版高中数学课时天天提分练26二倍角的三角函数1北师大版必修24
2017-2018学年高中数学 课时作业24 二倍角的三角函数(一)北师大版必修4
∴sinβ＝ ，
∴tanβ＝ ＝ ，
∴tan2β＝ ＝ ＝ >0，
∵0<2β<π，
∴0<2β< ，
∵tanα＝7，
∴tan(α＋2β)＝
＝ ＝－1，
∵α∈ ，
∴α＋2β∈(0，π)，∴α＋2β＝ π.
课时作业24二倍角的三角函数(一)
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2016·海淀区模拟)已知sin ＝ ，则sin2x的值为()
A. B.
C. D.
解析：由已知得 (cosx－sinx)＝ ，
两边平方得 (1－sin2x)＝ ，
解得sin2x＝ .故选D.
答案：D
2．函数y＝1－2cos2x的最小正周期是()
A. B.
C．π D．2π
解析：y＝1－2cos2x＝－cos2x，其最小正周期是T＝ ＝π.故选C.
答案：C
3．(2016·赣州期中)若α∈ ，且sin2α＋cos2α＝ ，则tanα的值等于()
A. B.
C. D.
解析：由cos2α＝1－2sin2α，得到sin2α＋cos2α＝1－sin2α＝ ，则sin2α＝ ，又α∈ ，所以sinα＝ ，则α＝ ，所以tanα＝tan ＝ .故选D.
解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－ .
答案：－
7．已知sin ＋cos ＝ ，那么sinθ＝________，cos2θ＝________.
解析：∵sin ＋cos ＝ ，
∴ 2＝ ，
即1＋2sin cos ＝ ，∴sinθ＝ ，
(部编版)2020版高中数学课时天天提分练26二倍角的三角函数1北师大版必修24
4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为()
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
答案：C
解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2 2＋ ，
∴sinx＝ 时，f(x)max＝ ，sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
5．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()
∵ <θ≤ 时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－ .
12．若 ＜α＜2π(α∈ )且cosα＝ .求 的值．
解析：∵ ＜α＜2π，∴ ＜ ＜π.
又∵cosα＝ ，∴cos ＝－ ＝－ ，
∴ ＝
＝
＝－cos ＝ .
所以上式＝ ＝cotx＋1＝ ＋1＝ .
11．设T＝ .
(1)已知sin(π－θ)＝ ，θ为钝角，求T的值；
(2)已知cos(π－θ)＝m，且 <θ≤ ，求T的值.
解析：(1)由sin(π－θ)＝ ，得sinθ＝ ，∵θ为钝角，∴cosθ＝－ ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－ ，T＝ ＝ .
(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ为钝角，∴cosθ＝－ ，T＝ ＝|sinθ＋cosθ|，
A．sin2A－cosB＝0
B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0
D．sin2A＋sinB＝0
答案：A
解析：∵△ABC为锐角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴B、D都错．
又A＋B＞ ，A＞ －B，∴cosA＜sinB.
∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴C错，选A.
高中数学 3.3 二倍角的三角函数(一)课时作业 北师大版
§3 二倍角的三角函数(一)课时目标 1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝______________；(3)sin 2α＝__________________，cos 2α＝________________________________________________________________________．一、选择题1．计算1－2sin 222．5°的结果等于( ) A ．12 B ．22 C ．33 D ．322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C ．13D ．794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B ．105 C ．－155 D ．1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos 2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25二、填空题 7．3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______．10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________．三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．§3 二倍角的三角函数(一) 答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计 1．B 2．A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79．]4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12．∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin θ＋cos θ2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3．]5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15．∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0． 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155．]6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145．]7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝23－cos 20°3－cos 20°＝2．8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2． ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2．9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3．10．π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0．∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0．∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4A ＝右边． ∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A ． 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x cos x －sin x cos xcos x ＋sin x＝sin 2x cos x －sin x cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin 2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π．又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34． ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100． 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18． 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20°2cos 10°·sin－10°sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1．＝。
2019-2020年高中数学课时作业24二倍角的三角函数一北师大版必修
4．已知tanθ＝ ，则cos2θ＋ sin2θ的值为()
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos2θ＋ sin2θ＝ ＝ ＝ ＝ .故选B.
