广东省湛江二中2015届高三数学(理)模拟测试试卷(三)
2015年广东省湛江市高考数学一模试卷(理科)
2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知（1+bi）2=2i（b∈R，i是虚数单位），则b=（）A.2B.1C.±1D.1或2【答案】B【解析】解：∵2i=1-b2+2bi，∴1-b2=0，2=2b，∴b=1．故选：B．利用复数运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数运算法则、复数相等，属于基础题．2.已知向量=（x，2），=（1，1），若（+）⊥，则x=（）A.2B.4C.-4D.-2【答案】C【解析】解：由向量=（x，2），=（1，1），则•=x+2，=（）2=2，若（+）⊥，则（+）•=0，即有+=0，即x+2+2=0，即有x=-4．故选C．运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x．本题考查向量的数量积的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．3.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q=（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】解：因为a2、a3、a1成等差数列，所以2×a3=a1+a2，则a3=a1+a2，因为等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，所以，化简得q2-q-1=0，解得q=或q=（舍去），故选：D．由题意和等差中项的性质列出方程，再由等比数列的通项公式化简，再结合题意求出q 的值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，属于基础题．4.设p：x∈{x|y=lg（x-1）}，q：x∈{x|2-x＜1}，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵p：x∈{x|y=lg（x-1）}，∴p：x＞1，∵q：x∈{x|2-x＜1}，∴x＞0，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．分别求出关于p，q的x的范围，从而得到p，q的关系．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数，指数函数的性质，是一道基础题．5.抛物线8y-x2=0的焦点F到直线l：x-y-1=0的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），∴点F（0，2）到直线l：x-y-1=0的距离d==．故选：D．由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），再利用点到直线的距离公式可得结论．熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6.若f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+e x的一个零点，则-x0一定是下列哪个函数的零点（）A.y=f（-x）e x-1B.y=f（-x）e-x+1C.y=e x f（x）-1D.y=e x f（x）+1【答案】C【解析】解：f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）且x0是y=f（x）+e x的一个零点，∴f（x0）+=0，∴f（x0）=-，把-x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）-1=--1=-1-1=-2，故A错误；B、y=f（x0）+1=-（）2+1≠0，故B错误；C、y=e-x0f（-x0）-1=-e-x0f（x0）-1=e-x0-1=1-1=0，故C正确；D、y=f（-x0）+1=1+1=2，故D错误；故选C；根据f（x）是奇函数可得f（-x）=-f（x），因为x0是y=f（x）+e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断；此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证；7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.πB.2πC.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆锥与一半球的组合体；且半圆锥的底面圆半径为1，高为2；半球的半径也为1；∴该组合体的体积为V=V半圆锥+V半球=•π12•2+••13=π+π=π．故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆锥与一半球的组合体，结合图中数据求出组合体的体积即可．本题考查了通过空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8.由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i=1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于∀n∈N*，第n行共有2n-1个向量，若第n行第k个向量为，则=，＜，＜，例如=（1，1），=（1，2），=（2，2），=（2，1），…，依此类推，则=（）A.（44，11）B.（44，10）C.（45，11）D.（45，10）【答案】C【解析】解：由题意得，第n行共有2n-1个向量，则前n行共有1+3+5+…+（2n-1）==n2个向量，因为442＜2015＜452，且442=1936，所以应在第45行第79个向量，因为第n行第k个向量为，则=，＜，＜，所以=（45，11），故选：C．由题意和等差数列的前n项和公式求出前n行向量的个数表达式，再判断出所在的位置，再由给出的关系式求出的坐标．本题是一个新定义题型，考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.2lg5-lg= ______ ．【答案】2【解析】解：原式==lg100=2．故答案为：2．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，属于基础题．10.不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是______ ．【答案】[-2，1]【解析】解：由于|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，它的最小值为3，故不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是[-2，1]，故答案为：[-2，1]．根据绝对值得意义求得不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______ ．【答案】4【解析】解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．12.展开（a+b+c）6，合并同类项后，含ab2c3项的系数是______ ．【答案】60【解析】解：把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，展开式中，含ab2c3项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从6个因式中任选1个因式，这个因式取a，有种取法；第二步，从剩余的5个因式中任选2个因式，都取b，有种取法；第三步，把剩余的3个因式中都取c，有种取法；根据分步相乘原理，得；含ab2c3项的系数是••=6×10×1=60．故答案为：60．把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含ab2c3项的系数即可．不同考查了二项式系数的应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目．13.已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是______ ．【答案】【解析】解：由约束条件作差可行域如图，则直线的斜率k=-＜，截距最大时，z也最大．平移直y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，∴3=a+2b，即，ab，当且仅当a=2b，即，时上式“=”成立．∴ab的最大值为．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．14.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为______ ．【答案】【解析】解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．15.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD．AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= ______ ．【答案】30°【解析】解：由割线长定理得：PA•PB=PC•PD，即4×PB=5×（5+3），∴PB=10，∴AB=6，∴R=3，所以△OCD为正三角形，∠CBD=∠COD=30°．故答案为：30°．由于题目中并没有给出与角相关的已知条件，故解题的关键是构造三角形，解三角形求角的大小，故根据已知条件，结合割线定理，求出圆的半径是本题的切入点．当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.设函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．【答案】解：（1）函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．则：f（0）==1-2=-1（2）f（x）=cos2x+4cosx（）==由于-1≤sin2x≤1所以：函数f（x）的值域为：[，]．【解析】（1）直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果．（2）首先对关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的定义域求出三角函数的值域．本题考查的知识要点：特殊角的三角函数的值．三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题型．17.广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差ξcm（ξ≥0），求ξ的分布列和数学期望（均值）．【答案】解：（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法，每个人被抽中的概率是，∴抽取的5人中，“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人，∴至少有一人是“高个子”的概率是P==．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为181cm，182cm，184cm，有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为180cm，181cm，从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，即（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），（184，180），（184，181），∴ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．【解析】（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法得到抽取的5人中，“高个子”有2人，“非高个子”有3人，由此能求出至少有一人是“高个子”的概率．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望（均值）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意分层抽样和茎叶图性质的合理运用．18.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC均是边长为的等边三角形，AB=2，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．（1）若N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，证明：点N在线段M T上；（2）求二面角P-BC-A的余弦值．（参考定理：若平面α∥平面β，a∈平面α，A∈直线l，且l∥平面β，则直线l⊂平面α．）