2018届中考数学《第四部分第四讲第4课时操作探究型问题》同步练习
第4课时 操作探究型问题(60分)1．(15分)[2017·北京]如图4－4－1，P 是AB ︵所对弦AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交AB︵于点M ，连结MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N .已知AB ＝6 cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，N 两点间的距离为y cm(当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)． 小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：图4－4－1(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y /cm2.02.32.11.60.9(2)建立平面直角坐标系，描出己补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；第1题答图(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN 为等腰三角形时，AP 的长度约为__2.2(答案不唯一)__cm.【解析】 (3)如答图，作y ＝x 与函数图象交点即为所求．则AP ≈2.2(答案不唯一)． 2．(15分)[2017·襄阳]如图4－4－2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC .一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.图4－4－2(1)如图①，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ； (2)如图②，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由； ②若CE ＝4，CF ＝2，求DN 的长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.又∵CE ＝CF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF . ∴DE ＝DF ；(2)①∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°. 又∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE . ∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CFCD ，即CD 2＝CE ·CF . ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ＝12AB . ∴AB 2＝4CE ·CF .②如答图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN ＝∠ECN ＝90°，CG ＝DG . 当CE ＝4，CF ＝2时，由CD 2＝CE ·CF ，得CD ＝2 2. ∴在Rt △DCG 中，CG ＝DG ＝CD ·sin ∠DCG ＝22×sin45°＝2. ∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN.第2题答图∴ CN GN ＝CE DG ＝2，∴GN ＝13CG ＝23. ∴DN ＝GN 2＋DG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22＝2103. 3．(15分)(1)问题发现与探究：如图4－4－3①，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM ⊥AE 于点M ，连结BD ，则：①线段AE ，BD 之间的大小关系是__AE ＝BD __，∠ADB ＝__90°__，并说明理由． ②求证：AD ＝2CM ＋BD ； (2)问题拓展与应用：如图②、图③，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，过点A 作直线，在直线上取点D ，∠ADC ＝45°，连结BD ，BD ＝1，AC ＝2，则点C 到直线的距离是__3－12__或__3＋12__，写出计算过程．图4－4－3解：(1)①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECB ＝∠BCD ＋∠ECB ，∴∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS )，∴AE ＝BD ，∠AEC ＝∠BDC ，∵∠CED ＝∠CDE ＝45°，∴∠AEC ＝135°，∴∠BDC ＝135°， ∴∠ADB ＝90°；②证明：在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高， ∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM .∴AD ＝DE ＋AE ＝2CM ＋BD ；(2)如答图①，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，CE ⊥CD 交AD 于点E ，则△CDE 是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AD－AE＝3－1，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3－12；如答图②，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AE＋AD＝1＋3，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3＋12.综上，点C到直线的距离是3－12或3＋12.第3题答图4．(15分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图4－4－4①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；(2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝12AB；(3)如图③，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝3(BE－CF)．图4－4－4解：(1)∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4. ∵点D 是线段BC 的中点， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝2.∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°－60°－90°－120°＝90°， ∴∠BED ＝90°，∴BE ＝BD ·cos B ＝2×12＝1；(2)证明：如答图①，过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°.∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°－60°－90°－90°＝120°. ∵∠EDF ＝120°， ∴∠MDE ＝∠NDF . 在△MBD 和△NCD 中，⎩⎨⎧∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△MBD ≌△NCD ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN . 在△EMD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，∴△EMD ≌△FND ，∴EM ＝FN ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝BM ＋FN ＋CF ＝BM ＋CN ＝2BM ＝2BD ·cos60°＝BD ＝12BC ＝12AB ；(3)如答图②，过点D 作DM ⊥AB 于M ， 同(1)可得∠B ＝∠ACD ＝60°.同(2)可得BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN . ∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝CN ＋DM ＋CF ＝NF ＋DM ＝2DM ，BE －CF ＝BM ＋EM －CF ＝BM ＋NF －CF ＝BM ＋NC ＝2BM.第4题答图①第4题答图②在Rt △BMD 中，DM ＝BM ·tan B ＝3BM ， ∴BE ＋CF ＝ 3(BE －CF )．(20分)5．(20分)[2017·天门]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠DAC＞∠BAC ，且DA ＝DC ，过点B 作BE ∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连结MD ，ME .(1)如图4－4－5①，当∠ADC ＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是__MD ＝ME ；__；图4－4－5(2)如图②，当∠ADC ＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，当∠ADC ＝α时，求MEMD 的值． 解：(2)MD ＝ 3 ME .证明：如答图①，延长EM 交DA 于点F ， ∵BE ∥DA ，∴∠F AM ＝∠EBM ， 又∵AM ＝BM ，∠AMF ＝∠BMF ，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME ， ∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC ＝60°，∠ACD ＝60°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MDE ＝30°.在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33. ∴MD ＝ 3ME ；第5题答图(3)如答图②，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠F AM＝EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝α2，∴在Rt△MDE中，MEMD＝tan∠MDE＝tan α2.(20分)6．(20分)[2017·衡阳]如图4－4－6，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转得到CF，连结DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)连结EF，MN，当MN∥EF时，求AE的长．【解析】(1)证明三点共线，一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180°.由旋转不改变图形的形状和大小，可证△CBE≌△CDF，得到∠CDF＝∠CBE＝90°，所以可证∠ADF＝180°，问题得证．(2)求AE的最值，需要建立适当的函数模型，考虑AE，AH是同一个直角三角形的边，图4－4－6所以设AH ＝y ，AE ＝x ，由图直观看出△CBE ∽△EAH ，利用对应边成比例，可以得出y 与x 的函数关系式，从而最值问题可解．(3)连结CG ，根据正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，EF ∥MN ，所以NG ＝GM ，所以CN ＝CM ，从而可推出∠EFD ＝∠ECA ＝∠1＝∠3，所以Rt △CBE ∽Rt △F AE ，所以BC AF ＝BEAE ，因此AE 可求．第6题答图解：(1)证明：如答图①，由旋转的性质知，CF ＝CE ， 又∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3， 又∵ CD ＝CB ，∴△CBE ≌△CDF ， ∴∠CDF ＝∠CBE ＝90°，∴∠ADF ＝180°. 故点A ，D ，F 三点共线；(2)设DH ＝y ，AH ＝1－y ，AE ＝x ，在Rt △CBE 和Rt △EAH 中，∠4＋∠5＝90°， ∴Rt △CBE ∽Rt △EAH ， ∴CB AE ＝BE AH ，即1x ＝1－x 1－y ，∴y ＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，即当点E 是AB 的中点时，DH 最小，最小值为34；(3)如答图②，连结CG .∵矩形∠FGE 是正方形，对角线CG 所在的直线是其对称轴， 又∵FG ＝GE ，EF ∥MN ，∴GN ＝GM ， ∴CN ＝CM ，又∵∠CNM ＝45°＋∠3，∠NMC ＝45°＋∠ECM ， 又∵∠ECM ＝∠EFH ，∴∠3＝∠EFH ＝∠1， ∴Rt △CBE ∽Rt △F AE ，∴BC AF ＝BEAE ，BC ＝1，BE ＝1－AE ，AF ＝1＋1－AE ＝2－AE ，即有12－AE ＝1－AE AE ，∴AE 2－4AE ＋2＝0，解得AE ＝2＋ 2>1(不合题意，舍去)，AE ＝2－ 2.。
中考数学专题复习——操作探究(详细答案)
中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。
2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。
2018届中考数学专题4 规律探索题 (共28张PPT)
考点·梳理自清
考题·体验感悟
考法·互动研析
类型一
类型二
解:(1)4 17 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下: 左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1, 右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边, 故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.
