乘积度量空间中四个映象的公共不动点定理
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
b-度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理
第41卷第6期2023年12月沈阳师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l.41N o.6D e c.2023文章编号:16735862(2023)06056206b-度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理关洪岩,勾金泽(沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034)摘要:不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,在处理许多非线性问题时起着十分关键的作用㊂B a n a c h压缩映像原理是不动点理论研究中的热点问题之一,近年来经过学者们的深入研究,该定理在许多方面得到了拓展,取得了大量优秀的成果㊂在b-度量空间的框架下,首次考虑了积分型压缩映射的不动点问题㊂首先,在该类空间中提出了一类新的积分型压缩的概念,并根据映射对的包含关系构造出一个序列,再利用反证法和压缩条件证明了此序列是该空间中的一个柯西列;其次,通过该空间的完备性和映射对的弱相容性,证明了该空间中积分型压缩映射对的公共不动点的存在性及唯一性;最后,给出一个具体例子说明了该结果的有效性㊂关键词:不动点;b-度量空间;压缩映射;积分型;柯西列中图分类号:O177.91文献标志码:Ad o i:10.3969/j.i s s n.16735862.2023.06.013C o m m o n f i x e d p o i n t t h e o r e m s f o r a c l a s s o f c o n t r a c t i v em a p p i n g s o f i n t e g r a l t y p e i n b-m e t r i c s p a c e sG U A N H o n g y a n,G O UJ i n z e(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c s a n dS y s t e m sS c i e n c e,S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,S h e n y a n g110034,C h i n a)A b s t r a c t:F i x e d p o i n t t h e o r y i s a n i m p o r t a n t p a r t o f n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d p l a y s ak e yr o l e,w h i l eB a n a c hc o n t r a c t i o n m a p p i n gp r i n c i p l e i so n eo f t h eh o t i s s u e s i nt h er e s e a r c ho f f i x e dp o i n t t h e o r y.I nr e c e n t y e a r s,t h r o u g hc o n t i n u o u s i n-d e p t hr e s e a r c hb y s c h o l a r s,t h i sr e s u l th a sb e e ne x p a n d e d i nd i f f e r e n t a s p ec t s a n dh a s a c h i e v e dm a n y e x c e l l e n t r e s u l t s.I n t h e f r a m e w o r ko f b-m e t r i c s p a c e s,a f i x e d p o i n t p r o b l e m o f c o n t r a c t i v em a p p i n g o f i n t e g r a l t y p e i sc o n s i d e r e df o r t h ef i r s t t i m e.F i r s t,w e i n t r o d u c ean e wc l a s so fc o n t r a c t i v e m a p p i ng o f i n t e g r a l t y p e.S e c o n d,w ec o n s t r u c t a s e q u e n c e a c c o rd i n g t o t he i n c l u s i o n r e l a t i o n of t h em a p p i ng s a n d p r o v e th a t t h e s e q u e n c ei sC a u c h y b y t h e m a t h e m a t i c a li n d u c t i o n a n d t h e c o n t r a c t i o n c o n d i t i o n s.T h e e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f t h ec o mm o nf i x e d p o i n to fa p a i ro f t h ec o n t r a c t i v e m a p p i n g so f i n t e g r a l t y p ea r ep r o v e db y t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e s p a c e a n d t h ew e a kc o m p a t i