )A. 3B. 2 C ．－ 2 D ．－ 3解析：选C ∵tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，∴tan α＋1tan α＝k ，tan α·1tan α＝k 2－3.∵3π<α<7π2，∴k >0，∴k ＝2， ∴tan α＝1，∴α＝3π＋π4， 则cos α＝－22，sin α＝－22，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________. 解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13， 即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33. 答案：333．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。
高中数学三角恒等变换的应用举例及解题思路
高中数学三角恒等变换的应用举例及解题思路引言：三角恒等变换是高中数学中的重要内容之一，它在解决各种三角函数相关问题时具有广泛的应用。
本文将通过具体的例题，结合解题思路，向高中学生和他们的父母介绍三角恒等变换的应用，帮助他们更好地理解和掌握这一知识点。
一、简化三角表达式在解决三角函数的化简问题时，三角恒等变换是一种非常有效的方法。
例如，我们考虑以下例题：例题1：化简表达式：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x解题思路：根据三角恒等变换中的“平方和恒等式”，我们知道sin^2x + cos^2x = 1。
将这个恒等式代入原表达式中，得到：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x = 1 - 2sin^2x这样，我们就成功地将原表达式化简为1 - 2sin^2x。
通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们简化复杂的三角表达式，使问题更加清晰明了。
二、证明三角恒等式三角恒等变换还可以用于证明各种三角恒等式，这对于理解三角函数的性质和关系非常有帮助。
下面我们来看一个例题：例题2：证明恒等式：tan^2x + 1 = sec^2x解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“平方和恒等式”和“余切定义恒等式”来证明这个恒等式。
首先，根据平方和恒等式，我们有tan^2x + 1 = sin^2x/cos^2x +cos^2x/cos^2x。
将这个式子进行通分，得到：tan^2x + 1 = (sin^2x + cos^2x)/cos^2x = 1/cos^2x接下来，我们利用余切定义恒等式tanx = sinx/cosx，将1/cos^2x进行变形，得到：1/cos^2x = sec^2x通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们证明各种三角恒等式，深入理解三角函数之间的关系。
三、解决三角方程三角恒等变换在解决三角方程时也有重要的应用。
下面我们来看一个例题：例题3：解方程sin2x = cosx解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“二倍角恒等式”来解决这个方程。
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第22讲 三角恒等变换的方法【知识要点】 一、同角的三大关系：商数关系： sin tan cos ααα= 平方关系： 22sin cos 1αα+= 温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解. （2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 二、诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面 的角是纵轴（即y 轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即x 轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算.三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变用：tanα±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉，这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来.六、注意公式的顺用、逆用、变用.如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、辅助角公式sin cos )a b αααα+=+cos cos cos sin )αααφαφ=+=⋅+⋅)αφ=+（其中cos φφ==）(其中φ和点(,)a b 所在象限相同，且tan baφ=) 八、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差， 或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如()ααββ=+-,2()()ααβαβ=++-,22αβαβ++=,()636πππαα+=+-等.（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦sin tan cos ααα=. （3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合 并等. 【方法讲评】【例1】 已知(,)44α∈，(0,)4β∈,cos()45α-=，sin()413β+=，求sin()αβ+的值．∴356sin()cos(())cos[()()]24465πππαβαβαβ+=-++=--++= 【点评】（1）三角恒等变换首先要注意观察 “角”，因为“角”是三角的主角，注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系，再决定变形的方向.（2）该题中344ππαβ-++ 2παβ=++，所以要先通过诱导公式把sin()αβ+变成3cos()cos[a-()]244ππαβπβ-++=-++（） 这样就和已知联系起来了.当然也可以把3sin()4πβ+利用诱导公式变3sin()sin[()]44ππβπβ+=--sin()4πβ=-再把44ππαβαβ+---变成（）（）也可以.【反馈检测1】设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求 cos()αβ+.【例2】已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.【点评】（1）三角恒等变换中求角，一般转化成求角的某种三角函数，一般是余弦、正弦，有时是正切，要看具体的数学情景.（2）βααβ=-（-）是解题的一个关键点.【反馈检测2】如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角α，β， 它们的终边分别与单位圆相交于A B 、两点，已知A B 、的横坐标分别为102，552.（1）求tan (α+β)的值；（2）求α+2β的值.【例3】若23sin 22sin cos(),451tan x xx xπ++=+求的值。
【点评】此题把tan x 化成sin cos xx是很关键的一个切入点，一般当三角函数的种类比较多，给化简带来了麻烦时，一般是把正切余切化成正弦和余弦，简称“切化弦”.【反馈检测3】求000[2sin50sin10(1)]+· 80sin 22的值.【例4】已知函数2()sincos cos 2.222f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数17()[,]12f x ππ在上的最大值和最小值；（Ⅲ）如果()f x k ≤在17[,]12ππ上恒成立，求k 的取值范围.（Ⅲ）()f x k ≤在17[,]12ππ上恒成立，即max ()2f x k k ≤∴≥- 【点评】（1）由于已知的函数的次数是“2”次，但是目标函数是一次，所以首先必须利用降幂公式降幂.（2）辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ+=+是三角恒等变换经常用到的公式，它可以化二项式为单项式，所以一定要熟练准确地掌握.【反馈检测4】已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．【反馈检测5】已知()3sin ,cos a x x ωω=-，()cos ,cos b x x ωω=()0ω>，令函数()f x a b =，且()f x 的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求()f x 的单调区间．高中数学常见题型解法归纳反馈检测第22讲 ：三角恒等变换的方法参考答案【反馈检测1答案】－729239【反馈检测2答案】（1）3-；（2）α+2β=43π. 【反馈检测2详细解析】由条件得cos α=102,cos β=552.∵α,β为锐角, ∴sin α=α2cos 1-=1027, sin β=β2cos 1-=55. 因此tan α=ααcos sin =7, tan β=ββcos sin =21. (1)tan (α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=2171217⨯-+=-3.(2)∵tan 2β=ββ2tan 1tan 2-=2)21(1212-⨯=34, ∴tan (α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan ∙-+=3471347⨯-+=-1. ∵α,β为锐角,∴0＜α+2β＜23π,∴α+2β=43π. 【反馈检测3【反馈检测3详细解析】原式=000[2sin 50sin10(1)]cos10+⨯+[2sin 50sin10=+⨯0000001cos1022[2sin 502sin10()]cos10+=+⨯0000sin 40[2sin 502sin10()]cos10=+⨯0002sin 60[]60cos10=== 【反馈检测4答案】（1）π；（2）[3];(3)[,]123ππ-.【反馈检测5答案】（1）1w =；（2）()f x 在2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上递增；同理可求递减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 【反馈检测5详细解析】（1）∵()f x a b =，所以()2cos cos f x x x x ωωω=+()11cos 2222x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()5sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12+， ∴2221T ππωωπ==⇒=； （2）令5222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解之()f x 在2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上递增；同理可求递减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈．。