考点·梳理自清
考题·体验感悟
考法·互动研析
类型一
类型二
例4(2012· 安徽,17)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网 格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成 下表:
考点·梳理自清考题·Fra bibliotek验感悟考法·互动研析
类型一
类型二
解析:(1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an, 观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,…, 故an-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n1)+…+5+3+1=1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=an2 2 2 1+(2n+1)+an-1=n +2n+1+n =2n +2n+1. 答案:(1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1
中考数学专题四 操作探究型问题 (共55张PPT)
3．如图，在平面直角坐标系中，A(－ 8，－ 1)，B(－ 6，－ 9)， C( － 2，－ 9)， D(－ 4，－ 1)．先将四边 形 ABCD 沿 x 轴翻折，再向右平移 8 个 单位长度，向下平移 1 个单位长度后， 得到四边形 A1B1C1D1 ，最后将四边形 A1B1C1D1，绕着点 A1 旋转，使旋转后的 四边形对角线的交点落在 x 轴上，则旋 转后的四边形对角线的交点坐标为 ( A． (4， 0) C． (4， 0)或(－ 4， 0) ) 【导学号 32974411】 B． (5， 0) D． (5， 0)或 (－ 5， 0)
类型三：图形分割型动手操作题 图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若 干块，再把它们拼接成一个符合条件的图形． 类型四：作图型动手操作题 作图型动手操作题就是通过平移、对称、旋转或位似等变换 作出已知图形的变换图形．
考点一
变换作图
例 1 (2017· 安徽 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，给出了格点△ ABC 和 △ DEF(顶点为网格线的交点 ) 以及过格点的直线 l.
解：(1)如图所示，△ A′B′C′即为所求； (2)如图所示，△ D′E′F′即为所求；
(3)如图，连接 A′F′.
∵△ ABC≌△ A′B′C′， △ DEF≌△ D′E′F′， ∴∠ C＋∠ E＝∠ A′C′B′＋∠ D′E′F′＝∠ A′C′F′. ∵ A′C′＝ 1 ＋ 2 ＝ 5，A′F′＝ 1 ＋ 2 ＝ 5，C′F′＝ 1 ＋ 3 ＝ 10，∴ A′C′2＋ A′F′2＝ 5＋ 5＝ 10＝ C′F′2， ∴△ A′C′F′为等腰直角三角形， ∴∠ C＋∠ E＝∠ A′C′F′＝ 45° .
【答案】C
2． (2017· 呼和浩特 )图中序号(1)(2)(3)(4) 对应的四个三角形都 是 △ ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对 称得到的是 ( A )
2018中考数学中考数学复习模块4圆之典型中考题讲解有详细答案.docx
《中考数学复习模块4•圆》之典型中考题讲解1、（2017-金华）如图，已知：AB是的直径，点C在（DO上，CD是（DO的切线，AD丄CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交（DO于点F,连结OC,AC.（1）求证:AC平分ZDA0.（2）若ZDAO=105°, ZE=30°.①求ZOCE的度数.②若的半径为2运，求线段EF的长.2、（2017浙江台州）.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC 上一点（不与B, C重合），PE是△ ABP的外接圆（DO的直径.（1）求证：△ APE是等腰直角三角形；（2）若的直径为2,求PC2+PB2的值.3、（2017山东枣庄）.如图，在△ ABC中，ZC=90°, ZBAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC, AB于点E, F.（1）试判断直线BC与。
0的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2V3, BF=2,求阴影部分的面积（结果保留兀）. 4、（2017山东聊城）.如图，OO是△ ABC的外接圆，O点在BC边上，ZBAC的平分线交于点D,连接BD、CD,过点D 作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是（DO的切线；（2）求证：APBDsADCA；D （3）当AB=6, AO8时，求线段PB的长.5、（2017山东东营）.如图，在△ ABC中，AB=AC,以AB为直径的（DO交BC于点D,过点D作的切线DE,交AC于点E, AC 的反向延长线交于点F.（1）求证：DE丄AG；（2）若DE+EA=8, OO的半径为10,求AF的长度.6、（2017山东潍坊）.如图，AB为半圆O的直径，AC是（DO 的一条弦，D为辰的中点，作DE丄AC,交AB的延长线于点F,连接DA.（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6J5,求阴影区域的面积.（结果保留根号和兀）7、（2017江苏无锡）.如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于4, B两点（点B在点4的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与分别交于C, D两点（点C在点D的上方），直线AC, DB交于点E.若AC：CE=1： 2.（1）求点P的坐标；（2）求过点4和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.8、（2017江苏盐城）.如图，在平面直角坐标系中，RtA ABC的斜边AB在y 轴9、(2017湖北襄阳).如图，AB为(DO的直径，C、D为©O ±的两点，ZBAOZDAC,过点C做直线EF丄AD,交AD的延长线于点E,连接BC.(1)求证：EF是(DO的切线；(2)若DE=1, BC=2,求劣弧晓的长1.10、(2017湖北恩施).如图，AB、CD是(DO的直径，BE是(DO 的弦，且BE〃CD,过点C的切线与EB的延长线交于点P,连接BC.(1)求证：BC平分ZABP；(2)求证：PC2=PB«PE；(3)若BE-BP=PC=4,求(DO 的半径.11、（2017 湖北随州）.如图，在RtA ABC 中，ZC=90°, AC=BC,点O在AB上，经过点A的（DO与BC相切于点D,交AB于点E.（1）求证：AD平分ZBAC；（2）若CD=1,求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.12、（2017湖北宜昌）.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC, 以AE为直径的与边CD相切于点D. B点在（DO上，连接0B.（1）求证：DE=OE；/一:（2）若CD〃AB,求证：四边形ABCD是菱形. / 丿/答案：1、(1)解：•.•直线与(DO相切，AOC 丄CD；又VAD丄CD,.•.AD//OC,/.ZDAC=ZOCA;又VOC=OA,.*.ZOAC=ZOCA,.*.ZDAC=ZOAC;••.AC 平分ZDA.O.(2)解:①TAD//OC, ZDAO=105°,ZEOC=ZDAO=105°;T ZE=30°,ZOCE=45°.②作OG丄CE于点G,可得FG=CG,VOC=2\P,ZOCE=45°..\CG=OG=2,.*.FG=2;*.•在RTA OGE 中,ZE=30°,:.GE=2^, .\EF=GE-FG=2V3-2.2、(1)证明：VAB=AC, ZBAC=90°,/.ZC=ZABC=45°,A ZAEP=ZABP=45°,VPE是直径，/. ZPAB=90°,A ZAPE=ZAEP=45°,.*.AP=AE,•••△PAE是等腰直角三角形.(2)作PM丄AC于M, PN丄AB于N,则四边形PMAN是矩形, .*.PM=AN,「△PCM, △ PNB都是等腰直角三角形，.•.PCpPM, PBpPN,/.PC2+PB2=2 (PM2+PN2) =2 (AN2+PN2) =2PA2=PE2=22=4.3、解：(1) BC与(DO相切. 证明：连接OD.TAD是ZBAC的平分线，.*.ZBAD=ZCAD.