2017考前3个月文科数学知识方法专题训练：第5练 如何
高考数学 考前三个月 解题方法篇 专题三 解题策略 第5讲 分析法与综合法应用策略 文 新人教版
第5讲 分析法与综合法应用策略[方法精要] 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种正面的方法叫做分析法．综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不宜推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按格式书写．题型一 综合法在三角函数中的应用例1 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 破题切入点 用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用Q 表示所要证明的结论，则综合法的应用可以表示为：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q .本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数，再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决．解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3(1－2sin 2x 4) ＝sin x 2＋3cos x 2 ＝2sin(x 2＋π3)． ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin(x 2＋π3)＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin(x 2＋π3)＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x 2＋π3)． 又g (x )＝f (x ＋π3)． ∴g (x )＝2sin[12(x ＋π3)＋π3] ＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g (x )． ∴函数g (x )是偶函数．题型二 综合法在立体几何中的应用例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .破题切入点 综合法的运用，从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理，最后得到所要证明的结论．(1)利用平面PAD ⊥底面ABCD 的性质，得线面垂直．(2)BE ∥AD 易证．(3)EF 是△CPD 的中位线．证明 (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD .所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .题型三 分析法在不等式中的应用例3 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c .破题切入点 本题适合用分析法解决，借助对数的性质反推关于a ，b ，c 的不等式，依次寻求使其成立的充分条件，直至得到一个容易解决的不等式，类似的不等式往往利用基本不等式．证明 要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2)>lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a ·b ·c .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a ·b ·c 成立，所以原不等式成立．总结提高 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法的特点是由原因推出结果，分析法的特点是由结果追溯到产生这一结果的原因．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论，根据结论的特点去转化条件，得到另一中间结论，根据中间结论的转化证明结论成立．1．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 因为a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，所以①错误；因为a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0， 所以a (1－a )≤14； 所以②正确；当ab <0时，b a ＋a b<0，所以③错误；因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥ a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，所以④正确．2．若x ，y ∈R ＋且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．1答案 B解析 x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y ，要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可，因为1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，所以a ≥2，即a 的最小值是 2. 3．已知p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不能确定 答案 B解析 q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b答案 A解析 因为a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b ＝e x <e 0＝1，所以a >b .6．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系是________．答案 c n ＋1<c n解析 根据条件可得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，所以c n 随着n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n .7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 因为a a ＋b b >a b ＋b a ，所以(a －b )2(b ＋a )>0，所以a ≥0，b ≥0且a ≠b .8．设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明 因为a ，b ，c >0，根据基本不等式a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．9．已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角．证明 要证明B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即需证a 2＋c 2－b 2>0，由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2，故只需证2ac －b 2>0，因为a ，b ，c 的倒数成等差数列，所以1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )．所以要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0，即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，所以B 为锐角．10．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，可得{11－a n}是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，所以根据等差数列通项公式可得11－a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1－1n. (2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n (1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.所以S n <1.11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈(0，π2)，若x 1，x 2∈(0，π2)且x 1≠x 2， 证明：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)． 证明 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22) ⇔12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22⇔12(sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2)>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)(“化弦”) ⇔sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)⇔sin (x 1＋x 2)cos (x 1＋x 2)＋cos (x 1－x 2)>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)只要证明0<cos(x 1－x 2)<1，∵x 1≠x 2，且x 1、x 2∈(0，π2)， ∴0<cos(x 1－x 2)<1成立，即12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)． 12．(2014·江苏)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第5练 如何
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第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高．二轮复习中,要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时,不丢分．体验高考1．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝x＋6y的最大值为( ）A．3 B．4 C．18 D．40答案C解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x＋6y＝0,平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3）,所以z max＝0＋6×3＝18，选C。
2．(2015·陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A3212B128A。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题8 概率与统计 第34练 概率的两类
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题8 概率与统计第34练概率的两类模型文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题8 概率与统计第34练概率的两类模型文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第34练概率的两类模型［题型分析·高考展望］概率是高中数学的重要内容,也是高考的必考知识点．在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点:一是以古典概型的概率公式为考查对象,二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（) A。
错误! B.错误!C。
110D。
