2018-2019版高中数学第二章推理与证明 2.3.1 数学归纳法学案新人教B版选修2-2

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高中数学《数学归纳法》导学案

第二章推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒（奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。

高中数学第二章推理与证明2-3数学归纳法学案含解析新人教A版选修2_2

2.3数学归纳法在学校，行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n ＝k ＋1时命题也成立，而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．2(其中n ∈N *)．(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n ＝k ＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2 2n －1 2n ＋1 ＝n n ＋1 2 2n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＝k k ＋1 2 2k ＋1，则121×3＋223×5＋…＋k 2 2k －1 2k ＋1 ＋ k ＋1 22k ＋1 2k ＋3＝k k ＋1 2 2k ＋1 ＋ k ＋1 2 2k ＋1 2k ＋3 ＝ k ＋1 k ＋2 2 2k ＋3 ，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的n ∈N *等式都成立.。

高中数学第二章推理与证明 2.3 第2课时数学归纳法(

2.3 第二课时数学归纳法(2)一、课前准备1．课时目标1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3.培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想 2．基础预探(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1) ；(2) 由(1)，(2)可知，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都正确(2)“归纳—— —— ”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想. 二、学习引领1. 问题情景(1)多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件②的作用是什么？可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证①②成立。

(2)用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：证明数列的通过公式是1n a n=, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：多米诺骨牌游戏原理通项公式 1n a n=的证明方法（1）第一块骨牌倒下。

（1）当1n =时11a =，猜想成立（2）若第k 块倒下时，则相邻的第1k +块也倒下（2）若当n k =时猜想成立，即1k a k=，则当1n k =+时猜想也成立，即111k a k +=+ 根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，猜想都成立。

精选2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案

2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)在假设当n ＝k(k∈N ＋，且k≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立．数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明n ＝k ＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．【做一做】对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k(k∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时， (k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( )．A ．过程全部正确B ．n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n ＝k ＋1时命题为什么成立？n ＝k ＋1时命题成立是利用假设n ＝k 时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n ＝k ＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．题型一用数学归纳法证明恒等式【例题1】用数学归纳法证明1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 分析：左边式子的特点为：各项分母依次为1,2，3，…，2n ，右边式子的特点为：分母由n ＋1开始，依次增大1，一直到2n ，共n 项．反思：理解等式的特点：在等式左边，当n 取一个值时，对应两项，即12n －1－12n；在等式右边，当n 取一个值时，对应一项．无论n 取何值，应保证等式左边有2n 项，而等式右边有n 项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明．题型二用数学归纳法证明不等式【例题2】已知a ＞0，b ＞0，n ＞1，n∈N ＋，用数学归纳法证明：a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n . 反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n ＝k ＋1时命题成立．题型三归纳——猜想——证明【例题3】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路．题型四易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由n ＝k 到n ＝k ＋1命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的．【例题4】用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n ＋2)＝n 4(n ＋1). 错证：(1)当n ＝1时，左边＝12×4，右边＝14(1＋1)＝14×2，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，那么当n ＝k ＋1时，直接使用裂项相减法求得12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －12k ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＋4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12k ＋4＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)和(2)，可知等式对一切n∈N ＋都成立．1用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n)＝2n ·1·3…(2n－1)(n∈N ＋)，从“n＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )．A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋12平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为( )．A ．f(k)＋kB ．f(k)＋1C ．f(k)＋k ＋1D ．kf(k)3利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)＜1(n∈N ＋，且n≥2)时，第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式左端的变化是( )．A ．增加了12k ＋1这一项 B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项 C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k这一项 D ．以上都不对4用数学归纳法证明“若f(n)＝1＋12＋13＋ (1)，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n∈N ＋，且n≥2)”时，第一步要证的式子是___________________________________．5在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，由此猜想S n ＝________. 答案：基础知识·梳理k ＋1【做一做】D 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．典型例题·领悟【例题1】证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边， ∴等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12 k＋1＝右边． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对任意n N ＋都成立．【例题2】证明：(1)当n ＝2时，左边＝a 2＋b 22，右边＝(a ＋b 2)2，左边－右边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0，不等式成立． (2)假设当n ＝k(k N ＋，k ＞1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ，因为a ＞0，b ＞0，k ＞1，k N ＋，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b)(a k －b k )≥0，于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1＝a ＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋bk ＋12，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)和(2)，知对于a ＞0，b ＞0，n ＞1，n N ＋，不等式a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n 恒成立．【例题3】解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22.∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242. 因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516. (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，n2 n－1 2，n≥2.下面用数学归纳法证明当n≥2时，a n ＝n 2 n－1 2. ①当n ＝2时，a 2＝22 2－1 2＝22，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2)时，结论成立，即a k ＝k 2 k－1 2. ∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝ k＋1 2 a 1·a 2·…·a k －1 ·a k ＝ k＋1 2 k－1 2· k－1 2k 2＝ k＋1 2k 2＝ k＋1 2[ k＋1 －1]2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知当n≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2 n－1 2. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，n2 n－1 ，n≥2.【例题4】错因分析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．正确证法：(1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k＋2 ＝k 4 k＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k＋2 ＋1 2k＋2 2k＋4＝k 4 k＋1 ＋14 k＋1 k＋2 ＝k k＋2 ＋14 k＋1 k＋2 ＝ k＋1 24 k＋1 k＋2＝k ＋14 k＋2 ＝k ＋14[ k＋1 ＋1]， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)，可得对一切n N ＋等式都成立．随堂练习·巩固1．B n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)，而n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k＋k)(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)(2k ＋1)．2．A 第k ＋1条直线与原来k 条直线相交，最多有k 个交点．3．C 不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式，可得结论．4．2＋f(1)＝2f(2) 起点n 0＝2，观察等式左边最后一项，将n ＝2代入即可．5．32，74，158 2n －12n －1 由题意，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，且S 1＝a 1＝1，令式子中的n 分别取1,2,3，可得S 2＝32，S 3＝74，S 4＝158，从而猜想S n ＝2n －12n －1.。