答案：B
5．(xx·定西高三月考)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝ ，则cos2α的值为()
A．± B.
C．－ D．－
解析：因为sinα＋cosα＝ ，α∈(0，π)，
2．函数y＝1－2cos2x的最小正周期是()
A. B.
C．π D．2π
解析：y＝1－2cos2x＝－cos2x，其最小正周期是T＝ ＝π.故选C.
答案：C
3．(xx·赣州期中)若α∈ ，且sin2α＋cos2α＝ ，则tanα的值等于()
A. B.
C. D.
解析：由cos2α＝1－2sin2α，得到sin2α＋cos2α＝1－sin2α＝ ，则sin2α＝ ，又α∈ ，所以sinα＝ ，则α＝ ，所以tanα＝tan ＝ .故选D.
答案：A
12．若0<θ< ，则化简 － 的结果是________．
解析：原式＝ －
＝ －
＝ － .
因为θ∈ ，所以 ∈ .
所以cos >sin >0，
所以原式＝sin ＋cos －cos ＋sin ＝2sin .
答案：2sin
13．已知cos ＝ ， ≤α< ，
求cos 的值．
解析：∵ ≤α< ，∴ ≤α＋ < .
解析：∵β为锐角且cosβ＝ ，
∴sinβ＝ ，
∴tanβ＝ ＝ ，
∴tan2β＝ ＝ ＝ >0，
∵0<2β<π，
∴0<2β< ，
2020学年高中数学课时分层作业27二倍角的三角函数(含解析)苏教版必修4(2021-2022学年)
课时分层作业(二十七)二倍角的三角函数（建议用时：６0分钟）[合格基础练]一、选择题1.ｃoｓ275°+cos２1５°+cos75°cos 15°＝( )Ａ.错误! B.1 C.错误!未定义书签。
D。
错误!C［∵7５°+15°=90°，∴cｏs 75°=sｉn 1５°,∴原式=sｉn215°＋cos215°+sin 15°cos 15°=１+12ｓin30°=１＋错误!×错误!未定义书签。
=错误!.]2.若coｓx cｏs y+siｎｘｓiｎy=错误!未定义书签。
，则cos(２x－2y)＝( )A.错误!B．-错误!未定义书签。
Ｃ.错误!D．-错误!未定义书签。
Ｂ[cos x cos y＋ｓｉｎx sin y=cos(x－y)=错误!,∴coｓ(2ｘ-2ｙ)＝2cos2(ｘ-y)-1＝2×＼f(1,9)－1=-错误!未定义书签。
.]3.设ｃｏｓ2θ=错误!,则ｃoｓ4θ+sin４θ＝()Ａ。
错误!未定义书签。
B。
错误!未定义书签。
C.错误! D.错误!未定义书签。
Ｃ [cos4θ+ｓin4θ=(ｃos２θ＋sin2θ)2－2cos2θsin２θ=１－错误!ｓｉn2２θ＝１－错误!(1－cos2２θ)=错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
coｓ22θ=错误!未定义书签。
+＼f（1，2)×错误!未定义书签。
2=错误!未定义书签。
]４．若taｎθ＋错误!未定义书签。
=4，则siｎ 2θ＝( )Ａ。
错误!未定义书签。
B。
错误! C。
错误!D。
错误!未定义书签。
A [由tan θ＋错误!=错误!+错误!＝错误!未定义书签。
＝4，得ｓin θｃos θ＝错误!未定义书签。
,则siｎ 2θ＝２sｉn θcoｓθ=２×错误!未定义书签。
北师大版 高考数学总复习 三角恒等变形-二倍角的三角函数(二) 课时练习26
课时作业(二十六)一、选择题1．设π<θ<32π，cos θ＝a ，则sin θ2等于( ) A. 1＋a 2 B. 1－a 2C. －1＋a 2D. －1－a 2解析：∵π<θ<32π，∴π2<θ2<34π，∴sin θ2>0， ∴sin θ2＝ 1－cos θ2＝ 1－α2.答案：B2．cos 2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.24解析：cos 2π8－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π8－1＝12cos π4＝12×22＝24.答案：D 3.1＋cos 42等于( ) A ．cos(2－π) B ．cos 2 C ．sin(2－π) D ．sin 2解析：1＋cos 42＝ cos 22＝|cos 2|＝cos(π－2) ＝cos(2－π)．4．已知cos θ＝35，则sin 4θ2－cos 4θ2的值为( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45解析：sin 4θ2－cos 4θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2sin 2θ2－cos 2θ2＝sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ＝－35.