b i l i t y o f t h em a p p i n g s i n t h i s s p a c e.F i n a l l y,a c o n c r e t e e x a m p l e i s g i v e n t o p r o v e t h e v a l i d i t y o f t h e r e s u l t.K e y w o r d s:f i x e d p o i n t;b-m e t r i c s p a c e s;c o n t r a c t i v em a p p i n g;i n t e g r a l t y p e;C a u c h y s e q u e n c e 1922年,B a n a c h[1]在度量空间上提出了著名的压缩映像原理㊂随后,该结果被广泛地应用在数学中的诸多领域,很多学者通过改变空间或压缩条件得到更多的不动点结论㊂1993年,C z e r w i k[2]首次改变了度量空间的第3个条件得到了b-度量空间的概念并给出与压缩映像原理相对应的结果㊂在度量空间中,通过改变压缩条件,B r a n c i a r i[3]在2002年首次提出了积分型压缩的概念并证明了该类型压缩映射不动点的存在性及唯一性㊂2003年,R h o a d e s[4]推广了B r a n c i a r i的定理㊂基于R h o a d e s的结论,收稿日期:20230704基金项目:辽宁省教育厅基本科研项目(J Y T M S2*******)㊂作者简介:关洪岩(1980 ),男(满族),辽宁葫芦岛人,沈阳师范大学副教授,博士㊂2009年,M o r a d i 和O m i d [5]得到了一类新的积分型映射具有不动点的条件㊂受L i 等[6]的启发,本文在b -度量空间中引入一类新的积分型压缩条件,证明了积分型压缩映射对公共不动点的存在性及唯一性,并给出一个例子证明了结论的有效性㊂1 基础知识本文假设ℝ+=[0,+ɕ),ℕ代表正整数的集合,ℕ0=ℕɣ{0}㊂令ξ1=ξ|ξ:ℝ+ңℝ+勒贝格可积,在ℝ+每个紧子集上可求和,且对每个δ>0有ʏδξ(t )d t >{}0,ξ2={τ|τ:[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)为连续函数}㊂定义1[2] 设X 是一个非空集合,称映射d :X ˑX ң[0,+ɕ)为b -度量,当且仅当对所有的x ,y ,z ɪX ,d 满足下面的条件:1)d (x ,y )=0⇔x =y ;2)d (x ,y )=d (y ,x );3)d (x ,y )ɤs [d (x ,z )+d (z ,y )],其中s ȡ1是一个常数㊂一般地称(X ,d )为带有系数s ȡ1的b -度量空间㊂定义2[7] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间㊂设α:X ˑX ң[0,+ɕ),Q ,T :X ңX ,p ȡ2为一个已知实数㊂如果对任意的ξ,ηɪX ,由α(T ξ,T η)ȡs p 可得到α(Q ξ,Q η)ȡs p ,那么称映射Q 是T -αs p -可容许的㊂定义3[8] 设Q 和T 是定义在非空集合X 上的2个映射㊂如果对某一ξɪX ,有v =Q ξ=T ξ,那么称v 为Q 和T 的重合值,称ξ为Q 和T 的重合点㊂一般地,令C (Q ,T )代表Q 和T 重合点的集合㊂定义4[8] 设Q 和T 是定义在非空集合X 上的2个映射㊂若Q 和T 在重合点处可交换,则称Q 和T 是弱相容映射,即对每个ξɪC (Q ,T ),有Q T ξ=T Q ξ㊂定义5[9] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,那么X 中的序列{x n }被称为1)b -收敛当且仅当存在x ɪX ,当n ң+ɕ时有d (x n ,x )ң0;2)柯西列当且仅当n ,m ң+ɕ时有d (x n ,x m )ң0㊂通常,一个b -度量空间称为是完备的是指该空间中的每个柯西列都是b -收敛的㊂引理1[10] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,{x n }和{y n }分别b-收敛于x ,y ,那么1s2d (x ,y )ɤl i m n ң+ɕi n f d (x n ,y n )ɤl i m n ң+ɕs u p d (x n ,y n )ɤs 2d (x ,y )特别地,如果x =y ,则有l i m n ң+ɕd (x n ,y n )=0㊂此外,对每一个z ɪX 有1sd (x ,z )ɤl i m n ң+ɕi n f d (x n ,z )ɤl i m n ң+ɕs u p d (x n ,z )ɤs d (x ,z ) 引理2[11]设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ是一个非负数列,a 是一个非负常数㊂如果l i m n ң+ɕr n =a ,那么l i mn ң+ɕʏr n0ϕ(t )d t =ʏa0ϕ(t )d t 引理3[11] 设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ是一个非负数列,那么l i mn ң+ɕʏr nϕ(t )d t =0当且仅当l i m n ң+ɕr n =0㊂2 主要成果引理4 设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ为一个非负数列㊂如果l i ms u p n ң+ɕr n =a ,那么ʏa0ϕ(t )d t ɤl i ms u p n ң+ɕʏr n 0ϕ(t )d t 如果l i mi n f r n =a ,那么l i mi n f n ң+ɕʏr nϕ(t )d t ɤʏa 0ϕ(t )d t 365第6期 关洪岩,等:b -度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理证明 因为l i ms u p n ң+ɕr n =a ,所以存在{r n }的子列{r n k }满足l i m n