人教版全国通用版2018_2019版高中数学第二章推理与证明章末复习学案新人教A版选修2_2

第二章推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法： ①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × ) 2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )类型一合情推理与演绎推理例1 (1)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 43n (n ＋1)解析第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S△PA′B′S△PAB ＝PA′PA ·PB′PB，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A′B′C′V 三棱锥P －ABC＝________.考点类此推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案PA′PA ·PB′PB ·PC′PC解析题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A′B′C′V 三棱锥P －ABC＝PA′PA ·PB′PB ·PC′PC. (3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案13 3n＋1解析设第n个图形中火柴棒的根数为a n，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以a n＝3n＋1.(2)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质“若S m＝S n(m，n∈N*且m≠n)，则S m＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算．累加类比为累乘，由此，等差数列{a n }的性质类比到等比数列{b n }中为：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1.类型二综合法与分析法例 2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0，只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1，可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0，只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．方法二综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0，所以(a －b )2>0显然成立．即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx <2中至少有一个成立．考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型四数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1Sn＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．考点数学归纳法证明数列问题题点数学归纳法证明数列通项问题解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1Sn ＋2.∴S n ＝－1Sn －1＋2(n ≥2)．则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S1＋2＝－34， S 3＝－1S2＋2＝－45， S 4＝－1S3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1Sk ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－错误!.即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少． (2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．跟踪训练4 观察下列四个等式：第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．考点利用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳、猜想、证明解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②知，猜想对任意n ∈N *都成立.1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋zc ＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A.3．若a >0，b >0，则有( ) A.b2a >2b －a B.b2a <2b －a C.b2a ≥2b －a D.b2a≤2b －a 考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 C解析因为b2a －(2b －a )＝b2－2ab ＋a2a＝错误!≥0，所以错误!≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案 A解析方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋错误!＝错误!(n ∈N *)．考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式解 (1)当n ＝1时，左边＝错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!. 左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋错误!＝错误!，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋错误!＋错误! ＝错误!＋错误! ＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x＋1ex在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1ex ，所以f ′(x )＝e x －1ex .因为x >0，所以e x >1,0<1ex <1.所以e x－1ex >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1b B ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题答案 C解析取a ＝－2，b ＝－1，验证可知C 正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n 个正方形点数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．(n ＋1)2D ．n 2考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案 D解析由题意可知第n 个正方形点数为n 2.4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．25 B ．7 C ．6D ．8考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由所给的数列规律知，第25项为7.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．6．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，即第一个能使2n>n2＋1成立的n值为5，故选C.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案 D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案 B解析进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意．综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．二、填空题9．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案正四面体的内切球的半径是高的14解析原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah 1＝3×12ar ⇒r ＝13h 1(其中a 是正三角形的边长，h 1是高，r 是内切圆半径)．类比，用等体积法，V ＝13Sh 2＝4×13R ·S ⇒R ＝14h 2(其中S 为底面正三角形的面积，h 2是高，R 是内切球的半径)．10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b＝6a b，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 41解析由题意归纳推理得6＋a b＝6a b，b ＝62－1＝35，a ＝6. ∴a ＋b ＝6＋35＝41.11．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数．考点反证法及应用题点反证法的应用答案 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 0解析由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾．三、解答题12．用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只需证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立．13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 15．给出下列等式：1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，……(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式．考点利用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳、猜想、证明(1)解第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)．猜想第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·错误!，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·错误!＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·错误!＝(－1)k·错误!，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立由①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立．。

