数据结构-树
数据结构树知识点总结图
数据结构树知识点总结图一、树的定义树是一种抽象的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合，其中一个节点被指定为根节点，其他节点被划分为m（m≥0）个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。
树的定义可以用递归方式来描述，即树是由一个根节点和若干颗子树组成的。
其中，根节点没有父节点，每个子树的根节点都是父节点的孩子节点。
二、树的特点1. 树是一种层次结构：树中的节点可以分层次地组织，也就是包含父子关系。
根节点是树的第一层，它的子节点是树的第二层，以此类推。
2. 树是一种非线性结构：树中的节点之间的关系是非线性的，每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
3. 树是一种递归结构：树的定义中包含了对子树的定义，因此树是一种递归结构，通过递归的方式可以方便地对树进行操作。
4. 树是一种有序结构：树中的节点之间存在明确定义的顺序关系，因此可以用来表示有序集合。
三、树的基本操作1. 树的创建：创建一棵树需要先创建根节点，然后在根节点上添加子节点，逐层递归地创建子树。
2. 树的遍历：树的遍历是指按照一定顺序访问树中的每个节点，常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。
3. 树的查找：树的查找是指在树中查找指定的节点，包括广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）两种方式。
4. 树的插入：树的插入是指将新节点插入到树中的指定位置，可以在根节点或指定节点的子节点上进行插入操作。
5. 树的删除：树的删除是指将指定节点从树中删除，可以删除叶子节点、中间节点或整棵子树。
6. 树的修改：树的修改是指对树中的节点进行数值或结构的改变，包括修改节点的值、替换子树等操作。
四、常见类型的树1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多含有两个子节点的树，包括普通二叉树、满二叉树和完全二叉树等。
2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。
C++数据结构——树（基础知识篇）
C++数据结构——树（基础知识篇）C++数据结构——树（基础知识篇）⽬录1. 简介树是数据结构中的重点，也是我们学习数据结构这门课程中的难点，接下来我们会先来介绍⼀下树这种数据结构中的⼀些基础知识，为我们后⾯的学习打下基础。
本篇博客不涉及代码实现，只有理论知识，所有的代码实现会另起篇幅。
2. 基本结构⼀棵树是N个节点和N-1条边的集合，其中⼀个节点叫做根节点，每条边都将某个节点连接到它的⽗亲，⽽除去根节点外每个节点都只有⼀个⽗亲，每个⼦节点之间互不相交。
3. 基础知识3.1 术语1.节点的度：节点的⼦节点（⼦树）个数。
例如上图中：节点2的度为3，因为它有456三个⼦节点。
2.树的度：树中节点的最⼤的度。
3.叶⼦节点：度为0的节点。
上图中节点45678都是叶⼦节点4.⽗节点：顾名思义，当前节点的⽗亲，就像⼈际关系⼀样，例如：节点1是节点2和节点3的⽗亲。
⼦节点，祖⽗节点，兄弟节点等等之类的以此类推就⾏了。
5.路径和路径长度：路径是⼀个节点序列，是多个节点的集合，⽽路径的长度为路径所包含的边的个数，例如：从节点1到节点4的路径为1-2-4，路径长度为2。
6.节点的层次：规定根节点在第⼀层，其他的节点层次是其⽗节点的层次+1。
7.树的深度：树中最⼤的层次就是树的深度。
8.树的⾼度：与深度相反，⾼度的第⼀层是深度的最后⼀层，树的⾼度与深度⼀致（深度是从上往下数，⾼度是从下往上数）3.2 树的表⽰⽅式树有基本的三种表⽰⽅式，分别是双亲表⽰法、孩⼦表⽰法、孩⼦兄弟表⽰法。
由于双亲表⽰法和孩⼦表⽰法局限太⼤⽽且不常⽤（有兴趣的读者可以⾃⼰去查阅⼀下其他资料），我们重点介绍⼀下孩⼦兄弟表⽰法。
⼜是这张图，我们已经很清楚图中各个节点之间的关系了，⽽这种树的⼦节点个数并不统⼀，有两个的有三个的，这样我们在创建结构体（类）的时候会⼗分困难，那么有没有⼀种⽅法可以让他们的结构统⼀起来呢，这就是我们的孩⼦兄弟表⽰法的由来。
关于数据结构树的举例
关于数据结构树的举例
树是一种常见的数据结构，它有根节点、子节点和叶节点组成。
树的一个重要特点是它可以表达具有层次结构的数据。
以下是一些关于数据结构树的举例：
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树结构。
一种常见的应用是二叉搜索树，其中左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。
2. AVL树：一种自平衡二叉搜索树，用于解决普通二叉搜索
树可能导致的不平衡问题。
AVL树通过旋转操作来使树保持
平衡。
3. 红黑树：另一种自平衡二叉搜索树，也用于解决二叉搜索树可能导致的不平衡问题。
红黑树通过颜色标记节点并进行旋转操作来保持平衡。
4. B树：一种用于在外部存储中组织大量数据的数据结构。
B
树具有多个子节点和键值对，并且在每个节点上有更多的子节点，以减少I/O操作。
5. 堆：一种特殊的树结构，用于快速访问最大或最小元素。
在大根堆中，父节点的值大于或等于子节点的值；在小根堆中，父节点的值小于或等于子节点的值。