【答案】（1）证明：连接OM，OT，∵O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．∴OM∥PB，OT∥BC，又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC，同理可得OT∥平面PBC，又OM∩OT=O，∴平面OMT∥平面PBC．∵N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，∴点N在线段MT上．（2）解：连接OP，OC．∵PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，∵OB=1，∴OP=OC==1，∴OP2+OC2=1+1=2=PC2，∴OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），=（-1，-1，0），=（0，-1，1），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，令y=-1，解得x=1，z=-1，∴=（1，-1，-1），取平面ABC的法向量=（0，0，1），则＜，＞===-．由图可知：二面角P-BC-A为锐角．∴二面角P-BC-A的余弦值为．【解析】（1）连接OM，OT，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．利用三角形的中位线定理可得：OM∥PB，OT∥BC，利用线面平行的判定定理可得OM∥平面PBC，OT∥平面PBC，可得平面OMT∥平面PBC．由于N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，即可证明点N在线段MT上．（2）：连接OP，OC．由PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，利用OP2+OC2=1+1=2=PC2，可得OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ABC的法向量=（0，0，1），＜，＞=即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、向量垂直与数量积的关系，考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角得出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），且a1=2，a2=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n（λ为非零整数，n∈N*），求λ的值，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【答案】解：（1）∵S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），∴S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，∴a n+1-a n=1，且a2-a1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2+（n-1）×1=n+1．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立，只须b n+1-b n=4n+1-4n+（-1）n•λ•2n+2-（-1）n-1•λ•2n+1＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．（i）当n为奇数时，λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值1，∴λ＜1．（ii）当n为偶数时，λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值1，∴λ＞-2．综上可得：-2＜λ＜1，又λ为非0整数，则λ=-1．因此存在非0整数λ=-1，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【解析】（1）由S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），变形为S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n 恒成立，只须b n+1-b n＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．对n分为奇数偶数讨论即可得出．本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（-，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【答案】解：（1）由题意设椭圆方程为＞＞①焦点F（c，0），因为②，将点B（c，）代入方程①得③由②③结合a2=b2+c2得：，．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2-2=0．∵l为切线，∴△=（2tλ）2-4（t2+2）（λ2-2）=0，即t2-λ2+2=0①设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，，，，∵MN为圆的直径，∴②因为，，所以，代入②及①得=，要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（-1，0）与（1，0），即两个焦点．【解析】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度．21.设函数f（x）=，g（x）=ln（x+1）．（1）求函数H1（x）=f（x）-g（x）的最大值；（2）记H2（x）=g（x）-bx，是否存在实数b，使H2（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：-1＜-lnn≤（n=1，2，…）．【答案】解：（1）函数H（x）的定义域为（-1，+∞），又，令H1 （x）=0得x=0．当x∈（-1，0）时，H1 （x）＞0，H1（x）递增；当x∈（0，+∞）时，H1 （x）＜0，H1（x）递减．所以函数H1（x）的最大值为H1（0）=0．（2）由已知得：，①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，H2 （x）≤0，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为减函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＜H2（0）=0在[0，+∞）恒成立．②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，＞，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H（0）=0，不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．③若0＜b＜1，则由H2（x）=0得x=，当x∈[，）时，H2 （x）＞0，所以H2（x）在[0，）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H2（0）=0，所以不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．（3）由以上得：＜＜＞．取x=得：＜＜．令，则，当n≥2时，＜=-＜．因此＜＜，即．又lnn=，故xn=-ln（1+）=＞＞=-1+＞．综上所述，不等式-1＜-lnn≤（n=1，2，…）成立．【解析】（1）利用导数先研究函数的单调性，然后根据单调性求出函数的最值；（2）先对函数H2（x）求导数，然后研究该函数在（0，+∞）上的单调性，求其最大值，用b表示，该最大值满足小于零即可，解不等式组获得b的范围；（3）结合（2）的结论可先构造函数，然后利用函数的单调性构造不等式，使问题获得证明．注意在化简求和时的方法．本题考查了利用函数的单调性研究函数的最值问题，以及不等式恒成立问题的解题思路，同时第三问还涉及到放缩法的应用．。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
广东省湛江市高考数学二模试卷 理(含解析)
广东省湛江市2015届高考数学二模试卷（理科）一.选择题1．（5分）已知集合M={x|2x﹣3＜1}，集合N={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．M B．N C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|x＜3}2．（5分）已知z是复数，i是虚数单位，若zi=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5 D．34．（5分）一个几何体的三视图如图，正视图和俯视图都是由一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．9π5．（5分）在如图所示的程序框图中，输出的i和x的值分别为（）A．3，21 B．3，22 C．4，21 D．4，226．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f+f=（）A．3 B．2 C．1 D．07．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）8．（5分）对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2，当n是奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1，且有n!=n•（n﹣1）•（n﹣2）…3•2•1则有四个命题：①•=2016！②2016！！=22018×1008！③2015！！的个位数是5④2014！！的个位数是0其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题9．（5分）曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是．10．（5分）双曲线的离心率等于．11．（5分）=．12．（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是名．13．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，在U中任取四个元素组成的集合记为A={a1，a2，a3，a4}，余下的四个元素组成的集合记为∁U A={b1，b2，b3，b4}，若a1+a2+a3+a4＜b1+b2+b3+b4，则集合A的取法共有种．坐标系与参数方程选做题14．（5分）直线L的参数方程为（t为参数），则直线L的倾斜角为．几何证明题15．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为．三.解答题16．（12分）设函数f（x）=cosx﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的值域；（2）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A﹣）=1，且a=b，求sinB的值．17．（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2×2列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间的关系？（3）若从成绩及在[130，140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少有1名女生的概率．分组频率男生女生[80，90] 0 0.02[90，100] 0.04 0.08[100，110] 0.06 0.12[110，120] 0.10 0.18[120，130] 0.18 0.10[130，140] 0.08 0.0418．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，且CD=2，AB=AD=1，∠BCD=45°（1）若点M是PD的中点，证明：AM∥平面PBC（2）若△PBC的面积为，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，对任意的正整数n，均有4S n=（a n+1）2，且a n＞0．（1）求a1及{a n}的通项公式；（2）令b，求数列{b n}的前n项和T n．20．（14分）已知曲线E上的任意一点到F1（0，﹣）和点F2（0，）的距离之和为4．（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k＞0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）．