2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教B版选修2

2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n＝n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．【做一做】对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法( )．A．过程全部正确B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．题型一用数学归纳法证明恒等式【例题1】用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.分析：左边式子的特点为：各项分母依次为1,2，3，…，2n ，右边式子的特点为：分母由n ＋1开始，依次增大1，一直到2n ，共n 项．反思：理解等式的特点：在等式左边，当n 取一个值时，对应两项，即12n －1－12n；在等式右边，当n 取一个值时，对应一项．无论n 取何值，应保证等式左边有2n 项，而等式右边有n 项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明．题型二用数学归纳法证明不等式【例题2】已知a ＞0，b ＞0，n ＞1，n ∈N ＋，用数学归纳法证明：a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n.反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n ＝k ＋1时命题成立．题型三归纳——猜想——证明【例题3】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路．题型四易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由n ＝k 到n ＝k ＋1命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的．【例题4】用数学归纳法证明： 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1). 错证：(1)当n ＝1时，左边＝12×4，右边＝14(1＋1)＝14×2，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，那么当n ＝k ＋1时，直接使用裂项相减法求得 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －12k ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12k ＋4＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N ＋都成立．1用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3…(2n －1)(n ∈N ＋)，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )．A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋12平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为( )．A ．f (k )＋kB ．f (k )＋1C ．f (k )＋k ＋1D ．kf (k )3利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1(n ∈N ＋，且n ≥2)时，第二步由n ＝k到n ＝k ＋1时不等式左端的变化是( )．A ．增加了12k ＋1这一项B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k这一项D ．以上都不对4用数学归纳法证明“若f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，则n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N ＋，且n ≥2)”时，第一步要证的式子是___________________________________．5在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，由此猜想S n ＝________.答案：基础知识·梳理 k ＋1【做一做】D 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．典型例题·领悟【例题1】证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋＝右边．∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，知等式对任意n N ＋都成立．【例题2】证明：(1)当n ＝2时，左边＝a 2＋b 22，右边＝(a ＋b2)2，左边－右边＝⎝⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k N ＋，k ＞1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k，因为a ＞0，b ＞0，k ＞1，k N ＋，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )(a k －b k )≥0，于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k.当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1＝a ＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)和(2)，知对于a ＞0，b ＞0，n ＞1，n N ＋，不等式a n ＋b n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n恒成立．【例题3】解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22.∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此该数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2n －2，n ≥2.下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2n －2.①当n ＝2时，a 2＝22－2＝22，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时，结论成立，即a k ＝k 2k －2.∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2， ∴a k＋1＝k ＋2a 1·a 2·…·a k －1a k＝k ＋2k －2·k －2k 2＝k ＋2k 2＝k ＋2k ＋－1]2.∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2n －2，n ≥2.【例题4】错因分析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．正确证法：(1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n ＝k 时， 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k k ＋＝kk ＋成立．那么当n ＝k ＋1时， 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k k ＋＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k ＋2k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＝k ＋1k ＋＋1]，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)，可得对一切n N ＋等式都成立．随堂练习·巩固1．B n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，而n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)] ＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)．2．A 第k ＋1条直线与原来k 条直线相交，最多有k 个交点．3．C 不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式，可得结论． 4．2＋f (1)＝2f (2) 起点n 0＝2，观察等式左边最后一项，将n ＝2代入即可． 5．32，74，158 2n－12n －1 由题意，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，且S 1＝a 1＝1，令式子中的n 分别取1,2,3，可得S 2＝32，S 3＝74，S 4＝158，从而猜想S n ＝2n－12n －1.。