6. 树状数组：一种特殊的树结构，用于高效地进行前缀和查询和更新操作。
树状数组通常用于解决区间求和等相关问题。
7. Trie树：一种用于存储和搜索字符串的数据结构。
Trie树逐
个字符存储字符串，并通过每个节点的子节点表示不同的字符。
这些只是数据结构树的一些常见例子，还有许多其他类型的树结构可用于各种应用。
数据结构树教案
数据结构树教案一、教学目标1. 知识目标：理解树的概念、特性及其在数据结构中的应用。
2. 能力目标：掌握树的构建、遍历和查找等基本操作。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数据结构的兴趣，提高其解决问题的能力。
二、教学内容1. 树的概念与特性2. 树的表示方法3. 树的构建4. 树的遍历5. 树的查找三、教学难点与重点难点：树的应用和实际操作。
重点：树的构建和遍历。
四、教具和多媒体资源1. 黑板2. 投影仪3. 教学软件：树结构的演示软件。
五、教学方法1. 激活学生的前知：回顾数据结构基础知识，了解学生在树结构方面的知识储备。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和实践操作相结合的方式，引导学生掌握树结构的基本操作。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，进行实践操作，加深对树结构的理解。
六、教学过程1. 导入：通过问题导入，如“什么是树？树在数据结构中有什么作用？”等，引发学生的思考。
2. 讲授新课：讲解树的概念、特性、表示方法、构建、遍历和查找等知识，配合教学软件进行演示。
3. 巩固练习：布置相关练习题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
4. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调树在数据结构中的重要地位。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过课堂小测验、小组报告等方式，评价学生对树结构的掌握情况。
2. 为学生提供反馈：根据评价结果，为学生提供针对性的反馈，指导其改进学习方法。
八、作业布置1. 完成教学软件中的练习题。
2. 思考树在实际生活中的应用，写一篇短文。
03、1数据结构第一部分--线性表-树与二叉树
数据结构(一)目录第1章序论 (1)1.1 什么是数据? (1)1.2 什么是数据元素? (1)1.3 什么是数据结构及种类? (1)1.4 数据的逻辑结构 (1)1.5 数据的物理结构 (1)1.6 算法和算法分析 (1)1.7 算法的五个特性 (1)1.8 算法设计的要求 (2)1.9 算法效率的度量 (2)第2章线性表 (3)2.1 线性表举例 (3)2.2 线性表的存储 (4)2.3 线性表-栈 (4)2.4 队列 (4)2.5 双端队列 (6)第3章树和二叉树 (6)3.1 树 (6)3.1.1 树的基本概念 (6)3.1.2 树的常用存储结构 (6)3.1.3 树的遍历 (7)3.2 二叉树 (7)3.2.1 二叉树的基本概念 (7)3.2.2 二叉树与树的区别 (7)3.2.3 树及森林转到二叉树 (7)3.2.4 二叉树的性质 (8)3.2.5 满二叉树 (8)3.2.6 完全二叉树 (8)3.2.7 完全二叉树的性质 (9)3.2.8 二叉树的四种遍历 (9)3.2.9 二叉排序树 (10)3.2.10 平衡二叉树 (11)3.2.11 m阶B-树 (11)3.2.12 最优二叉树 (11)3.2.13 二叉树的存储结构 (12)3.3 广义表 (13)3.4 矩阵的压缩存储 (14)3.4.1 特殊矩阵 (14)3.4.2 压缩存储 (14)第4章历年真题讲解 (15)4.1 2009年上半年 (15)4.2 2009年下半年 (15)4.3 2010年上半年 (15)4.4 2011年上半年 (16)4.5 2011年下半年 (16)4.6 2012年上半年 (17)4.7 2012年下半年 (17)4.8 2013年上半年 (18)4.9 2013年下半年 (18)4.10 2014年上半年 (18)4.11 2014年下半年 (19)4.12 2015年上半年 (19)4.13 2015年下半年 (19)4.14 2016年上半年 (20)第1章序论什么是数据?所有能输入到计算机中并能够被计算机程序处理的符号的总称,它是计算机程序加工的原料。
数据结构练习题--树(题)
第六章树一．名词解释：1 树 2。
结点的度 3。
叶子 4。
分支点 5。
树的度6．父结点、子结点 7兄弟 8结点的层数 9树的高度 10 二叉树11 空二叉树 12 左孩子、右孩子 13孩子数 14 满二叉树 15完全二叉树16 先根遍历 17 中根遍历 18后根遍历 19二叉树的遍历 20 判定树21 哈夫曼树二、填空题1、树（及一切树形结构）是一种“________”结构。
在树上，________结点没有直接前趋。
对树上任一结点X来说，X是它的任一子树的根结点惟一的________。
2、一棵树上的任何结点（不包括根本身）称为根的________。
若B是A的子孙，则称A是B的________3、一般的，二叉树有______二叉树、______的二叉树、只有______的二叉树、只有______ 的二叉树、同时有______的二叉树五种基本形态。