求四边形ABCD面积的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0．x∈R）．（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）；（2）设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，证明：F（m）+F（n）＞0；（3）设g（x）=，g（x）的导函数是g′（x），当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[f（x）﹣1]g′（x）＜1+e﹣2．广东省湛江市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）已知集合M={x|2x﹣3＜1}，集合N={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）A．M B．N C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式解得：x＜2，即M={x|x＜2}，由N中不等式解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，则M∩N={x|﹣1＜x＜2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知z是复数，i是虚数单位，若zi=1+i，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵zi=1+i，∴﹣i•zi=﹣i（1+i），∴z=﹣i+1．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5 D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．4．（5分）一个几何体的三视图如图，正视图和俯视图都是由一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．9π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图来把复原图求出来，进一步求出几何体的表面积．解答：解：根据三视图得：该几何体是上边是一个半径为1的半球，下面是一个由半径为1，高为2的圆柱组成的几何体．所以该几何体的表面积是：S表=2π+2π×2+π=7π，故选：C．点评：本题考查的知识要点：三视图的应用问题及几何体的表面积公式的应用．5．（5分）在如图所示的程序框图中，输出的i和x的值分别为（）A．3，21 B．3，22 C．4，21 D．4，22考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，i的值，当a=﹣2时，满足条件a＜0，退出循环，输出i的值为4，s的值为22．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=0，s=0，s=10，a=7，i=1不满足条件a＜0，s=17，a=4，i=2不满足条件a＜0，s=21，a=1，i=3不满足条件a＜0，s=22，a=﹣2，i=4满足条件a＜0，退出循环，输出i的值为4，s的值为22，故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．6．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f+f=（）A．3 B．2 C．1 D．0考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的周期性以及函数的图象进行求解即可．解答：解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f+f=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A点评：本题主要考查函数值的求解，根据函数的周期性进行转化是解决本题的关键．7．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：待定系数法．分析：设=（x，y），由两个向量的夹角公式得cos180°=﹣1=，利用两个向量的模、数量积公式，化简得x﹣2y=15，再根据=3，解方程组求出x，y的值，进而得到的坐标．解答：解：设=（x，y），由两个向量的夹角公式得cos180°=﹣1==，∴x﹣2y=15 ①，∵=3②，由①②联立方程组并解得x=3，y=﹣6，即=（3，﹣6），故选 D．点评：本题考查两个向量的夹角公式的应用，向量的模的定义，待定系数法求出的坐标．8．（5分）对于任意正整数n，定义“n!!”如下：当n是偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2，当n是奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1，且有n!=n•（n﹣1）•（n﹣2）…3•2•1则有四个命题：①•=2016！②2016！！=22018×1008！③2015！！的个位数是5④2014！！的个位数是0其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明；排列组合．分析：利用双阶乘的定义判断各个命题是解决该题的关键．关键要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积．解答：解：根据题意，依次分析四个命题可得：对于①，•=（2•4•6•8…2008•2010•2012•2014•2016）•（1•3•5•7…2009•2011•2013•2015）=1•2•3•4•5…•2012•2013•2014•2015•2016=2016!，故①正确；对于②，2016!!=2•4•6•8•10…2008•2010•2012•2014•2016=21008（1•2•3•4…1008）=21008•1008!，故②正确；对于③，2015!=2015×2011×2009×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确；对于④，2014!!=2•4•6•8…2008•2010•2012•2014，其中含有10，故个位数字为0，故正确；故选：D．点评：本题考查新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化方法，体现了数学中的转化与化归的思想方法．注意与学过知识间的联系．二.填空题9．（5分）曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是y=2x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程．解答：解：因为y=x+sinx，所以y'=1+cosx，所以当x=0时，y'=1+cos0=1+1=2，即切线斜率k=2，所以切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．故答案为：y=2x．点评：本题主要考查导数的计算，利用导数的几何意义求切线斜率是解决本题的关键，比较基础．10．（5分）双曲线的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率．解答：解：由双曲线可知a=3，b=4所以c==5∴离心率e==故答案为．点评：本题考查双曲线的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质．11．（5分）=5．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：原式转化为|x﹣1|dx=（x﹣1）dx+（1﹣x）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：|x﹣1|dx=（x﹣1）dx+（1﹣x）dx=（x2﹣x）|+（x﹣x2）|=+=5，故答案为：5．点评：本题考查了定积分的计算，属于基础题．12．（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是10名．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．解答：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10．故答案为：10．点评：此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．13．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，在U中任取四个元素组成的集合记为A={a1，a2，a3，a4}，余下的四个元素组成的集合记为∁U A={b1，b2，b3，b4}，若a1+a2+a3+a4＜b1+b2+b3+b4，则集合A的取法共有31种．考点：子集与真子集；补集及其运算；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：根据条件a1+a2+a3+a4＜b1+b2+b3+b4，确定满足条件的元素取值情况即可得到结论．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴U中元素的和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，若a1+a2+a3+a4＜b1+b2+b3+b4，则S=a1+a2+a3+a4＜18，U中任取4个元素的取法有，其中S=18的取法有以下8种：{1，2，7，8}；{1，3，6，8}；{1，4，6，7}；{1，4，5，8}；{2，3，5，8}；{2，3，6，7}；{2，4，5，7}；{3，4，5，6}．对于其它70﹣8=62种取法，S要么大于18，要么小于18，如果S小于18，那么它属于A，如果S大于18，那么其补集的元素和就小于18，属于A故A的取法共有种．故答案为：31．点评：本题主要考查排列组合的应用，根据条件结合集合关系是解决本题的关键．坐标系与参数方程选做题14．（5分）直线L的参数方程为（t为参数），则直线L的倾斜角为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把直线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．解答：解：线L的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：y=，设直线的倾斜角为θ，则：tan由于直线倾斜角的范围为：[0，π）所以：．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：直线的参数方程与直角坐标方程的互化，直线的倾斜角和斜率的关系．几何证明题15．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：先设EF交AC与点H，利用平行线分线段成比例定理求出EH以及HF，即可求得EF的长．解答：解：设EF交AC与点H，因为EF∥AD，且，所以有==，故EH=×5=，同理=，得HF=2=．所以：EF==．故答案为：．点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理．解决本题的关键在于把EF的长转化为EH 以及HF．三.解答题16．（12分）设函数f（x）=cosx﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的值域；（2）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A﹣）=1，且a=b，求sinB的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的定义域求函数的值域．（2）利用（1）求出的函数关系式，进一步求出A的大小，在利用正弦定理求出结果．解答：解：（1）函数f（x）=cosx﹣=2（）=．由于：，所以：则：函数f（x）的值域为：[﹣，1]．（2）由（1）知：f（A﹣）=2cosA=1，解得：cosA=，由于：0＜A＜π所以：A=且a=b，则：sinA=sinB，解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用余弦型函数的定义域求函数的值域，利用函数的关系式求A得值，利用正弦定理函数的正弦值．17．（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2×2列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间的关系？（3）若从成绩及在[130，140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少有1名女生的概率．分组频率男生女生[80，90] 0 0.02[90，100] 0.04 0.08[100，110] 0.06 0.12[110，120] 0.10 0.18[120，130] 0.18 0.10[130，140] 0.08 0.04考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）根据直方图，易得到列联表的各项数据．