ң+ɕr n k=a ㊂根据引理2有ʏa 0ϕ(t )d t =l i m k ң+ɕʏr nkϕ(t )d t ɤl i ms u p n ң+ɕʏr nϕ(t )d t 类似地,可以证明另一个不等式㊂定理 设(췍,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,I ,J :췍ң췍满足I (췍)⊆J (췍)㊂设α:췍ˑ췍ң[0,+ɕ),p ȡ3是一个已知常数㊂如果1)I 是J -αsp -可容许的;2)存在p 0ɪ췍满足α(J p 0,I p0)ȡs p ;3)α满足传递性,即对于ξ,η,ζɪ췍有α(ξ,η)ȡs p 且α(η,ζ)ȡs p ⇒α(ξ,ζ)ȡs p ;4)当n ң+ɕ时,如果췍中的列{p n }满足J p n ңJ p ,那么对于n ɪℕ,有α(J p n ,J p )ȡs p ;5)对于p ,q ɪC (I ,J ),有α(J p ,J q )ȡs p 和α(J q ,J p )ȡs p ;6)存在映射ϕɪξ1,满足对任意的u ,v ɪ췍,有ψʏα(J u ,J v )d (I u ,I v )ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(u ,v)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(u ,v)0ϕ(t )d ()t (1)其中Δ1(u ,v )=m a x d (J u ,J v ),d (J v ,I v ),d (J u ,I v )+d (J v ,I u )2s ,d (J u ,I u )d (I u ,I v )1+d (J u ,J v {})Δ2(u ,v )=m i n {d (J u ,I u ),d (J u ,I v ),d (J v ,I u )}L ȡ0,ψ,φ,θɪξ2满足对于每个t >0有φ(t )<ψ(t ),θ(t )>0,φ(0)=ψ(0)=θ(0)=0,且ψ是递增的;7)I 和J 是弱相容的,J (췍)是闭的㊂那么,I 和J 有唯一公共不动点㊂证明 根据条件2),存在p 0ɪ췍使得α(Jp 0,I p 0)ȡs p ㊂结合条件I (췍)⊆J (췍),对任意的n ɪℕ0,定义췍中的列{p n }和{q n }如下:q n =I p n =J p n +1㊂如果对某个n ,有q n =q n +1,则q n =q n +1=I p n +1=J p n +1,即I 和J 有重合值㊂接下来假设对任意的n ɪℕ有q n ʂq n +1㊂根据式(1)得到α(J p 0,I p 0)ȡs p ⇒α(J p 0,J p 1)ȡspα(I p 0,I p 1)ȡs p ⇒α(J p 1,J p 2)ȡspα(I p 1,I p 2)ȡs p ⇒α(J p 2,J p 3)ȡsp 因此,对n ɪℕ,有α(I p n ,I p n +1)=α(q n -1,q n )ȡs p ㊂根据式(1),令u =p n ,v =p n +1,有ψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t (2)其中Δ1(p n ,p n +1)={m a x d (J p n ,J p n +1),d (J p n +1,I p n +1),d (J p n ,I p n +1)+d (J p n +1,I p n )2s,d (J p n ,I p n )d (I p n ,I p n +1)1+d (J p n ,J p n +1})=m a x {d (q n -1,q n ),d (q n ,q n +1)}Δ2(p n ,pn +1)=m i n {d (J p n ,I p n ),d (J p n ,I p n +1),d (J p n +1,I p n )}(3) 假设对某个n ɪℕ,有d (q n +1,q n )ȡd (q n -1,q n )㊂根据式(2)和式(3),有Δ1(p n ,p n +1)=d (q n,q n +1),所以ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏs p d (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t 矛盾㊂于是d (q n -1,q n )>d (q n ,q n +1)(4) 根据式(4),{d (q n ,q n +1)}是一个递减数列,所以存在一个实数r ȡ0满足l i m n ң+ɕd (q n ,qn +1)=r ㊂465沈阳师范大学学报(自然科学版) 第41卷根据式(2)~式(4)可得ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏs p d (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (q n -1,q n )0ϕ(t )d ()t (5)假设r >0,根据ψ和φ的连续性㊁式(5)和引理2,取n ң+ɕ的极限,可得ψʏr0ϕ(t )d ()t =l i m n ң+ɕψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤl i m n ң+ɕφʏd (q n -1,q n )0ϕ(t )d ()t =φʏr 0ϕ(t )d ()t 矛盾,因而r =0㊂这意味着l i m n ң+ɕd (q n ,qn +1)=0㊂接下来证明{q n }是一个柯西列㊂假设不是,则存在ε>0,选择{q n }的子列{q n (k )}和{q m (k )},满足n (k )>m (k )>k ,则εɤd (q m (k ),q n (k )),d (q m (k ),q n (k )-1)<ε(6)且n (k )是满足上述要求的最小指标㊂根据三角不等式和式(6),有εɤd (q m (k ),q n (k ))ɤs (d (q m (k ),q n (k )-1)+d (q n (k )-1,q n (k )))<s ε+s d (q n (k )-1,q n (k ))(7)在式(7)中令k