4、二叉树第i(i>=1)层上至多有______个结点。
5、深度为k(k>=1)的二叉树至多有______个结点。
6、对任何二叉树，若度为2的节点数为n2，则叶子数n0=______。
7、满二叉树上各层的节点数已达到了二叉树可以容纳的______。
满二叉树也是______二叉树，但反之不然。
8、具有n个结点的完全二叉树的深度为______。
9、如果将一棵有n个结点的完全二叉树按层编号，则对任一编号为i(1<=i<=n)的结点X有：（1）若i=1,则结点X是______；若i〉1,则X的双亲PARENT(X)的编号为______。
（2）若2i>n，则结点X无______且无______；否则，X的左孩子LCHILD(X)的编号为______。
（3）若2i+1>n，则结点X无______；否则，X的右孩子RCHILD(X)的编号为______。
10.二叉树通常有______存储结构和______存储结构两类存储结构。
11.每个二叉链表的访问只能从______结点的指针，该指针具有标识二叉链表的作用。
数据结构树知识点总结大全
数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。
通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。
通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
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第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即2 2i2 2i1
故命题得证
2、性质2
一颗深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点(k1)
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证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是：
k
k
(第i层的最大结点数 ) 2i1 2k 1
i 1
i 1
3、性质3： 对任何一棵二叉树，如果其叶子结点
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0 树的度：3
A
B
C
D
结点A的层次：1 结点M的层次：4
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
E
F GH I J
KL
M
图5.2
叶子：K，L，F，G，M，I，J
树的深度：4
结点I的双亲：D 结点L的双亲：E
结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
§5.1 树的定义和基本术语
一、树的定义 树是由n个结点构成的有限集合。 当n=0时，称为空树。 在一棵非空树中（n>0）中，有且仅有
一个特定的结点，称根的结点；其余结点 可T棵2…分树…,为且Tm称m个，为（其根m中的≥，0子）每树互一。不个相集交合的本集身合又T是1，一
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※ 特点：
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※结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一 层，它的孩子为第二层…… ※深度(depth)——树中结点的最大层次数 ※森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合 ※有序树－ 树中结点的各子树从左到右是有次序的， 否则为无序树。
例： 如下图5.2所示，回答问题：
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第五章 树
本章内容： * 树的定义和基本操作； * 二叉树的定义及遍历、存储结构； * 树的应用；
重点： * 树的定义 * 二叉树的定义及遍历序列
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内容
§5.1 树的定义和基本术语 §5.2 二叉树的定义及存储结构 §5.3 二叉树的遍历 §5.4 树的存储 §5.5 树的应用
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特点：
※深度为k的完全二叉树，其前k-1层是一颗 满二叉树；
上。
※最后第k层的结点都尽量排在靠左的位置
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二、二叉树的性质
1、性质1： 在二叉树的第 i层上至多有 2i1个结点(i 1)
证明：用归纳法证明之
i=1时，只有一个根结点，2i1 20 1 是对的
假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 2 j1个结点 那么，第i-1层至多有 2 i 2 个结点
n0=n2+1
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4、性质4：
