希望杯全国数学邀请赛高一(二试)试题
第9届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ）（A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数 （C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理
A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、 组填空题（每题 分，共 分） 11 ． 已 知 函 数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时 ，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（ ）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛福建赛区获奖名单
贺信在全省各地教研部门的精心组织和各参赛学校领导、教师的大力支持下，第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛已经圆满结束。
经“希望杯”全国数学邀请赛组委会审定，福建赛区共有393名同学获奖，我们向获奖学生及优秀教练员、优秀辅导员表示最热烈的祝贺！福建省特级教师协会福建省数学学会初等数学分会杰出（福建）教育网络开发有限公司2011年5月26日获奖名单公布如下一等奖（3名）年级学校（全称）姓名指导教师初一漳州立人学校蔡伟华涂开能初二福州第十九中学林克廉黄巧红高一仙游县私立第一中学严江鹏李志明二等奖（28名）年级学校（全称）姓名指导教师初二长乐航城中学陈诚许碧容高一福建师范大学附属中学吴秉杰连信榕高一福建师范大学附属中学涂霁原连信榕高一福建师范大学附属中学林弘韬连信榕初一福州第十八中学林瀚峣韩振卿初一福州第十八中学高奕飞韩振卿初二福州第十八中学林心乔陈立羽初二福州第十八中学杨家璇郭炜颖初一福州华伦中学陈潘钺胡春来初一福州时代中学翁家翌戴炜初一福州时代中学陈晔林晶初二福州时代中学潘君坦范达铭初二福州时代中学林铖陈宏文初二福州第十九中学庄子安刘钟初二福州屏东中学叶冀平赵觅初二福州延安中学张瑞喆陈钦初二福州延安中学黄超陈碧初一连江启明中学余心乐张立群高一仙游第一中学胡群学刘金星高二仙游第一中学曾林陈凤龙高二仙游县私立第一中学彭潜陈凤灿高二云霄第一中学孙泗泉庄泽海高二漳州第一中学胡泓昇林良勇初一漳州立人学校刘锦平涂开能初一漳州立人学校杨锦昌涂开能初一漳州立人学校吴楚红涂开能初一漳州立人学校林绍锐韩建山高二漳州平和正兴学校庄勇临杨泽望三等奖（共362名）年级学校（全称）姓名指导教师初一长乐第二中学林锦航叶玉娟初一长乐第二中学杨心语陈传述高一长乐第二中学王嘉铭黄春生初二长乐航城中学陈明旭黄英初二长乐航城中学林梓航魏锦红初一福建东侨经济开发区中学周国锦阮慧初一福建东侨经济开发区中学陈友文章杰初一福建闽江学院附属中学陈辉宇郭妮亚初一福建闽江学院附属中学张寒琼李霞初一福建闽江学院附属中学陈见非郭妮亚初二福建闽江学院附属中学陈杨鄢坚初二福建闽江学院附属中学杨骏涵余秀莲初二福建闽江学院附属中学翁杭鄢坚初二福建师范大学第二附属中学叶锦辉陈文磊初二福建师范大学第二附属中学倪钰超蔡文萍初二福建师范大学第二附属中学张煜奇林燕高一福建师范大学第二附属中学程林鑫林瑞菊高二福建师范大学第二附属中学叶志辉林钊、陈莺高一福建师范大学附属中学叶韫盛连信榕高一福建师范大学附属中学吴志鹏连信榕高一福建师范大学附属中学杨志灿连信榕高一福建师范大学附属中学陈群连信榕高一福建师范大学附属中学朱睿连信榕初一福州八中鳌峰初级中学严若诗丁一意初二福州八中鳌峰初级中学林冰颖刘健初二福州八中鳌峰初级中学黄宇恒刘健初一福州八中江南水都分校曾宇涵黄智灵初二福州八中江南水都中学王星慧陈恩敏初一福州城门中学章文长龙小华初一福州第二十四中学张恩泽吴件灯初一福州第二十四中学魏杰陈雯初一福州第二十四中学章逸舟陈永清初一福州第二十四中学郑翔鹏陈永清初一福州第二十四中学林炜吴件灯初二福州第二十四中学陈泽安林艳群初二福州第二十四中学吴嘉伟游益初二福州第二十四中学陈锦榕林艳群初二福州第二十四中学余成明林森初二福州第二十四中学刘郭蕙游益初二福州第二十四中学江志鸿赵梅霞初二福州第二十四中学杨文婷赵梅霞初二福州第二十四中学郭逸菲林森初一福州第二十五中学陈孝强郑咏初一福州第二十中学陈奇俞铭初二福州第二十中学林斌辜敏霞初一福州第六中学何明城林燕云初一福州第六中学兰文国宋晓洁初一福州第七中学林东邹广华初一福州第七中学邱志勇吴红初一福州第七中学王衍舒邹广华初一福州第七中学李强魏道耀初一福州第三十六中学张毓琦陈英平初二福州第三十六中学陈嘉晞郑晚霞初二福州第三十六中学练云杉徐鉴明初二福州第三十六中学陈鸿锐徐鉴明初二福州第三十六中学林雪翎徐鉴明初二福州第十八中学陈德郭炜颖初二福州第十八中学林乐德郭炜颖初一福州第十八中学黄松睿詹春华初一福州第十八中学黄悦冬吴毓星初一福州第十八中学林晗璇吴毓星初一福州第十八中学孙宋源韩振卿初一福州第十八中学余佳秀陈英初二福州第十八中学林翰桢郭炜颖初二福州第十八中学游志航陈露初二福州第十八中学张旸帆郭炜颖初二福州第十八中学曾豪陈露初二福州第十八中学赖子萱郭炜颖初二福州第十八中学王渝婧陈露初二福州第十八中学陈颖峰陈立羽高一福州第十八中学陈天元于倩倩初一福州第十二中学张铖祥张云锋初一福州第十二中学陈晓桐张黎初二福州第十二中学江磊思林李初二福州第十二中学吴燕金阮佩洁初二福州第十二中学江心如林李初二福州第十二中学李龙翔阮佩洁初二福州第十二中学王柄基林李初一福州第十九中学卢政先周韧初一福州第十九中学叶景晨陈祥初一福州第十九中学邱晧晨张辉初一福州第十九中学刘劭荣吴崧初一福州第十九中学林振宇吴崧初一福州第十九中学徐寅宁赵娟初二福州第十九中学王晨杜石水初二福州第十九中学叶铠逞刘钟初二福州第十九中学洪智源刘钟初二福州第十九中学林昊翔刘钟初二福州第十九中学王乐平刘钟初二福州第十九中学翁才智刘钟初一福州第十六中学林听侯雪花初一福州第十六中学姜希远陈国光初一福州第十六中学陈至桐胡秀碧初二福州第十六中学阮浩椿吴燕初二福州第十六中学陈诗涵郭晓灵初二福州第十六中学陈超然郭晓灵初一福州第十四中学陈新杰高瑜玫初一福州第十四中学李莹钱江初二福州第十四中学林旭珍郑艳媚初二福州第十四中学吴榕彬康萍初二福州第十四中学黄瑜阳康萍初一福州第十一中学仇忱忻陈梅初一福州第十一中学周泽晖林维初一福州第十中学陈柏涛翁燕珠初一福州第十中学陈华卓始裕初一福州第十中学龚洋洋卓始裕初二福州第十中学潘智赟林武初二福州第十中学郑洵张夏英初二福州第十中学冯子鑫张夏英高一福州第四十中学赵旭如林柯高二福州第四十中学郑魁陈永星初一福州第四十中学宋智行俞云妹初二福州第四十中学任筠玉郑秋萍俞云妹初二福州第四十中学陈琳连玉凤俞云妹初二福州第四十中学吴昀皓连玉凤俞云妹高一福州高级中学蔡伯文赖晓晖高一福州高级中学王丹健赖晓晖高一福州格致中学苏涵陈怡高一福州格致中学何捷李颂京高一福州格致中学陈偲尔李颂京高二福州格致中学林志滨王秀桦初一福州格致中学鼓山校区阙慧敏徐朝和初一福州格致中学鼓山校区黄薇徐朝和初二福州格致中学鼓山校区虞黄凯林静初一福州鼓山中学郑榕郭祥镜初二福州鼓山中学贾龙生黄道清初二福州鼓山中学黄嘉嘉严学钦初一福州华伦中学黄宏飞胡春来初一福州华伦中学余秉鸿胡春来初一福州华伦中学黄国是胡春来初一福州华伦中学洪博展胡春来初一福州华伦中学郑琪胡春来初一福州华伦中学林晖虎胡春来初一福州华伦中学杨啸宇胡春来初一福州华伦中学林枢徐婷婷初二福州华伦中学林郁杨景文初二福州华伦中学郑戈言章兴姬初二福州华伦中学吴领峰钟昭初二福州华伦中学杨仕达杨景文初一福州华南实验中学欧树文陈闽旭初一福州华南实验中学陈鸿杰陈闽旭初二福州华南实验中学陈志文侯付兵高一福州华侨中学陈鸿晖叶家旺高一福州华侨中学黄秋远欧延高二福州华侨中学施林侯惠婷高二福州华侨中学魏雄周建梅初一福州屏东中学陈洛晖陈鸿燕初一福州屏东中学余君珺林航初一福州屏东中学林虹灏林航初一福州屏东中学黄嘉宜林航初一福州屏东中学甘露胡碧莲初一福州屏东中学程晓楠林航初一福州屏东中学黄迎松朱爱斌初一福州屏东中学施恭和林航高一福州屏东中学洪延捷吴林津初二福州屏东中学赵新涌陈晶磊初二福州屏东中学陈吉帆叶蓉初二福州屏东中学杨涛叶蓉初二福州屏东中学林乙杰叶蓉初二福州屏东中学赖澄烨翁希凡初二福州屏东中学林位麒叶蓉初二福州屏东中学陈雯孙阳初一福州时代中学陈烨嘉王清初一福州时代中学何辰星林晶初一福州时代中学刘烨镔魏正余初一福州时代中学刘彬立王清初一福州时代中学陈歆萍吴婷初一福州时代中学江典健吴婷初一福州时代中学李浩阳冉爱凤初一福州时代中学吴迪冉爱凤初一福州时代中学林沁炜吴婷初一福州时代中学陈竑屹林晶初二福州时代中学张昊陈宏文初二福州时代中学张鹏超刘昕初二福州时代中学魏旭鹏黄秋超初二福州时代中学叶秉奕周芝峰初二福州时代中学陈楚范达铭初二福州时代中学曾沁杉夏林初二福州时代中学黄乐鋆范达铭初二福州时代中学潘南黄秋超初二福州时代中学余之涵夏林初二福州时代中学林艳艳周芝峰初二福州时代中学蔡子弦周芝峰初二福州时代中学张仑刘昕初一福州树德学校郑阳洋何锦阳初一福州树德学校林晨钮桂桂初一福州树德学校黄凌浩陈登旺初二福州树德中学林清华魏凤金初二福州树德中学陈贵刘梅珠初二福州树德中学林成崴张宇初二福州树德中学张玥郑娟云初一福州四中桔园洲中学张爽高晓晴初一福州四中桔园洲中学刘以荣王玲娟初一福州铜盘中学池丞翁举闻初一