ң+ɕ,有εɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k ),q n (k ))ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k ),q n (k ))ɤsε(8)类似地,有εs2ɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k )-1)ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k )-1)ɤs 3εεsɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k ))ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k ))ɤs 2εεsɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k ),q n (k )-1)ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k ),q n (k )-1)ɤs 2ε 根据Δ1(u ,v )和Δ2(u ,v )的定义有Δ1(p m (k ),p n (k ))={m a x d (J p n (k ),J p n (k )),d (J p n (k ),I p n (k )),d (J p m (k ),I p n (k ))+d (J p n (k ),I p m (k ))2s ,d (J p m (k ),I p m (k ))d (I p m (k ),I p n (k ))1+d (J p m (k ),J p n (k )})={m a x d (q m (k )-1,q n (k )-1),d (q n (k )-1,q n (k )),d (q m (k )-1,q n (k ))+d (q n (k )-1,q m (k ))2s ,d (q m (k )-1,q m (k ))d (q m (k ),q n (k ))1+d (q m (k )-1,q n (k )-1})Δ2(p m (k ),p n (k ))={m i n d (J p m (k ),I p m (k )),d (J p m (k ),I p n (k )),d (J p n (k ),I p m (k )})={m i n d (q m (k )-1,q m (k )),d (q m (k )-1,q n (k )),d (q n (k )-1,q m (k )})(9)在式(9)两端取k ң+ɕ的下极限,有l i mi n f k ң+ɕΔ1(p m (k ),p n (k ))ɤm a x s 3ε,0,s 2ε+s 2ε2s,{}0=s 3εl i mi n f k ң+ɕΔ2(p m (k ),pn (k ))ɤm i n {0,s 2ε,s 2ε}=0 根据α的传递性,有α(J p m (k ),J p n (k ))ȡs p ㊂在式(1)中取u =p m (k ),v =p n (k ),可得ψʏs 3ε0ϕ(t )d ()t <l i mi n f k ң+ɕψʏs p d (q m (k ),q n (k))0ϕ(t )d ()t ɤl i mi n f k ң+ɕψʏα(J p m (k ),J p n (k ))d (I p m (k ),I p n (k ))0ϕ(t )d ()t ɤl i mi n f k ң+ɕφʏΔ1(p m (k ),p n (k ))0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p m (k ),p n (k ))0ϕ(t )d ()t ɤφʏs 3ε0ϕ(t )d ()t <ψʏs 3ε0ϕ(t )d ()t 565第6期 关洪岩,等:b -度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理矛盾,因而可知{qn }是柯西列㊂因为J (췍)是闭的,所以存在e ɪJ (췍)满足l i m n ң+ɕq n =li m n ң+ɕJ p n +1=e =l i m n ң+ɕI p n 因为e ɪJ (췍),选择一点q ɪ췍满足J (q )=e ㊂接下来证明J q =I q ㊂假设J q ʂI q ,取u =p n +1,v=q ,有Δ1(p n +1,q )={m a x d (J p n +1,J q ),d (J q ,I q ),d (J p n +1,I q )+d (J q ,I p n +1)2s,d (J p n +1,I p n +1)d (I p n +1,I q )1+d (J p n +1,J q })={m a x d (q n ,e ),d (e ,I q ),d (q n ,I q )+d (e ,q n +1)2s ,d (q n ,q n +1)d (q n +1,I q )1+d (qn ,e })Δ2(p n +1,q )=m i n {d (J p n +1,I p n +1),d (J p n +1,I q ),d (J q ,I p n +1)}=m i n {d (q n ,q n +1),d (q n ,I q ),d (e ,q n +1)}(10)当n ң+ɕ时,由式(10)可得l i m n ң+ɕΔ1(p n +1,q )ɤm a x 0,s d (e ,I q ),d (e ,I q )2,{}0=s d (e ,I q )l i m n ң+ɕΔ2(p n +1,q )ɤm i n {0,s d (e ,I q ),0}=0 根据式(5)㊁式(10)㊁引理1和引理3,在式(1)中取u =p n +1,v =q 可得ψʏs d (I q ,e )0ϕ(t )d ()t <ψʏs 3㊃1s d (I q ,e )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕψʏs p d (I p n +1,I q )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕψʏα(J