答案：C5．已知α为锐角，且sin α∶sin α2＝3∶2，则tan α2的值为( ) A.74 B.53 C.73 D.54解析：2sin α2cos α2∶sin α2＝3∶2，得cos α2＝34 ∵α为锐角，∴sin α2＝74，∴tan α2＝sin α2cos α2＝73.答案：C6．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12二、填空题7.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 答案：28.32－3sin 215°＝________.解析：32－3sin 275°＝32－3·1－cos 30°2 ＝32·32＝34. 答案：349．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴T ＝π.答案：π 三、解答题10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.11．已知函数f (x )＝(1－tan x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，求： (1)函数f (x )的定义域和值域． (2)写出函数f (x )的递增区间． 解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x ·1＋2sin 2x cos π4＋2cos 2x sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x ⎝⎛⎭⎫2sin x cos x ＋2cos 2x＝2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x ) ＝2(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x .(1)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠kπ＋π2，k ∈Z .因为2x ≠2kπ＋π，k ∈Z ，所以2cos 2x ≠－2.所以函数的值域为(－2,2]．(2)令2kπ－π<2x ≤2kπ(k ∈Z )，得kπ－π2<x ≤kπ(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤kπ－π2，kπ(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12，(1)写出函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，求函数f (x )的最大值及取得最大值时对应的x的值．解：由已知得f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为π6≤x ≤π2，所以π6≤2x －π6≤5π6. 所以12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.所以f(x)的最大值为1，当且仅当x＝π时取得最大值．3。
高中数学课时天天提分练28二倍角习题课北师大版必修26
＝ 4.
cosα－ sinα 9．已知 α、 β均为锐角，且 tanβ＝ cosα＋ sinα，则 tan(α＋ β)＝ __________.
答案： 1
cosα－ sinα 1－ tanα π 解析： tanβ＝ cosα＋ sinα＝1＋ tanα＝ tan 4－ α，
π
ππ
ππ
∵ 4－ α， β∈ － 2， 2 且 y＝tanx 在 － 2， 2 上是单调增函数，
π
π
π
∴ β＝ － α，∴ α＋ β＝ ，∴ tan(α＋ β)＝ tan ＝ 1.
4
4
4
三、解答题： (共 35 分， 11＋ 12＋ 12)
2π 4π 6π
ππ
10．证明： cos ＋ cos ＋ cos ＝－ 2sin cos .
7
7
7
12 12
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1 方法二：原式＝－ 2(cos2α－ cos2β)
1 ＝－ 2(2cos2α－1－2cos2β＋ 1)
＝ cos2β－ cos2α＝－ a.