具有n个结点的完全二叉树的 深度为log 2 n 1
5、性质5：
如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结 点按层序编号，则对任一结点i(1in)， 有：
(1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无 双亲；如果i>1，则其双亲是i/2 (2) 如果2in，则其左孩子是2i；如果 2i>n，则结点i无左孩子； (3)如果2i+1n，则其右孩子是2i+1； 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；
• 树中至少有一个结点—根,它没有前驱结点， 除根结点之外的所有结点有且只有一个前 驱结点；
• 树中各子树是互不相交的集合，树中所有 结点可以有零个或多个后继结点。
任意有限两集个合集T合1，不T能2…有…相T重m应的该结“点互。不相交”，即 ※ 树的各个结点有不同层次关系，这种关系通常用
图形表示，但与自然界的树木相反，习惯上将整 棵树的根画在最上层，如图5.1所示
数为n0，度为2的结点数为n点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入
设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2
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※ 特点： (1)每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的
结点);
(2)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任 意颠倒;
一般地，二叉树有五种基本形态，如图5.3所示。
A
A
A
A
空二叉树
只有根结点 的二叉树
B 右子树为空
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B
B
C
左子树为空
左、右子树 均非空
图5.3
2、二叉树的基本操作
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§5.2 二叉树
一、二叉树的定义和基本操作 1、二叉树的定义
一个二叉树是n个结点的有限集合（n≥0），此 集合或者是空集（n=0），或者是由一个根结点及 两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉 树组成。
由上述定义可知，二叉树可以是空集，其根可以 有空的左子树或右子树，或者左、右子树皆为空。
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三、树的表示方法
a
1、直观表示法：图5.3表示法
b
2、文氏图法：
d ef
c gh
b
e
d
ij
ij
a
f
gh
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3、嵌套括号法
a ( b ( d, e ( i, j ), c ( g, h ) ) )
4、凹入表示法
a b d e i j f c g h
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四、树的基本操作 见书上P68
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子树
只有根结点的树 A
有子树的树 A
根
B
C
D
E
F GH I J
KL
M
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图5.1
二、树的相关术语
❖结点(node)——表示树中的元素，包括数据 项及若干指向其子树的分支 ❖结点的度(degree)——结点拥有的子树个数 ❖叶子(leaf)——度为0的结点 ❖孩子(child)——结点子树的根称为该结点的 孩子 ❖双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该 结点的~ ❖兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 ❖树的度——一棵树中最大的结点度数
满二叉树
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
完全二叉树
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1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
(2)完全二叉树：
定义：一颗深度为k，有n个结点的二叉树当且 仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号 （自左而右）从1至n的结点一一对应时，称为~。
见书上P70 3、几种特殊的二叉树
(1)满二叉树：
定义1：在一个二叉树中，若第i层的结 点数为2i-1，则称此层的结点数是满的，当树 中的每一层都是满的，则称此二叉树为满二 叉树。
定义2：如果一个二叉树中，除最下一 层的各结点度数为0以外，其它各层结点的度 数均等于2，则此二叉树为满二叉树。
特点：每一层上的结点数都是最大结点数。 跳转到第一页