p n +1,J q )d (I p n +1,I q )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕφʏΔ1(p n +1,q )0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n +1,q )0ϕ(t )d ()t ɤφʏs d (e ,I q )0ϕ(t )d ()t <ψʏs d (e ,I q )0ϕ(t )d ()t 矛盾,所以J q =I q ,即J q =I q =e (11)因此,q 是I 和J 的重合点㊂接下来证明I 和J 存在公共不动点㊂根据式(11)及I 和J 是弱相容的,有I e =I J q =J I q =Je 现在考虑Δ1(q ,e )=m a x d (J q ,J e ),d (J e ,I e ),d (J q ,I e )+d (J e ,I q )2s ,d (J q ,I q )d (I q ,I e )1+d (J q ,J e {})=d (e ,J e )Δ2(q ,e )=m i n {d (J q ,I q ),d (J q ,I e ),d (J e ,I q )}=0(12)在式(1)中取u =q ,v =e ,应用式(12)有ψʏd (e ,J e )ϕ(t )d ()t <ψʏα(J q ,J e )d (J q ,J e )0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(q ,e)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(q ,e)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (e ,J e )ϕ(t )d ()t <ψʏd (e ,J e )0ϕ(t )d ()t 这是不可能的,因而J e =I e =e ㊂这意味着e 是I 和J 的一个公共不动点㊂最后证明公共不动点的唯一性㊂假设r 和z 是I 和J 的2个公共不动点且r ʂz ,那么Δ1(r ,z )=m a x d (J r ,J z ),d (J z ,I z ),d (J r ,I z )+d (J r ,I r )2s ,d (J r ,I r )d (I r ,I z )1+d (J r ,J z {})=m a x d (r ,z ),0,d (r ,z )+d (z ,r )2s,{}0=d (r ,z )Δ2(r ,z )=m i n {d (J r ,I r ),d (J r ,I z ),d (J z ,I r )}=m i n {0,d (r ,z ),d (z ,r )}=0665沈阳师范大学学报(自然科学版) 第41卷根据式(5)有ψʏd (r ,z )0ϕ(t )d ()t <ψʏα(J r ,J z )d (I r ,I z )0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(r ,z)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(r ,z)0ϕ(t )d ()t <φʏd (r ,z )ϕ(t )d ()t <ψʏd (r ,z )ϕ(t )d ()t 矛盾,所以r =z ,即I 和J 的公共不动点是唯一的㊂例 设췍=[0,1],d (x ,y )=(x -y )2㊂容易证明(췍,d )是一个带有系数2的完备b -度量空间㊂对于任意的x ,y ɪ췍,定义映射I ,J :췍ң췍,I x =15x +45,J x =2x-1;定义α:췍ˑ췍ң[0,+ɕ),α(x ,y )=s 3;定义φ,ψ,θ:[0,+ɕ)ң[0,+ɕ),φ(t )=l n (1+t ),ψ(t )=t ,θ(t )=e t -1㊂显然,当t >0时,φ(t )<ψ(t ),θ(t )>0,且满足φ(1)=ψ(1)=θ(1)=1㊂I (1)=J (1)=1,I J (1)=J I (1)=1,ψ递增且I (췍)⊆J (췍)㊂通过计算容易证得当L ȡ0时,有ψʏα(J u ,J v )d (I u ,I v )ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(u ,v)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(u ,v)0ϕ(t )d ()t 于是定理所有条件均成立,故I ,J 有唯一的公共不动点㊂显然0是I 和J 的公共不动点㊂参考文献:[1]B A N A C H S .S u r l e s o p ér a t i o n sd a n s l e se n s e m b l e sa b s t r a i t se t l e u ra p p l i c a t i o na u xéq u a t i o n s i n t ég r a l e s [J ].F u n d M a t h ,1922,3:5157.[2]C Z E RW I 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一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理
定 义 １ 集 合 Ｘ 上 的 自映 象 对 （ ， ） 为 是 可 交 换 的 ， 果 Ｖ ∈ Ｘ， ＿ｇ 称 厂 如 有
一
． 一 ｚ， 一 ， ｇ
定义 ２ Ⅲ 度 量 空 间 （ ） 的 自映 象 对 （ ， ） 为 相 容 的 ， 果 Ｖ｛ ｝二Ｘ ， Ｘ， 上 ＿ｇ 称 厂 如 （ ＝ 当
ｚ ∈ 时 ， ｄ ／ 有 （ ， ／ ）一 ０ ＂一 ｏ ） ｇ （ 。。
定义 ３
集合 Ｘ 上 的 自映象 对 （ ， ） 为是 次相 容 的 ， 厂ｇ 称 如果
｛ ｔ∈ Ｘ ： ｆ （ ）一 ｇ（ ） 二 ｔ∈ Ｘ ： ｇ（）一 ｇ ｝ ￡ ｝（ ＝｛ ｆ ｆ（ ） ．
（ （ ） 二 Ｂ（ ） 丁（ ｉ （ ）Ｓ 二 ， Ｘ）（ Ａ（ ；ｉ 二 Ｘ） （ ）对 于 一 切 使 得 Ｍ （ ） ０的 ， ∈ Ｘ， 不 等 式 成 立 ： ＝ ｉ ｘ， ＞ 有