福州铜盘中学陈禹睿郑圳杭初二福州铜盘中学林在培俞波初二福州铜盘中学李宇桢俞波初二福州铜盘中学王琪王子楚高二福州铜盘中学李锦如柳榕初一福州外国语学校柯景龙郑球初一福州外国语学校黄河清郑球初一福州秀山中学黄圣杰俞和贞初一福州秀山中学林枭彬俞和贞初二福州秀山中学黄亨利张璇初一福州延安中学杨文韬江烽初一福州延安中学江应丰周惠艳初一福州延安中学李启轩江烽初一福州延安中学史博文欧之海初一福州延安中学柳嘉鸿余盛怀初一福州延安中学陈思怡周惠艳初二福州延安中学江舒媛陈虹初二福州延安中学陈翔倩陈钦初二福州延安中学陈轲陈国平初二福州延安中学林天宇陈国平初二福州延安中学许嘉宜陈钦初二福州延安中学林浚杰刘敦玲初二福州延安中学陈雨淅刘敦玲初二福州延安中学徐鑫翁珠芳初一福州杨桥中学柳林森王娟初一福州杨桥中学方紫薇陈清松初一福州杨桥中学李卓林陈清松初二福州杨桥中学冯子诚邱惠西初二福州杨桥中学张陈怿旸赵凌志初二福州杨桥中学范玮辰邱惠西初二福州杨桥中学许佳明赵凌志初二福州英才中学林威高丽丽初一福州英才中学潘梓明蓝菊华初一福州则徐中学方玮江淹初二福州则徐中学张睫茹杨怀宇初一蕉城区教师进修学校附属中学王建锋林挺锋初一蕉城区教师进修学校附属中学林悦林挺锋初一连江凤城中学董梁立方圆初一连江凤城中学郑思远吴兆强初一连江凤城中学孙新胜方圆初一连江凤城中学林大海陈节长初一连江启明中学林乾喜陈祖强初一连江启明中学陈理键陈祖强初一连江启明中学詹志坚游姗初一连江启明中学林泽胤翁孝团初一连江启明中学李崧张立群初二连江启明中学陈祖栋谢建凤初二连江启明中学周耕宇缪伟初二连江启明中学连天虹谢建凤初二连江启明中学江鸿轩谢建凤初一连江文笔中学黄毅王先锋初一连江文笔中学林辛怡陈武用初二连江文笔中学杨先航肖良宇初二连江文笔中学蔡若琛郑维高初二连江文笔中学杨浩郑锋初二连江文笔中学陈桂冰陈勇彬高一罗源第一中学郭丽超张贵根高一罗源第一中学郑俊杰张贵根高二罗源第一中学郑赐灵尤永礼高二罗源第一中学郑剑韬尤永礼初一宁德第十中学卢嵩蔡作斌初一宁德第十中学吴倩雯陈新军初二宁德第十中学章晓婷陈云玉初二宁德第十中学林凡琳魏玉生初二宁德第十中学游以琳彭光清初二宁德第十中学刘东祚陈云玉初二宁德蕉城中学陈子楠陈序述高二宁德市柘荣第一中学缪宇杰陈坤其高二宁德市柘荣第一中学吴余群袁诗钟初一宁德树德学校陈曦张翔飞初一宁德树德学校林省建张翔飞初一宁德树德学校傅永浩杨鼎莺高一仙游第一中学陈集懿刘金星高一仙游第一中学林毓斌黄开云高一仙游第一中学张鑫黄秀平高一仙游第一中学张钊颖刘金星高一仙游第一中学郭帅李新岳高一仙游第一中学李阳李新岳高一仙游第一中学郑依依刘金星高二仙游第一中学郑汉极陈凤龙高二仙游第一中学柯逸臻陈凤龙高二仙游第一中学柯延钊许世敬高二仙游第一中学王玮铭陈凤龙高二仙游第一中学郑侃炜陈凤龙高二仙游第一中学陈晓煜陈凤龙高一仙游县华侨中学张杰林朝辉高二仙游县华侨中学吴进喜林朝辉高一仙游县私立第一中学吴江峰陈明辉高一仙游县私立第一中学张煌舜陈明辉高一仙游县私立第一中学陈承响李志明高二仙游县私立第一中学杨伟康陈凤灿高二仙游县私立第一中学张达陈凤灿高二仙游县私立第一中学吴宇雳陈凤灿高二仙游县私立第一中学黄健男陈凤灿初二仙游现代中学柯延宇郑绍红初二仙游现代中学林伟郑绍红初二仙游现代中学岳建理郑绍红初二仙游现代中学郑哲蔚郑绍红初二仙游现代中学张之山张金标初一漳州程溪中学王艺军陈林云初一漳州程溪中学许淑君叶舒文高一漳州程溪中学蒋凌欣林荣耀初一漳州第三中学王毅航林艺彬高二漳州第三中学李捷英徐桂锦高二漳州第三中学林莉莉吴攀高一漳州第一中学陈炳森胡彩霞高一漳州第一中学游宇铭李彬高二漳州第一中学姚秋黄林良勇高二漳州第一中学程曦林良勇高二漳州第一中学陈虹婷林良勇高一漳州港尾中学江宗棋杨锡鑫初二漳州广兆中学林宏锴谢荣玉初一漳州华安第一中学赵凌杰郑荣坤初一漳州华安第一中学李勋虎郑荣坤初一漳州华安第一中学廖陆枭郑荣坤初二漳州华安第一中学王彦哲张旺金初二漳州华安第一中学李靖张旺金高一漳州华安第一中学戴琦炜汤炜国高二漳州华安第一中学林杰超吴德发初一漳州立人学校朱天培吴洋辉初一漳州立人学校罗东阳吴洋辉初一漳州立人学校邱德志吴洋辉初二漳州立人学校李燕婷李幼华初二漳州立人学校薛文溢李幼华初二漳州立人学校林任奇许亚梅高一漳州龙海二中蔡艺玲郭文俊高一漳州龙海二中徐昱群郭文俊高一漳州龙海二中苏志鹏郭文俊高二漳州龙海二中黄安庆姚惠美高二漳州南靖第一中学黄欣培许耀德高二漳州南靖第一中学戴国雄许耀德高二漳州南靖第一中学陈朴许耀德高二漳州南靖第一中学洪权许耀德高二漳州南靖第一中学卢菁华许耀德高一漳州南靖一中黄睿阮宏忠高一漳州南靖一中沈讷宏阮宏忠高二漳州平和第一中学张荣杰吴建来高一漳州平和第一中学黄慧华赖平民初一漳州平和正兴学校吴婕庄文超初一漳州平和正兴学校李鸿庄文超初一漳州平和正兴学校张志祥游斗忠初二漳州平和正兴学校林子童赖清峰初二漳州平和正兴学校罗文源叶炳耀初二漳州平和正兴学校李姝彦叶炳耀高一漳州平和正兴学校林文智周可忠高一漳州平和正兴学校赖美榕周可忠高二漳州平和正兴学校卢明炷杨泽望高二漳州平和正兴学校林艺杨杨泽望高二漳州平和正兴学校杨文杰杨泽望初一漳州五寨中学林鹏煌庄燕瑜高一漳州云霄一中汤灿伟陈文芳高二漳州云霄一中吴鑫辉庄泽海高一漳州云霄一中吴伟鑫陈文芳高一漳州云霄一中吴泽桂陈文芳初一漳州平和正兴学校李靖豪游斗忠初一漳州平和正兴学校陈炎生游斗忠初一漳州平和正兴学校陈柏宏游斗忠初一漳州平和正兴学校吴日恒庄文超初一漳州平和正兴学校卢泽宾游斗忠初一漳州平和正兴学校李泉贵游斗忠初一漳州平和正兴学校林书煜庄文超初一周宁县第十中学叶国文蒋学坚初二周宁县第十中学詹斌谢蔡忠高一周宁县第十中学陈英玉周文文初一周宁县狮城中学陈书琪叶宝才初一周宁县狮城中学许含颖汤胜周初二周宁县狮城中学吴文杰詹妙芳初二周宁县狮城中学郑宇萍郑木森。
第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。
（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。
（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。
（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。
6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题
第１７届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第１试 一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．在数轴上，点Ａ对应的数是－２００６，点Ｂ对应的数是＋１７．则Ａ、Ｂ两点的距离是（）（Ａ）１９８９． （Ｂ）１９９９．（Ｃ）２０１３．（Ｄ）２０２３．２．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数；②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数；③两个符号相反的分数之间必定有一个整数；④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数．其中真命题的个数为（）（Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４．图１３．图１是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图，从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的（）（Ａ）１２％． （Ｂ）２２％．（Ｃ）３２％． （Ｄ）２０％．４．如果ａ＜－３，那么（）（Ａ）ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１．（Ｂ）ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３．（Ｃ）ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．（Ｄ）ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２．５．如图２的交通标志中，轴对称图形有（）（Ａ）４个．（Ｂ）３个．（Ｃ）２个．（Ｄ）１个．图２６．对于数ｘ，符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数．例如［３．１４］＝３，［－７．５９］＝－８．则满足关系式［３ｘ＋７７］＝４的ｘ的整数值有（）（Ａ）６个．（Ｂ）５个．（Ｃ）４个．（Ｄ）３个．图３７．在图３所示的４×４的方格表中，记∠ＡＢＤ＝α，∠ＤＥＦ＝β，∠ＣＧＨ＝γ，则α，β，γ的大小关系是（）（Ａ）β＜α＜γ．（Ｂ）β＜γ＜α．（Ｃ）α＜γ＜β．（Ｄ）α＜β＜γ．８．方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝７的正整数解有（）（Ａ）１０组．（Ｂ）１２组．（Ｃ）１５组．（Ｄ）１６组．图４９．如图４，ＡＢＣＤ与ＢＥＦＧ是并列放在一起的两个正方形．Ｏ是ＢＦ与ＥＧ的交点．如果正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，ＣＧ＝２厘米．