又TODOA,.*.ZOAD=ZODA./.ZCAD=ZODA..•.OD〃AC..•.ZODB=ZC=90°,即0D±BC. 又TBC过半径OD的外端点D, ABC与(DO相切.(2)设0F=OD=x,则OB=OF+BF=x+2, 根据勾股定理得：OB2=C)D2+BD2,即(x+2) 2=X2+12,解得：x=2,即OD=OF=2,/. OB=2+2=4,VRtA ODB 中，OD=*3B,:.ZB=30°,/.ZDOB=60°,• u_60K X4_2H••S 號AOB-，则阴影部分的面积为S A ODB -S麻DOF=*X2X2*\/^-2? -故阴影部分的面积为2^3 -写.4、(1)证明：•.•圆心0在BC±,ABC是圆O的直径，.\ZBAC=90o, 连接OD,TAD 平分ZBAC,ZBAO2ZDAC,VZDOC=2ZDAC,.•.ZDOC=ZBAC=90°,即OD丄BC,VPD/7BC,AOD 丄PD,TOD为圆O的半径，.•.PD是圆O的切线；(2)证明：•.•PD〃BC,.*.ZP=ZABC,T ZABOZADC,.*.ZP=ZADC,T ZPBD+ZABD=180°, ZACD+ZABD=180°,A ZPBD=ZACD,.•.APBD^ADCA；(3)解：••'△ABC为直角三角形，BC2=AB2+AC2=62+82=100,.\BC=10,TOD垂直平分BC,.*.DB=DC,VBC为圆O的直径，.•.ZBDC=90°,在RtA DBC 中，DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100,.\DC=DB=5V2-V APBD^ADCA,.PB_BD''~DC~W川"9_DC・BD_Sx奶_25人AC 8 4 -5、(1)证明：VOB=OD,.*.ZABC=ZODB,VAB=AC,.•.ZABOZACB,.*.ZODB=ZACB,.•.OD〃AC.「DE是(DO的切线，OD是半径,.'.DE 丄OD,A DEX AC；(2)如图，过点0 作OH丄AF于点H,则ZODE= ZDEH= ZOHE=90°, •••四边形ODEH是矩形，.*.OD=EH, OH=DE.设AH=x.VDE+AE=8, OD=10,/. AE=10 - x, 0H=DE=8 - ( 10 - x) =x - 2.在RtA AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,即x2+ (x-2) 2=102,解得xi=8, x2= - 6 (不合题意，舍去)..\AH=8.TOHIAF,.*.AH=FH=—AF,2・：AF=2AH=2x8 二16.6、(1)证明：连接OD,VD为说的中点，/.ZCAD=ZBAD,VOA=OD,A ZBAD=ZADO,.•.ZCAD=ZADO,VDE 丄AC,ZE=90°,ZCAD+ZEDA=90°,即ZADO+ZEDA=90°,AOD 丄EF,・・.EF为半圆O的切线；(2)解：连接OC与CD,VDA=DF,A ZBAD=ZF,A ZBAD=ZF=ZCAD,又T ZBAD+ ZCAD+ ZF=90°,A ZF=30°, ZBAC=60°,VOC=OA,AAOC为等边三角形，ZAOC=60°, ZCOB=120°,TOD丄EF, ZF=30°,.•.ZDOF=60°,在RtA ODF 中,DF=6屈OD=DF *tan3 0°=6,在RtA AED 中，D26胰,ZCAD=30°, /. DE=DA*sin30 "晶,EA=DA*cos30°=9, T ZCOD=180° - ZAOC - ZDOF=60°, /. CD/7 AB,故S △ACD-S A COD，•'•S 阴萨S A AED -S扇旳COD=*<9X3后-~^Q nX^2=~^~ ~ ^71-7、解：(1)如图，作EF丄y轴于F, DC的延长线交EF于H.设H (m, “), 则P (m, 0), PA=m+3, PB=3 - m.EH//AP,△ACPs&CH,AC = PC = AP=j_CE_CH_'^7，CH=2n, EH=2m=6,CD 丄AB,PC=PD=n,PB//HE,ADPB s'DHE,PB」)P_ n _13-m _ 12nH-6 4'm=l,P (1, 0).(2)由(1)可知，PA=4, HE=8, EF=9, 连接OP,在R仏OCP中，PC=7OC^O P=2V2-:.CH=2PC=4皈 PH=6屈:.E (9, 6冋,•••抛物线的对称轴为CD,:.(-3, 0)和(5, 0)在抛物线上，设抛物线的解析式为尸a (x+3) (%-5), 把E (9, 6迈)代入得到a欝,•••抛物线的解析式为尸誓.&+3) &-5),即尸导2-孚-耳Z8、(1)证明：连接EF,TAE 平分ZBAC,/. ZFAE=ZCAE,VFA=FE,ZFAE=ZFEA, /. ZFEA=ZEAC,.・.FE〃AC,ZFEB=ZC=90°,即BC 是OF 的切线;(2)解：连接FD,设。
2018年中考数学《四边形》同步提分训练含答案解析
2018年中考数学提分训练: 四边形一、选择题1.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（）A. B. C. D.2.如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 20cmD. 18cm3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°4.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB：AD=2：3，∠BAD=2∠ABC，则CF：FD的结果为（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：45.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）A. 1＜m＜11B. 2＜m＜22C. 10＜m＜12D. 2＜m＜66.把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为（）A. 9B. 10C. 11D. 以上都有可能7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，过点0的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6．则AE2+BF2的值为（）A. 9B. 16C. 18D. 368.已知ABC(如图1)，按图2所示的尺规作图痕迹不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形9.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝14，则△DOE的周长为（）A. 50B. 32C. 16D. 910.如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E.则阴影部分面积为（）A. 6－πB. 2 －πC. πD. π11.如图，ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．13.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.14.点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是________15.如图，正六边形的顶点分别在正方形的边上．若，则=________．16.如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．17.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.其中正确的序号是_________.(把你认为正确的都填上)18.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．三、解答题19.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。
2018年 中考数学总复习 实验操作类问题 专题综合训练题 含答案