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．（3）利用列举法，分别列举出所有的基本事件，在列举出满足条件的基本事件，代入古典概型公式进行计算求解．解答：解：（1）成绩性别优秀不优秀总计男生13 10 23女生7 20 27总计20 30 50（2）由（1）中表格的数据知，K2=≈4.844．∵K2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．（3）成绩在[130，140]男生50×0.008×10=4人，用1，2，3，4表示，女生有50×0.004×10=2人，用5，6表示，故已知取到的第一个人是男生，从剩下的5人中任取2人，共有40种，分别为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，1，3），（2，1，4），（2，1，5），（2，1，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，1，2），（3，1，4），（3，1，5），（3，1，6），（3，2，4），（3，2，5），（3，2，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，1，2），（4，1，3），（4，1，5），（4，1，6），（4，2，3），（4，2，5），（4，2，6），（4，3，5），（4，3，6），（4，5，6），其中至少有1名女生，有（1，2，5），（1，2，6），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，1，5），（2，1，6），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，1，5），（3，1，6），（3，2，5），（3，2，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，1，5），（4，1，6），（4，2，5），（4，2，6），（4，3， 5），（4，3，6），（4，5，6），有28种，故取到的另外2人中至少有1名女生的概率P==点评：本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，数据处理能力、运算求解能力和应用意识．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，且CD=2，AB=AD=1，∠BCD=45°（1）若点M是PD的中点，证明：AM∥平面PBC（2）若△PBC的面积为，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）取PC的中点N，连结MN、NB，则MN∥DC且MN=DC，从而四边形ABNM是平行四边形，利用线面平行的判定定理即得结论；（2）连结BD，通过计算可得PB=2、PD=，建立坐标系D﹣xyz，则二面角B﹣PC﹣D的余弦值即为平面PBC的法向量与平面PDC的法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答：（1）证明：取PC的中点N，连结MN、NB，在△PDC中，MN是中位线，MN∥DC，且MN=DC，由题AB=1、CD=2，可知，AB∥DC，∴AB=MN，AB∥MN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC；（2）解：连结BD，由题可知△BAD为等腰直角三角形，所以∠BDC=45°，由题设∠BCD=45°，∴CB⊥BD，又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PB，∴△PBC是直角三角形，且BC=BD=，S△PBC=BC•PB==，∴PB=2，PD==，建立坐标系D﹣xyz如图，则B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），=（1，1，），=（0，2，），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则•=x+y﹣=0，•=2y﹣=0，取y=1，得=（1，1，），又平面PDC的法向量为=（1，0，0），则==，显然二面角B﹣PC﹣D为锐角，故所求余弦值为．点评：本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．19．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，对任意的正整数n，均有4S n=（a n+1）2，且a n＞0．（1）求a1及{a n}的通项公式；（2）令b，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）当n=1时，即得a1=1；当n≥2时，由递推关系得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，从而可得结论；（2）b==，对n分奇偶数讨论即可．解答：解：（1）当n=1时，，则a1=1；当n≥2时，由4S n=（a n+1）2，知4S n﹣1=（a n﹣1+1）2，联立两式，得4a n=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，化简得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即{a n}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，故a n=2n﹣1；（2）b==，下面对n分奇偶数讨论：当n为偶数时，T n=﹣==，当n为奇数时，T n=+==，所以T n=．点评：本题考查求数列的通项公式及前n项和，分类讨论的思想，属于中档题．20．（14分）已知曲线E上的任意一点到F1（0，﹣）和点F2（0，）的距离之和为4．（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k＞0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）．求四边形ABCD面积的最大值．考点：双曲线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）求出直线AC的方程，将直线y=kx（k＞0）与曲线E联立，求得B，D的坐标，运用点到直线的距离公式，求得B，D到直线AC的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积的最大值．解答：解：（1）由椭圆的定义可知，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a=4，即a=2，c=，b===1，即有曲线E的方程为+x2=1；（2）连接AC，直线AC：x+=1，即2x+y﹣2=0，由y=kx代入椭圆方程可得，x=，即有B（，），D（﹣，﹣），B到AC的距离为d1==，D到AC的距离为d2=．则四边形ABCD面积S=|AC|•（d1+d2）=•==2≤2=2．当且仅当k=2取得等号．即四边形ABCD面积的最大值为2．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程和直线方程联立求交点，同时考查点到直线的距离公式的运用和基本不等式的运用，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0．x∈R）．（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）；（2）设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，证明：F（m）+F（n）＞0；（3）设g（x）=，g（x）的导函数是g′（x），当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[f（x）﹣1]g′（x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过f（1）=0及f（x）的值域为[0，+∞），结合根的判别式可得b=2，a=1，从而可得f（x）=（x+1）2；（2）由f（x）是偶函数，知F（x）=，再利用mn＜0，即得结论；（3）通过f（x）=ax2+bx+1及a=b=1，问题等价于证明“对任意实数x＞0，•（1﹣xlnx ﹣x）＜1+e﹣2”，然后分别研究i（x）=1﹣xlnx﹣x，与j（x）=，x＞0的最大值即可．解答：解：（1）∵f（1）=0，∴a﹣b+1=0，∵f（x）的值域为[0，+∞），∴，∴b2﹣4（b﹣1）=0，从而b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）2；（2）∵f（x）是偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1，∴F（x）=，∵mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0，又m+n＞0，所以m＞﹣n＞0，又a＞0，此时F（m）+F（n）＞0；（3）由f（x）=ax2+bx+1，a=b=1，得f（x）﹣1=x2+x，∵g（x）=，∴，则问题等价于证明“对任意实数x＞0，＜1+e﹣2”，即•（1﹣xlnx﹣x）＜1+e﹣2，下面先研究1﹣xlnx﹣x，再研究，①记i（x）=1﹣xlnx﹣x，x＞0，则i′（x）=﹣lnx﹣2，令i′（x）=0，得x=e﹣2，当x∈（0，e﹣2）时，i′（x）＞0，i（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，i′（x）＜0，i（x）单调递减；所以i max（x）=i（e﹣2）=1+e﹣2，即1﹣xlnx﹣x≤1+e﹣2；②记j（x）=，x＞0，则，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以j（x）＜j（0）=1，即；综合①、②，知：•（1﹣xlnx﹣x）＜1+e﹣2，即原不等式得证：对任意实数x＞0，[f（x）﹣1]g′（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性以及求闭区间上的最值，考查运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．。
2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。
广东省湛江一中高三第二次模拟考试理科数学试题参考答案
广东省湛江一中高三第二次模拟考试理科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．已知、，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A ． B ． C ．1 D ．23．某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到列联表如下：则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关B ．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关C ．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关D ．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关{}1,2,3,4=A {}260=--≤B x x x =A B {}1{}1,2{}2,3{}1,2,3x ∈y R i +x yi 21++ii+=x y 2-1-22⨯4．下列命题中，正确的是（）A．，B．已知服从正态分布，且，则C．已知，为实数，则的充要条件是D．命题：“，”的否定是“，”5．已知双曲线（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（）ABC．2 D．16．某程序框图如图所示，若输出的值为31，则判断框内应填入的不等式是（）A． B． C． D．7．设实数、满足不等式组，则的取值范围是（）0∃∈x R003sin cos2+=x xX()20,σN()220.6-<≤=P X()20.2>=P Xa b0+=a b1=-ab∀∈x R210-+>x x∃∈x R210-+<x x22213-=x yaa>28=y x=ap2>n3>n4>n5>nx y2010220-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩xyx y=-z x yA ．B ．C ．D ． 8．函数（）的图象不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．9．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．