则·４３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期△ＤＥＯ的面积是（）．（Ａ）６．２５平方厘米．（Ｂ）５．７５平方厘米．（Ｃ）４．５０平方厘米．（Ｄ）３．７５平方厘米．１０．有如下四个叙述：①当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．②当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．③当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．④当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．其中正确的叙述是（）（Ａ）①③．（Ｂ）②④．（Ｃ）①④．（Ｄ）②③．二、Ａ组填空题１１．神舟六号飞船的速度为７．８千米／秒，航天员费俊龙用３分钟在舱内连做４个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了千米．１２．已知ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝－３０，则ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝．１３．图５为某工厂２００３年至２００５年的利润和资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是年．（注：资产利润率＝利润总资产）图５１４．计算：１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝．图６ １５．图６是一个程序流向图，请你看图说出“终止”处的计算结果是．１６．已知ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），则ｍ２＋１ｍ２的值是．１７．ｎ是自然数，如果ｎ＋２０和ｎ－２１都是完全平方数，则ｎ等于．１８．Ｉｆ ｘ＝２ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１，ｔｈｅｎ ａ＝．（英汉词典：ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ解）１９．将（１＋２ｘ－３ｘ２）２展开，所得多项式的系数和是．图７２０．如图７所示，圆的周长为４个单位长度，在圆的４等分点处，顺时针方向依次标上数字０，１，２，３．先让圆周上数字０所对应的点与数轴上的数－１所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，使数轴上－２，－３，－４，…所对应的点与圆周上３，２，１，…所对应的点重合，那么数轴上数－２００６与圆周上对应的数是．三、Ｂ组填空题２１．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成２７块大小相同的小正方体．在这些小正方体中，没涂漆的有个，至少被漆２个面的有块．图８２２．如图８所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８厘米，ＢＣ＝６厘米．分别以ＡＣ、ＢＣ为边向形外作正方形ＡＥＤＣ、ＢＣＦＧ．三角形ＢＥＦ的面积为ａ，六边形ＡＥＤＦＧＢ面积为Ｓ．则ａ＝平方厘米，且ａＳ＝．·５３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版２３．世界十大沙漠的面积见下表：（面积单位：万平方千米）名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积８６０ ２３３ １６９ １５５ １０４名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积６７ ６５ ５２ ４１ ３２十大沙漠的总面积为万平方千米．已知地球陆地面积为１．４９亿平方千米，占地球表面积的２９．２％，则十大沙漠的总面积占地球表面积的％（精确到千分位）．２４．甲自Ａ向Ｂ走了５．５分钟时，乙自Ｂ向Ａ行走，每分钟比甲多走３０米．他们于途中Ｃ处相遇．甲自Ａ到达Ｃ用时比自Ｃ到Ｂ用时多４分钟，乙自Ｃ到Ａ用时比自Ｂ到Ｃ用时多３分钟．则甲从Ａ到Ｃ用了分钟，Ａ、Ｂ两处的距离是米．２５．将１，２，３，４，５，６，７，８，９按任意顺序写成一排，其中相邻的３个数字组成一个三位数．共有七个三位数，求这七个三位数的和．则所得这些三位数之和的最小值是．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 提示１．Ａ，Ｂ两点间的距离是＋１７－（－２００６）＝１７＋２００６＝２０２３．故选（Ｄ）．２．如－１２和１２之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．０介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选（Ｂ）．３．参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的１００％－１７％－２６％－３５％＝２２％．故选（Ｂ）．４．因为ａ＋２ａ＋３＝１－１ａ＋３，ａ＋１ａ＋２＝１－１ａ＋２，ａａ＋１＝１－１ａ＋１，又ａ＋１＜ａ＋２＜ａ＋３＜０，可得０＜－（ａ＋３）＜－（ａ＋２）＜－（ａ＋１），所以－１ａ＋１＜－１ａ＋２＜－１ａ＋３，因此ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．故选（Ｃ）．５．第一、第三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选（Ｃ）．６．解不等式４≤３ｘ＋７７＜５，得整数解ｘ＝７，８，９．故选（Ｄ）．７．观察图形，易知 ∠ＡＢＤ＝α＞９０°，∠ＤＥＦ＝β＜９０°，∠ＣＧＨ＝γ＝９０°，所以β＜γ＜α．故选（Ｂ）．８．因为ｘ，ｙ，ｚ均为正整数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝７，所以１≤ｘ≤５．下面分类讨论：当ｘ＝１时，有５组解；当ｘ＝２时，有４组解；当ｘ＝３时，有３组解；当ｘ＝４时，有２组解；当ｘ＝５时，有１组解．共计５＋４＋３＋２＋１＝１５（组）解．故选（Ｃ）．９．如图９，连接ＢＤ，易知ＢＤ∥ＥＧ，图９所以△ＥＤＯ与△ＢＥＯ的面积相等．由于Ｏ是正方形ＢＥＦＧ的对角线ＢＦ与ＥＧ的交点，所以△ＢＥＯ的面积等于正方形ＢＥＦＧ面积的四分之一．因为正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，所以边长ＢＣ＝３厘米．又ＣＧ＝２厘米，因此，ＢＧ＝５厘米，正方形ＢＥＦＧ的面积等于２５平方厘米．所以△ＥＤＯ的面积＝△ＢＥＯ的面积＝２５４＝６．２５（平方厘米）．故选（Ａ）．·６３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１０．当０＜ｘ＜１或－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ和１－ｘ＋ｘ２都大于０，所以两式的比值大于０．又（１－ｘ＋ｘ２）÷１１＋ｘ＝（１－ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）＝１＋ｘ３，当０＜ｘ＜１时，１＋ｘ３＞１，所以①正确，②不正确；当－１＜ｘ＜０时，１＋ｘ３＜１，所以③不正确，④正确．故选（Ｃ）．二、Ａ组填空题题号１１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０答案３５１ ５０ ２００４ １６－３２９４４２１－４ ０ ３ 提示１１．费俊龙“翻”一个跟斗的时间为（３×６０÷４）秒，神舟六号飞船飞行的速度为７．８千米／秒，所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了７．８×３×６０÷４＝３５１（千米）．１２．因为ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝－３０，所以ａｂ＝－１０．故 ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ＋１１＝３２－３×（－１０）＋１１＝５０．１３．计算得２００３年的资产利润率＝３００３０００×１００％＝１０％，２００４年的资产利润率＝３６０３２００×１００％＝１１．２５％，２００５年的资产利润率＝４８０５０００×１００％＝９．６％，所以资产利润率最高的年份是２００４年．１４．１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝１７×－２＋１３８（）×－１６１７（）３８＝１６．１５．只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是－２的５次方，等于－３２．１６．译文：如果ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），那么ｍ２＋１ｍ２＝．