第14讲一次函数的综合与应用

第三章 函数
数学
最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社 承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜．他根据 种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个 品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜 的产量、销售价格及成本如下：
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品种项目 产量/(斤/每棚) 销售价/(元/每斤) 成本/(元/每棚)
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(3)∵DM∥x 轴，∴DOMA ＝BBMA .①当 BM∶MA＝1∶3 时，DOMA
＝BBMA ＝41，即D4M＝14，DM＝1，则点 M 的横坐标为 1，此时纵
坐标为－x＋4＝－1＋4＝3，M(1，3)；
②当 BM∶MA＝3∶1 时，DOMA ＝BBMA ＝34，即D4M＝34，DM
y
＝
kx
＋
b
，
则
有
b＝400， 100k＋b＝900.
解得
k＝5， b＝400.
∴y＝5x＋400.
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(2)绿化面积是 1 200 m2 时，甲公司的养护费用为 6 400 元， 乙公司的养护费用为 5 500＋4×200＝6 300(元)．
∵6 300＜6 400， ∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
位的速度沿 x 轴向左移动． (1)求 A，B 两点的坐标．
(2)求△COM 的面积 S 与点 M 的移动时
间 t 之间的函数关系式．
(3)当 t 为何值时△COM≌△AOB？并求
此时 M 点的坐标．
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解：(1)对于直线 AB：y＝－12x＋2，当 x＝0 时，y＝2；当 y＝0 时，x＝4.则 A，B 两点的坐标分别为 A(4,0)，B(0,2)．
D．－1≤b≤12
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3．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(0，2)作直线 l：y＝12
x＋b(b 为常数，且 b＜2)的垂线，垂足为点 Q，则 tan∠OPQ＝ 1
___2_____.
第三章 函数
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4．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ kx＋b 的图象经过点 A(－2，6)，且与 x 轴相交于点 B，与正比 例函数 y＝3x 的图象相交于点 C，点 C 的横坐标为 1.
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解：(1)由题意，得 y＝(2 000×12－8 000)x＋(4 500×3－5 000)(8－x)．整理，得 y＝7 500x＋68 000.
(2)由题意，得 7 500x＋68 000≥100 000. ∴x≥4145.∵x 为整数， ∴李师傅种植的 8 个大棚中，香瓜至少种植 5 个大棚．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式．(不要求写出定义域) (2)如果某学校目前的绿化面积是1 200 m2，试通过计算说 明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
分析：(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)绿化面积是1 200 m2时，求出两家的养护费用即可判断．
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解 答 ： 解 ： (1) 设
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分析：(1)由 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得直线 AB 的解析式；(2)可设出 M 点的坐标，从而可表示出 MD，MC 的长， 进而可表示出四边形 OCMD 的周长即可求得答案；(3)由平行线 分线段成比例可得DOMA ＝BBMA ，分 BM∶MA＝1∶3 和 BM∶MA＝ 3∶1 两种情况，可分别求得 DM 的长，即可求得 M 点的横坐标， 再代入直线 AB 的解析式即可求得 M 点的纵坐标．
1．通常一次函数的实际应用有三种类型：最值问题、图象 问题、决策问题．
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考点 二 一次函数的综合
2．在掌握了一次函数的性质和与方程不等式的关系的基础 上即可解决一次函数的综合题目．
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一次函数的应用是初中数学的一个重要组成部分，也是近 几年中考的热点之一，其中行程类问题更是一次函数中的经典 问题，对同学们的识图能力、分析和解决问题的能力要求较 高，也是同学们难懂、易错的题型之一．当然一次函数的综合 问题题型复杂，甚至也有很多时候会和二次函数联系在一起考 查，需要具体问题具体对待．
(2)∵C(0,4)，A(4,0)，∴OC＝OA＝4.当 0≤t≤4 时，OM＝ OA－AM＝4－t，S△OCM＝21×4×(4－t)＝8－2t；当 t＞4 时，OM ＝AM－OA＝t－4，S△OCM＝12×4×(t－4)＝2t－8.
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(3)分为两种情况：①当点 M 在 OA 上时，OB＝OM＝2，△COM ≌△AOB.∴AM＝OA－OM＝4－2＝2.∴动点 M 从 A 点以每秒 1 个 单位的速度沿 x 轴向左移动 2 个单位，所需要的时间是 2 s，M(2,0)．② 当点 M 在 AO 的延长线上时，OM＝OB＝2，则 M(－2,0)，此时所 需要的时间 t＝4－1－2＝6(s)．
香瓜
2 000
12
8 000
甜瓜
4 500
3
5 000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上
半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
(1)求出y与x之间的函数解析式．
(2)求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚，
才能使获得的利润不低于10万元？
k＝－1， b＝4.
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(2)当 y＝0 时，有－x＋4＝0，解得 x＝4，∴点 B 的坐标 为(4,0)．设点 D 的坐标为(0，m)(m＜0)．∵S△COD＝13S△BOC，∴ －12m＝31×21×4×3.解得 m＝－4.∴点 D 的坐标为(0，－4)．
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5 ． (2018· 广 西 ) 某 公 司 在 甲 、 乙 仓 库 共 存 放 某 种 原 料 450 吨 ， 如 果 运 出 甲 仓 库 所 存 原 料 的 60% ， 乙 仓 库 所 存 原 料 的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．
点评：在图象信息识别和方案选择的问题上，正确识图是 解好题目的关键．
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(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，点A的坐 标为(4，0)，点B的坐标为(0，4)，点M是线段AB上任意一点 (A，B两点除外)．
(1)求直线AB的解析式． (2)过点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，当点M 在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并 说明理由． (3)当点M把线段AB分成的两部分的比为1∶3时，请求出点 M的坐标．
＝3，则点 M 的横坐标为 3，此时纵坐标为－x＋4＝－3＋4＝1，
M(3，1)．
综上可知，点 M 的坐标为(1，3)或(3，1)．
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点评：一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性 质、平行线分线段成比例、方程思想及分类讨论思想等知 识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中用M点的坐标表示 出MD和MC的长是解题的关键，在(3)中利用平行线分线段成比 例求得M点的横坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中．
第三章 函数
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典型例题
(2017·上海)甲、乙两家绿化养护 公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方 案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化 面积x(m2)是一次函数关系，如图．
第三章 函数
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乙公司方案：绿化面积不超过1 000 m2时，每月收取费用5 500 元；绿化面积超过1 000 m2时，每月在收取5 500元的基础 上，超过部分每平方米收取4元．
第一部分 教材知识梳理
第三章 函数
第14讲 一次函数的综合与应用
考纲要求 知识梳理 典型例题 考点过关 能力提升
第三章 函数
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考纲要求
1．能运用一次函数与方程不等式的关系解决一次函数的综 合题．
2．能用一次函数解决实际问题，特别是一次函数与不等式 结合的最值问题．
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知识梳理
考点 一 一次函数的应用
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考点2：一次函数的综合
4．(2018·呼和浩特)若以二元一次方程 x＋2y－b＝0 的解为坐
标的点(x，y)都在直线 y＝－12x＋b－1 上，则常数 b 的值为( B )
A．三章 函数
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5．(2018·包头)如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝－
达终点时，甲离终点还有300 m．其中正确的结论有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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2．(2018·重庆)一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小 玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用 品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲， 妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家 里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的 一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离
y(m)与小玲从家出发后步行的时间x(min)之间
的关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈 妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不 计)．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距 离为__2_0_0____m.
第三章 函数
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3．(2017·陕西)在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶 持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然 后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜．今年上半年喜 获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说： “我的日子终于好了．”