象的公 共不 动点 问题 ． 在此 利用 映象 对相 容 和次 相容 的条件 ， 讨论 了完备度 量空 间 中 ４ 映象 的一类 个 新 的 中一 缩 映象 的公 共 不 动点 问 题 ， 压 获得 了一 个新 的 公共 不 动点 定 理 ， 所得 结 果本 质 地 改进 了文 献 ［ ］ ３
一 。 。
引理 ２ Ⅲ 设 （ ） Ｘ， 是一 完备 度量 空间 ， ｝ Ｘ 中满 足 ｌ （ ． ）一 ０的序列 ． ｛ ） 是 Ｘ ｛ 是 ｉ ｙ ， ｍｄ ｙ 若 不
…
中的 Ｃ ｕ ｈ ａ ｃ ｙ列 ， 则必 存在 某 一 ￡ ＞ ０和正整数 列 ｛ ｝ ｛ ｝使 得 。 ， ，
第 １ ０卷 第 ２期 ２１ Ｏ １年 ３月
杭 州师范 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
G-度量空间两对非相容映象的几个新的公共不动点定理
定义 １ Ｉ ４ ． 如 称函数 满足条件（ ） ，如果函数 ：【 ０ ，＋ ∞ ） ［ ｏ ，＋ ∞ ） 是单调不减和右连续的， 且 （ ｆ ） ＜ ｔ （ ｔ ＞ ０ ） ． 引理 １ Ｉ ４ ＿ 册 设函数 满足条件（ ） ， 对任一实数ｔ ∈ 【 ０ ，＋ 。 ｏ ） ， 如果ｔ ≤ ） ， 则ｔ ： ０ ．
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｔ ｉ ｂ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ（ Ａ ｇ ） ｔ ｙ ｐ ｅ Ｒ— ｗ ｅ ａ ｋ ｃ ｏ ｍ ｍｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｓ ｅ ｌ ｆ － ｍａ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｐ ａ ｉ ｒ ｓ ，
ｍａ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｄ ｓ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ．
Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ． Ｇ— ＿ ’ ｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ；ｃ ｕ ｂ ｉ ｃ ｔ ｙ ｐ ｅ — — ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ；ｎ ｏ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｔ ｉ ｂ ｌ ｅ ｍａ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｐ ａ ｉ ｒ ｓ ；（ Ａ ｇ ） ｔ ｙ ｐ ｅ
摘要 ： 在 Ｇ一 度量空间 中， 利 用 自映 象对的非相容性和 （ Ａ ｇ ） 型 一 弱 交换性条件 ，在既不要求 空间的完备性 ， 也不要 求映 象连续的条件下 ， 建立 了一类立方型 一 压缩映 象条件下 ４个映象 的公共不动点定理 ，其结果改进和发展 了已有文献的相 关结果． 关键词 ： Ｇ一 度量空间；立方型 一 压 缩映 象；非相客映象对 ；（ Ａ ｇ ） 型 Ｒ一 弱交换 ；公 共不动
lefschetz不动点定理
Lefschetz 不动点定理是代数拓扑中的一个重要结果，由所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）提出。
这个定理提供了一种计算连续映射在紧致空间上不动点数量的拓扑
方法。
不动点是指那些在映射下保持不变的点，即对于映射 \( f: X \to X \)，不动点 \( x \) 满足\( f(x) = x \)。
Lefschetz 不动点定理的一般形式可以表述如下：
设 \(X\) 是一个紧致的三角化空间（也就是说，\(X\) 可以被分解成有限个彼此相接的三角形），且 \(f: X \to X\) 是一个连续映射。
定义Lefschetz数 \(L(f)\) 为：
\[ L(f) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \text{trace}(f_{*i}) \]
其中 \(f_{*i}\) 是 \(f\) 在 \(X\) 的第 \(i\) 个奇异同调群 \(H_i(X)\) 上的诱导映射，
\(\text{trace}(f_{*i})\) 是 \(f_{*i}\) 矩阵的迹。
Lefschetz 不动点定理断言，如果 \(L(f) \neq 0\)，那么映射 \(f\) 必有不动点。
更准确地说，\(L(f)\) 给出了 \(f\) 的不动点指标之和，这个和可能包含了正负指标的不动点，因
此 \(L(f)\) 不一定等于不动点的实际数量，但它告诉我们至少存在一个不动点。
这个定理在数学的许多领域都有应用，比如动力系统、代数几何和复杂系统的研究等。
它将拓扑性质（如同调群和它们的迹）与几何性质（如不动点）联系起来，体现了拓
扑学在解决几何问题中的强大能力。
《宝鸡文理学院学报(自然科学版)》2008年第28卷总目次
拟对 合矩 阵 …… …… …… …… ……… …… …… ……… … ……… …… …… …… …… 张君敏 ， 刘泽华 （ ２ ９）
一
类具 有 阶段结构 的捕 食系 统解 的渐 近性 … ……… …… …… …… …… …… ……… … …… 王爱 丽（ ６ ９）
不 确定 广义 时滞 系统 的时滞 相关非 脆弱 鲁棒 Ｈ。 。控制 … …… …… …… ……… … 玉 强 ， 吴保 卫（ ０ ） １ １ 多重模糊 稀疏 规则 库下 的线性 插值 推理 方法 ……… …… …… …… ……… …… … 杨 文光 ， 海 良（ ０ ） 赵 １ ６ 带 状线性 方程 组 的并行行 作 用方法 … …… ……… …… …… …… …… ……… …… 段 治健 ， 马欣 荣（ ６ ） １ ９ 关 于算子 方程 Ｘ －ＡＸ＝Ｘ Ａ－ ｐ的注记 …… …… …… …… ……… …… …… 郑艳 萍 ， 段樱桃 ， 杜鸿科 （ ７ ） １ ３ Ｖｏ ｕ ｎ ｎＮｅ ｍａ ｎ代 数 中套子 代数 上 Ｊ ｒ ａ ｏ ｄ ｎ基 本映射 的可 加性 … …… …… …… …… ……… 冯