精品-新人教版2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版选修2_2

2．1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理1.归纳推理的特点（1）归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.（2）由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验.因此，归纳推理不能作为数学证明的工具.（3）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠.2.类比推理的特点（1）类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果.（2）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.（3）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）归纳推理是由一般到一般的推理过程.（）（2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确.（）（3）类比推理得到的结论可以作为定理应用.（）答案：（1）× （2）√ （3）×某学生通过计算发现：21－1＝12能被12整除，32－1＝2×22能被22整除，43－1＝7×32能被32整除.由此猜想当n∈N *时，（n ＋1）n －1能被n 2整除.该学生的推理是（）A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.上述都不正确解析：选B.该学生的推理是从个别到一般的推理，所以是归纳推理.下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为（）A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形答案：C各项都为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，猜想数列{a n }的通项公式为Ｗ.答案：a n ＝n （n ＋1）2探究点1 数与式的推理[学生用书P45]（1）给出下面的等式：1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111，1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111，…猜想123 456×9＋7等于（）A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113（2）观察下列式子：1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2，…则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为Ｗ.【解析】（1）由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1和2，12和3，123和4，1 234和5，12 345和6，等号右边依次为2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边为7个1.（2）观察式子可得规律：不等号的左侧是1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1，共（2n ＋1－1）项的和；不等号的右侧是n ＋12（n ∈N *）.故猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12（n ∈N *）.【答案】（1）B（2）1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12（n ∈N *）由已知数、式进行归纳推理的步骤（1）要注意所给几个等式（或不等式）中项数和次数等方面的变化规律.（2）要注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征.（3）提炼出等式（或不等式）的综合特点.（4）运用归纳推理得出一般结论.已知：f （x ）＝x1－x，设f 1（x ）＝f （x ），f n （x ）＝f n －1（f n －1（x ））（n >1，且n ∈N *），则f 3（x ）＝，猜想f n （x ）＝（n ∈N *）.解析：因为f （x ）＝x1－x，所以f1（x）＝x1－x.又因为f n（x）＝f n－1（f n－1（x）），所以f2（x）＝f1（f1（x））＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3（x）＝f2（f2（x））＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4（x）＝f3（f3（x））＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5（x）＝f4（f4（x））＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，所以根据前几项可以猜想f n（x）＝x1－2n－1x.答案：x1－4xx1－2n－1x探究点2 几何图形中的归纳推理[学生用书P45]（1）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n（n∈N*）个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A.6n－2B.8n－2C.6n＋2D.8n＋2（2）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈N*）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝，a n＝（n>1，n∈N*）.【解析】（1）观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，…，由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第（n－1）个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列{a n}，易求得通项公式为a n＝6n＋2（n∈N*）.（2）依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n＝3n－3（n>1，n∈N*）.【答案】（1）C （2）15 3n－3归纳推理在图形中的应用策略1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）.则第七个三角形数是（）A.27B.28D.30C.29解析：选B.把1，3，6，10，15，21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2.图（1）是棱长为1的小正方体，图（2）（3）是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层…将第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题：（1）按照要求填表：（2）S 10＝；（3）S n ＝（n ∈N *）.解析：第1层：1个；第2层：3个，即（1＋2）个；第3层：6个，即（1＋2＋3）个；第4层：10个，即（1＋2＋3＋4）个；…，由此猜想，第n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n ，所以S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2（n ∈N *），S 10＝55. 答案：（1）10 （2）55 （3）n （n ＋1）2探究点3 类比推理及其应用[学生用书P46]（1）若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝（2n －1）a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝Ｗ.（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【解】（1）T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n .故填b 2n －1n .（2）如题图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，如图所示，在四面体PDEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 2＋S 23.若本例（2）中“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2A ＋cos 2B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想.解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体PA ′B ′C ′中，我们猜想，四面体PA ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类比推理的一般步骤1.下面使用类比推理正确的是（）A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ”类推出“（a ·b ）c ＝ac ·bc ”C.“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc（c ≠0）”D.“（ab ）n＝a n b n”类推出“（a ＋b ）n＝a n＋b n”解析：选C.A 错，因为类比的结论a 可以不等于b ；B 错，类比的结论不满足分配律；C正确；D 错，乘法类比成加法是不成立的.2.已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S△ABC＝12r （a ＋b ＋c ）.类比这一结论有：若三棱锥A BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥的体积V A BCD ＝Ｗ.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12――→类比三棱锥体积公式系数13.所以类比得三棱锥体积V A BCD ＝13R （S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ）.答案：13R （S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ）——————————————————————————————————————1.