错误!答案C解析从1,2,3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:（1，2，3)，(1，2，4)，（1，2，5），（1，3,4)，（1，3，5)，(1，4，5),（2，3,4），(2，3,5）,(2,4，5）,(3，4,5），其中勾股数只有（3，4,5)，所以概率为错误!.故选C.2．(2015·山东）在区间［0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log错误!错误!≤1”发生的概率为( ）A.34B.错误!C。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题11 数学方法 第41练 配方法与待
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11 数学方法第41练配方法与待定系数法文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题11 数学方法第41练配方法与待定系数法文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第41练 配方法与待定系数法［题型分析·高考展望] 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项"、“配"与“凑”的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解．高考必会题型题型一 配方法例1 (1）设x ∈[2,8]时，函数f （x ）＝错误!log a (ax ）·log a (a 2x ）（a 〉0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－错误!，则a 的值是________．(2)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．(3)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点，已知向量错误!＝(2,2），错误!＝(4,1)，在x 轴上取一点P ,使AP ，→·错误!有最小值,则P 点的坐标是________．答案 （1）错误! (2)错误! （3)（3,0)解析 （1)由题意知f (x ）＝错误!（log a x ＋1）·（log a x ＋2)＝错误!错误!＝错误!（log a x ＋错误!）2－错误!.当f （x ）取最小值－错误!时，log a x ＝－错误!，又∵x ∈［2,8］，∴a ∈（0,1）．∵f （x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f （x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若错误!(log a 2＋错误!)2－错误!＝1,则a ＝231 ，f (x ）取得最小值时，x ＝(231-)32-＝2∉［2,8］,舍去．若12(log a 8＋错误!）2－错误!＝1, 则a ＝错误!,f (x ）取得最小值时,321()[2,8],2x -== ∴a ＝错误!.(2)y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2（sin 2x －sin x )＋1＝－2(sin x －错误!）2＋2×错误!＋1＝－2（sin x －错误!)2＋错误!.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝错误!时，y 取最大值，最大值为错误!。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题10 数学思想 第38练 数形结合思
（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10 数学思想第38练数形结合思想文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10 数学思想第38练数形结合思想文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第38练数形结合思想［思想方法解读］数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数"和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合，寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系,由数思形，以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．体验高考1．(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2（x＋1)的解集是（)A．｛x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1｝C．{x｜－1＜x≤1}D．｛x｜－1＜x≤2}答案C解析令g(x）＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题5 数列、推理与证明 第21练 基本
第21练 基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大．解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100B ．99C ．98D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.3．(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 6解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋－2×(－2)＝6.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n－1解析 由等比数列的性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8， 从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n－1.5．(2016·课标全国乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________． 答案 64解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n (n －7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494， 当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64.高考必会题型题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝11，S 3＝24.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n n ＋a n ＋1－5，求数列{b n }中的最小的项．解 (1)∵a 3＝a 1＋2d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝11，3a 1＋3d ＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2.(2)b n ＝a n n ＋a n ＋1－5＝3n 2＋20n ＋123n＝n ＋4n ＋203≥2n ·4n ＋203＝323. 当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时，b n 取得最小值323，∴数列{b n }中的最小的项为323. 点评 等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本的元素． (2)解题思路：①设基本量a 1和公差d (公比q )；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．变式训练1 (1)等比数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 (1)13(2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q ＝1时，S 1＝a 1,2S 2＝4a 1,3S 3＝9a 1，S 1,2S 2,3S 3不成等差数列；当q ≠1时，∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列， ∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4×a 1－q 21－q＝a 1＋3×a 1－q 31－q，即3q 2－4q ＋1＝0，∴q ＝1(舍)或q ＝13.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 题型二 等差数列、等比数列的性质及应用例2 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________. 答案 (1)10 (2)28解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5， 所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3， 由S n ＝a 1－q n1－q，得S 6＝a 1－361－3，S 3＝a 1－331－3，所以S 6S 3＝a 1－361－3·1－3a 1－33＝28.点评 等差(比)数列的性质盘点a k ＝a m ·a l (m ，k ，l ∈N ，且m ，k ，变式训练2 (1){a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21(2)在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9 答案 (1)C (2)D解析 (1)∵S n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10， ∴a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．(2)设数列{a n }的公比为q (q >0)，依题意，a 3＝3a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，整理得：q 2－2q －3＝0， 解得q ＝3或q ＝－1(舍)，∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 014·q 2－a 2 015·q 2a 2 014－a 2 015＝q 2＝9. 题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0， ∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0， 即3q 2－10q ＋3＝0， ∵公比q >1，∴q ＝3.又∵首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n. (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)，即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1.前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.点评 (1)对数列{a n }，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定a n 、S n .(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法． 变式训练3 (2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b 6与数列{a n }的第63项相等．高考题型精练1．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n n －2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.2．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6<S 7，且S 7>S 8，则( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中，a 3或a 4最大C ．