2018年中考数学总复习实验操作类问题专题综合训练题1．如图，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( )2. 如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以3. 如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA 上．(1)已知DE∥AC，DF∥BC.①判断：四边形DECF一定是什么形状？②裁剪：当AC＝24 cm，BC＝20 cm，∠ACB＝45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；(2)折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF ＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．5. 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，求BE的长．6. 手工课上，老师要求同学们将边长为4 cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形的面积．(注：不同的分法，面积可以相等)7. 在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种)．8. 矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4.(1)如图1，能否在矩形纸片ABCD中裁剪出一个最大面积的正方形？若能，试求该面积，并说明理由；(2)用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2中画出裁剪线，以及拼成的正方形示意图，并且该正方形的顶点都在网格的格点上．9. 在一副直角三角板ABC和DEF中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定△ABC，将△DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．(1)如图2，当△DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC 的度数和BF的长；(2)如图3，在△DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在△DEF的运动过程中，设BF＝x(x＞0)，两块三角板重叠部分的图形为三角形时，试求x的范围．10．将一副三角尺(在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求PMCN的值．11. 如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现：如图②，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_ ． (2)猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究：已知∠ABC ＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)，若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连结AP并延长交BC于点E，连结EF.(1)四边形ABEF是________；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，求AE的长，∠ABC 的度数．13. 动手实验：利用矩形纸片(图1)剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图2无盖的正六棱柱(棱柱底面为正六边形)．(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？(2)在(1)的前提下，当矩形的长为2a时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率．(矩形纸片的利用率＝无盖正六棱柱的表面积÷矩形纸片的面积)参考答案:1. A 解析：根据题意直接动手操作得出，也可以将操作后的图形放到四个选项中去比较．2. A 解析：根据图形可得甲可以拼一个边长为2的正方形，图乙可以拼一个边长为5的正方形．3. 解：(1)①∵DE∥AC，DF ∥BC ，∴四边形DECF 是平行四边形 ②作AG⊥BC，交BC 于G ，交DF 于H ，∵∠ACB ＝45°，AC ＝24，∴AG ＝12×AC 2＝122，设DF ＝EC ＝x ，平行四边形的高为h ，则AH ＝122－h ，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF BC ＝122－h 122，即x 20＝122－h122，∴x ＝122－h 122×20，∵S ＝xh ＝h ·122－h 122×20＝20h －526h 2，∴h ＝－b 2a ＝－202×－526＝62，∴AH ＝122－62＝62＝12AG ，∴AF ＝FC ，∴在AC 中点处剪四边形DECF ，能使它的面积最大(2)先折∠ACB 的平分线(使CB 落在CA 上)，压平，折线与AB 的交点为点D ，再折DC 的垂直平分线(使点C 与点D 重合)，压平，折线与BC ，CA 的交点分别为点E ，F ，展平后四边形DECF 就是菱形．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形解析：(1)②设DF ＝EC ＝x ，根据△ADF ∽△ABC 得出比例关系式，然后进行转换，即可得出平行四边形的高h 与x 之间的函数关系式，从而可得平行四边形的面积S 关于h 的二次函数表达式，就可求出S 最大时h 的值；(2)先折出∠ACB 的角平分线，再折出角平分线的垂直平分线，由对角线互相线垂直平分的四边形是菱形即可得出．4. 解：如图，延长FP 交AB 于M ，当FP⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．∵∠A ＝∠A，∠AMF ＝∠C＝90°，∴△AFM ∽△ABC ，∴AF AB ＝FMBC ，∵CF ＝2，AC ＝6，BC＝8，∴AF ＝4，AB ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝FM8，∴FM ＝3.2，∵PF ＝CF ＝2，∴PM ＝1.2，∴点P 到边AB 距离的最小值是1.25. 解：如图，由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E，①当MB′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋1， △B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋22， △B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B′E＝12＋4＝322，则BE 的长为322或3556.解：(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH，△BEF，△CFG，△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO，△BEO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO，△DHO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI，△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2÷2＝2×2÷2÷2＝1(cm2)解析：按等腰直角三角形的特点进行分割、连结对角线，连结对边中点都可以得到等腰直角三角形．7.解：如图1，三角形的周长＝25＋10；如图2，三角形的周长＝42＋25；如图3，三角形的周长＝52＋34；如图4，三角形的周长＝32＋108. 解：(1)能．要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16 (2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形的边长是4×5＝25，所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪拼方法如下图：9. 解：(1)三角板ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB＝45°，∠E ＝30°，∠EMC ＝15°. 三角板DEF 中，∠FDE ＝90°，DF ＝4，BF ＝AB －DF ＝2 (2)由平移可知：∠ACF＝∠E＝30°.在Rt △ACF 中，cos ∠ACF ＝AC CF ，tan ∠ACF ＝AFAC ，∴CF ＝AC cos ∠ACF ＝6cos30°＝43，AF ＝AC·tan ∠ACF ＝6×tan30°＝23，∴BF ＝AB －AF ＝6－2 3 (3)如图，x 的范围是6－23≤x ＜6解析：(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC 即可；(3)操作后观察图形，需要分类讨论． 