A
5．在△ ABC 中，若 sinBsinC＝cos2 2，则△ ABC 是 (
)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形 D ．直角三角形
答案： B
马鸣风萧萧整理
6．在△ ABC 中，若 B＝ 30°，则 cosAsinC 的取值范围是 ( )
11 A．[ － 1,1] B. －2， 2
13
31
C. － ， D. － ，
44
44
答案： C
1
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2020-2021学年北师大版高中数学必修4《二倍角的三角函数》精品课时练习及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四§3 二倍角的三角函数(一)课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sinα2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 2．倍角公式常用变形 (1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝______________； (3)sin 2α＝__________________，cos 2α＝________________________________________________________________________．一、选择题1．计算1－2sin 222．5°的结果等于( )A ．12B ．22C ．33D ．322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C ．13D ．794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105B ．105C ．－155D ．1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25二、填空题7．3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f(x)＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．9．已知tanθ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________．三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A ．12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x<7π4，求sin 2x －2sin 2x1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2．§3 二倍角的三角函数(一) 答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计1．B 2．A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79．]4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12．∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3．] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15．∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0． 由sin2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sinθ2＝－155．] 6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145．]7．2 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2．8．2解析 f(x)＝cos x －(1－cos 2x)－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2．∴当cos x ＝12时，f(x)max ＝2．9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tanθ2＝3． 10．π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0．∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0．∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A)2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ． 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos xcos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin 2xtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，∵5π4<x<7π4， ∴－3π2<π4－x<－π．又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34．∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100．13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18．14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20°＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1．。
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C．60°D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝ ，所以α＝30°.故选D.
6．锐角三角形的内角A、B满足tanA－ ＝tanB，则有()
9. 的值是__________．
答案：
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求 的值．
解析：(1)由sin －2cos ＝0，⇒tan ＝2，
∴tanx＝ ＝ ＝－ .
(2)原式＝ ＝ ，由(1)知cosx－sinx≠0，
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．sin22.5°cos202.5°＝________.
答案：－
解析：sin22.5°cos202.5°＝sin22.5°·(－cos22.5°)＝－ sin45°＝－ .
8．cos cos π的值是__________．
答案：
解析：原式＝ ·2sin cos cos ＝ ·2sin cos π＝ sin π＝ .
＝ ＋ ＝ .
4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为()
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
答案：C
解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2 2＋ ，
∴sinx＝ 时，f(x)max＝ ，sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
5．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：sin ＝ ，∴sinθ＋cosθ＝ ，两边平方得1＋2sinθcosθ＝ ，∴sin2θ＝－ .
3．当cos2α＝ 时，sin4α＋cos4α的值为()
A. B.
C. D．1
答案：B
解析：由cos2α＝ ⇒(cos2α－sin2α)2＝ ⇒sin4α＋cos4α＝ ＋2sin2αcos2α＝ ＋ sin22α
∵ <θ≤ 时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－ .
12．若 ＜α＜2π(α∈ )且cosα＝ .求 的值．
解析：∵ ＜α＜2π，∴ ＜ ＜π.
又∵cosα＝ ，∴cos ＝－ ＝－ ，
∴ ＝
＝
＝－cos ＝ .
敬请批评指正
A．sin2A－cosB＝0
B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0
D．sin2A＋sinB＝0
答案：A
解析：∵△ABC为锐角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴B、D都错．
又A＋B＞ ，A＞ －B，∴cosA＜sinB.
∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴C错，选A.
所以上式＝ ＝cotx＋1＝ ＋1＝ .
11．设T＝ .
(1)已知sin(π－θ)＝ ，θ为钝角，求T的值；
(2)已知cos(π－θ)＝m，且 <θ≤ ，求T的值.
解析：(1)由sin(π－θ)＝ ，得sinθ＝ ，∵θ为钝角，∴cosθ＝－ ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－ ，T＝ ＝ .
(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ为钝角，∴cosθ＝－ ，T＝ ＝|sinθ＋cosθ|，
学习资料汇编
26二倍角的三角函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．计算1－2sin222.5°的结果等于()
A. B.
C. D.答案：B解析 Nhomakorabea1－2sin222.5°＝cos45°＝ .
2．设sin ＝ ，则sin2θ＝()