关 于匹 配等 价 图的构造 … …… …… ・ …… …… …… ……… …… …… …… …… …… ……… ・ ・申世 昌（ ６ ８）
一
类 压缩 型 映象 的公共 不动 点定理 ……… …… …… …… …… …… ……… 董 清平 ， 陈军 民 ， 谷
峰 （ ８ ８）
常 系数非 齐次 线性 微分 方程 的一个 特解公 式 … …… …… …… …… ……… 蔡炯 辉 ， 继 明 ， 亚非（ ０ 杨 杨 ９）
关 于二元 函数 的三 角插值 逼 近 …… …… …… ……… …… …… …… ……… …… … 张 关 于具有 正 系数 的某一 类解 析 函数 …… ……… …… …… …… …… ……… … ……… …… … 洪
几类不动点定理的推广及证明
几类不动点定理的推广及证明几类不动点定理的推广及证明引言：不动点定理是数学中一个重要的定理，它在很多领域都有广泛的应用。
不动点，顾名思义，是指函数中某一点在映射后仍保持不变的点。
不动点定理从不动点的角度给出了函数存在或唯一性的条件。
本文将介绍几类不动点定理的推广，并给出证明。
一、Banach不动点定理的推广及证明：Banach不动点定理是最经典的不动点定理之一。
它适用于完备度量空间中的压缩映射，并保证了该映射存在唯一的不动点。
然而，在非完备度量空间中的压缩映射是否存在不动点呢？为了解决这个问题，可以引入相似性映射的概念。
相似性映射是指满足$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示度量空间中的距离函数。
根据较弱的条件，我们可以推广Banach不动点定理到非完备度量空间中的相似性映射，并得到存在不动点的结论。
证明：设$X$为一个非完备度量空间，$f:X\rightarrow X$为一个相似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leqk\cdot d(x,y)$对任意$x,y\in X$成立。
我们需要证明$f$存在一个不动点。
首先选取$X$中的任意点$x_0$，定义序列$\{x_n\}$如下：$$x_n=f(x_{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots$$接下来，我们证明$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。
由相似性映射的性质可知：$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k\cdotd(x_n,x_{n-1})$$不妨设$m>n$，则有：$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-n}d(x_1,x_0)$$利用等比数列求和公式，可以得到：$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdot d(x_1,x_0)$$ 由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一个有界数列。
乘积度量空间和模糊度量空间中的不动点定理
乘积度量空间和模糊度量空间中的不动点定理乘积度量空间和模糊度量空间中的不动点定理不动点定理是数学分析中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用。
乘积度量空间和模糊度量空间作为一种特殊的度量空间，也可以应用不动点定理。
乘积度量空间是指具有两个度量函数的度量空间。
设M是一个非空集合，d1和d2分别是集合M到实数集合的度量函数。
对于任意的x, y∈M，d1(x,y)，d2(x,y)满足度量空间的公理。
乘积度量空间的概念于1967年由A. V. Arhangel'ski获得，经过多年的研究，乘积度量空间的理论已经相对成熟。
模糊度量空间是模糊集理论在度量空间上的推广。
模糊集是一种包含不精确或模糊元素的数学集合，对于模糊集的描述不是用0和1来划分清晰的界限，而是利用隶属度来刻画元素的模糊程度。
类似于乘积度量空间，模糊度量空间也具有度量函数。
具体来说，设X是一个非空集合，μ是X上的一个模糊集，d是集合X×X到实数集合的度量函数，那么(d, μ)构成一个模糊度量空间。
不动点定理的基本思想是在给定的映射下，存在一个元素满足映射关系，这个元素就叫做映射的不动点。
不动点定理本质上是一种存在性定理，它指出了在特定条件下，映射必然存在一个不动点。
通过不动点定理可以解决很多实际问题，例如微分方程、概率论等。
在乘积度量空间中，Banach不动点定理是最基本的不动点定理之一。
它指出在完备的乘积度量空间中，任何一个压缩映射都存在唯一的不动点。
我们知道，一个映射只有当满足压缩条件时，才能保证存在唯一的不动点。
压缩映射的定义是指存在一个常数0 < k < 1，使得对于所有的x, y∈M，都有：d(f(x),f(y)) ≤ kd(x,y)其中，f是从完备的乘积度量空间M到自身的映射。
模糊度量空间中的不动点定理相对复杂一些。
在模糊度量空间中，我们需要引入模糊压缩映射的概念。
模糊压缩映射是指存在一个常数0 < k < 1和模糊度量函数d(x,y)的隶属度函数m，使得对于任意的x, y∈X，都有：μ(m(d(f(x),f(y)))) ≥ μ(d(x,y))其中，f是从完备的模糊度量空间(X,d,μ)到自身的映射。
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｛狔｜犱（狓，狔）＜ε｝，ε＞１，犖∈犖 使得 狀≥犖 时有狓狀∈犅ε（狓）．则称序列 ｛狓狀 ｝积性收敛于狓，记作 狓狀→狓
（狀→ ）．
引理１［３］ 设 （犡，犱）是乘积度量空间，｛狓狀 ｝是 犡 中的序列，狓∈犡．则有