10. 解：3311. (1) DE ∥AC S 1＝S 2解：(1)①由旋转可知AC ＝DC ，∵∠C ＝90°，∠B ＝∠E＝30°， ∴∠BAC ＝∠CDE＝60°，∴△ADC 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°， 又∵∠CDE＝60°，∴DE ∥AC ②过D 作DN⊥AC 交AC 于点N ， 过E 作EM⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF⊥AB 交AB 于点F. 由①可知：△ADC 是等边三角形，DE ∥AC ，∴DN ＝CF ，DN ＝EM ， ∴CF ＝EM ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ， 又∵AD＝AC ，∴BD ＝AC ，∵S 1＝12 CF·BD，S 2＝12AC·EM，∴S 1＝S 2(2) ∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCM ＋∠ACE＝180°，∵∠ACN ＋∠ACE＝180°，∴∠ACN ＝∠DCM， 又∵∠CNA＝∠CMD＝90°，AC ＝CD ，∴△ANC ≌△DMC ，∴AN ＝DM ，又∵CE＝CB ，∴S 1＝S 2 (3) 作DF 1∥BC 交BA 于点F 1，作DF 2⊥BD 交BA 于点F 2.按照(1)(2)求解的方法可以计算出BF 1＝433，BF 2＝83312. 解：(1)菱形 (2)103，120° 13. 解：(1)2∶ 3(2)设高为x ，S ＝－43x 2＋6ax ，当x ＝34a 时， S ＝334a 2，此时，底面积＝338a 2，334a 2＋338a 2＝938a 2，利用率＝916。
4中考数学复习专题讲座四：探究型问题(学生版)
2013年中考数学复习专题：探究型问题考点一：动态探索型：例1 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点二：结论探究型：例3 如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E 作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）例4 在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．（1）如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；（2）如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．例6 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠０）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠０）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点四：存在探索型：例7 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（﹣9，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例8 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例的解析式；函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．四、中考真题演练1．如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x 轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN 最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数（x＞O）的图象相交于B、C两点．（1）若B（1，2），求k1?k2的值；（2）若AB=BC，则k1?k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），反比例函数y=（k≠０）的图象经过点B．（1）求k的值．（2）将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，判断点C′是否在反比例函数y=（k≠０）的图象上，请通过计算说明理由．7．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x 轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．12．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．13．（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）14．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．15．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h 的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．17．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图，一架 2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由+=得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，＜90°）．CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．21．已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．（1）求证：AC=AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF=30°，则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．25．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．（Ⅰ）探究新知如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r1=1；（2）求tan∠OAG的值；（Ⅱ）结论应用（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图③，若半径为r n的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙O n依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙O n均与AB相切，求r n的值．26．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…27．18．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．。
2018年中考数学复习全国通用苏科版专题突破课件专题四 操作探究型问题
专题四┃ 操作探究型问题
解题方法点析 图形的翻折变换是全等变换，变换不改变图形的形状和大小， 解决此类问题的时候，要紧紧抓住图形变换前后的不变量来解决问 题．在求线段的长时，常根据题中的条件，利用勾股定理或锐角三 角函数或相似三角形的性质构造方程模型求解．
专题四┃ 操作探究型问题
|针对训练| 1． 【2017·枣庄】如图 Z4－2 ，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点 所在的直线对折后展开，折痕为 MN ，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落 在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE.若 AB 的长为 2，则 FM 的长为( B ) A．2 B． 3 C． 2 D． 1
图 Z4 －2
专题四┃ 操作探究型问题
解
析
∵四边形 ABCD 为正方形，AB＝2，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，∴FB＝AB＝2，BM＝1，在 Rt△BMF 中，FM ＝ BF －BM ＝ 2 －1 ＝ 3 ，故选 B.