解 由条件知 ｍ－２＝－４１ｍ＋２，即（ｍ－２）１ｍ＋２（）＝－４，１－２ｍ＋２ｍ＝０．所以１ｍ－ｍ＝１２，两边平方，再整理得 ｍ２＋１ｍ２＝９４．１７．设ｎ＋２０＝ａ２，ｎ－２１＝ｂ２（ａ，ｂ均为整数），则ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝４１，且ａ２＞ｂ２，又因为４１是质数，所以ａ－ｂ＝１，ａ＋ｂ＝４１；｛或ａ－ｂ＝４１，ａ＋ｂ＝１；｛或ａ－ｂ＝－１，ａ＋ｂ＝－４１；｛或ａ－ｂ＝－４１，ａ＋ｂ＝－１．｛方程组的两式相加，得２ａ＝４２，或２ａ＝－４２，即ａ＝２１，或ａ＝－２１，从而ｎ＝ａ２－２０＝４４１－２０＝４２１．１８．译文：已知ｘ＝２是方程１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１的解，那么ａ＝．解 从外向里逐层去括号：１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０＝９，１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＝－１，１３ｘ＋ａ２＋４（）－７＝－６，１３ｘ＋ａ２＋４（）＝１，ｘ＋ａ２＋４＝３，ｘ＋ａ２＝－１，ｘ＋ａ＝－２．将ｘ＝２代入上式，得ａ＝－４．·７３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版１９．多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｍ－１ｘ１＋ａｎ的系数和为ａ０＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ－１＋ａｎ，故只需令多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｎ－１ｘ１＋ａｎ中的ｘ＝１即可．所以（１＋２ｘ－３ｘ２）２的展开式的系数和为（１＋２－３）２＝０．２０．因为｜（－２００６）－（－１）｜＝２００５＝５０１×４＋１，所以数轴上的数－２００６与圆周上的数３相对应．三、Ｂ组填空题题号２１ ２２ ２３ ２４ ２５答案１；２０ ６６；１４８ １７７８；３．４８ １０；１４４０ ４６４８；３１２２ 提示２１．８个角上的小正方体三面涂漆，１２条棱上各有１块小正方体两面涂漆，６个面上各有１块小正方体一面涂漆，还剩１块中心的小正方体没有涂漆．所以没涂漆的小正方体有１块，至少被漆２个面的小正方体有８＋１２＝２０（块）．２２．易知Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＣＤＦ＝１２×６×８＝２４（平方厘米），正方形ＡＣＤＥ的面积＝８２＝６４（平方厘米），正方形ＢＣＦＧ的面积＝６２＝３６（平方厘米）．所以 六边形ＡＥＤＦＧＢ的面积＝２４＋２４＋６４＋３６＝１４８（平方厘米）．连接ＣＥ，则Ｓ△ＣＦＥ＝Ｓ△ＣＦＤ＝２４（平方厘米），Ｓ△ＣＢＥ＝Ｓ△ＣＢＡ＝２４（平方厘米），又Ｓ△ＢＣＦ＝６２２＝１８（平方厘米）．所以三角形ＢＥＦ的面积２４＋２４＋１８＝６６（平方厘米）．２３．十大沙漠的总面积为８６０＋２３３＋１６９＋１５５＋１０４＋６７＋６５＋５２＋４１＋３２＝１７７８（万平方千米），地球陆地面积为１．４９亿平方千米＝１．４９×１０４万平方千米，占地球表面积的２９．２％，所以地球表面积为１．４９×１０４÷２９．２％（万平方千米）．故十大沙漠的总面积占地球表面积的１７７８１．４９×１０４÷２９．２％＝３．４８％．２４．解法１ 设甲与乙相遇时甲行走了ｔ分钟，则甲自Ｃ到达Ｂ处所用时间是（ｔ－４）分钟，乙自Ｂ到达Ｃ处所用时间是（ｔ－５．５）分钟，乙自Ｃ到达Ａ处所用时间是（ｔ－２．５）分钟．设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ｔｖ＝（ｔ－２．５）（ｖ＋３０），（ｔ－４）ｖ＝（ｔ－５．５）（ｖ＋３０）．｛即３０ｔ－２．５ｖ－７５＝０，３０ｔ－１．５ｖ－１６５＝０．｛解得ｔ＝１０，ｖ＝９０．｛所以Ａ，Ｂ两处的距离为（２ｔ－４）ｖ＝１６×９０＝１４４０（米）．解法２ 设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ＡＣ－ＢＣ＝４ｖ，ＡＣ－ＢＣ＝３（ｖ＋３０）．｛解得ｖ＝９０．又设甲与乙相遇时乙行走了ｔ分钟，则（５．５＋ｔ）×９０－（９０＋３０）ｔ＝９０×４，解得ｔ＝４．５．所以甲从Ａ到Ｃ所用时间是５．５＋４．５＝１０（分钟），Ａ，Ｂ两处的距离为９０×１０＋（９０＋３０）×４．５＝１４４０（米）．２５．设排列的九个数为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ依题意知，所求的七个三位数的和为ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄｅ＋ｄｅｆ＋ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｉ＝１００ａ＋１１０ｂ＋１１１（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）＋１１ｈ＋ｉ，为使所求的七个三位数的和最大，应选取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ～ｇ选５～９，ｈ＝２，ｉ＝１，此时，最大的和为４６４８．为使所求的七个三位数的和最小，应选取ａ＝７，ｂ＝６，ｃ～ｇ选１～５，ｈ＝８，ｉ＝９，此时，最小的和为３１２２．·８３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期初中一年级 第２试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．ａ和ｂ是满足ａｂ≠０的有理数，现有四个命题：①ａ－２ｂ２＋４的相反数是２－ａｂ２＋４；②ａ－ｂ的相反数是ａ的相反数与ｂ的相反数的差；③ａｂ的相反数是ａ的相反数和ｂ的相反数的乘积；④ａｂ的倒数是ａ的倒数和ｂ的倒数的乘积．其中真命题有（）（Ａ）１个． （Ｂ）２个． （Ｃ）３个． （Ｄ）４个．２．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）３．在代数式ｘｙ２中，ｘ与ｙ的值各减少２５％，则该代数式的值减少了（）（Ａ）５０％．（Ｂ）７５％．（Ｃ）３７６４．（Ｄ）２７６４．４．若ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，则以下四个结论中正确的是（）（Ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ一定是正数．（Ｂ）ｄ＋ｃ－ａ－ｂ可能是负数．（Ｃ）ｄ－ｃ－ｂ－ａ一定是正数．图１（Ｄ）ｃ－ｄ－ｂ－ａ一定是正数．５．在图１中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，则ｘ的值是（）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．（Ｄ）４０．６．已知ａ，ｂ，ｃ都是整数，ｍ＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ａ－ｃ｜，那么（）（Ａ）ｍ一定是奇数．（Ｂ）ｍ一定是偶数．（Ｃ）仅当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ是偶数．（Ｄ）ｍ的奇偶性不能确定．７．三角形三边的长ａ，ｂ，ｃ都是整数，且［ａ，ｂ，ｃ］＝６０，（ａ，ｂ）＝４，（ｂ，ｃ）＝３．（注：［ａ，ｂ，ｃ］表示ａ，ｂ，ｃ的最小公倍数；（ａ，ｂ）表示ａ，ｂ的最大公约数），则ａ＋ｂ＋ｃ的最小值是（）（Ａ）３０．（Ｂ）３１．（Ｃ）３２．（Ｄ）３３．图２８．如图２，矩形ＡＢＣＤ由３×４个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（）（Ａ）４０个． （Ｂ）３８个．（Ｃ）３６个．（Ｄ）３４个．９．设ａ是有理数，用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［１．７］＝１，［－１］＝－１，［０］＝０，［－１．２］＝－２，则在以下四个结论中正确的是（）（Ａ）［ａ］＋［－ａ］＝０．（Ｂ）［ａ］＋［－ａ］等于０或１．（Ｃ）［ａ］＋［－ａ］≠０．（Ｄ）［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．１０．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍ ｂｅｒ ａｘｉｓ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏｐｏｉｎｔｓ Ａａｎｄ Ｂｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｎｕｍ ｂｅｒｓ ７ａｎｄ ｂ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎＡａｎｄ Ｂｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １０．