前三项之和S 3必与前10项之和S 10相等D ．当n ≥8时，a n <0 答案 D解析 由于S 6<S 7，S 7>S 8， 所以S 7－S 6＝a 7>0，S 8－S 7＝a 8<0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1， 所以A ，B 均错，D 正确．S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7>0，故C 错误．3．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项， ∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.4．(2016·哈尔滨六中期中)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 答案 B解析 ∵S 6>S 7>S 5，∴a 7<0，a 6>0，a 6＋a 7>0， 因此|a 6|>|a 7|；d ＝a 7－a 6<0；S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6>0； S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)>0，而S 13＝13a 7<0，因此满足S n >0的最大n 值为12；由于a 7<0，a 6>0，数列{S n }中的最大项为S 6， ∴④错，①②③⑤正确，故选B.5．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A ．125B ．126C ．127D ．128 答案 C解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 且a 1＝1，由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3， 即2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2.因为q >0，所以q 2－q －2＝0. 解得q ＝－1(舍)或q ＝2. 则S 7＝a 1－q71－q＝－271－2＝127.6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12a 1＋a 2n －112b 1＋b 2n －1＝12n －a 1＋a 2n －112n －b 1＋b 2n －1＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋45n －＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1 (n ∈N *)， 故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n为整数． 即正整数n 的个数是5.7．(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 答案 20解析 等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝39，d ＝－2.∴S n ＝39n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋40n＝－(n －20)2＋400，当n ＝20时，S n 取得最大值．9．公差不为0的等差数列{a n }的部分项123,,,k k k a a a …构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________. 答案 22解析 根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒4k a ＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.10．若数列{a n }对任意的正整数n 和m 等式a 2n ＋m ＝a n ×a n ＋2m 都成立，则称数列{a n }为m 阶梯等比数列．若{a n }是3阶梯等比数列有a 1＝1，a 4＝2，则a 10＝________. 答案 8解析 由题意有，当{a n }是3阶梯等比数列，a 2n ＋3＝a n a n ＋6，a 24＝a 1a 7，所以a 7＝4，由a 27＝a 4a 10，有a 10＝a 27a 4＝8.11．(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋3－3n1－3＝2×n ＋n2－n ＋3n－12＝n 2＋3n－12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n－12.12．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ， ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， ∴d ＝－3.∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝qn －1，即－3n ＋2＋b n ＝qn －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n n －2＋(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)，故当q ＝1时，S n ＝n n －2＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n n －2＋1－q n1－q.。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第2练 用好
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第2练用好逻辑用语，突破充要条件［题型分析·高考展望］逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题,题目难度以低、中档为主,在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．（2015·山东)若m∈R, 命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤0答案D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0"．2．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α,β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．(2015·重庆)“x＞1”是“log(x＋2)＜0"的( )12A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析log(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，12因此选B。
新高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第24练归纳推理与类比推理文
新高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第24练归纳推理与类比推理文[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以选择题、填空题的形式考查．题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决．体验高考1．(2015·陕西)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…，据此规律，第n个等式可为_________________________________________________．答案1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋12n解析等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.2．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．3．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为＝＝＝＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．答案5解析＝＝1；＝＝0；＝＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.高考必会题型题型一利用归纳推理求解相关问题例1 (1)观察下列等式12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为______________________．(2)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )答案(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(2)A解析(1)观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.(2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为第二个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后所有图就应该是相邻的黑块顺时针旋转，故选A.点评归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题．变式训练1 已知cos ＝，cos cos ＝，cos cos cos ＝，根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________．答案cos cos ·…·cos ＝，n∈N*题型二利用类比推理求解相关问题例2 半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：________________.上式用语言可以叙述为________________．答案(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：(πR3)′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于( )A. B.127C. D.18答案B解析从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比等于＝()3＝，故选B.高考题型精练1．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝(n∈N*)，猜想an等于( )A．2cos B．2cos θ2n－1C．2cos D．2sin θ2n答案B解析a2＝＝＝＝2cos ，同理a3＝＝2cos ，a4＝2cos ，猜想an＝2cos ，故选B.2．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于( )A. B.3VKC. D.V3K答案B解析根据三棱锥的体积公式V＝SH得：13S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.3．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝n cn1＋cn2＋…＋cn nnD．dn＝n c1·c2·…·cn答案D解析若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则(1)12(1)2 1211,n nn n nnc c c c q c q-+++-⋅⋅⋅=⋅=⋅……即{dn}为等比数列，故选D.4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m、n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0答案A解析由题意f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋2＋2＝f(1,2)＋2＋2＋2＝f(1,1)＋2＋2＋2＋2＝9，f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.