2 2 2 2
专题四┃ 操作探究型问题
2． 【2017·内江】如图 Z4－3，在矩形 AOBC 中，O 为坐标原点， OA， OB 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为(0，3 3) ，∠ABO＝30 °，将△ABC 沿 AB 所在直线对折后，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐 标为( A ) 3 3 A．( ， 3) 2 2 3 3 C．( 3， ) 2 2 3 B． (四┃ 操作探究型问题
4 ．如图 Z4－5①，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB 1 折叠，剪掉 重叠部分； 将余下部分沿∠B1 A1C 的平分线 A 1B2 折叠， 剪掉重叠部分； „； 将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn ＋1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折 叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC 是“好三角形”， ∠BAC 为该三角形的“好角”．
天津市河西区 2018届初三数学中考复习 规律探索型问题 专题综合训练 含答案.docx
天津市河西区普通中学2018届初三数学中考复习规律探索型问题 专题综合训练1. 观察下列等式:3] = 3, 32 = 9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 3?= 2187,… 解答下列问题：3 +节+3'+34 +…+ 32（H3的末位数字是（C ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 72. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10 个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是（B ）A. 31B. 46C. 51 D ・ 663. 根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015,箭头的方向是以下图示 中的（D ）4. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4, BC = 3,矩形在直线1上绕其右下角的顶点 B 向右旋转90。
至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90。
至图②位置，・・・, 以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点人在整个旋转过程中所经过的路程之和是5. 如图，以点0为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1, 2, 3, 4,…, 20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第 20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B ）A. 231nB. 210nC. 190 n D ・ 171 n6. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆0” 02, 03,…JT组成一条平滑的曲线，点P 从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒百个(D )A. 2015nDC彳 〃① ②③/B. 3019.5n D. 3024nA. B. _• C.C. 3018 n单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（B）B. (2015, -1)C. (2015, 1)D. (2016, 0)7. 设a 2,…，82014是从1，0, —1这三个数中取值的一列数，若內+比32014= 69, (ai+1)2+ (a 2+l)2 ------------- (a 2oi4 + 1)2=4001,则 ％, a 2,…，如^中为 0 的个数 是165・13 5 7 98. 观察下列一组数：'話…，它们是按一定规律排列的，那么这一9. 如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成, 第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个 图案由3n + l 个▲组成.▲▲ ▲ ▲▲ ▲ A A▲ ▲▲▲ ▲ ▲ ▲上 ▲ ▲ ▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲第一个图案 第二个图案 第三个图案 第四个图案10. 如图，止方形AAA3A4, AsAeAyAs, A9A10A11A12,…，(每个正方形从第三象限的顶点 开始，按顺时针方向顺序,依次记为A], A 2, A 3, A 4； A 5, A 6, A 7, A S ； A 9, A 10, An, A 12；-)的中心均在坐标原点0,各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为—(5, —5)・A. (2014, 0) 组数的第n 个数是2n-l(n + 1)o.11. 下面是一个按照某种规律排列的数阵:172第1行/r 2 /T /6 第2行 JT 2/T3 yio yrr 2/T 笫3行 713 /14/i54yn3/2 /i9 2/y第4行根据数阵的规律，第n(n 是整数，且n^3)行从左到右数第n —2个数是 逅三 _・(用含n 的代数式表示)12. 如图，直线y= —2x + 2与两坐标轴分别交于A, B 两点，将线段0A 分成n 等份, 分点分别为R, 巳，…，匕―】，过每个分点作二轴的垂线分别交直线AB 于点T” T2，T3,…，Tn-i,用 Si, S 2> S3,…，Sn —1 分别表示 RtAT|OP1， RtAT 2P I P 2,…，RtA则当 n = 2015 时，S 1 + S 2+S 3+- + S n -1 = 1007201513.在平面直角坐标系中，若一个多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC是格点三角形，对应的S = l, N-0, 1-4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S, N, L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL + b,其中a, b为常数，若某格点多边形对应的N = 82, 1—38,求S的值.14.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:第1个第2个第3个第4个(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6 = 3X2,第二个图需棋子9 = 3X3,第三个图需棋子12 = 3X4,第四个图需棋子15 = 3X5, A第五个图需棋子3X6=18.答:第5个图形有18颗黑色棋子(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n + l)颗，设第门个图形有2013颗黑色棋子，则35+1)=2013,解得n = 670.答：第670个图形有2013 颗黑色棋子15.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究:名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几解：・・•前三层三角形的几何点数分别是1、2、3,・・・第六层的几何点数是6,第n 层的几何点数是n；•・•前三层止方形的几何点数分别是：1=2X1 —1、3 = 2X2 —1、5 = 2X3 —1,・••第六层的几何点数是：2X6-1 = 11,第n层的几何点数是2n-l； V 前三层五边形的几何点数分别是：1 = 3X1—2、2 = 3X2 —2、3 = 3X3 —2,・••第六层的几何点数是：3X6-2 = 16,第n层的几何点数是3n-2；前三层六边形的几何点数分别是：1 = 4X1 —3、5 = 4X2 —3、9=4X3 —3,・••第六层的几何点数是：4X6 -3 = 21,第n层的几何点数是4n-3故答案为：6, 11, 16, 21, n, 2n-l, 3n —2, 4n-3。
2018届中考数学《第四部分第二讲第2课探究型问题》同步练习(含答案)