Ｌｅｔ ｍ＝５－２ｂ，ｔｈｅｎｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍｉｓ（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．（英汉词典：ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ数轴；ｐｏｉｎｔ点；ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏ对应于…；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｄｉｓｔａｎｃｅ距离；ｌｅｓｓ ｔｈａｎ小于；ｖａｌｕｅ值、数值；ｒａｎｇｅ范围）·９３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版二、填空题１１．１１２－２５６＋３１１２－４１９２０＋５１３０－６４１４２＋７１５６－８７１７２＋９１９０＝．１２．若ｍ＋ｎ－ｐ＝０，则ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）的值等于．图３１３．图３是一个小区的街道图，Ａ，Ｂ，Ｃ，…，Ｘ，Ｙ，Ｚ是道路交叉的１７个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设个岗哨．１４．如果ｍ－１ｍ＝－３，那么ｍ３－１ｍ３＝．１５．１＋２＋３＋４＋５＋…＋２００５＋２００６１－１１００４（）１－１１００５（）１－１１００６（）…１－１２００６（）＝．１６．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有个．１７．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为２９、２３、２１和１７岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁．１８．初一（２）班的同学站成一排，他们先自左向右从“１”开始报数，然后又自右向左从“１”开始报数，结果发现两次报数时，报“２０”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有１５人，则全班同学共有人．１９．２ ｍ＋２００６＋２ ｍ（ｍ是正整数）的末位数字是．２０．Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ａ，ｂ，ｃ，ｄ ａｒｅ ａｌｌ ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ ｈａｖｅ ａｌｗａｙｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｘ，ｙ，ｚ，ｗ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ａｉｓ．（英汉词典：ｔｏ ａｓｓｕｍｅ假设；ｉｎｔｅｇｅｒ整数；ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ（方程的）解；ｐｏｓｉｔｉｖｅ正的；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｍｉｎｉｍｕｍ最小值）三、解答题要求：写出推算过程２１．（１）证明：奇数的平方被８除余１．（２）请你进一步证明：２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．图４２２．如图４所示，△ＡＢＣ的面积为１，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点．连结ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ，连结ＣＯ并延长ＡＢ于Ｆ．求四边形ＢＤＯＦ的面积．２３．老师带着两名学生到离学校３３千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为２５千米／小时．这辆摩托车后座可带乘１名学生，带人后速度为２０千米／小时．学生步行的速度为５千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过３个小时．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 提示１．因为－ａ－２ｂ２＋４＝２－ａｂ２＋４，所以命题①是真命题；因为ａ－ｂ的相反数为－（ａ－ｂ）＝－ａ－（－ｂ），所以命题②的真命题；·０４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期因为ａｂ的相反数为－ａｂ，（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ，又ａｂ≠０，所以－ａｂ≠ａｂ，因此③不是真命题；因为ａｂ≠０，所以ａｂ的倒数为１ａｂ＝１ａ·１ｂ，因此，④是真命题．故选（Ｃ）．２．观察即知，选（Ｃ）．３．因为ｘ（１－２５％）·［ｙ（１－２５％）］２＝２７６４ｘｙ２，所以代数式的值减少了１－２７６４＝３７６４．故选（Ｃ）．４．当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２时，（Ａ）不成立；当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２０时，（Ｄ）不成立；又因为ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，所以ｄ＋ｃ＞０，①ｄ－ｃ＞０，②－ａ＞０，③－ｂ＞０，④①＋③＋④，得 ｄ＋ｃ－ａ－ｂ＞０，②＋③＋④，得 ｄ－ｃ－ｂ－ａ＞０，即（Ｂ）不正确，（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．５．根据三角形内角和定理，并利用等腰三角形两底角相等，得２ｘ＋３０×２＋５０×２＝１８０，解得ｘ＝１０．故选（Ａ）．６．因为ａ，ｂ，ｃ，均为整数，又奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数；所以当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个奇数一个偶数时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个偶数一个奇数时，ｍ为偶数；故选（Ｂ）．７．由题意知ｂ既能被４整除，又能被３整除，所以ｂ能被１２整除．又６０能被ｂ整除，所以ｂ＝１２或６０．（１）若ｂ＝１２，则６０÷ｂ＝５，因为（５，４）＝１，（５，３）＝１，所以ａ，ｃ中至少有一个含因数５．若ａ含因数５，则ａ≥２０，又ｃ≥３，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥２０＋１２＋３＝３５；若ｃ含因数５，则ｃ≥１５，又ａ≥４，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥４＋１２＋１５＝３１，取ａ＝４，ｂ＝１２，ｃ＝１５，能构成三角形．（２）若ｂ＝６０，则ａ＋ｂ＋ｃ＞６０＞３１．综上知，ａ＋ｂ＋ｃ的最小值为３１．故选（Ｂ）．８．从５条竖线中取２条，共有５×４２＝１０（种）取法，从４条横线中取２条，共有４×３２＝６（种）取法．２条竖线和２条横线可组成１个矩形，所以图中的矩形共有１０×６＝６０（个），其中，正方形有４×３＋３×２＋２×１＝２０（个），所以，不是正方形的矩形有６０－２０＝４０（个）．故选（Ａ）．·１４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版９．当ａ＝１．１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－２，所以（Ａ）、（Ｂ）不成立．当ａ＝１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－１，所以（Ｃ）不成立．当ａ≥０时，ａ可以写成ａ＝［ａ］＋｛ａ｝，而０≤｛ａ｝＜１，－ａ＝－［ａ］－｛ａ｝．如果｛ａ｝＝０，即ａ是正整数，则［－ａ］＝－［ａ］，所以［ａ］＋［－ａ］＝０．如果｛ａ｝＞０，则［－ａ］＝－［ａ］＝－１，所以［ａ］＋［－ａ］＝－１．当ａ＜０时，令ｂ＝－ａ＞０，将上面讨论中的ａ换成ｂ，仍可以得到［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．故选（Ｄ）．１０．译文：点Ａ和点Ｂ分别对应于数轴上的两个数７和ｂ，且｜ＡＢ｜＜１０．如果ｍ＝５－２ｂ，那么ｍ的取值范围是（ ）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．解 由题意知｜ＡＢ｜＝｜ｂ－７｜＜１０，所以－３＜ｂ＜１７，即－２９＜５－２ｂ＜１１．故选（Ｃ）．二、填空题题号１１ １２ １３ １４ １５答案１９１０－３ ４－３６ ４０２６０４２题号１６ １７ １８ １９ ２０答案３１ １８ ５３或２５ ０ ２４３３ 提示１１．