导函数的应用

3 3 解得－ <x<0 或 x> . 3 3
3 又∵x>0，∴x> . 3
3x2－1 令 f′(x)<0，即 2· <0， x 3 3 解得 x<－ 或 0<x< . 3 3 3 又∵x>0，∴0<x< . 3
3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( ， ＋∞)， 单调递减区间为(0， ). 3 3
(2)从最高点到入水，h 随 t 的增加而减小，即 h(t)是减函数， h′(t)<0.
问题 2 观察下面四个函数的图象， 回 答函数的单调性与其导函数正负有 何关系？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数； (2)在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数；
2
5．研究下列函数的单调性，并指出它 的单调区间． 2 (1)y＝x＋x；
3
(2)y＝3x －2lnx. lnx (4)f(x)＝ x .
2
(3)f(x)＝x －3x＋1；
2 答案： （1）函数 y＝x＋x的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋ ∞)，单调递减区间为(－ 2，0)，(0， 2)．
又 x∈(0，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为 0，
所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由 f′(x)<0 得 x<3，
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
(3)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x) ＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1). 因为 0≤x<2π，所以 cos x＋1≥0， π 5π 由 f′(x)>0 得 0<x< 或 <x<2π； 3 3 π 5π 由 f′(x)<0 得 <x< ， 3 3
题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了 .
跟踪训练 1 函数 y＝f(x)的 图象如图所示，试画出导函 数 f′(x)图象的大致形状.
解 f′(x)图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一.
例 2 求下列函数的单调区间： x 2 (1)f(x)＝2x(e －1)－x ； 2 (2)f(x)＝3x －2ln x.
解 当 1<x<4 时，f′(x)>0，可知 f(x)在此区间内单调递增； 当 x>4，或 x<1 时，f′(x)<0，可知 f(x)在此区间内单调递减； 当 x＝4，或 x＝1 时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称 它们为“临界点”.
综上，函数 f(x)图象的大致形状如图所示.
小结
本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问
1 (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－ 2<0，y(x)是减 x 函数.
小结 一般地， 函数的单调性与其导函数的正 负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0， 那么函数 y＝ f(x) 在这个区间内单调 递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝ f(x)在这个区间内单调递减.
1 解析 ∵f′(x)＝1＋ >0， x ∴函数在(0,6)上单调递增.
2.f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y ＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝ f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知， 当 x<0 时， f′(x)>0， 即函数 f(x) 为增函数；当 0<x<2 时，f′(x)<0，即 f(x)为减函数；当 x>2 时，f′(x)>0，即函数 f(x)为增函数.观察选项易知 D 正确.
4.(1) 函数 y ＝ x － 4x ＋ a 的增区间为
(2，＋∞) (－∞，2) _________ ，减区间为__________.
解析 y′＝2x－4，令 y′>0，得 x>2；令 y′<0，得 x<2，
2
所以 y＝x2－4x＋a 的增区间为(2，＋∞)，
减区间为(－∞，2).
3 (2)函数f(x)＝x －x的增区间
二
函数的变化快慢与导数的关系 我们知道导数的符号反映函数 y ＝
问题
f(x)的增减情况，怎样反映函数 y＝f(x)
增减的快慢呢？能否从导数的角度解释 变化的快慢呢？
π 5π 故函数 f(x)的单调递增区间为0，3， 3 ，2π，单调递减 π 5π 区间为3， 3 .
课堂练习
A 1.函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是（） A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 0 ， ， 6 C.在 上是减函数，在 上是增函数 e e 1 1 D.在0， 上是增函数，在 ，6上是减函数 e e
跟踪训练 2
求下列函数的单调区间： x e 2 (1)f(x)＝x －ln x；(2)f(x)＝ ； x－2 (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π).
(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞).
解
1 2x－1 2x＋1 f′(x)＝2x－ ＝ . 因为 x>0，所以 2x＋1>0x(a>0)的单调 增区间为 ( A ) 1 1 ，＋∞ 0 ， A. B.

a

a

C.(0，＋∞)
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
1 由 f′(x)＝ －a>0， x
D.(0，a)
1 得 0<x< . a
一
函数的单调性与导函数正负的关系
问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 2 随时间 t 变化的函数 h(t)＝－4.9t ＋ 6.5t＋10 的图象，及 h′(t)＝－9.8t＋ 6.5 的图象，思考运动员从起跳到最高 点，从最高点到入水的运动状态有什 么区别.
答案 (1)从起跳到最高点， h 随 t 的增加而增加， 即 h(t)是增 函数，h′(t)>0；
2
x
[解 ]
(1)y′＝2cosx－2xsinx.
1 (2)y′＝2＋ . x
1－lnx (4)y′＝ . x2
－21－x′ 2 (3)y′＝ ＝ 2 1－x 1－x2 （5）f′(x)＝4x3＋2x.
总结：先化简在求导。
题型二 利用导数的公式求切线方程 例 2.已知曲线为 y＝x －2x，求过点 (1，－1)的该曲线的切线方程．
题型三 导数的简单应用 例 3.设 f(x)＝xlnx，若 f′(x0)＝2， 求 x0.
[解] 1 ∵f′(x)＝x× x＋lnx＝1＋lnx，
∴f′(x0)＝1＋lnx0，又f′(x0)＝2， ∴lnx0＝1，x0＝e.
3．3.1
函数的单调性与导数
【学习目标】
1. 结合实例，直观探索并掌握函数的 单调性与导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，并 能够利用单调性证明一些简单的不 等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函 数一般不超过三次).
3
[解]
设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x
2 0
－2，故切线方程为y－y0＝(3x2 0－2)(x－x0)，
2 即y－(x3 0－2x0)＝(3x0－2)(x－x0)，
又知切线过点(1，－1)代入上述方程，
2 得－1－(x3 0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)，
1 解得x0＝1，或x0＝－ ， 2 故所求的切线方程为y＋1＝x－1
小结 求函数的单调区间的具体步 骤是：(1)确定 f(x)的定义域；(2)计 算导数 f′(x) ； (3) 求出 f′(x) ＝ 0 的 根 ( 也 可 以 直 接 解 f′(x)>0 和 f′(x)<0)；(4)用 f′(x)＝0 的根将 f(x)的定义域分成若干区间，列表考 查这若干个区间内 f′(x)的符号，进 而确定 f(x)的单调区间.
7 5 1 或y－8＝－4(x＋2)． 即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
[规律技巧]
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说
法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方 程．在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线， 不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． (2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐 标为(x0，y0)，然后写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后 代入点P的坐标，求出(x0，y0)．
为
， 3 3 －3，3 减区间为______________.

－∞，－
3 3 和 ，＋∞ 3 3
3 3 解析 y′＝3x －1，令 y′>0，得 x> 或 x<－ ； 3 3 3 3 令 y′<0，得－ <x< ， 3 3 3 3 3 所以 f(x)＝x －x 的增区间为－∞，－ 和 ，＋∞ ，减 3 3 3 3 区间为(－ ， ). 3 3
问题 3 若函数 f(x)在区间(a，b)内 单调递增，那么 f′(x)一定大于零 吗？ 答案 由问题 2 中(3)知 f′(x)≥0 恒成立.
问题 4 (1)如果一个函数具有相同单调性的 单调区间不止一个，那么如何表示这些区 间？试写出问题 2 中(4)的单调区间. (2) 函数的单调区间与其定义域满足什么 关系？
解 (1)f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)