第2课时 探究型问题(69分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2017·滨州]如图2－2－1，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补，若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM ＝PN 恒成立；②OM ＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变，其中正确的个数为 ( B ) A ．4 B ．3C ．2D ．1图2－2－1第1题答图【解析】 如答图，作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F .∵∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴∠EPF ＋∠AOB ＝180°，∵∠MPN ＋∠AOB ＝180°，∴∠EPF ＝∠MPN ，∴∠EPM ＝∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF ， 在Rt △POE 和Rt △POF 中，⎩⎨⎧OP ＝OP ，PE ＝PF ，∴Rt △POE ≌Rt △POF ，∴OE ＝OF ，在△PEM 和△PFN 中， ⎩⎨⎧∠MPE ＝∠NPF ，PE ＝PF ，∠PEM ＝∠PFN ，∴△PEM ≌△PFN ，∴EM ＝NF ，PM ＝PN ，故①正确；∴S △PEM ＝S △PNF ，∴S 四边形PMON ＝S 四边形PEOF ＝定值，故③正确；∵OM ＋ON ＝OE ＋ME ＋OF －NF ＝2OE ＝定值，故②正确；MN 的长度是变化的，故④错误．故选B.2．[2017·株洲]如图2－2－2，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard ，point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle ，1780～1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard ，1845～1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ的值为 ( D )A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋2图2－2－2 第2题答图【解析】 如答图，在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∠1＝∠2＝∠3，∵∠1＋∠QEF ＝∠3＋∠DFQ ＝45°，∴∠QEF ＝∠DFQ ，∵∠2＝∠3，∴△DQF ∽△FQE, ∴DQ FQ ＝FQ QE ＝DF EF ＝12，∵DQ ＝1，∴FQ ＝2，EQ ＝2，∴EQ ＋FQ ＝2＋ 2.二、填空题(每题6分，共12分)3．[2017·绍兴]如图2－2－3，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是__x ＝0或x ＝42－4或4＜x ＜4_． 【解析】 分三种情况：①如答图①，当M 与O 重合时，即x ＝0时，点P 恰好有三个；②如答图②，以M 为圆心，以4为半径画圆，当⊙M 与OB 相切时，设切点为C ，⊙M 与OA 交于D ，∴MC ⊥OB ，∵∠AOB ＝45°，∴△MCO 是等腰直角三角形，∴MC ＝OC ＝4，∴OM ＝4 2，当M 与D 重合时，即x ＝OM －DM ＝4 2－4时，同理可知：点P 恰好有三个；③如答图③，取OM ＝4，以M 为圆心，以OM 为半径画圆，则⊙M 与OB除了O 外只有一个交点，此时x ＝4，即以∠PMN 为顶角，MN 为 腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时 以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以图2－2－3第3题答图①第3题答图②NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点，∴当4＜x＜4 2时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个．综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x＝0或x＝4 2－4或4＜x＜4 2.4．如图2－2－4，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ.给出如下结论：①DQ＝1；②PQBQ＝32；③S△PDQ＝18；④cos∠ADQ＝35.其中正确结论是__①②④__(填序号)．图2－2－4 第4题答图【解析】①如答图，连结OQ，OD，∵DP＝12CD＝BO＝12AB，且DP∥OB，∴四边形OBPD是平行四边形．∴∠AOD＝∠OBQ，∠DOQ＝∠OQB，∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB，∴∠AOD ＝∠DOQ，∴△AOD≌△QOD(SAS)，∴∠OQD＝∠DAO＝90°，DQ＝AD＝1.∴①正确；②如答图，延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，根据切线长定理，得QE＝BE，设QE＝x，则BE＝x，DE＝1＋x，CE＝1－x，在Rt△CDE中，(1＋x)2＝(1－x)2＋1，解得x＝14，∴CE＝34，∵△DQF∽△DEC，∴DQDE＝FQCE＝45，得FQ＝35，∵△PQF∽△PBC，∴PQBP＝FQCB＝35，∴PQBQ＝32.∴②正确；③S△PDQ＝12DP·QF＝12×12×35＝320，∴③错误；④∵AD∥BC，∴∠ADQ ＝∠DEC，∴cos∠ADQ＝cos∠DEC＝CEDE＝3454＝35，∴④正确．故答案为①②④.三、解答题(共45分)5．(15分)[2017·连云港]问题呈现：如图2－2－5①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.(S表示面积)图2－2－5①实验探究：某数学实验小组发现：若图①中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E ，G 作BC 边的平行线，再分别过点F ，H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1，B 1，C 1，D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1.如图②，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近(DG ＞AE )，经过探索，发现：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1.如图③，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近(DG ＜AE )，请探索S 四边形EFGH ，S 矩形ABCD 与S 矩形A 1B 1C 1D 1之间的数量关系，并说明理由．图2－2－5迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：(1)如图④，点E ，F ，G ，H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH ＝11，HF ＝29，求EG 的长．图2－2－5④图2－2－5⑤(2)如图⑤，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E ，H 分别在边AB ，AD 上，BE ＝1，DH ＝2，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的动点，且FG ＝10，连结EF ，HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值． 解：问题呈现：证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∠A ＝90°，又∵AE ＝DG ，∴四边形AEGD 是矩形， ∴S △HEG ＝12EG ·AE ＝12S 矩形AEGD ， 同理可得S △FEG ＝12S 矩形BCGE . ∵S 四边形EFGH ＝S △HEG ＋S △FEG ， ∴2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD . 实验探究：由题意得，当将G 点向点D 靠近(DG ＜AE )时，如答图①所示，S △HEC 1＝12S 矩形HAEC 1， S △EFB 1＝12S 矩形EBFB 1，S △FGA 1＝12S 矩形FCGA 1，S △GHD 1＝12S 矩形GDHD 1，∴S 四边形EFGH ＝S △HEC 1＋S △EFB 1＋S △FGA 1＋S △GHD 1－S 矩形A 1B 1C 1D 1，∴2S 四边形EFGH ＝S 矩形HAEC 1＋S 矩形EBFB 1＋S 矩形FCGA 1＋S 矩形GDHD 1－2S 矩形A 1B 1C 1D 1， 即2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －S 矩形A 1B 1C 1D 1. 迁移应用：(1)如答图②所示，由“实验探究”的结论可知 2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －S 矩形A 1B 1C 1D 1， ∴S 矩形A 1B 1C 1D 1＝S矩形ABCD－2S四边形EFGH＝25－2×11＝3＝A 1B 1·A 1D 1，∵正方形面积是25，∴边长为5，又∵A 1D 21＝HF 2－52＝29－25＝4，∴A 1D 1＝2，A 1B 1＝32，∴EG 2＝A 1B 21＋52＝94＋25＝1094，∴EG ＝1092.(2)四边形 EFGH 面积的最大值为172.6．