所以三个都正确，故选A.5．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.6．已知下列四个等式21×1＝2，22×1×3＝3×4，23×1×3×5＝4×5×6，24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，猜想第n个等式为______________________．答案2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n)解析观察给出的四个等式可以发现第n个等式的左边是2n乘上从1开始的n个奇数，右边是从(n＋1)开始的n个连续正整数的积，根据这一规律即可归纳出第n个等式为2n×1×3×5×7×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×(n＋3)×…×(n＋n)．7．如图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：＝________.答案PA′·PB′·PC′PA·PB·PC解析这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]＋[]＋[]＝3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21.…按照此规律，第n个等式的等号右边的结果为________．答案2n2＋n解析按照此规律第n个等式为＋＋…＋＝n[(n＋1)2－1－n2＋1]＝n(2n＋1)＝2n2＋n，第n个等式的右边为2n2＋n.9．有以下三个等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论______________________．答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2解析根据题意，观察各式得其规律，用式子将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可．10．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD －A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有________________．答案cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2解析由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1，我们根据长方体性质可以类比推理出空间性质，∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cos α＝，cos β＝，cos γ＝，∴cos2α＋cos2β＋cos2γ＝AC2＋AB21＋AD21AC21＝＝2.故答案为cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.11．观察分析下表中的数据：猜想一等式是_________________________________．答案F＋V－E＝2解析观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.12．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)．(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝·＋·a2＋a－22＝，又g(5)＝，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明：因为f(x)＝，g(x)＝，所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·ay＋a－y2＝ax＋y－a－＋2＝g(x＋y)．。
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第5练 如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高．二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分．体验高考1．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40 答案 C解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元 答案 D解析 设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示： 可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．3．(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________． 答案 32解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 4．(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.5．(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2C.322D. 5 答案 B解析 已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0， 解得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0， 解得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小， 即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.高考必会题型题型一 已知约束条件，求目标函数的最值 例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”．(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值． 变式训练1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3，故选B.题型二 解决参数问题例2 已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.点评 所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论． 变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三 简单线性规划的综合应用例3 (1)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0(2)216 000解析 (1)用表格列出各数据A 1 400所以不难看出，⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．点评 若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题．变式训练3 设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，点O 是坐标原点，若向量O P →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是( ) A ．[－32，23]B ．[－6,2]C ．[－1，72]D ．[－4，23]答案 B解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x ，y )＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1,0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3,0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.高考题型精练1．(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1答案 A解析 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1)， 半径为2的圆内区域所有点(包括边界)； ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界)． 实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立． 则p 是q 的必要不充分条件．故选A. 3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，2x －y －1≥0，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．0B ．2C ．8D ．－1 答案 C解析 画出x ，y 满足的可行域如图．可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－2得m ＋13－2m －13＝－2⇒m ＝8，故选C.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37 D ．49 答案 C解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知， z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点 A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0,4]，故选B.6．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2，则y －1x ＋3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－15∪[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤13，1C.⎣⎡⎦⎤－15，13D.⎣⎡⎦⎤－15，1 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2表示的可行域如图所示，从图可看出，y －1x ＋3表示可行域内的点与点A (－3,1)连线的斜率，解方程知C (2,0)，D (2,6)， 所以其最大值为k AD ＝6－12＋3＝1， 最小值为k AC ＝0－12＋3＝－15，所以y －1x ＋3的取值范围为[－15，1]．故选D.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m 表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )， 所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 C解析 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可， 即m ＜－12m －1， 解得m ＜－23.9．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤45，13 解析 已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)． 由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元．答案 22解析 设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B (0,8)，C (103，43)．当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值．所以z min ＝3×103＋9×43＝22. 因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12， ∴a >12. 12．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。