定义在上的函数，当时，，且对任[]2,1--[]2,1-[]1,2-[]1,2()=-af x x x∈aR 2=y x1=-y x 1=x 2ln 2-12ln 22-2ln 2+12ln 22+()()sin 1ωϕ=++f x x 0ω>02πϕ≤≤π3π=x ()85α=f 536ππα<<sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭12251225-24252425-3323[)0,+∞()f x []0,2∈x ()()411=--f x x意实数（，），都有.若方程有且仅有三个实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，，且和的夹角为 ．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为 ．15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．22,⎡∈-⎣n x 122+⎤-⎦n *∈n N 2≥n ()1122⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x f ()log 0-=a f x x a 2⎪⎪⎣⎭2⎝⎭11,102⎛⎫ ⎪⎝⎭11,102⎡⎫⎪⎢⎣⎭2=AB 1=CD 223-=AB CD AB CD πx16．已知中，，，则面积的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．观察下列三角形数表，数表（1）是杨辉三角数表，数表（2）是与数表（1）有相同构成规律（除每行首末两端的数外）的一个数表.对于数表（2），设第行第二个数为（）（如，，）. （Ⅰ）归纳出与（，）的递推公式（不用证明），并由归纳的递推公式求出的通项公式；（Ⅱ）数列满足：，求证：.18．某年级举办团知识竞赛.、、、四个班报名人数如下：年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从10个关于团知识的题目中随机抽取4个作答，全部答对的同学获得一份奖品.（Ⅰ）求各班参加竞赛的人数；（Ⅱ）若班每位参加竞赛的同学对每个题目答对的概率均为，求班恰好有2位同学获得奖品的概率；ABC 2=AB =AC ABC n n a *∈n N 12=a 24=a 37=a n a 1-n a 2≥n *∈n N {}n a n a {}n b ()11-⋅=n n a b 122+++<n b b b A B C D B p B（Ⅲ）若这10个题目，小张同学只有2个答不对，记小张答对的题目数为，求的分布列及数学期望.19．如图，在直三棱柱中，二面角是直二面角，，点是棱的中点，三棱锥的体积为1. （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20．已知椭圆（）的两个焦点分别为和（），、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值. 21．已知函数（其中，）. （Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；X X ()E X 111-ABC A B C 1--A A B C 2==AB BC M 1CC 1-M BCA ⊥BC 1ABA MB 1BCA 22221x y a b+=0a b >>()1,0-F c ()2,0F c 0>c A C ()3,0E c AE B 12∥F A F B 2F B (),H m n 0≠m 1AF C nm()()()22ln ,ln ,⎧+-⎪=⎨--⎪⎩a x x c f x a x x c 0≥<<x c x c0<a 0>c 22=-a c ()14≥f x (),∈+∞x c a（Ⅱ）设函数的图象在两点、处的切线分别为、，若，，且，求实数的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）极坐标方程为与交、两点，求线段的长.23．选修4-5：不等式选讲设函数（）. （Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若方程只有一个实数根，求实数的取值范围.()f x ()()11,P x f x ()()22,Q x f x 1l 2l 1=x 2=x c 12⊥l l c xOy 1C 12cos 2sin θθ=+⎧⎨=⎩x y θO x 1C 2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 1C P Q PQ()11=+--+f x x x a ∈a R 1=a ()0>f x ()=f x x a参考答案及评分意见一、选择题1-5:DDABD 6-10:BCCBD 11、12：AC 二、填空题13．（或） 14．1.6 15．乙 16三、解答题17．解：（Ⅰ）依题当，可归纳出. 所以，..检验当时，上式也成立.所以通项公式为. （Ⅱ），. . 120︒23π2≥n 1-=+n n a a n ()()112---=-+-+n n n n n a a a a a ()211+-+a a a 12=a ()122=+-+++=n a n n ()()2122+-+n n ()2112=++nn 1=n ()2112=++n a n n ()11-⋅=n n a b ()1211∴==-+n nb an n 1121⎛⎫=- ⎪+⎝⎭n n 12∴+++=n b b b 111121223⎡⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣111⎤⎛⎫+- ⎪⎥+⎝⎭⎦n n 1211⎛⎫=- ⎪+⎝⎭n又，.18．解：（Ⅰ）、、、四个班参加竞赛的人数分别为：，，，. （Ⅱ）根据题意，班中每位参加竞赛的同学获得奖品的概率为，所以班中恰好有2位同学获得奖品的概率为.（Ⅲ）由题意，取值为2，3，4，服从超几何分布.，，.所以的分布列为：所以. 19．解：（Ⅰ）证：过在平面内作，垂足为. 由题可知平面平面，且平面平面，平面.又平面，. 由题直三棱的性质可知，.1111-<+n 122∴+++<n b b b A B C D 45103150⨯=60104150⨯=30102150⨯=15101150⨯=B 4444=C p p B ()()2224441-C p p ()28461=-p p X ()22824102215===C C P X C ()31824108315===C C P X C ()4082410143===C C P X C X ()28231515=⨯+⨯E X 116435+⨯=A 1ABA 1⊥AH A B H 1⊥ABA 1BCA 1ABA 11=BCA BA ∴⊥AH 1BCA ⊂BC 1BCA ∴⊥AH BC 1⊥AA BC 1=AA AH A平面.（Ⅱ）设，而.由（Ⅰ）知，结合直棱柱的性质知平面.平面，到平面的距离等于，得. 以为原点，，，分别作为，，轴，建立如图直角坐标系.则，，，，.设平面的法向量为，则有得一个法向量.∴⊥BC 1ABA 1=AA a 111--==A MBC M BCA V V ⊥AB BC ⊥AB BCM 1∴∥AA BCM 1∴A BCM 2=AB 113-=⋅⋅=A MBC BCMV AB S2123223⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭a a13=⇔=a B BC BA 1BB x y z 32,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭M ()2,0,0C ()10,2,3A 32,0,2⎛⎫= ⎪⎝⎭BM ()2,0,0=BC ()10,2,3=BA 1BCA (),,=n x y z 20230=⎧⎨+=⎩x y z ()0,3,2=-n. 设为直线与平面的所成角，则20．解：（Ⅰ），且，点是点和点的中点.不妨设，由，点的坐标为.代入得：，离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以椭圆的方程可设为. 若，则.线段的垂直平分线的方程为. 直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.cos ,⋅∴==BM n BM n BM n=65θBM 1BCA sin cos ,θ==BM n 23=-EF c c 122==c F F 12∥F A F B ∴B A E ()0,A b ()3,0E c ∴B 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭c b 22221x y a b +=222291441+=c b a b3∴=c a ∴3=e 2213⎛⎫== ⎪⎝⎭c e a 223=a c 22222=-=b a c c 222236+=x y c ()A ()0,C 1AF l 2⎫=+⎪⎝⎭c y x l x ,02⎛⎫⎪⎝⎭c 1AF C 22222⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c c x y c直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得. 故. 若，则，同理可得. . 21．解：（Ⅰ）依题意：当，时，.，，且，.函数在上的最小值为. 要令恒成立，只需恒成立，即：或（舍去）.2F B )=-y x c (),H mn )222924⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩c c m n n m c0≠m 533⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m c n c 5=n m ()0,A ()C 5=-n m 5∴=±n m >x c 22=-a c ()()2'=+-=a f x x c x 22-+=x cx a x()()211---⎡⎤⎣⎦x x c x 0<a 0>c 12=+ac 01∴<<c ∴∴()f x (),+∞c ()()211=-f c 214=a ∴()14≥f x 21144≥a 1≤-a 1≥a又，. 实数的取值范围是.（Ⅱ）由可得：， 而，.时，则 . 即：，矛盾.时，则. . ，，.即：，则（），102=+>c 2∴>-a ∴a (]2,1--12⊥l l ()1''⋅=-f f c ()'=af c c '∴=-c f a c '=f 2=-=-c c a 12=a c '=f 2==-c c a 21∴=+c a 0<a 0>c 210∴+<a 12<-a =t 28=-t a 2>t.设，则.函数的最小值为.实数22．解：（Ⅰ）可化为：. 即：.（Ⅱ）即：，直线.曲线是以点为圆心，2为半径的圆，2814-⋅∴=-+tct3228=-tt()3228=-tg tt()()()222221228-'=-t tg tt∴∴()g t(=g∴c1C12cos2sinθθ-=⎧⎨=⎩xy()2214-+=x y2sin3πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2sin cos3πρθ⎛∴⎝cos sin3πθ⎫+=⎪⎭sin cos0ρθθ+-=∴l0+-=y1C()1,0圆心到直线的距离.23．解：（Ⅰ）依题意：原不等式等价于：，当时，，即：，此时解集为；当时，，即：，此时；当时，，即：，此时.综上所述：所求的解集为：.（Ⅱ）依题意：方程等价于， 令.（图象如图）.要令原方程只有一个实数根，只需或. 实数的取值范围是.∴l ==d 2∴==PQ 1110+--+>x x ∴1<-x ()()1110-++-+>x x 10->∅11-≤<x ()1110++-+>x x 12>-x 112-<<x 1≥x ()1110+--+>x x 30>1≥x12⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭x x ()=f x x 11=--++a x x x ()11=--++g x x x x ()2,,2,+⎧⎪∴=-⎨⎪-⎩x g x x x 1111<--≤≤>x x x ∴1>a 1<-a ∴a (),1-∞-()1,+∞。
湛江市2015届高中毕业班调研测试题(附答案)
湛江市2015届高中毕业班调研测试题(附答案)湛江市2015届高中毕业班调研测试题语文本试卷共8页，24小题，满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。
”2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、本大题4小题，每小题3分，共12分。
1.下列词语中加点的字，每对读音全不相同的一组是A. 雏．鸟/踌躇．筵．席/垂涎．启蒙．/蒙．昧时代B. 彻．底/掣．肘绯．闻/悱．恻叨．扰/唠唠叨．叨C. 仿效．/发酵．珠砾．/闪烁．曝．晒/曝．光D. 菁．华/矜．阀觊觎．/揶揄．供给．/交给．2.下面语段中画线的词语，使用不恰当的--项是。
“过期鸡肉优先供给中国市场",这句话让人五味杂陈．．．．它的潜台词是，在中国，造假不会追责、欺骗不需代价，．．．、消费者可以被随意对待。
