24.2.2切线长定理

C
典例精析
例题1：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、
CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9,BC=14，CA=13， 求AE、BD、CE的长。 设AE=x , 则AF=x CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x
A
x
x
∵ BD+CD=BC ∴（13﹣x）+（9﹣x）=14
B
A O
C
理由： ∵点O是△ABC的内心， ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
1 2
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = =
（∠ABC+ ∠ACB） ∠A ∠A
（180 － ∠A ）= 90 °－
∴ ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB )
= 180 －（ 90 － ∠A ）= 90 +
反思：在解决有 关圆的切线长的 问题时，往往需 要我们构建基本 图形。
2.切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
A
反思：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供了新的方法 注意
O
P
连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问 题时常用的辅助线．
3.切线长定理的推论
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明. PO垂直平分AB A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线, 点A，B是切点 O D B H C
∴PA = PB
P ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，
PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
4． 内切圆
一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的面积 尽可能大呢？
A
B C
知识要点
与三角形各边都相切的圆． 叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平 分线的交点，叫做三角形的内心 内心的性质: 内心到三角形三边的距离相等； O B
A
内心与顶点连线平分内角. 追问1：三角形的内切圆 可以做几个？外接圆呢？
B O C
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 －60 °=120 ° （2）若∠A=80 °，则∠BOC= （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 130 20 度。 度。
探究 O是内心,∠A与∠BOC之间存在怎样的 数量关系？请说明理由。
答： ∠BOC =90 ° + ∴ ∠OBC= ∠A
F
9
9﹣ x B
解得
X=4
13 E
O
9﹣ x D 14
因此 AE=4 cm
BD=5 cm CE=C
三角形的内切圆的有关计算
1.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的 A 周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， D
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， O · 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O
B
P
猜想：PA=PB, ∠APO=∠ BPO 如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
求证： PA=PB， ∠APO=∠ BPO． A
作辅助线 O M 1 2 ⌒ P
B
定理证明
证明： ∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
1.切线长定义
A
O
P
注意：
B 过圆外一点P有两条切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长。
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，可以度量。
观 察与猜想
从圆外一点引两条切线PA、PB，切点分别 为A、B，，在半透明的纸上画出这个图形，沿 着直线PO对折，图中的PA与PB,∠APO=∠ BPO 有什么关系？ A
B
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝
1 1 1 AB· OD＋ 2 BC· OE＋ 2 AC· OF 2
F
E
1 ＝ l· r 2
C
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋ b＋ c
2如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋ y＝ c
1．如图以AD为直径的⊙O和线 A 段BC相切于点E，AB丄BC， DC 丄BC，AB=3 cm，CD=1cm， 则S四边形ABCD=_____．
B O D E C
2.如图， ∠APB=50° ，PA ，PB，DE 都为⊙ A O的切线，则 ∠DOE= D P O B
E
例3 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心， A ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 °
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结圆心和圆外一点
（3）连结两切点
D O F
·
E B
a＋ b－ c C 解得 r＝ 2 a＋ b－ c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
或r＝ a＋b＋c
ab
例2、已知：如图，P为⊙O外一点，
PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点， BC是直径．
求证：AC∥OP．
A C
P O
D
B
随堂练习