(15分)[2016·黑龙江]已知：P 是▱ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点(点P 不与点A ，C 重合)，分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为E ，F ，O 为AC 的中点． (1)如图2－2－6①，当点P 与点O 重合时，求证OE ＝OF ；第5题答图①第5题答图②图2－2－6(2)直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE ＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况予以证明． 解：(1)证明：∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°，在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，AO ＝CO ，∴△AEO ≌△CFO (AAS )，∴OE ＝OF ； (2)图②中的结论为CF ＝OE ＋AE . 图③中的结论为CF ＝OE －AE . 选图②中的结论，证明： 如答图①，延长EO 交CF 于点G .∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，∴AE ∥CF ，∴∠EAO ＝∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠GCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COG ，∴△EOA ≌△GOC (ASA )，∴EO ＝GO ，AE ＝CG ， 在Rt △EFG 中，∵EO ＝OG ，∴OE ＝OF ＝GO ， ∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝FG ，∵OE ＝OF ， ∴OE ＝FG ，∵CF ＝FG ＋CG ，∴CF ＝OE ＋AE .① ②第6题答图选图③的结论，证明：如答图②，延长EO 交FC 的延长线于点G ， ∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，∴AE ∥CF ，∴∠AEO ＝∠G ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠G ，∠AOE ＝∠COG ，AO ＝CO ，∴△AOE ≌△COG (AAS )， ∴OE ＝OG ，AE ＝CG ， 在Rt △EFG 中，∵OE ＝OG ， ∴OE ＝OF ＝OG ，∵∠OFE ＝30°， ∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝FG ， ∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ， ∵CF ＝FG －CG ，∴CF ＝OE －AE .7．(15分)[2017·成都]问题背景：如图2－2－7①，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BDAB ＝3；图2－2－7①图2－2－7②迁移应用：如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连结BD . ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连结AE 并延长交BM 于点F ，连结CE ，CF . ①证明：△CEF 是等边三角形； ②若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．图2－2－7③解：迁移应用：①证明：∵ △ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝∠120°，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∵∠DAB ＝∠DAE －∠BAE ， ∠CAE ＝∠BAC －∠BAE ，∴∠DAB ＝∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ； ②BD ＋3AD ＝CD .拓展延伸：①证明：如答图所示，连结BE ，作BG ⊥AE ，∵点C ，E 关于BM 对称，∴BM 垂直平分CE ， ∴FE ＝FC ，BE ＝BC ，∴△CEF 和△BEC 都是等腰三角形， ∴AB ＝BC ＝BE ，又∵BG ⊥AE ， ∴∠ABG ＝∠EBG ，∠EBF ＝∠CBF ， ∴∠GBF ＝∠EBG ＋∠EBF ＝12∠ABC ＝60°，∴∠GFB ＝30°，∴∠EFC ＝60°，∴△CEF 是等边三角形； ②∵AE ＝5，CE ＝2，在等腰三角形ABE 中，GE ＝GA ＝52. 又∵EF ＝2，∴GF ＝GE ＋EF ＝92，在Rt △GBF 中，∵∠GFB ＝30°，∴FG ＝3BG ， ∴BF ＝2×GF3＝3 3.(15分)8．(15分)[2017·自贡]如图2－2－8①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A (－1，0)，点B (0，3)．(1)求∠BAO 的度数；(2)如图①，将△AOB 绕点O 顺时针旋转得△A ′OB ′，当A ′恰好落在AB 边上时，设△AB ′O 的面积为S 1，△BA ′O 的面积为S 2，则S 1与S 2有何关系？为什么？(3)若将△AOB 绕点O 顺时针旋转到如图②所示的位置，S 1与S 2的关系发生变化了吗？证明你的判断．第7题答图①②图2－2－8【解析】 (1)在Rt △AOB 中，利用锐角三角函数求解；(2)当A ′恰好落在AB 边上时，易证△AOA ′是等边三角形，从而得到旋转角为60°，分别求得S 1和S 2，比较即可；(3)对于△AB ′O 和△BA ′O ，OA ＝OA ′，分别作这两条边上的高，通过比较高的大小即可得到它们面积之间的关系．解：(1)∵A (－1，0)，B (0，3)，∴AO ＝1，BO ＝ 3， ∴tan ∠BAO ＝BO AO ＝31＝3，∴∠BAO ＝60°； (2)S 1＝S 2.理由：根据旋转的性质可得AO ＝A ′O ，∠OA ′B ′＝60°. ∵∠BAO ＝60°，∴△AOA ′是等边三角形，∴A ′O ＝AO ，∠AOA ′＝60°，∴∠AOA ′＝∠OA ′B ′， ∴A ′B ′∥x 轴，∴A ′B ′⊥y 轴． 如答图①，设A ′B ′与y 轴交于点C ，在Rt △A ′CO 中，A ′O ＝1，∠A ′OC ＝90°－60°＝30°， ∴A ′C ＝12，CO ＝32.∴S 1＝12AO ·CO ＝12×1×32＝34，S 2＝12BO ·A ′C ＝12×3×12＝34，∴S 1＝S 2；第8题答图①第8题答图②(3)关系没有变化．理由：如答图②，过点B ′作B ′D ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥OA ′于E ， ∴∠ODB ′＝∠OEB ＝90°.∵∠AOA ′＝∠BOB ′， ∴∠AOB ＝∠A ′OB ′＝90°，∴∠BOE ＝∠B ′OD . 又∵OB ＝OB ′，∴△OBE ≌△OB ′D ，∴BE ＝B ′D . 又∵OA ＝OA ′，∴S 1＝S 2.(16分)9．(16分)[2017·盐城]【探索发现】如图2－2－9①是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__12__．图2－2－9【拓展应用】如图②，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__14ah __．(用含a ，h 的代数式表示) 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50 cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且tan B ＝tan C ＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．图2－2－9④ 备用图解：【灵活应用】如答图①，设矩形BFGK 是从“缺角矩形”中剪出的一个矩形，显然，当顶点G 在线段DE 上时，矩形的面积才可取最大值．作直线DE ，分别交线段BA ，BC 的延长线于点P ，Q ，过点E 作EH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCM 是矩形，∴AM ∥BC ，∴△DEM ∽△DQC .∴EM CQ ＝MD CD . ∵CD ＝16，CM ＝AB ＝32，∴MD ＝CD ＝16.∴EM CQ ＝1，即CQ ＝EM .∵AE ＝20，AM ＝BC ＝40，∴EM ＝AE ＝20.∴AE ＝CQ .同理P A ＝MD ＝CD ＝16.∴当BK ＝12PB ＝24，即当顶点G 在DE 中点处时，矩形的面积最大，最大面积为14×60×48＝720.【实际应用】分三种情形：(I)如答图②，当矩形的另两个顶点P ，Q 分别在边AB ，CD 上时，延长BA ，CD 相交于点E . ∵∠B ＝∠C ，∴EB ＝EC .过点E 作EH ⊥BC 于点H .∴BH ＝12BC ＝12×108＝54.在Rt △EBH 中，EH ＝BH ·tan B ＝54×43＝72.∴EB ＝90.由结论，当PB ＝12EB ＝45＜AB 时，矩形面积有最大值14×108×72＝1 944 cm 2第9题答图①第9题答图② 第9题答图③ (II)如答图③，当矩形的另两个顶点P ，Q 分别在边AD ，CD 上时，延长BA ，CD 相交于E ，延长QP 交AE 于F ，过点F 作FG ⊥BC 于G ，则矩形PQMN 的面积小于矩形FQMG 的面积． 由①知，S 矩形FQMG ＜1 944.(III)当矩形另两个顶点P ，Q 分别在边AB ，AD 上时，此时不能裁出矩形．综上所述，矩形面积的最大值为1 944 cm 2.。