原式＝１＋１２＋３－２５６（）＋１１２＋ ５－４１９２０（）＋１３０＋７－６４１４２（）＋１５６＋ ９－８７１７２（）＋１９０＝１＋１２＋１６＋１１２＋１２０＋１３０＋１４２＋１５６＋１７２＋１９０＝１＋１－１２（）＋１２－１３（）＋１３－１４（）＋ １４－１５（）＋…＋１８－１９（）＋１９－１１０（）＝２－１１０＝１－９１０．１２．因为ｍ＋ｎ－ｐ＝０，所以ｍ－ｐ＝－ｎ，ｎ－ｐ＝－ｍ，ｍ＋ｎ＝ｐ，即 ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）＝ｍｎ－ｍｐ＋ｎｍ－ｎｐ－ｐｍ＋ｐｎ（）＝ｍｎ－ｐｎ（）＋ｎｍ－ｐｍ（）－ｍｐ＋ｎｐ（）＝ｍ－ｐｎ＋ｎ－ｐｍ－ｍ＋ｎｐ＝－１－１－１＝－３．１３．因为ＤＳ，ＡＸ，ＥＹ，ＦＺ是小区中４条彼此平行的街道，守望每条街道都需要１个岗哨，因此，守望这４条彼此平行的街道至少需要４个岗哨．即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于４个．在Ｄ，Ｎ，Ｙ，Ｆ路口设４个岗哨即可守望小区的所有街道，因此，最少要设４个岗哨．１４．ｍ３－１ｍ２＝ｍ－１ｍ（）ｍ２＋１１ｍ２（）＝－３ ｍ２－２＋１ｍ２＋３（）＝－３ ｍ－１ｍ（）２＋３［］＝－３×１２＝－３６．·２４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１５．原式＝（１＋２００６）×１００３１００３２００６＝２００７×２００６＝４０２６０４２．１６．设共有乒乓球ｘ个，则第一名得乒乓球的个数为ｘ２＋１２＝１２（ｘ＋１）；第二名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２（）＋１２＝１４（ｘ＋１）；第三名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２－ｘ＋１４（）＋１２＝１８（ｘ＋１）；以此类推，第四名得乒乓球的个数为ｘ＋１１６；第五名得ｘ＋１３２．依题意ｘ＋１２＋ｘ＋１４＋ｘ＋１８＋ｘ＋１１６＋ｘ＋１３２＝ｘ，即（ｘ＋１）１２＋１４＋１８＋１１６＋１３２（）＝ｘ．解得ｘ＝３１．１７．设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则有ａ＋ｂ＋ｃ３＋ｄ＝２９，ｂ＋ｃ＋ｄ３＋ａ＝２３，ｃ＋ｄ＋ａ３＋ｂ＝２１，ｄ＋ａ＋ｂ３＋ｃ＝１７．烅烄烆将四个式子相加并化简，得ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４５，再将上面方程组的每个式子乘以３后分别与（＊）式相减，得ａ＝１２，ｂ＝９，ｃ＝３，ｄ＝２１．由对称性，知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是２１岁，年龄最小的是３岁．所以最大年龄与最小年龄的差为２１－３＝１８（岁）．１８．有如图５所示的两种情况：图５所以全班共有２０＋２０＋１３＝５３（人），或２０＋（２０－１５）＝２５（人）．１９．因为２ ｍ＋２００６＋２ ｍ＝２ ｍ（２２００６＋１），而２２００６＝（２４）５０１×２２＝１６５０１×４，乘积的个位数字是４，所以２２００６＋１的个位数字是５，又２ ｍ为偶数，所以ｍｍ＋２００６＋２ ｍ的末位数字为０．２０．译文：设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为整数，且关于ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的四个方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１，（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ的根都是正数，则ａ可能取得的最小值是．解 因为方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１的根ｘ＞０，所以ａ－２ｂ＞０，又因为ａ，ｂ均为整数，所以ａ－２ｂ也为整数，即ａ－２ｂ≥１，ａ≥２ｂ＋１．同理可得ｂ≥３ｃ＋１，ｃ≥４ｄ＋１，ｄ≥１０１．所以ａ≥２ｂ＋１≥２（３ｃ＋１）＋１＝６ｃ＋３≥６（４ｄ＋１）＋３＝２４ｄ＋９≥２４×１０１＋９＝２４３３，故ａ可能取得的最小值为２４３３．三、解答题２１．（１）设ｎ为任意整数，则２ｎ＋１为任意奇数．那么（２ｎ＋１）２＝２ｎ２＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１．由于ｎ（ｎ＋１）能被２整除，·３４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版所以４ｎ（ｎ＋１）能被８整除，所以４ｎ（ｎ＋１）＋１被８除余１．因此，奇数的平方被８除余１．（２）假设２００６可以表示为１０个奇数的平方之和，也就是ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２１０＝２００６，（其中ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘ１０都是奇数）等式左边被８除余２，而２００６被８除余６．矛盾！因此，２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．２２．设Ｓ△ＢＤＦ＝ｘ，Ｓ△ＢＯＤ＝ｙ．因为Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝１，所以Ｓ△ＡＯＥ＝Ｓ△ＣＯＥ＝Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝１４．则Ｓ△ＡＯＦ＝１４－ｘ，Ｓ△ＡＣＦ＝３４－ｘ，Ｓ△ＢＣＦ＝１４＋ｘ．由Ｓ△ＡＯＦＳ△ＢＯＦ＝ＡＦＢＦ＝Ｓ△ＡＣＦＳ△ＢＣＦ，得１４－ｘｘ＝３４－ｘ１４＋ｘ，即１１６－ｘ２＝３４ｘ－ｘ２，得ｘ＝１１２．又Ｓ△ＣＯＤ＝１４－ｙ，Ｓ△ＡＣＤ＝３４－ｙ，Ｓ△ＡＢＤ＝１４＋ｙ．由Ｓ△ＢＯＤＳ△ＣＯＤ＝ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ，得ｙ１４－ｙ＝１４＋ｙ３４－ｙ，即１１６－ｙ２＝３４ｙ－ｙ２，得ｙ＝１１２．所以Ｓ四边形ＢＤＯＦ＝ｘ＋ｙ＝１１２＋１１２＝１６．２３．要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如果６所示，设老师带甲乘摩托车行驶了ｘ千米，用了ｘ２０小时，比乙多行了ｘ２０×（２０－５）＝３４ｘ（千米）．图６这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了３４ｘ÷（２５＋５）＝ｘ４０（小时）．乙遇到老师时，已经步行了ｘ２０＋ｘ４０（）×５＝３８ｘ（千米），离博物馆还有３３－３８ｘ（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有ｘ＝３３－３８ｘ，解得ｘ＝２４．即甲先乘摩托车行驶２４千米，用了１．２小时，再步行９千米，用了１．８小时，共计３小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过３个小时．·４４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。
希望杯”全国数学邀请赛考查内容提要
“希望杯”全国数学邀请赛考查内容提要加入时间：2008-9-8 9:33:52点击：25637（一）小学四年级1.整数的四则运算，运算定律，简便计算，等差数列求和。
2.基本图形，图形的拼组(分、合、移、补)，图形的变换，折叠与展开。
3.角的概念和度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。
4.整除概念，数的整除特征，带余除法，平均数。
5.小数意义和性质，分数的初步认识(不要求运算)。
6.应用题(植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题)。
7.几何计数(数图形)，找规律，归纳，统计，可能性。
8.数谜，分析推理能力，数位，十进制表示法。
9.生活数学(钟表，时间，人民币，位置与方向，长度、质量的单位)。
（二）小学五年级1．小数的四则运算，巧算与估算，小数近似，小数与分数的互换。
2.因数与倍数，质数与合数，奇偶性的应用，数与数位。
3.三角形、平行四边形、梯形、多边形的面积。
4.长方体和正方体的表面积、体积，三视图，图形的变换(旋转、翻转)。
5.简易方程。
6.应用题(还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题等)，生活数学。
7.包含与排除，分析推理能力，加法原理、乘法原理。
8.几何计数，找规律，归纳，统计，可能性。
（三）小学六年级1．分数的意义和性质，四则运算，巧算与估算。
2．百分数，百分率。
3．比和比例。
4．计数问题，找规律，统计图表，可能性。
5．圆的周长和面积，圆柱与圆锥。
6．抽屉原理的简单应用。
7．应用题(行程问题、工程问题、牛吃草问题、钟表问题等)。
8．统筹问题，最值问题，逻辑推理。