观察数列1，5，14，30，x ，…，则x 的值为（）A.22B.33C.44D.55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n ＝a n －1＋n 2，所以x ＝30＋52＝55.2.将奇数1，3，5，7，9，11，…，进行如下分组：{1}，{3，5}，{7，9，11}，…，试观察每组内各数之和，则第n 组内各数的和等于（）A.n 2B.n3C.n 4D.n （n ＋1）解析：选B.每组内各数的和分别为1，23，33，…，显然B 正确.3.命题“在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →”，据此，运用类比推理在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中可得出结论Ｗ.解析：根据类比推理的原则，平行四边形类比为平行六面体，对角线AC →类比为体对角线AC′→，AB →＋AD →可类比成AB →＋AD →＋AA′→，故结论为AC′→＝AB →＋AD →＋AA′→.答案：AC′→＝AB →＋AD →＋AA′→4.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构，知第n 个图有个原子，有个化学键.解析：第1，2，3个图形中，原子的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以第n 个图形有6＋4×（n －1）＝4n ＋2个原子.第1，2，3个图形中，化学键的个数依次为6，6＋5，6＋5×2，所以第n 个图形中化学键的个数为6＋5×（n －1）＝5n ＋1.答案：4n ＋2 5n ＋1知识结构深化拓展[A 基础达标]1.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y＝a x＋y，则有a x÷a y＝a x－y；②类比log a（xy）＝log a x＋log a y，则有sin（α＋β）＝sin αsin β；③类比（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），则有（xy）z＝x（yz）.其中结论正确的个数是（）B.1A.0D.3C.2解析：选C.根据指数的运算法则知a x÷a y＝a x－y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α＋β）≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知：（xy）z＝x（yz），③正确.2.观察：（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）等于（）B.－f（x）A.f（x）D.－g（x）C.g（x）解析：选D.通过观察可归纳推理出一般结论：若f（x）为偶函数，则导函数g（x）为奇函数.故选D.3.已知数列：1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则该数列的第k（k∈N*）项为（）A.a k＋a k＋1＋…＋a2kB.a k－1＋a k＋…＋a2k－1C.a k－1＋a k＋…＋a2kD.a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D.由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项a k－1开始的连续k项的和，故该数列的第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.4.观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝n2B.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2C.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－1）＝n2D.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－1）＝（2n－1）2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图，当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为（）B.A.D.C.解析：选B.由题意，知8 335用算筹可表示为.6.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是Ｗ.解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球.答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有个点.解析：观察图形的变化规律可得：图（2）从中心点向两边各增加1个点，图（3）从中心点向三边各增加2个点，图（4）从中心点向四边各增加3个点，如此，第n 个图从中心点向n 边各增加（n －1）个点，易得答案：1＋n ·（n －1）＝n 2－n ＋1.答案：n 2－n ＋18.将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第n （n ≥3，n ∈N *）行从左向右的第3个数为Ｗ.解析：前（n －1）行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）＝n2－n2（个），因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎪⎫n2－n 2＋3个，即为n2－n ＋62.答案：n2－n ＋629.如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵（m ∈N *，m ≥2）.（1）写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数；（2）若把（1）中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式；（3）求a 10，并说明a 10表示的实际意义；（4）已知a n ＝9 900，问：a n 是数列的第几项？解：（1）当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….（2）因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝（n ＋1）（n ＋2），n ∈N *.（3）a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.（4）令（n ＋1）（n ＋2）＝9 900，解得n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列.10.观察下列两个等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想.解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝34.下面进行证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos （α＋30°）＝1－cos 2α2＋1＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α（cos αcos 30°－sin αsin 30°）＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边. 故sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝34.[B 能力提升]11.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为（）A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1（a >0，b >0）.F （－c ，0），B （0，b ），A （a ，0），则FB →＝（c ，b ），AB →＝（－a ，b ）.因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A.12.如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1，2，3，4，5，6的横纵坐标x i ，y i （i ＝1，2，3，4，5，6）分别对应数列{a n }（n ∈N *）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 017＋a 2 018＋a 2 019的值为Ｗ.解析：由题图，知a 1＝x 1＝1，a 3＝x 2＝－1，a 5＝x 3＝2，a 7＝x 4＝－2，…，则a 1＋a 3＝a 5＋a 7＝…＝a 2 017＋a 2 019＝0.又a 2＝y 1＝1，a 4＝y 2＝2，a 6＝y 3＝3，…，则a 2 018＝y 1 009＝1 009，所以a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝1 009.答案：1 00913.观察下面两式：（1）tan 10°·t an 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1；（2）tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1. 分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论.解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ，所以tan （α＋β）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ，所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋（tan α＋tan β）tan γ＝tan αtan β＋tan （α＋β）（1－tan αtan β）tan γ ＝tan αtan β＋（1－tan αtan β）1tan γtan γ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.14.（选做题）已知f （x ）＝13x ＋3，分别求f （0）＋f （1），f （－1）＋f （2），f （－2）＋f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.解：f（x）＝13x＋3，所以f（0）＋f（1）＝130＋3＋131＋3＝33，f（－1）＋f（2）＝13－1＋3＋132＋3＝33，f（－2）＋f（3）＝13－2＋3＋133＋3＝33.归纳猜想一般性结论：f（－x）＋f（x＋1）＝3 3 .证明如下：f（－x）＋f（x＋1）＝13－x＋3＋13x＋1＋3＝3x1＋3·3x＋13x＋1＋3＝3·3x 3＋3x＋1＋13x＋1＋3＝3·3x＋13＋3x＋1＝3·3x＋13（1＋3·3x）＝33.。