狓狀 →狓（狀 → ）犱（狓狀，狓）→１（狀 → ）．
定义３［３］ 设 （犡，犱）是乘积度量空间，｛狓狀 ｝是犡 中的序列，狓∈犡．若对于ε＞１，都存在一个正整
狔狀）→犱（狓，狔）（狀→ ）．
定 义６［３］ 设 （犡，犱）是一个乘积度量空间，犳：犡→犡 被称为乘积压缩的，若存在一个实常数λ∈（０，
１］，对于所有的 狓，狔∈犡 有犱（犳狓，犳狔）≤犱λ（狓，狔）．
定义７［７］ 设 犳 和犵 是乘积度量空间 （犡，犱）中的两个自映象，称映象对 （犳，犵）是 可 交 换 的，若 对
乘积度量空间中四个映象的公共不动点定理
姜 云，谷 峰
（杭州师范大学应用数学研究所，杭州师范大学理学院，浙江 杭州 ３１００３６）
摘 要：在乘积度量空间中，使用映象对相互连续和φ弱交换的条件，证明了关于四个映象的几个新的 公 共 不 动 点 定 理 ．文 章 的 结 果 拓 展 和 改 进 了 之 前 文 献 中 一 些 相 关 结 果 ．
数 犖∈犖 使得当 狀，犿≥犖 时，有 犱（狓狀，狓犿 ）＜ε 成立．则称 ｛狓狀 ｝是 犡 中的乘积柯西序列．
引 理２［３］ 设 （犡，犱）是乘积度量空间，｛狓狀 ｝是 犡 中的序列．则 ｛狓狀 ｝是 犡 中的乘积柯西列当且仅当
犱（狓狀，狓犿 ）→１（狀，犿→）．
定义４［３］ 一个乘积度量空间 （犡，犱）被称为是乘积完备的，如 果 （犡，犱）中 的 每 个 乘 积 柯 西 序 列 都
任意的 狓∈犡 有犳犵狓＝犵犳狓．
定义８［７］ 设 犳 和犵 是乘积度量空间 （犡，犱）中的两个自映象，称映象对 （犳，犵）是 弱 交 换 的，若 对
任意的 狓∈犡 有犱（犳犵狓，犵犳狓）≤犱（犳狓，犵狓）．
８４
杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０１８ 年
烄犪，犪 ≥１；
狘犪狘＝
烅１ 烆犪
，犪
＜
１．
则 犱 是 犚狀＋ 上的一个乘积度量，（犚狀＋ ，犱）是一个乘积度量空间．
定义２［３］ 设 （犡，犱）是乘积度量空间，｛狓狀 ｝是 犡 中的序列，狓∈犡．若对任意的积性开球 犅ε（狓）＝
引理３［３］ 设 （犡，犱犡 ）和 （犢，犱犢 ）是两个乘积度量空间，犳：犡→犢 是 一 个 映 象，狓∈犡．则 犳 在狓 点
乘积连续当且仅当对于每个序列 ｛狓狀｝犡，当狓狀→狓（狀→）时，总有 犳（狓狀）→犳（狓）（狀→）．
引理４［３］ 设 （犡，犱）是乘积度量空间，｛狓狀｝，｛狔狀｝犡，狓，狔∈犡，且狓狀→狓，狔狀→狔（狀→ ），则 犱（狓狀，
犱（狓，狔）＝
狓１ · 狓２
狔１
狔２
… 狓狀 狔狀
，
其中 犡＝（狓１，…，狓狀），狔＝（狔１…，狔狀）∈ 犚狀＋ ，且 ｜·｜：犚狀＋ → 犚狀＋ 有如下定义：
收 稿 日 期 ：２０１７０３１５ 基金项目：国家自然科学基金项目 （１１０７１１６９）；浙江省自然科学基金项目 （Ｙ６１１０２８７）． 通 信 作 者 ：谷 峰 （１９６０— ），男 ，教 授 ，主 要 从 事 非 线 性 泛 函 分 析 及 应 用 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｇｕｆｅｎｇ９９＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ
条件：
１Hale Waihona Puke 犱（狓，狔）≥１ ，狓，狔∈犡，犱（狓，狔）＝１狓＝狔； ２）犱（狓，狔）＝犱（狔，狓），狓，狔∈犡； ３）犱（狓，狔）≤犱（狓，狕）·犱（狕，狔），狓，狔，狕∈犡（乘 法 三 角 不 等 式 ）．
这时称犱 是 犡 上的一个乘积度量，称 （犡，犱）是一个乘积度量空间． 例１［３］ 设 犚狀＋ 是所有 狀 元正实数的集合，设 犱：犚狀＋ × 犚狀＋ → 犚 定义如下：
第１７卷 第１期 ２０１８ 年 ０１ 月
杭 州 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｎｇｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
犱狅犻：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４２３２Ｘ．２０１８．０１．０１８
Ｖｏｌ．１７ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１８
关键词：乘积度量空间 ；压缩映象；φ弱交换映像；相互连续；公共不动点 中 图 分 类 号 ：Ｏ１７７；Ｏ１８９ 犕犛犆２０１０：：４７Ｈ１０；５４Ｈ２５；５５Ｍ２０ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７４２３２Ｘ（２０１８）０１００８３０７
１ 引言和预备知识
在 犡 中乘积收敛．
定义５［３］ 设 （犡，犱犡 ）和 （犢，犱犢 ）是两个乘积度量空间，犳：犡→犢 是一个函数，狓０∈犡．如 果 对 每 个
ε＞０，存在一个δ＞１ 使得 犳（犅δ（狓０））犅ε（犳（狓０）），则称 犳 在狓０点乘积连续．如果 犳 在 犡 中 每 一 点 都
乘积连续，则称 犳 在 犡 上乘积连续．
缩条件，并在比文献［６］更弱的条件下，证 明 了 几 个 新 的 公 共 不 动 点 定 理．同 时 在 ２０１５ 年，相 互 连 续 性 的概念也被提出．本文在这些前人的工作基 础 上，利 用 相 互 连 续 性 减 弱 Ｇｕ 和 Ｃｈｏ［７］的 结 果 进 而 得 到 公
共不动点定理．
在 介 绍 主 要 结 果 之 前 ，先 介 绍 一 些 基 本 概 念 和 已 知 结 果 ． 定义 １［２］ 设 犡 是一非空集合，称映象 犱：犡×犡→犚＋ 是 集 合 犡 上 的 一 个 乘 积 度 量，如 果 满 足 以 下
自 １９２２ 年 Ｂａｎａｃｈ［１］证明了 Ｂａｎａｃｈ 压缩原理以来，不动点问题一直被很多作者研究．之后，Ｂａｓｈｉｒｏｖ 等［２５］相继引入了乘积度量空间并证明了乘积度量空间中的不 动 点 定 理．Ｋａｎｇ等 引 ［６］ 入 了 相 容 映 象 的 概 念后证明了相容映象的几个公共不动点定理．２０１５年，Ｇｕ和 Ｃｈｏ［７］在乘积度量空间中研究了一类新的压