（四）初中一年级1.有理数的加、减、乘、除、乘方、正数和负数、数轴、绝对值、近似数的有效数字2.一元一次方程、二元一次方程的整数解3.直线、射线、线段、角的度量、角的比较与运算、余角、补角、对顶角；相交线、平行线4.三角形的边（角）关系、三角形的内角和5.用字母表示数、合并同类项、去括号、代数式求值、探索规律、整式的加减6.统计表、条形统计图和扇形统计图、抽样调查、数据的收集与整理7.展开与折叠、展开图8.可能还是确定、可能性、概率的基本概念、简单逻辑推理9.整式的运算（主要是整式的加减乘运算，乘法公式的正用逆用）10.数论最初步、高斯记号、应用问题11.三视图（北师大）、平面直角坐标系（人教）、坐标方法的简单应用（五）初中二年级1.平方根、立方根、实数2.整式的加减乘除、乘法公式、提取公因式法、因式分解的简单应用3.二元一次方程组4.平面直角坐标系、一次函数、反比例函数5.一元一次不等式（组）6.勾股定理7. 轴对称，中心对称8.全等三角形9.多边形及其内角和、镶嵌10.统计图的选择、抽样调查、平均数、中位数与众数11.分式加减乘除、整数指数幂、分式方程12.平移、旋转13.逻辑问题、概率问题、数论初步、应用问题14.平行四边形的性质、判别，菱形、矩形、正方形、梯形的概念、计算（六）高中一年级1.指数、对数函数（概念、性质、应用）2.集合、映射、函数（指、对、幂）3.充要条件4.等差、等比数列5.一元二次不等式和二次函数6.三角（不包含反三角函数、三角方程）7.整除、同余8.不定方程9.平面向量10.立体几何11.直线与圆12.算法初步13.逻辑问题14.实际问题（七）高中二年级1.三角2.立体几何3.解析几何4.矢量应用5.统计、概率6.不等式7.逻辑问题8.实际问题第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛章程加入时间：2010-8-31 17:42:05点击：5488特别通告： 1.自2010年起，台湾已参加本邀请赛。
[高一]第十二届希望杯全国数学邀请赛试题
![[高一]第十二届希望杯全国数学邀请赛试题](https://img.taocdn.com/s3/m/8617c64db307e87101f6963a.png)
第十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、选择题：1．函数23--=x y 的图像不经过--------------------------------------------------------------（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2．函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于-------------------------------------（ ）(A)直线a x =对称 (B)点)0,(a 对称 (C)原点对称 (D)y 轴对称3．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的------------（ ）(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件4．使函数c bx ax x f ++=2)(为偶函数的充分条件可以是：①0≠a 且0=b ②0=a 且0=b ③0≠a 且0=c ④0===c b a以上判断中不对的是：(A) ① (B) ② ③ (C) ③ (D) ④ ------------------------（ ）5．方程03|12|242=+-+-+x x x 的根的个数是： (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 ------（ ）6．B A 、两车分别在甲、乙两地同时相向出发，各自匀速前进，在途中离甲地50公里处第一次相遇，当它们分别到达乙、甲两地之后，立即以原速返回，在途中离乙地30公里处又一次相遇，则甲、乙两地--------------------------------------------------------------------------（ ）(A)相距80公里 (B) 相距100公里 (C) 相距120公里 (D)的距离不能确定7．方程01)2(2=-++x p x 有一个根为0x ，且3100=-x x ，则p 值为----------（ ） (A)5 (B)4 (C)1 (D)-58．函数5523+--=x x x y 的图像与x 轴--------------------------------------------------（ ）(A)没有交点 (B)有1个交点 (C) 有2个交点 (D) 有3个交点9．20位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分都是整数，，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，该运动员的平均得分：若取一位小数为9.4（用四舍五入取近似值），如果取两位小数，那么最小值应是：(A)9.37 (B)9.38 (C)9.39 (D)9.40 --------------------（ ）10．给出以下四个不等式：①R x x x ∈≥,|| ②Z n n x x x x ∈≠>-+-,|,sin |log |2||1|2π③0,log 2>>x x x ④R x x ∈>+,332其中不成立的是：(A) ③ (B) ④ (C) ② (D) ① --------------------------------（ ）二、A 组填空题11．方程)1|1(|322--=-x x x 的根是__________________.12．已知函数)(x f y =的反函数是)(x y ϕ=，且)2,0(),sin3(log )(2sec 2πθθϕθ∈-=x x ，则方程3)(=x f 的解是_________. 13．若对于任意实数x ,不等式a x x ≥++-|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.14．不等式1)13(log >-x x 的解是_________________.15．Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y ,and 0)1(≠f ,then )2001(f is equal to _____________.16．已知52)(,2)(2+==+x x g e x f x ，点))(),((x p x f 在函数)(x f y =的图象上，则)2(ln p =_____________.17．已知函数]33ln[)()22(2x a ax x f ---=的定义域为}0|{>x x ，则实数a 的取值范围是___________.18．平面点集},3622|),{(22Z y x x x y x x y x M ∈--≤≤+-=且中元素的个数为___.19．设定义域为R 的函数1cos 2)(:)(2-=x tgx f x f ，则)(x f 的值域是___________. 20．Let ),3,2,1(2221=-+n n n be the general term of a sequence,then the sum ofits first 2001 terms is equal to ___________.三、B 组填空题21．已知集合}01|{|,0|{=-==-=ax x B a x x A ，若B B A = ，则实数a 等于_______. 22．]0,1( 1)(2-∈-=x x xx f ，则)(1x f -的解析式为____________,定义域为________.23．我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称，干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酋戌亥。
第12届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题及答案