(全国通用版)2018-2019版高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法学案新人教A版选修2-2

§2.3数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1 验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2 能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ×)2．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ×)3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．( √)类型一用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)．考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．类型二用数学归纳法证明不等式例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*)方法一 (分析法)下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0，只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0，只需证9k ＋5≥0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，。

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2018-2019版高中数学第二章推理与证明 2.3.1 数学归纳法学案新人教B版选修2-2明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命＋，且题对n取第一个值后面的所有正整数成立．2．应用数学归纳法时特别注意(1)用数学归纳法证明的对象是与自然数相关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？答一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(递推是关键)假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．其中，利用假设是证题的核心．思考3 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k ＋＋k ＋2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N ＋等式都成立．答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n n ＋n ＋6(n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝＋＋6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k k ＋k ＋6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k k ＋k ＋6＋(k ＋1)2＝k k ＋k ＋＋k ＋26＝k ＋k 2＋7k ＋6＝k ＋k ＋k ＋6＝k ＋k ＋＋k ＋＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．反思与感悟用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k (k ∈N ＋)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋1k ＋－1－1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－1k ＋＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－1k ＋] ＝1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋k ＋1k ＋，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N ＋，等式都成立．探究点三用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1n －n ＋，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时猜想成立，即 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1k －k ＋＝k3k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时， 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1k －k ＋＋1k ＋－k ＋＋1]＝k 3k ＋1＋1k ＋k ＋＝3k 2＋4k ＋1k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N ＋都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1， ∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k－12)＝2k ＋1－12k ＋－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N ＋)在n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12＋12＋1＋12＋2＋…＋12＋2>1＋k 2＋2k ·12＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立． [呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．。