如果这句话监管部门越俎代庖．．．．让人愤怒，我们是不是也该想想，洋供应商为什么就敢这么胆大妄为？是他们逃避监管的能力太强，还是食药监管部门不作为？如果属于前者，就说明监管制度存在严重的是犯罪。
漏洞；如果是后者，那就是监管部门失职，甚至．．A. 五味杂陈B. 潜台词C. 越俎代庖D. 甚至3.下列句子，没有语病的一项是A. 今年6月，我国月球探测工程首席科学家欧阳自远透露，中国将在2020年计划发射火星探测器，并在发射10年后实现探测器采样返回。
广东省湛江市吴川二中2015届高三数学上学期11月月考试卷理(含解析)
广东省湛江市吴川二中2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅2．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2 B．C．4 D．4．（5分）已知向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A．||=|| B．•=C．与共线D．（﹣）与垂直5．（5分）“x（x﹣3）＜0”是“|x﹣1|＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．由这五个条件中的两个同时成立能推导出m∥β的是（）A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤7．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．158．（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．6个B．12个C．9个D．5个二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知f（x）=lnx+的定义域为．10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2=2．则a5b5=．12．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为．13．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，B=120°，则△ABC的面积等于．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题.【极坐标与参数方程】14．（3分）在极坐标系中，直线ℓ1的方程是ρsin（θ+）=，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线ℓ2的方程是3x+ky=1．如果直线ℓ1与ℓ2垂直，则常数k=．【几何证明选讲】15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为、AB的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分79分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．17．（12分）某班50位学生期2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（14分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程的正整数n 的值．20．（13分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．广东省湛江市吴川二中2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答：解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2 B．C．4 D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．解答：解：2x2﹣y2=8即为∴a2=4∴a=2故实轴长为4故选C点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．4．（5分）已知向量=（1，0），=（，），则下列结论中正确的是（）A．||=|| B．•=C．与共线D．（﹣）与垂直考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量模的坐标公式求出两个向量的模判断出A错；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积判断出B错；利用向量共线的充要条件判断出C错；利用向量的坐标公式及向量垂直的充要条件判断出D对．解答：解：∵所以A不对∵故B不对∵故C不对∵∴故选D点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量的数量积公式、考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．5．（5分）“x（x﹣3）＜0”是“|x﹣1|＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别解出不等式x（x﹣3）＜0和|x﹣1|＜2，从而得到答案．解答：解：由x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，由0＜x＜3⇒﹣1＜x＜3，故“x（x﹣3）＜0”是“|x﹣1|＜2”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．6．（5分）已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．由这五个条件中的两个同时成立能推导出m∥β的是（）A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：根据面面平行的性质，可得结论．解答：解：根据面面平行的性质，可得m⊂α，α∥β时，m∥β．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，比较基础．7．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．8．（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．6个B．12个C．9个D．5个考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得．解答：解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6种可能故选A点评：本题考查新定义，读懂新定义并列举是解决问题的关键，属基础题．二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）已知f（x）=lnx+的定义域为（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可．解答：解：要使函数有意义，则，解得0＜x≤1．所以原函数的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2=2．则a5b5=80．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列和等比数列的通项公式求得等差数列的公差和等比数列的公比，然后求得a5，b5，则答案可求．解答：解：由等差数列{a n}满足a1=1，a2=2，得d=1，∴a5=5，等比数列{b n}满足b1=1，b2=2，得q=2，∴b5=24=16，∴a5b5=80．故答案为：80．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题．12．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为40．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i ＞5，循环，第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环，第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环，第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环，第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止，输出S=40．故答案是：40点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．13．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，B=120°，则△ABC的面积等于．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：先根据余弦定理建立关于a的等式，解出a=．再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解答：解：根据余弦定理，可得b2=a2+c2﹣2accosB，即6=a2+2﹣2×a××（﹣），解之得a=．因此△ABC的面积S===．故答案为：点评：本题给出三角形的两条边和其中一条边的对角，求它的面积．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积求法等知识，属于中档题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题.【极坐标与参数方程】14．（3分）在极坐标系中，直线ℓ1的方程是ρsin（θ+）=，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线ℓ2的方程是3x+ky=1．如果直线ℓ1与ℓ2垂直，则常数k=﹣3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用两条直线垂直的条件求出k的值．解答：解：把直线ℓ1的方程是ρsin（θ+）=化为直角坐标方程为x+y=，即 x+y﹣1=0．再根据直线ℓ2的方程是3x+ky=1，直线ℓ1与ℓ2垂直，则﹣1×=﹣1，求得 k=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两条直线垂直的条件，属于基础题．【几何证明选讲】15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则BD的长为、AB的长为．考点：相似三角形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题中条件：“DE∥BC，EF∥CD”易得△FDE∽△DBC，从而得到对应边成比例，再结合题中已知线段的长度，即可求得BD的长、AB的长．解答：解：由DE∥BC，EF∥CD，知△FDE∽△DBC由，所以．故答案为：；．点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分79分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数．的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2×+φ=2kπ+，k∈Z，φ∈（0，），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式；（2）易求cosα=﹣，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（α+）的值．解答：解：（1）由函数最大值为2，得A=2．由图可得周期T=4[﹣（﹣）]=π，∴ω==2．又2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，又φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；（2）∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴f（）=2sin（2•+）=2（sinαcos+cosαsin）=2[×+（﹣）×]=．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题．17．（12分）某班50位学生期2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2∴点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．18．