希望杯第十二届（2001年）初中一年级第 2试试题、选择题（每小题5分，共50分） 1 .数a 的任意正奇数次幕都等于a 的相反数，则（）A . a=0B . a=— 1C . a=l D. 不存在这样的 a 值AB=BC=CD=DE=E 测与点C 所表示的数最接近的整 数是().A R C D £ F ~a' '1~ilA . — 1B . 0C . 1D . 24.已知x 和y 满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式A . 4B . 3C . 2D . 1 5.两个正整数的和是60 .它们的最小公倍数是 273,则它们的乘积是（A . 273B . 819C . 1911D . 3549 6.用一根长为 am 的线同成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为2.如图所示，在数轴上有六个点，且3.我国古代伟大的数学家祖冲之在距今 1500年以前就已经相当精确地算出圆周率 n 是在3.1415926 和 3. 1415927 之间，并取 驀为密率、2222为约率， 则（7.3 . 1415<n <空 B106 22 < n <——113 7355333<n <355 D . 106 11322<n <1 . 42972 23x +12xy+y 的值是b m 2 .现于这个等边三角形内任取一点 P,则点P 到等边三角形三边距离之和为（）A . 2b m 13 . 4b ma aC . 6b m D. 8b ma a7 . If we let(a)be the greatest prime number not more than a the expression((3)x (25) x (30))is()A . 1333B . 1999C . 2001 lb . 2249（英汉小字典：greatest prime number 最大的质数 result 结果；expression 表达式.） &古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.将天干的.the n the result of10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第I列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）.A . 31B . 61C . 91D . 1219.满足（a —b） +（b —a）|a —b|=ab（ab丰0）的有理数a和b, 一疋不满足的关系是（）.A . ab<OB . ab>0C . a+b>0D . a+b<0IO .已知有如下一组x, y和z的单项式：_,32小3 1 2 _ 2 _ 4 2 1 3 _ 37x z , 8x y, x yz , - 3xy z, 9x zy , zy , xyz , 9y z, xz y, 0. 3z .2 5我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的幕次，规定x幕次高的单项式排在x幕次低的单项式的前面；再看y的幕次.规定y的幕次高的排在y 的幕次低的前面；再看z的幕次，规定z的幕次高的排在z的幕次低的前面.将这组单项式按上述法则排序，那么，9y3z应排在（）.A .第2位B .第4位C.第6位D .第8位二、填空题（每小题5分，共50分）l1 . 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.则这个锐角的度数等于2 2001 200012. If a +a=0, then the result of a +b +12 is _________1l3 .如图，△ ABC中，D、E、F、G均为BC边上的点，且BD=CGDE=GFdBD,2EF=3DE若S MBC=I，则图中所有三角形的面积之和为 ____________14 .使关于x的方程|x|=ax+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是_________15 .小明的哥哥过生日时，妈妈送了他一件礼物：即3年后可以支取3000元的教育储蓄.小明知道这笔储蓄年利率是3% （按复利计算），则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储________ 元（银行按整数元办理存储）.mx 丁2v =10 16 . m为正整数.已知二元一次方程组丫、3x-2y = 0有整数解，即x,y 均为整数，贝ym?=17. 如图。
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2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高一（二试）试题
一．选择题（40分）
1．角cos 2007α=︒在（ ）
（A ）第1象限（B ）第2象限（C ）第3象限（D ）第4象限 2．在△ABC 中，若21sin ,sin 7
5
A B =
=
，则sin C 的取值有（ ）
（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个
3．在△ABC 中，若222sin sin sin 0A B C --=，且sin 2sin sin A B C =，则△ABC 是（ ） （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形
4．当[0,1)x ∈时，若函数22()log (1)f x x ax a =++-有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）1a <（B ）1a ≤（C ）1a >（D ）1a ≥
5．设命题甲：2x >或1y ≤；乙：3x ≥且2y <。
则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 6．设点P 在△ABC 内，提出以下命题：
（1）存在正数12,λλ，使12AP λAB λAC =+
；
（2）如果0AP BC = 且0BP AC = ，那么0CP AB =
； （3）如果3AP AB AC =+ ，那么3BP BC BA =+
；
（4）如果PA PB PC ==
，那么△ABC 是锐角三角形。
在这4个命题中，正确命题的个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4
7．Let y =f(x) be a function on R , and 1()0(2)
f x f x +
=+,then ()f x is （ ）
（A ）not aperiodic function （B ）a aperiodic function with the least period 4
（C ）a aperiodic function with the least period 8（D ）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of 122007x x x x +-+-+++- is （ ） （A ）10032（B ）10042（C ）20062（D ）20072
9．O 是平面内一点，A 、B 、C 是平面内与O 不共线的三个点，P 是BC 的中点且使等式
()AB AC
λO A O P AB AC
++=
成立，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）不等边三角形
10．若关于x 的二次函数233y x m x =-+的图象与端点在15
(,)22
和（3，5）的线段只有一个交
点，则m 的值可能是（ ） （A ）
52
（B ）1（C ）
12
（D ）
13
二．填空题（40分）
11．设实数123,,a a a 成等差数列，且24a =。
若定义2n
a n
b =，则13b b 的值是 . 12．函数sin()(0,0)y A ωx φA ω=+>>在同一周期内，当12
πx =
时，m ax 3y =；当712
πx =
时，
min 3y =-，则函数y 的解析式是 .
13．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，若2(1)(1)f f x x <++，则x 的取值范围是 .
14．在平面上给定正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6，对于该平面内任意一点M ，若适当选取表达式123456M A M A M A M A M A M A ±±±±±±
中的正负号，则可使该式为零，如 . 15．已知奇函数2
2()ax f x bx c
+=
+在区间(,1)-∞-上单调递增，且(1)2,(2)4f f =<，则
c= ,b 的范围是 .
16．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，前n 项的和为S n 使等式
12n n
S n S n
++=成立，则n a ＝ .
17
．函数y =的最小值为 ，此时x ＝ . 18．已知函数29()min 1,
,2f x x x x
⎧⎫
=+-+
⎨⎬⎩
⎭
，则()f x 的最大值为 . 19．不等式2
2007
4014
2
(1)
210x x x -++-≤的解集为 .
20．函数3
2
612(0)y x x x x =-+≤的反函数的解析式是y ＝ ，它的定义域是 . 三．解答题（10＋15＋15＝40分） 21．已知50,sin()213
πx y πx y <<<<+=。
（1）若1tan 22
x =，求cos 2x 和cos y 的值；（2）比较sin y 与sin()x y +的大小并说明理由。
22．已知函数2
1()4164
y f x x x a ==-+-，且当[0,]x b ∈时，[0,3]y b ∈，求a,b 的值。
23．将同时满足下列条件的正整数从小到大排列成数列{}n a ：
（1）能同时表示成2007个相邻正整数的和；（2）能被5整除，也能被7整除。
求数列{}n a 的通项公式。