（14分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC，…（2分）又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，，…（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取…（7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则∴…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴…（11分）∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程的正整数n 的值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S，得（n≥2），两式相减得a n与a n﹣1的递推式，由递推式易判断数列{a n}为等比数列，从而可求a n；（2）由（1）易求得1﹣S n+1，进而可求b n，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；解答：解：（1）由S，得（n≥2），两式相减得，a n+﹣=0（n≥2），即（n≥2），由S得=1，即=1，解得，所以数列{a n}各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以a n==；（2）由（1）知，，即1﹣S n+1==，所以b==﹣（n+1），则=，所以=++…+=，所以方程即=，解得n=100，故适合方程的正整数n的值为100．点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握a n与S n间的关系是解决本题的关键．20．（13分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．解答：解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．…（2分）又因为c=1，所以b2=3，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）…（5分）将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．所以G（，）．…（8分）因为DG⊥AB，所以×k=﹣1，解得x D=，即D（，0）…（10分）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE1相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|…（11分）所以，…（12分）整理得 8k2+9=0．…（13分）因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．…（14分）点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．解答：解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，ln2）ln2 （ln2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗f（0）=﹣1，f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.立体几何
图1俯视图侧视图正视图h65广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编立体几何1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________.2．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3323．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203D ．64．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图， 则侧视图中的h =_________cm ．5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.AVCB图22224ABC DMNA ．23 B ．43 C ．83D ．4 6．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+答案： 12π B C 6 B C 7（本小题满分14分）如图1,平面五边形SABCD 中SAD ABC DA CD BC AB SA ∆=∠=====,32,2,215π沿AD 折起成.如图2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O ，M 为BC 上一点，21=BM . （1）证明：SOM BC 平面⊥； （2）求二面角C SM A --的正弦值。
M OCBADB A SDCS如图 1如图 2图1121221正视图侧视图俯视图8（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．9（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，试确定 t 的值．10．（本小题满分14分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PA=PD=CD=2AB=2． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）记AD=x ，()V x 表示四棱锥P-ABCD 的体积， 当()V x 取得最大值时，求二面角A-PD-B 的余弦值．11. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC , PD DC ⊥,底面ABCD 是梯形,AB ∥DC ，1,2AB AD PD CD ====（1）求证:平面PBC ⊥平面PBD ;（2）设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定C 1ABA 1B 1D 1CDMN E F E 1 F 1图5MPCABDQλ的值使得二面角Q BD P --为60º.12．（本小题满分14分）如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（1）证明：OB OA =；（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；（3）若5PA OC =，6OP OC =，求二面角B OA P --的余弦值．13．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ，E 为PC 的中点，F 为PB 上一点，且EF ⊥PB .（1）证明：PA //平面EDB ； （2）证明：AC ⊥DF ；（3）求平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值.O 图4 ABCPM∙PABCD EF7.解：（Ⅰ）证明：题知四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO OB ⊥，因3BAD π∠=，故sin 2sin16OB AB OAB π=⋅∠== (1)分又因为12BM =，且3OBM π∠=，在OBM ∆中2222cos OM OB BM OB BM OBM =+-⋅⋅∠22113121cos 2234π⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…3分所以222OB OM BM =+，故OM BM ⊥ 即OM BC ⊥ ………………………4分又顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O 有ABCD SO 平面⊥，所以BC SO ⊥, ……………………………5分从而BC 与平面SOM 内两条相交直线OM,SO 都垂直，所以SOM BC 平面⊥ ………6分 （Ⅰ）法二如图2，连结,AC BD ，因ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系o xyz -， ……………………………2分 因3BAD π∠=，故cos3,sin1,66OA AB OB AB ππ=⋅==⋅=所以M OCB AD BA SDCS 如图1如图2xyz()()()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,1,0,3,1,0.O AB C OB BC -==-- (3)分由1,22BM BC ==知，131,,0444BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭从而33,,044OM OB BM ⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭，即33,,0.44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………………4分题意及如图2知AB SO ⊥,有23341522=-=-=OA SA SO ,3(0,0,)2OS = ………………………5分,0,0=⋅=⋅∴BC OM BC OS 所以SOM BC 平面⊥ (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，333333,0,,,,,3,0,24422AS MS CS ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 设平面ASM 的法向量为()1111,,n x y z =，平面SMC 的法向量为()2222,,n x y z = …8分由0,0,n AS n MS ⋅=⋅=得111113-3023330442x z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 故可取1531,,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………9分由220,0,n MS n CS ⋅=⋅=得2222233304423302x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩故可取()21,3,2n =-- ……………………………………………………11分 从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==-⋅ (13)分故所求二面角A SM C --的正弦值为105. ……………………………14分 8（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，…………………………8分则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，xzyC 1A BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1 C 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1()33,2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =． 所以()2,33,33=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC与平面1M N E D 所成角的正弦值为174116．………………………………………………14分 9（本小题满分14分）（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．） 解答：（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 证法二：AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分 ∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分 ∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分 （Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分(0,0,0)Q ，(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -．设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =-，(1,3,)MC x y z =----……9分 PM t MC =⋅,∴1(1)3(3)13()31t x t x t x t y t y y t z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=-⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩，………10分 在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，33,,111t t QM t t t ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++⎝⎭，∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴23cos30230n m t n mt ⋅︒===⋅++，得3t =……14分 法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ， 因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ， 则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省湛江二中2015届高三数学（理）模拟测试试卷（三）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先选做题的对应题号，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2M x x 30=-≤，则下列关系式正确的是A ．0M ∈ B.0M ∉C.0M ⊆D.3M ∈2．设i 是虚数单位，则()()321i 1i -+=A ．1i -B ．1i -+C ．i +1D ．1i --3．下列命题中，真命题的个数有 ①21x R,x x 04∀∈-+≥；②2x R,x 2x 20∃∈++<；③函数x y 2-=是单调递减函数. A.0个B.1个C.2个D.3个4．如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其 体积是 AD.835．已知椭机变量X 服从正态分布N （4，1），且()P 3x 50.6826≤≤=，则()P X 3=< A ．0.0912B ．0.3413C ．0.3174D ．0.15876．若()()()()8280128x 1a a 1x a 1x a 1x ,-=+++++⋅⋅⋅++则6a =A ．112 B.28C.28-D.112-7. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为A ．11 B. 19 C. 20 D. 218．对于函数()f x ，若存在区间[]M a,b =（其中b a <），使得(){}y y f x ,x M M =∈=，则称区间M 为函数)(x f 的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①2)1()(-=x x f ；②12)(-=x x f ；③)2cos()(x x f π=；④x e x f =)(．其中存在“稳定区间”的函数有A ．①③B ．①②③C ．①②③④D ．①②二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一）必做题(9〜13题）9．已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________.10．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 _______个.11. 已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0,0x y >>，则随机变量ξ的数学期望=ξE .12．若正实数y x ,满足：211111=+++y x ，则y x 的取值范围为 . 13．已知点(1,1),(1,1)A B -，点P 是直线:2l y x =-上的一动点，当APB ∠最大时，则过,,A B P 的圆的方程是 ；(二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题） 14．极坐标系中，点P (2,)6π-到直线：:sin()16l πρθ-=的距离是 ． 15．如图所示，过圆C 外一点P 作一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=，则PT =_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p . (Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且.tan 222A a c b bc=-+(1)求角A ；(2)设函数x A x x f cos sin 2sin )(+=，将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21，把所得图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的对称中心及单调递增区间.18.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AA AB ==，E 为AD 中点，F 为1CC 中点. （Ⅰ）求证:1AD D F ⊥；（Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.19.( 本小题满分14分)设函数x xppx x f ln 2)(--=． （Ⅰ）若1=p ，函数)(x f y =是否有极值，若有，请求出极值，若没有，请说明理由. （Ⅱ）若)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知1>m ，直线2:02m l x my --=，椭圆C ：2221x y m+=，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点2F 时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C 交于A 、B 两点，△A 1F 2F 、△B 1F 2F 的重心分别为G 、H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（Ⅰ）若31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（Ⅱ）若n n b aq =（a 、q 为常数，且0≠aq ），对任意m ，存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件；（Ⅲ）若21,3nn n a n b =+=，试确定所有的p ，使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和是数列{}n a中的一项，请证明.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题。
每小题5分，满分30分．9．13 10．3 11．2 12．[)∞+,9 13．222x y += 14．13+ 15．3 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分 6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6，9.6427)41-(10)(3===ξP ；6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ； 649)411()41(6)(223=-==ξC P ； 641)41(9)(3===ξP所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ………7分 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P；24)(p P ==η 所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴ ………10分根据题意，有ξηE E >， ∴1169494<<∴>p ,p ……… 12分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中四边形ABCD 是正方形， AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDDC ⊂ 平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，连结1A D ，交1AD 于点M ，连结,ME MF . ∴M 为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且∴四边形CEMF 是平行四边形， MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄ 平面1AD F ，MF ⊂平面1AD F . ∴ //CE 平面1AD F .………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F ……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 取1z =，得(2,1,1)=n.111cos ,DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD所成二面角的余弦值为6……… 14分 19．解：(Ⅰ),ln 21)(,1x x x x f p --==∴0)11(211)(22/≥-=-+=x xx x f ； ………………………3分∴ 函数)(x f y =没有极值.……………………6分(Ⅱ)),2(1)(22/p x px xx f +-=定义域为),0(+∞.令p x px x h +-=2)(2要使)(x f y =在),0(+∞单调，只需0)(0)(≤≥x h x h 或恒成立 …………………8分当0=p 时，x x h 2)(-=；0)(/<∴x f ；∴函数)(x f y =在),0(+∞单调递减 ………10分当0>p 时，0)1()(min ≥=p h x h ，即01≥-p p ，1≥∴p …………12分当0<p 时，)(x h 在),0(+∞上单调递减，又0)0(<=p h 满足题意,综上01≤≥p p 或 …14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为直线2:02m l x my --=经过点2F0），22m ，得22m =. …………3分又因为m>1，所以m =，故直线的方程为10x -=. …………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x ，得222104m y my ++-=， 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知2m <8，且有212121,,282m m y y y y +=-=- …………7分 由题意知O 为1F 2F 的中点.由2,2,AG GO BH HO == 可知1122(,),(,)3333x y x yG H ，从而2221212()()||99x x y y GH --=+，设M 是GH 的中点，则M （1212,66x x y y ++）. 由题意可知，2|MO|<|GH|, 所以2212124[()()]66x x y y +++<221212()()99x x y y --+,1212x x y y +<0, 而1212x x y y +＝（212m my +）（222m my +）12y y +＝221(1)()82m m +-，…………12分 所以2182m -<0，即2 4.m < 又因为1>m 且∆0>，从而21<<m ，故m 的取值范围是（1，2）. …………14分 21．解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立．…………4分（2）当1m =时，则2312,k k b b b a q aq ⋅=∴⋅=3,k a q -∴=即c a q =，其中c 是大于等于2-的整数…………6分反之当c a q =时，其中c 是大于等于2-的整数，则n c n b q +=，显然12121m c m c m c m m k b b q q q b ++++++⋅=⋅==，其中21k m c =++…………8分∴a 、q 满足的充要条件是c a q =，其中c 是大于等于2-的整数…………9分（3）设12m m m p k b b b a ++++++= （*）当p 为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，当p 为偶数时，（*）式不成立． …………10分由（*）式得13(13)2113m p k +-=+-，整理得13(31)42m p k +-=+ 当1p =时，符合题意． 当3p ≥，p 为奇数时，31(12)1p p -=+-()()011221122121222222212222222222p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p C C C C C C C C C C C C C p --=+⋅+⋅++⋅-=⋅+⋅++⋅=+⋅++⋅⎡⎤=+⋅++⋅+⎣⎦由13(31)42m p k +-=+得()12222322221m p p p p p C C C p k +-⎡⎤+⋅++⋅+=+⎣⎦∴ 当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立， ∴ 当p 为奇数时，命题都成立．………14分。